• Was bedeutet „Reduziertes 2-Körper-Problem“?
• Die Polarform der Ellipse: Semilatus Rectum und Exzentrizität.
• Die 3 Bahnformen und Gesamtenergie E.
• Kennen Sie die drei Anomalien der Planetenbahnen?
• Was versteht man unter Apsidendrehung?
• Die relativistische Apsidendrehung
• Die 6 Bahnelemente der Planetenbahnen.
Inhalt – Kepler II
Zusammenfassung aus Herleitung
2-Körper-Problem
Ellipsengleichung mit Mittelpunkt in (0,0):
Eine Ellipse ist durch 2 Parameter bestimmt!
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte mit
x
y
3. Form einer Ellipse: 0 ≤ e < 1
Polarform: r(f) = p/(1 + e cos(f))
p
p = a(1 – e²)
Semilatus Rectum
Semilatus Rectum p und Exzentr. e
folgen aus Energie E & Drehimpuls J
Bewegung eines Planeten, Asteroiden oder Kometen wird
durch 2 zeitlich erhaltene Parameter bestimmt:
1. durch totale Energie E = T + V = const
E < 0 gebundene Systeme
2. durch Drehimpuls J = mr² dq/dt = const
Polarform einer Ellipse ist durch 2 Parameter bestimmt:
Semilatus Rectum p
Exzentrizität e (häufig auch e); e = 0 Kreisbahn.
pCJ
GmMm/1
2
2
2
)(
21
GmMm
EJe
Reduziertes 2-Körper-Problem
3 mögliche Bahnformen
Bewegung eines Planeten, Asteroiden oder Kometen wird
durch 2 zeitlich erhaltene Parameter bestimmt:
1. durch totale Energie E = T + V = const
E < 0 gebundene Systeme
2. durch Drehimpuls J = mr² dq/dt = const
Es sind 3 Fälle möglich:
1. E < 0: e < 1: gebundene Bahn: Ellipse oder Kreis
Satelliten, Planeten, Kometen, DSterne
2. E = 0: e = 1: Parabelbahn: z.B. Kometen aus
der Oortschen Wolke
3. E > 0: e > 1: Hyperbelbahn: Streubahn, z.B.
ein Weißer Zwerg aus der Milchstraße
Kepler-Gesetze im Kontext
• Kepler 1: “Die Planeten bewegen sich auf
elliptischen Bahnen mit der Sonne in einem Fokus.”
Johannes Kepler
(1571-1630)
Tycho Brahe/
Tyge Ottesen
Brahe de Knudstrup
(1546-1601)
10 e02/)( 22 EJGmMm
Kepler-Gesetze im Kontext
• Kepler 2: “Der Radius-Vektor zu einem Planeten
überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen”
• Kepler 3: “Das Quadrat der Umlaufperioden skaliert
mit der 3. Potenz der Halbachsen”
k
maP
322 4
2/)( qrdrdA 2/
dt
drr
dt
dA q
2
2q rA const
m
J
2
)(22
21
33
mmG
a
k
maP
Flächensatz Bahnperiode P
Das 3. Kepler-Gesetz folgt durch Integration
aus dem Flächensatz: Fläche(Ellipse) = ab
Beispiel: Komet Halley Perihel: 0,586 AE; Aphel: 35,082 AE
r = a(1 – e) = 0,586 AE;
ra = a(1 + e) = 35,082 AE.
a = (r + ra)/2 = 17,834 AE
e = 1 – r/a = 0,967
v² = (GMS/a)(2a/r – 1) = 49,95x106x59,86
v = 54,57 km/s
v²a = (GMS/a)(2a/ra – 1) = 49,95x106x0,017
va = 0,913 km/s
3. Kepler: P = 75,32 a (siderisch)
Anomalien im Kepler-Problem
Grafik: Wikipedia
M: mittlere Anomalie
E: exzentrische
Anomalie
q: wahre Anomalie
Kreis
Orbit
Orbit-Berechnung mit Kepler-Glg.
Gegeben ein Zeitpunkt t (als Julianisches Datum).
mittlere Anomalie M = n(t – t0); t0: Periheldurchgang.
