Kapitel 20
Mehrgleichungs-Modelle: Konzepte
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Mehrgleichungs-Modelle
Modellierung von ökonomischen Prozessen, die simultan mehrere endogene Variable betreffen
Beispiele: Darstellung des Marktes für ein Produkt: Modell muss
Entwicklung von Menge und Preis repräsentieren Wirtschaftsraum umfasst Gütermarkt, Finanzmarkt, Arbeitsmarkt,
etc., die in Wechselwirkung stehen
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CAP-Modell
CAP-Modell (capital asset pricing model)
Ri: Erlös des i-ten Vermögenswertes
Ri - Rf = i(E{Rm} – Rf) + ui
mit
Rf: Erlös eines risikolosen Vermögenswertes
E{Rm}: erwarteter Erlös des optimalen Portfolios
Analyse von mehreren Werten:
ui repräsentieren gemeinsame Faktoren, haben gemeinsame Abhängigkeitsstruktur
Effiziente Nutzung der Information: gemeinsame Analyse
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Investitionsmodell
Grunfeld & Griliches (1958)
I = 1 + 2F + 3C + u
mit
I: Investitionen (gross investment)
F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
Daten für fünf Unternehmen, 1935-1954
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Marktmodell
für ein Produkt, z.B. Schweinefleisch
Qd = 1 + 2P + 3Y + u1 (Nachfragefunktion)
Qs = 1 + 2P + 3Z + u2 (Angebotsfunktion)
Qd = Qs
mit
Qd: Nachfragemenge, Qs: Angebotsmenge, P: Preis des Produktes, Y: Einkommen, Z: Kosten der Produktion
oder
Q = 1 + 2P + 3Y + u1
Q = 1 + 2P + 3Z + u2
Modell bestimmt Q und P für gegebene Werte von Y und Z
Endogene Variable: Q, P; exogene Variable: Y, Z
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Klein‘s Modell 1
Ct = 1 + 2Pt + 3Pt-1 + a4(Wtp+ Wt
g) + ut1 (Konsum)
It = 1 + 2Pt + 3Pt-1 + 4Kt-1 + ut2 (Investitionen)
Wtp = 1 + 2Xt + 3Xt-1 + 4t + ut3 (Private Löhne und Gehälter)
Xt = Ct + It + Gt
Kt = It + Kt-1
Pt = Xt – Wtp – Tt
C (Konsumausgaben), P (Gewinne), Wp (Private Löhne und Gehälter), Wg (Öffentliche Löhne und Gehälter), I (Investitionen), K-1 (Kapitalbestand des Vorjahres), X (Produktion), G (Ausgaben der Öffentlichen Hand ohne Löhne und Gehälter), T (Steuern) und t [Zeit (Trend)]
Endogen: C, I, Wp, X, P, K; exogene: 1, Wg, G, T, t, P-1, K-1, X-1
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Typen von Mehrgleichungs-Modellen1. Mehrgleichungsmodelle mit (gemeinsamen) fixen Regressoren
(multivariates Regressionsmodell) Nachfrage nach Gütern durch Haushalte capital asset pricing model Modell für Investitionen von Unternehmen von Grunfeld-
Griliches2. Mehrgleichungsmodelle mit stochastischen (endogenen)
Regressoren (simultaneous equation model, interdependente Modelle)
Marktmodell Klein’s Modell
Kontemporär korrelierte Störgrößen
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Typen von Gleichungen
Reaktions- oder Verhaltensgleichungen: beschreiben das Verhalten einer abhängigen Variablen als Funktion von erklärenden Variablen
Definitorische Identitäten: definieren eine Variable als Summe anderer Variabler
Gleichgewichts-Bedingungen: postulieren Beziehungen, die als Gleichgewicht interpretiert werden können
Definitorische Identitäten und Gleichgewichts-Bedingungen enthalten keine Störgrößen!
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Schätzprobleme
Bei Mehrgleichungs-Modellen muss gerechnet werden mit Stochastischen Regressoren: abhängige Variable werden als
Regressoren verwendet Kontemporär korrelierten Störgrößen: die einzelnen Gleichungen
sind nicht voneinander unabhängig
Konsequenzen: OLS-Schätzer der Koeffizienten sind nicht konsistent, nicht
erwartungstreu!
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Zweigleichungs-Modell
in zwei abhängigen Variablen Y1 und Y2
Y1 = 1 + 2Y2 + 3X1 + u1 (Gleichung A)
Y2 = 1 + 2Y1 + 3X2 + u2 (Gleichung B)
1. Verletzung der Annahme 4 (Exogenität der Regressoren): Effekt eines positiven Wertes u1:
Wert von Y1 wird vergrößert (siehe Gleichung A)
Aus Gleichung B folgt, dass dann der Wert von Y2 größer wird
Also: u1 und Y2 sind korrelierte Variablen
2. Verzerrte OLS-Schätzer: Überdurchschnittlich große Werte von Y1 werden oft (als Folge
positiver u1) gemeinsam mit großen Werten von Y2 beobachtet
2 wird überschätzt!
