Klausurtermin(laut Prüfungsamt)
ProbeklausurProbeklausur
Freitag, 13. Juni 2003statt Vorlesung
TESTS
TESTS
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TESTSTESTS
TESTS
TESTS
Worum es geht
Man möchte „testen“, ob eine bestimmteAnnahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht.
Beobachtung(Stichprobe)
EntscheidungEntscheidungVorgabe:
„Irrtumswahr-scheinlichkeit“
Formulierung einer
Hypothese
Da man sich in der Statistik nie ganz sicher sein kann: Die „Irrtumswahr-scheinlichkeit“ sollteklein sein.
Mathematischer Rahmen ITESTS
Statistische Struktur
Testproblem(Hypothese)
Niveau
Gegeben sind:
Stetiger Fall Diskreter Fall
Theta
Mathematischer Rahmen IITESTS
TestTest gegeben durch:
Ablehnungsbereich
Teilmenge der Grund-gesamtheit :
Menge aller Beobachtungen ,die zur Ablehnung der Hypothese führen
Mathematischer Rahmen IIITESTS
Beobachtung (Stichprobe)(Stichprobe)
Entweder Oder
Beobachtung liegtim Annahmebereich
Beobachtung liegtim Ablehnungsbereich
Hypotheseannehmen!
Hypothese ablehnen!
Fehler erster und zweiter Art
Hypotheseakzeptiert
Hypotheseabgelehnt
Hypothesewahr
Hypothesefalsch
Entschei-Entschei-dungdung
RealitätRealität
Fehler 1. Art
Fehler 2. Art
Niveau und Macht
Obere Grenze für die Wahr-scheinlichkeit, einen FehlerFehler1. Art1. Art zu begehen
NiveauNiveau
1- Wahrscheinlichkeit, einenFehler 2. ArtFehler 2. Art zu begehen,wenn der wahre Parameter-wert in dem Punkt liegt
MachtMacht in einem
Punkt der Alter-native
2 Würfel
Fairer Würfel
Gezinkter Würfel
1/6
1/5
?
?
Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung
Neyman-Pearson-Test
Für einen Test mit
gilt immer:
Sei * ein Neyman-Pearson Test vom Niveau :
Jeder Test, der vom Niveau eines gegebenen Neyman-Pearson-Tests ist, besitzt
höchstens die Machthöchstens die Macht dieses Neyman-Pearson-Tests.
Approximative Konfidenzintervalleim Bernoulli-Fall II
Vereinfachung für großes n(n 100)
BeispielKaufhaus-Konzern
Kauf würde in Erwägung
gezogen
Kauf würde nicht in Erwägung
gezogen
572 1428
Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung
ZusammenhangKonfidenzintervalle - Tests
Gegeben sei ein KonfidenzintervallKonfidenzintervallC() vom Niveau
ist dann mit dem AblehnungsbereichAblehnungsbereich
Für eine einfache Hypothese
ein Test Test vom Niveau gegeben, denn:
Konfidenzintervalle
Intervallschätzung
Jeder Beobachtung wirdein Intervall C()
der reellen Zahlen zugeordnet
Niveau
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit.eine Beobachtung zu machen,für die der wahre Parameter
im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -
Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung
Rechenbeispiel
Stichprobe vom Umfang n = 5
3.5 7.2 5.0 4.3 7.9
Stichprobenfunktionen
Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe
1.Fall
2.Fall
3.Fall
4.Fall
5.Fall
6.Fall
18.28
BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe
2.Fall
5.Fall
Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung
Student-Verteilung
Testfür den Erwartungswert
Varianz bekannt
Fall Normalverteilung
Testfür den Erwartungswert
Varianz unbekannt
Fall Normalverteilung
Vergleich zweier unabhängigerStichproben I
Prüfgröße
n: Umfang der Stichprobe 1(Stichprobenvariable X)
m: Umfang der Stichprobe 2(Stichprobenvariable Y)
Ablehnungsbereich
bestimmt durch
Vergleich zweier unabhängigerStichproben II
Ausgangspunkt
Approximation
Prüfgröße
Ablehnungsbereich
bestimmt durch