Aus Lösung der Kepler-Gleichung folgt E (x,y).
Aus E folgt die wahre Anomalie q.
Damit ist der Bahnpunkt (r,q) bestimmt.
Umrechnen auf ekliptikale Koordinaten.
Translation auf geozentrisch ekliptikale Koordinaten.
Umrechnen auf geozentrisch äquatoriale Koordinaten.
Am Teleskop einstellen, auch in Stellarium benutzt.
2-Körper Orbit am Himmel Schwerpunkt läuft linear über Himmel
Bsp.: Sirius A+B: MA = 2 MS, MB = 1 MS
Die Apsidendrehung einer elliptischen
Umlaufbahn ist eine fortschreitende Drehung der
ganzen Bahn in der Bahnebene. Dabei dreht sich
die Apsidenlinie kontinuierlich, während Form
und Ebene der Bahn im Raum gleich bleiben. Je
nach Zentralkörper werden auch folgende
Bezeichnungen verwendet:
Periheldrehung, oder auch Präzession des
Perihels, wenn die Bahn die Sonne umläuft und
Perigäumsdrehung, wenn die Bahn die Erde
umläuft, also das Perigäum betrachtet wird.
Periastrondrehung, wenn es sich um Bahnen
in Doppelsternsystemen handelt.
Apsidendrehung der Ellipse
Eine Apsidendrehung entsteht, wenn ein
Himmelskörper auf seiner elliptischen Umlaufbahn
um einen Zentralkörper bestimmten äußeren
Störungen unterliegt. Wäre der Himmelskörper
einer Anziehungskraft ausgesetzt, welche streng
umgekehrt quadratisch mit der Entfernung vom
Zentralkörper abnimmt, so würde er sich exakt auf
einer Keplerellipse bewegen, deren Form, Lage und
Orientierung im Raum unverändert blieben.
Abweichungen vom streng umgekehrt-
quadratischen Kraftgesetz führen jedoch zu
verschiedenen Arten von Bahnstörungen, welche
Form, Lage und Orientierung der Bahn verändern
können. Eine dieser Bahnstörungen ist die
Apsidendrehung.
Ursache der Apsidendrehung
Eine mögliche Ursache für Abweichungen
vom idealen Kraftgesetz ist die Gegenwart
anderer Körper, welche zusätzliche
Gravitationskräfte auf den betrachteten
Himmelskörper ausüben. Im Falle der
Planetenbahnen ist der Einfluss der jeweils
anderen Planeten die Hauptursache für die
Periheldrehungen.
Zusätzlich unterliegen alle Planeten und
Asteroiden einer relativistischen Apsiden-
drehung, verursacht durch die Metrik der
RaumZeit. Sie wurde zum ersten Mal von
Albert Einstein 1915 für Merkur berechnet.
Eine andere Ursache kann in Abweichungen des Zentralkörpers
von der Kugelform liegen. Während ein exakt kugelsymmetrisch
aufgebauter ausgedehnter Körper dasselbe streng invers-
quadratische Gravitationsfeld erzeugen würde wie ein punktför-
miger Körper derselben Masse, führen unregelmäßige Masse-
verteilungen oder der Äquatorwulst abgeplatteter Zentralkörper
wiederum zu Abweichungen vom invers-quadratischen Kraftgesetz
und damit zu Bahnstörungen. Der Äquatorwulst der Erde verur-
sacht (neben anderen Bahnstörungen) Perigäumsdrehungen bei
künstlichen Erdsatelliten. Die Abplattung der Sonne verursacht
Periheldrehungen der Planetenbahnen, welche wegen der
Geringfügigkeit der Abplattung und des großen Abstandes der
Planeten jedoch wesentlich kleiner sind als die von den Planeten
untereinander verursachten Drehungen.
Schließlich kann das physikalisch reale Kraftgesetz auch grund-
sätzlich vom idealisierten invers-quadratischen Verhalten abwei-
chen. Gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie ist dies für die
Gravitationsfelder, denen die Planeten ausgesetzt sind, tatsächlich
der Fall (wenn auch nur in sehr geringem Ausmaß), so dass ein
weiterer Beitrag zu den Periheldrehungen der Planeten entsteht.