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Marktmodell: Eine Simulation
Mit 2 = – 1, 2 = 1, 3 = 1, 3 = 1 ergeben sich:
Q = – P + Y + u1 (Nachfrage)
Q = P + Z + u2 (Angebot)
Generieren der Daten in EViews:
Y = 20 + 10*nrnd
Z = 10 + 10*rnd
u1 ~ N(0,4), u2 ~ N(0,9)
Q = (Y + Z + u1 + u2 )/2, P = (Y – Z + u1 – u2)/2
OLS-Schätzung der beiden Gleichungen:
Q = 2.98 – 0.58*P + 0.80*Y; p(tP) = 0.037, p(tY) = 0.000, R2 = 0.84
Q = 3.52 + 0.77*P + 0.86*Z; p(tP) = 0.000, p(tY) = 0.000, R2 = 0.83
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Marktmodell, Forts.
Nachfragefunktion
Q = 1 + 2P + 3Y + u1 = x‘ + u1
mit x = (1, P, Y)‘, = (1, 2, 3)‘
Achtung! Endogene Variable P ist erklärende Variable:
plim (X'X)-1 X'u ≠ 0
Reduzierte Form:
Q = 11 + 12Y + 13Z + v1
P = 21 + 22Y + 23Z + v2
mit 11 = (1 2 – 2 1)/(2 – 2), v1 = (2 u1 – 2 u2)/(2 – 2), etc.
Die ij können konsistent geschätzt werden! Kann man aus Schätzern für ij auf Schätzer der i und i schließen?
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Schätzprobleme, Forts.
Zwei Fragestellungen: Identifizierbarkeit: Können – bei gegebener Struktur des Modells
und gegebenen Daten – die Parameter (konsistent) geschätzt werden?
Schätzverfahren: Welche – (neue?) – Schätzmethoden können bei Mehrgleichungs-Modellen angewendet werden, sodass gewünschte Eigenschaften der Schätzer sichergestellt sind?
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Typen von Variablen
Endogene Variable: Werden durch das Modell bestimmt Vollständiges Modell: Anzahl der Gleichungen ist so groß, wie die
Anzahl der endogenen Variablen
Exogene Variable: Sind von außerhalb des Modells bestimmt Können auch verzögerte endogene („vorherbestimmte“,
predetermined) Variable sein Wir unterscheiden:
Strikt exogene Variable: unkorreliert mit historischen, aktuellen und künftigen Störgrößen
vorherbestimmte Variable: unkorreliert mit aktuellen und künftigen Störgrößen
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Marktmodell, Forts.
Zwei Gleichungen:
Q = 1 + 2P + 3Y + u1 (Nachfragefunktion)
Q = 1 + 2P + 3Z + u2 (Angebotsfunktion)
bestimmen Q und P (endogene Variable)
außerhalb des Systems bestimmt: Y, Z
Offene Fragen: Rückkoppelung zwischen Q und Y? Z unabhängig von Q?
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SUR-Modell
seemingly unrelated regression
allgemeiner Fall des multivariaten Regressionsmodells
m Gleichungen
Yt1 = x‘t11 + ut1
…
Ytm = x‘tmm + utm
mit Var{uti} = i2 für i = 1,…,m; Cov{uti,utj} = ij ≠ 0 für i ≠ j , i,j = 1,…,m
(kontemporär korrelierte Störgrößen)
Regressoren können für die Gleichungen unterschiedlich sein
Mehrgleichungs-Modell mit gemeinsamen Regressoren:
xti = xt für i = 1,…,m
Vereinfachung des SUR-Modells (vergl. das CAP-Modell)
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Investitionsmodell, Forts.
I = 1 + 2F + 3C + u
I: InvestitionenF: Marktwert des Unternehmens am Ende der VorperiodeC: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
General Motors:
I = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78Chrysler:
I = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28General Electric:
I = -9.96 + 0.027*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.88
Investitionen sind auch bestimmt von allgemeiner Konjunktur!
