„Kommt drauf an, wie das Glück entscheidet!“entscheidet!“
Kinder schätzen Gewinnwahrscheinlichkeiten ein
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Aufbau des Workshops• Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Grundschule
– Gründe für die Thematisierung
– Kompetenzanforderungen
• Der Begriff der Wahrscheinlichkeit
• Das Spiel „Ziffernkarten ziehen“
− Gelegenheit zur eigenständigen Erforschung
− Einschätzung eines Kinderteams
• Fehlvorstellungen
• Analyse ausgewählter Kinderäußerungen (Arbeitsphase) und Diskussion über
Fördermöglichkeiten
• Eine Unterrichtsreihe zum Spiel „Ziffernkarten ziehen“
• take-home-message
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Gründe für die Thematisierung von Wahrscheinlichkeiten in der GS
• Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs benötigt Zeit (vgl. Eichler 2010, S.8)
• Kinder sammeln viele Erfahrungen im Alltag und bauen teilweise Fehlvorstellungen
auf (vgl. ebd.)
• Unreflektierte Fehlvorstellungen können Aufbau stochastischer Vorstellungen • Unreflektierte Fehlvorstellungen können Aufbau stochastischer Vorstellungen
erschweren (Prediger 2005)
� Jedoch können Elemente der kombinatorischen Anzahlbestimmung und
Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Grundschulkindern nur an realen Situationen aus
ihrer Lebenswirklichkeit erarbeitet werden (vgl. Bobrowski 2010, S. 4)
� Besonders spielerische Anlässe bieten guten Anlass für Gespräche über
Wahrscheinlichkeiten
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Kompetenzerwartungen zum Thema Wahrscheinlichkeiten
Kompetenzerwartungen im Lehrplan NRW:
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Der Begriff der Wahrscheinlichkeit
• Wahrscheinlichkeiten geben an, mit welchem Grad an Sicherheit ein zufälliges Ereignis
eintreffen wird
• Berechnung :
Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E
=Anzahl aller für E günstigen Versuchsausgänge
Anzahl aller möglichen Versuchsausgänge
• Man erhält Werte zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher)
• Die Angabe einer Wahrscheinlichkeit ist keine Vorhersage!
• Sie gibt nur Auskunft darüber, wie groß die Chance ist, dass das gewünschte Ergebnis
eintrifft!
• Gesetz der großen Zahlen: Bei einer sehr großen Anzahl
von Versuchen nähert sich die relative Häufigkeit der
günstigen Ereignisse der theoretisch berechneten
Wahrscheinlichkeit an.
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Relative Häufigkeit = Verhältnis der Anzahl des Eintretens des Ereignisses zur Gesamtzahl der Versuche
Das Spiel „Ziffernkarten ziehen“
• Was vermuten Sie, sind die Spielregen fair?
• Überprüfen Sie nun: Haben beide Spieler die gleiche Gewinn-
wahrscheinlichkeit?
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Einschätzung von Christine und Rebecca
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Einschätzung von Christine und Rebecca
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Einschätzung von Christine und Rebecca
• Erkennen Zusammenhang zwischen den möglichen Aufgaben und den Spielausgängen
• Begriff Wahrscheinlichkeit oder wahrscheinlicher wird nicht benutzt
• intuitives Verständnis der Wahrscheinlichkeit
• Scheinen zu übersehen, dass dieser Spieler ebenfalls eine Möglichkeit hat zu gewinnen („Dann würde immer nur einer gewinnen.“)
• Nachfragen ergibt, dass die beiden wissen, dass auch der Spieler mit den ungeraden • Nachfragen ergibt, dass die beiden wissen, dass auch der Spieler mit den ungeraden Zahlen gewinnen kann, dass dies aber selten vorkommen würde
� Für Kinder ist schwer ist, das, was sie meinen, unmissverständlich auszudrücken
� Für Kinder ist es gar nicht so leicht ist, zu sagen, was beim Spielen tatsächlich passiert (immer?)