Planeten Apsidendrehung
Planet Tropisch
[° / Jh.]
Siderisch
[° / Jh.][´´/Jh.]
Merkur 1,556 0,159 = 572´´
Venus 1,402 0,005
Erde 1,720 0,323
Mars 1,841 0,444
Jupiter 1,613 0,216
Saturn 1,964 0,567
Uranus 1,486 0,089
Neptun 1,426 0,029
Apsidendrehung Merkurbahn
Periode: 88 Tage Apsidendrehung: 1850: Urbain Le Verrier 530`` /Jahrhundert 571,9``/Jahrhund. 280`` auf Venus 150`` auf Jupiter 100`` andere Plan. ------------------------- 43,11``/Jahrhund. als Diskrepanz
Le Verrier, der durch die Untersuchung unerklärter Anteile in den Bahnstörungen des Uranus bereits erfolgreich die Entdeckung Neptuns ermöglicht hatte, vermutete als Ursache der Diskrepanz bei Merkur eine Störung durch einen bislang unbekannten Planeten auf einer Bahn innerhalb der Merkurbahn. Dieser Planet erhielt den Namen Vulkan, konnte jedoch trotz ausgedehnter Suche – unter anderem während mehrerer Sonnenfinsternisse – nicht entdeckt werden. Ebenso konnte auch kein für die Störungen verantwortlicher sonnennaher Asteroidengürtel nachgewiesen werden. Andere verdächtigten den für das Zodiakallicht verantwortlichen Staubgürtel oder sahen zumindest einen Teil der Ursache in einer wegen ihrer Rotation abgeplatteten Gestalt der Sonne (siehe auch unten), blieben mit ihren Erklärungsversuchen aber letztlich ebenfalls erfolglos.
Gravitationsfeld Sonnensystem
Gravitationsfeld im Sonnensystem hat in metrischen Theorien
folgende Gestalt: sog. Robertson Parameter ß und g
Einstein: g 1 b ; Lorentz-Invarianz: h 4b g 3 0
Krümmung Nicht-Linear
Sonnenquadrupol
= 2,18 x 10-7
PPN Parameter:
Was messen g und b ? Der ppN Parameter g misst den Überschuss an räumlicher Krümmung, der durch eine Einheitsmasse erzeugt wird.
Der ppN Parameter b misst die Nicht-Linearität in der Superposition der Gravitationsfelder.
In der Einstein Theorie gilt: In einer Gravitationstheorie mit Skalarfeld (Brans-Dicke) treten Abweichungen auf.
gE = 1 = bE
Warum ist g interessant ? Welche Masse erzeugt Krümmung?
Ein langreichweitiges Skalarfeld würde die Einstein Theorie zu Fall bringen, ebenso das Äquivalenzprinzip (Verletzung der Universalität der physikalischen Konstanten!). Die genaue Abweichung hängt von der konkreten Theorie ab.
Im heutigen Universum erwartet man eine Abweichung von der Größenordnung
Alle Planeten unterliegen
Relativistischer Periheldrehung
Planet Theorie Beobachtung
Merkur 42,98`` / Jh. 43,11 +- 0,45`` / Jh.
Venus 8,6`` / Jh. 8,4 +- 4,8`` / Jh.
Erde 3,8`` / Jh. 5,0`` +- 1,2`` / Jh.
Mars 1,4`` / Jh. 1,5`` +- 0,15`` / Jh.
Icarus 10,3`` / Jh. 9,8`` +- 0,8`` / Jh.