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SUR-Modell, Notation
m = 2 mit n-Vektoren yi, ui, (nxki)-Matrix Xi:
yi = Xi i + ui, i = 1, 2
Var{uti} = i2, Cov{ut1,ut2} = 12, t = 1,…,n
mit 2n-Vektoren
oder mit
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
y X uy
y X u
y X u 21 12
212 2
{ } n nV Var u I I
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Kronecker-Produkt
Definition:
Ordnung: npxmq
11 1 11 1
1 1
11 1 11 11 1 1
1 1 1
,m q
n nm p pq
m m q
n nm n p nm pq
a a b b
A B
a a b b
a B a B a b a b
A B
a B a B a b a b
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Interdependente Mehrgleichungs-ModelleStrukturform: Darstellung der Beziehung zwischen endogenen
Variablen einerseits und exogenen und vorherbestimmten Variablen andererseits entsprechend der ökonomischen Theorie.
Reduzierte Form: Darstellung der Abhängigkeit der endogenen von den vorherbestimmten Variablen
Koeffizienten der Strukturform: Interpretation als Strukturparameter im Sinn der
ökonomischen Theorie Reduzierten Form: Interpretation als impact multiplicator; geben
Effekt der Änderung der vorherbestimmten Variablen auf abhängige Variable an
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Marktmodell, Forts.
Strukturform
Qt = 1 + 2Pt + 3Yt + ut1 (Nachfragefunktion)
Qt = 1 + 2Pt + 3Zt + ut2 (Angebotsfunktion)
ut = (ut1,ut2)‘: bivariates Weißes Rauschen
Matrixnotation: A yt = zt + ut
mit yt = (Qt, Pt)‘, zt = (1, Yt, Zt)‘
21 12
212 2
{ }tVar u
1 32
2 1 3
01,
1 0A
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Marktmodell, Forts.
Reduzierte Form
yt = A-1zt + A-1ut = zt + vt
mit
In Langform:Qt = 11 + 12Yt + 13Zt + vt1
Pt = 21 + 21Yt + 23Zt + vt2
3 2 2 31 2 2 1
2 2 2 2 2 2
3 31 1
2 2 2 2 2 2
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Strukturform
m abhängige Variable (und Gleichungen), K Regressoren:
Ayt = zt + ut
mit m-Vektoren yt und ut, K-Vektor zt, (mxm)-Matrix A, und (mxK)-Matrix
Struktur des Mehrgleichungs-Modells: (A, , )
Strukturparameter: Elemente von A und Normalisierte Matrix A: ii = 1 für alle i
Vollständiges Mehrgleichungs-Modell: A ist quadratisch und invertierbar
Rekursives Mehrgleichungs-Modell: A hat Dreiecksform; die endogenen Variablen beeinflussen sich nur in einer Richtung
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Identifizierbarkeit
Fragestellung: Können aus den Schätzern der Parameter der reduzierten
Form konsistente Schätzer der Strukturparameter abgeleitet werden?
Können mit den exogenen und vorherbestimmten Variablen als Instrumente Instrumentvariable für die erklärenden endogenen Variablen bestimmt werden?
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Marktmodell, Forts.
Aus 13 = – 23/(2 – 2) und 23 = – 3/(2 – 2) ergibt sich
a2 = p13/p23
als Schätzer für 2 aus den OLS-Schätzern p13 und p23 für 13 und 23
Analog ergeben sich
a3 = p22(b2 – a2), a1 = p11 – p21a2
die Koeffizienten der Nachfragefunktion lassen sich in eindeutiger Weise aus den konsistenten Schätzern der ij bestimmen; die Nachfragefunktion ist identifizierbar
Analog ergibt sich für die Koeffizienten der Angebotsfunktion
b2 = p12/p22, b3 = – p23(b2 – a2), b1 = p11 – p21b2
auch die Angebotsfunktion ist identifizierbar
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Modifiziertes Marktmodell
Qt = 1 + 2Pt + 3Yt + ut1 (Nachfragefunktion)
Qt = 1 + 2Pt + ut2 (Angebotsfunktion)Koeffizienten der reduzierten Form:
11 = (12 – 21)/(2 – 2), 12 = 32/(2 – 2)
21 = (1– 1)/(2 – 2), 22 = 3/(2 – 2)
1. Angebotsfunktion:
b2 = p12/p22, b1 = p11 – p21b2
die Angebotsfunktion ist identifizierbar 2. Nachfragefunktion: für drei Koeffizienten gibt es nur zwei
Gleichungen
a1 = p11 – p21a2, a3 = p22(b2 – a2)es existiert keine eindeutige Lösung. Die Funktion ist nicht identifizierbar; sie ist unteridentifiziert
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Noch ein Marktmodell
Qt = 1 + 2Pt + 3Yt + 3Zt + ut1 (Nachfragefunktion)
Qt = 1 + 2Pt + ut2 (Angebotsfunktion)
1. Angebotsfunktion:
b2 = p12/p22, b2 = p13/p23
für beide Lösungen ergibt sich
b1 = p11 – p21b2
die Angebotsfunktion ist identifizierbar; man sagt, die Angebotsfunktion ist überidentifiziert