� Es ist nicht immer eindeutig, ob die Kinder eine tragfähige Vorstellung haben oder ob Fehlvorstellungen vorherrschen.
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Fehlvorstellungen• Interpretation von Aufgabenverteilung bzgl. der Auswirkungen auf das Spiel sowie
Interpretation von tatsächlichen Spielausgängen (vor allem solcher, die von den
Erwartungen abweichen) für viele Kinder schwierig
• Häufig auf Fehlvorstellungen zurückführbar:
– Es werden verborgene Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Versuchen
angenommen (also dass ein vorheriges Ereignis beeinflusst, welches Ereignis im Versuch angenommen (also dass ein vorheriges Ereignis beeinflusst, welches Ereignis im Versuch
danach wahrscheinlich ist)
– Vorstellung, der Zufall würde „unregelmäßige" Ereignisse produzieren (beispielsweise
beim Lotto: 1-2-3-4-5-6 ist unwahrscheinlicher als 2-6-12-15-26-39)
– Verwechselung von geringer Wahrscheinlichkeit mit Unmöglichkeit, sowie hoher
Wahrscheinlichkeit mit Sicherheit
– Vorstellungen, dass bestimmte Glück bringende Handlungen, wie Augenschließen o.ä.,
den Versuchsausgang beeinflussen können
vgl. Eichler 2010, S. 8.
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Analyse ausgewählter Kinderäußerungen
• Betrachten Sie die Ihnen vorliegenden Transkripte. Wie erklären
sich die Kinder die unerwarteten Spielausgänge bzw. halten sie
solche für möglich? Welche Fehlvorstellungen könnten die Kinder
ggf. entwickelt haben?
• Bitte beachten Sie, dass teilweise nicht mehr die originale
Gewinnregel, sondern eine von den Kindern modifizierte,
Grundlage der Überlegungen war.
• Wie könnte man solche Situationen nutzen, wenn sie im Unterricht
auftreten?
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Kinderäußerungen
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Kinderäußerungen
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Handlungsmöglichkeiten
• Diskussionen im Plenum anregen
• Mit allen Kindern gemeinsam über die Bedeutung der Begriffe sprechen
• Plakat anlegen, auf dem die Bedeutung der Begriffe festgehalten werdenwerden
• Wortspeicher erstellen
• Kleine Versuchsreihen mit wenigen Runden durchführen (in Teams)→ kleine SKchproben müssen nicht den Erwartungen entsprechen
• Alle kleinen Stichproben der Teams zusammentragen→ bei sehr vielen Versuchen entspricht die Verteilung immer mehr der Erwartung
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Eine Unterrichtsreihe zum Spiel „Ziffernkarten ziehen“
Ablauf:
• Initiierung der Reihe (Was macht ein Spielforscher? Was heißt fair?)
• Einführung des Spiels „Ziffernkarten ziehen“(Demo-Material)
• Arbeitsphase 1 (Ist das Spiel fair?)
• Klasse 3 bis 4
• ca. 3 Schulstunden (Ausweitung möglich)
(Ist das Spiel fair?)
• Zwischenreflexion (Besprechung der Ergebnisse und Thematisierung der Begriffe wahrscheinlich, sicher, unmöglich)
• Arbeitsphase 2 (Neue Begriffe festigen und vertiefen)
• Zwischenreflexion (Nochmalige Anwendung der Begriffe auf das Spiel, wann ist ein Spiel fair?)
• Arbeitsphase 3 (Das Spiel fair machen)
• Abschlussreflexion (Faire Versionen vorstellen)
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Arbeitsphase 1Das Spiel erkunden
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Arbeitsphase 1 Differenzierungsmöglichkeiten
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Arbeitsphase 1Eindrücke
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Arbeitsphase 2Mit den neuen Begriffen umgehen
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Arbeitsphase 2Eindrücke
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Arbeitsphase 2Eindrücke
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Arbeitsphase 3Das Spiel fair machen
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Arbeitsphase 3Differenzierungsmöglichkeiten
1, 3, 4 und 5.“
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Arbeitsphase 3Eindrücke
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Erweiterungsmöglichkeiten
• Vergleich von Wahrscheinlichkeiten (besonders beim Verändern von
Gewinnregeln oder vom Kartensatz)
• Wahrscheinlichkeitsbarometer nutzen
(eignet sich gut zum Vergleichen von
Wahrscheinlichkeiten)Wahrscheinlichkeiten)
• Andere Spiele begutachten
(Glücksräder, Würfelspiele, usw.)