Relativistische Periastrondrehung
ist in Pulsar-Systemen stark
a = Sonnenradius einige Grad pro Jahr
PSR1913+16: a = 1,95 Mio. km, e = 0,617, M1 = 1,441, M2 = 1,387 MS
Ellipsen schrumpfen durch
Graviationswellenabstrahlung
Merging von
Schwarzen Löchern &
Neutronensternen in 100 Mio. a
Genäherte Erdbahn-Ellipse Baryzentr. 1000 n.Chr. – 3000 n.Chr.
a = 1,000 002 61 AE – 0,000 005 62 AE T e = 0,016 711 23 - 0,000 043 92 T i = 0,000 015 31° - 0,012 946 82° T w = 102,937 681 93° + 0,323 273 64° T W = 0,0° L = 100,464 571 66° + 35.999,372 449° T
T = (JD – 2.451.545,0)/36.525
Merkur destabilisiert das Sonnensystem
Die Exzentrizität der Merkurbahn kann im Laufe der Zeit durch den Einfluss von Jupiter beträchtlich zunehmen (Resonanz), so dass die Merkurbahn bis an die Venus heranreicht. J. Laskar hat neue Berechnungen des Sonnensystems durchgeführt bis zu 5 Milliarden Jahre in die Zukunft (Nature 2009), unter Einbezug des Mondes und der ART. Dabei variierte er die Anfangsbedingungen um wenige cm insgesamt 2500 Simulationen. In 1% der Fälle erreicht die Merkurbahn eine wesentliche Zunahme der Exzentrizität! Dabei werden sogar alle terrestrischen Planeten (Merkur – Mars) innerhalb von 3 Gyr destabilisiert.
Berechnet man die Bewegung der Planeten unter dem Gravitationseinfluß der Sonne und der jeweils anderen Planeten über lange Zeiträume, so stellt man fest, dass das äußere Sonnensystem im Wesentlichen stabil, das innere Sonnensystem (Merkur, Venus, Erde, Mars) jedoch schwach chaotisch ist. Das bedeutet nicht, dass die Planeten irgendwann beginnen, regellos (also „chaotisch“) durch-einanderzulaufen. Es bedeutet lediglich, dass kleine Unsicherheiten in den Startbedingungen einer Langzeit-rechnung sich aufgrund der komplexen gravitativen Wechselwirkungen zwischen den Planeten aufschaukeln und schließlich der Vorhersagbarkeit Grenzen setzen. Eine Unsicherheit von beispielsweise 15 Metern in der Startposition der Erde führt nach 10 Millionen Jahren zu einer Unsicherheit von etwa 150 Metern und nach 100 Millionen Jahren zu einer Unsicherheit von etwa 150 Millionen Kilometern.
„Das Team von Laskar hat nun herausgefunden, dass Merkur langfristig sehr wohl die Umlaufbahnen der anderen Planeten stören könnte. Insgesamt 2501 verschiedene Szenarien haben die Forscher simuliert. In 25 davon kommt es zu einer dramatischen Veränderung des Merkur-Orbits, ein Szenario führt zum fatalen Crash der Erde. "Die Wahrscheinlichkeit einer starken Vergrößerung der Merkur-Exzentrizität ist ungefähr ein Prozent", schreiben die Forscher. Die Wahrscheinlichkeit einer Kollision Erde-Venus oder Erde-Mars sei jedoch schwer abzuschätzen. Klar ist allerdings: Sollte es zum Zeitpunkt der Kollision noch Leben auf dem blauen Planeten geben, dann wäre es damit danach endgültig vorbei.“
Erde-Venus-Crash in einigen Mrd. Jahren!
Weißer Zwerg mischt das Sonnen-system auf Am Ende würde die Sonne, falls sie diese Begegnung übersteht, allein ihre Bahn im Orion-Arm der Michstraße ziehen, ihre Planeten hätten sich in alle Winde zerstreut.
• Die Newton`sche Theorie der Gravitation konnte erfolgreich die drei Kepler-Gesetze ableiten. Es gibt jedoch 3 Bahnformen: Ellipse, Parabel, Hy
• Zusätzlich kann sie die beiden Konstanten im 2. und 3. Kepler-Gesetz durch die Drehimpuls-erhaltung J und Gesamtmasse M erklären!
• In der Einstein`schen Theorie der Gravitation sind die Kepler-Gesetze jedoch nur noch Näherungen im Newton`schen Limes.
• Hier treten Apsidendrehung und Schrumpfen durch Gravitationswellenabstrahlung auf.
• Alle Bahnelemente verändern sich mit der Zeit!
Fazit