2. Die Nachfragefunktion ist unteridentifiziert
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Identifizierbarkeit: Kriterien
Identifizierbarkeit einer Gleichung bedeutet, dass eine Anzahl von Modell-Variablen aus der Gleichung
ausgeschlossen sind („ Nullrestriktionen“) oder eine andere Restriktion zutrifft
Punktrestriktion: ein Koeffizient hat einen bestimmten Wert, z.B. den Wert Null
Gleichungen in den Koeffizienten, linear oder nicht-linear Restriktion für Elemente von
Überprüfen der Nullrestriktionen Abzähl- oder Ordnungs-Bedingung Rang-Bedingung
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Ordnungs-Bedingung
Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren :
Ayt = zt + ut
mit (mxm)-Matrix A, (mxK)-Matrix
i-te Gleichung: mi: Anzahl der erklärenden endogenen Variablen
mi*: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen endogenen Variablen (mi* = m – mi – 1)
Ki*: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen vorherbestimmte Variablen (Ki* = K – Ki)
Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn
Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi
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Ordnungs-Bedingung: InterpretationOrdnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn
Ki* + mi* ≥ m – 1 oder Ki* ≥ mi
d.h., wenn die Anzahl der ausgeschlossenen Variablen (Ki* + mi*)
mindestens so groß ist wie die um Eins verminderte Anzahl der endogenen Variablen (m – 1)
die Anzahl der ausgeschlossenen vorherbestimmten Variablen (Ki*) mindestens so groß ist wie die Anzahl der erklärenden endogenen Variablen (mi)
Achtung! Die Ordnungs-Bedingung ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Identifizierbarkeit einer Gleichung
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Modifiziertes Marktmodell, Forts.
Qt = 1 + 2Pt + 3Yt + ut1 (Nachfragefunktion)
Qt = 1 + 2Pt + ut2 (Angebotsfunktion)
m = 2 (Q, P), K = 2 (1, Y);
1. Nachfragefunktion (i = 1):
m1* = 0, m1 = 1, K1* = 0, K1 = 2
die Ordnungs-Bedingung ist nicht erfüllt: K1* = 0 < m1 = 1 (oder K1* + m1* = 0 < m – 1 = 1); die Nachfragefunktion ist nicht identifiziert
2. Angebotsfunktion (i = 2):
m2* = 0, m2 = 1, K2* = 1, K2 = 1
die Ordnungs-Bedingung ist erfüllt: K2* = 1 = m2 = 1 (oder K2* + m2* = 1 = m – 1 = 1); die Angebotsfunktion ist identifizierbar
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Rang-Bedingung
Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren :
Ayt = zt + ut
mit (mxm)-Matrix A, (mxK)-Matrix
i-te Gleichung: Streichen der i-ten Zeile ergibt A*: durch Streichen aller Spalten in A, die in i-ter Zeile einen
von Null verschiedenen Koeffizienten haben *: durch Streichen aller Spalten in , die in i-ter Zeile einen
von Null verschiedenen Koeffizienten haben
Rang-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn
r(A*|*) ≥ m – 1
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IS-LM-Modell
Ct = 11 – 14Yt + ut1 C: Konsum; I: Investitionen, R: Zins-
It = 21 – 23Rt + ut2 satz, Y: Einkommen, M: Geldmenge,
Rt = – 34Yt + 32Mt + ut3 Z: autonome Ausgaben
Yt = Ct + It + Zt endogen: C, I, R, Y; exogen: 1, M, Z
Erste Gleichung: Ordnungs-Bedingung: K1 = 2 = m1 = 2; Rang-Bedingung: die folgende Matrix hat den Rang 3 = m -1
Beide Bedingungen sind erfüllt; die 1. Gleichung ist identifizierbar
23
* *32
1 0 0
0 1 0
1 0 0 1
A
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Praxis der Idenfizierbarkeitsprüfung1. Ein Mehrgleichungs-Modell ist identifizierbar, wenn jede seiner
Gleichungen identifizierbar ist2. Gleichungen, die die Ordnungs-Bedingung erfüllen, erfüllen
meist auch die Rang-Bedingung3. Kleine Modelle sind meist leicht nach beiden Kriterien prüfbar;
bei umfangreichen Modellen ist die Identifizierbarkeit der Gleichungen meist kein Problem (Modell enthält viele vorherbestimmten Variable)
4. Soll ein Regressor eliminiert werden? Bei Eliminieren ist Gleichung eher identifizierbar Nicht Eliminieren kann fälschliche Identifizierbarkeit anderer
Gleichungen zur Folge haben5. Weitere Gleichung in identifizierbarem Modell: das neue
Modell ist identifizierbar, wenn mindestens eine neue Variable verwendet wird