• Inhaltsbereich Daten erheben
stärker einbeziehen
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Wahrscheinlichkeitsbarometer
take-home-message• Kinder sind gut dazu in der Lage, sich mit dem Thema Wahrscheinlichkeiten zu beschäftigen
• Sie äußern dazu viele kluge Gedanken
ABER:
• Häufig herrschen Fehlvorstellungen vor, die zu späteren Zeitpunkten Schwierigkeiten bereiten können
• Kinder denken sehr unterschiedlich über Wahrscheinlichkeit (manchmal denken sie zu verschieden Zeitpunkten sogar selbst anders als kurz zuvor)
� Es ist sehr wichtig aufmerksam zu beobachten und zu analysieren, welche Denkweisen sich hinter Äußerungen von Kindern verbergen, da viele Aussagen nur latent mitschwingen und schnell unerkannt bleiben. Nur so ist es möglich Fehlvorstellungen zu erkennen und adäquat auf sie zu reagieren.
� Gerade der Anlass eines Glücksspiels eignet sich gut, um Kinder dazu zu bringen, über Wahrscheinlichkeiten nachzudenken → Sie sind intrinsisch, also aus der Sache heraus, moKviert, haben Spaß und können viel Lernen
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Materialien
• Alle Materialien (Vorlagen zum Basteln des Spiels „Ziffernkarten spielen“) und
eine konkrete Unterrichtsplanung inkl. aller Forscheraufträge und weiteren
Dokumenten aus der Durchführung sowie eine Zusammenfassung wesentlicher
inhaltlicher Aspekte finden Sie auf der PIK-AS-Seite im Bereich
„Unterrichtsmaterialien“:
http://www.pikas.tu-dortmund.de/material-pik/herausfordernde-http://www.pikas.tu-dortmund.de/material-pik/herausfordernde-
lernangebote/haus-7-unterrichts-material/ziffernkarten-ziehen/ziffernkarten-
ziehen.html
• Weitere Informationen sowie eine Analyse der betrachteten Äußerung von
Kindern zum Spiel „Ziffernkarten ziehen“ finden Sie auf der KIRA-Seite zum Thema
„Gewinnwahrscheinlichkeiten einschätzen“ :
http://www.kira.tu-dortmund.de/front_content.php?idcat=627&lang=8
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Literatur• Bobrowski, S. (2010): Neue Lerninhalte im Mathematikunterricht? – Daten, Häufigkeiten und
Wahrscheinlichkeiten sind nicht neu, aber vielfältig. Und sie fordern Schülerinnen und Schüler
heraus. In: Praxis Grundschule. 33. Jg. H.3, S. 4.
• Eichler, K.-P. (2010): Wahrscheinlich kein Zufall – Betrachtungen rund um Wahrscheinlichkeit und
Häufigkeit. In: Praxis Grundschule. 33. Jg., H. 3, S. 7-13.
• Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW (2008): Lehrplan Mathematik für die Grundschulen • Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW (2008): Lehrplan Mathematik für die Grundschulen
des Landes NRW. Frechen: Ritterbach. Verfügbar unter:
http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/lehrplaene-gs/mathematik/
(Abruf am: 18.09.2012)
• Prediger, S (2005): Wenn man Schwein gehabt hat, kann man zwei Dreien kriegen. Fallbeispiele zu
Überschneidungseffekten bei stochastischen Vorstellungen. In: Beiträge zum Mathematikunterricht
2005 online.
http://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/cms/media/BzMU/BzMU2005/Beitraege/prediger-
gdm05.pdf (Abruf am 11.01.2012)
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