2.1Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Didaktik der GeometrieModul 5: Fachdidaktische Bereiche
Jürgen Roth
2.2Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Inhalt
Didaktik der Geometrie
1 Ziele und Inhalte
2 Begriffsbildung
3 Konstruieren
4 Argumentieren und Beweisen
5 Problemlösen
6 Entdeckendes Lernen
2.3Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Kapitel 2: BegriffsbildungDidaktik der Geometrie
2.4Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Inhalt
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.1 Was macht einen Begriff aus?
2.2 Wie lernt man einen Begriff?
2.3 Unterrichtsphasen beim Erarbeiten zentraler Begriffe
2.4 Begriffe klassifizieren
2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
2.6 Objektbegriffe: Dreieck und Viereck
2.7 Abbildungsbegriffe: Kongruenzabbildungen
2.8 Winkelbegriff
2.5Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.1 Was macht einen Begriff aus?Kapitel 2: Begriffsbildung
2.6Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Was ist ein Begriff?
Begriffe sind die Bausteine des Wissens,charakterisieren eine ganze Klasse von Objekten,werden gewonnen durch
Konstruktion (genetische Definition), Spezifikation aus einem Oberbegriff (charakterisierende Definition),
verdichten Informationen,organisieren das Verhalten, sind die Grundlage der sprachlichen Kommunikation, beeinflussen die Leistungen des Gedächtnisses und das Problemlösen.
2.7Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Begriffe und ProblemlösenBegriffe als …
Quelle von Problemstellungen
Mittel zum Präzisieren von Problemstellungen
Lösungshilfen für Probleme
Lösungen von Problemen
Mittel zur Sicherung von Problemlösungen
Begriff: Umkreis Welche Polygone besitzen einen Umkreis?
„Wann sind Figuren ähnlich?“Begriff: Ähnlichkeitsabbildung
DreieckskonstruktionBegriff: Ortslinie
Schnittfläche beim Schneiden einer WurstBegriff: Ellipse
Wo liegen die Orte, von denen man eine Strecke unter einem rechten Winkel sieht?Begriff: Thaleskreis
2.8Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Rolle von Begriffen
Vollrath, Roth (2012): Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe.
Spektrum Akademischer Verlag, S. 227f
2.9Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.2 Wie lernt man einen Begriff?Kapitel 2: Begriffsbildung
2.10Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Modelle langfristigen Begriffslernens: Lernen …
durch ErweiterungNeue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim Operieren mit bisherigen Objekten stößt. → Vertrautes erscheint in neuem Licht.Beispiele:
Erarbeitung des FlächeninhaltsbegriffsDrehung als doppelte Achsenspiegelung
als Ersteigen von StufenReflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens führt zu Wissen höherer Qualität. → Höhere StufeVgl. Stufen des Begriffsverständnisses
Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 119ff
2.11Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Viereck
symmetr.TrapezParallelo-
gramm
Raute
Quadrat
Rechteck
Drachen-viereck
Stufen des Begriffsverständnisses
Intuitives BegriffsverständnisDer Begriff als Phänomen.Beispiele (er)kennen.
Inhaltliches BegriffsverständnisDer Begriff als Träger von EigenschaftenEigenschaften kennen.
Integriertes BegriffsverständnisDer Begriff als Teil eines BegriffsnetzesBeziehungen von Eigenschaften untereinander und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen.
Formales BegriffsverständnisEinbettung des Begriffs in einen axiomatischen Aufbau der Geometrie.Beispiele: (1) Gesetzmäßigkeiten bewiesen.
(2) Gleichwertigkeit verschiedener Definitionen erkennen.
Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 119ff
Seiten
Rechteck
2.12Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vorgänge beim Lernen geometrischer Begriffe
Aufbau angemessener Vorstellungen (mentaler Modelle) durchHandlungenan konkreten ObjektenWahrnehmungenan Gegenständen und BildernBeschreibungenvon geometrischen Objekten (z.B. Kopfgeometrie)
Erwerb von KenntnissenKenntnis charakteristischer Eigenschaften.
Aneignung von FähigkeitenKonstruieren von FigurenBerechnen von Längen, Flächen- & RauminhaltenFähigkeit zum Problemlösen
Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 103-111
2.13Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Verstehen eines Begriffs
Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie
Bezeichnung des Begriffs kennen,
Beispiele angeben und jeweils begründen können, warum es sich um ein Beispiel handelt,
Gegenbeispiele angeben und begründen können, weshalb etwas nicht unter den Begriff fällt,
charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen (Dies umfasst die Fähigkeit zur Angabe von Definitionen.),
Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen,
mit dem Begriff arbeiten können (z. B. beim Konstruieren und beim Problemlösen).
2.14Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Erarbeiten eines Begriffs
Erfahrungen zum Begriff sammelnHandlungen (enaktive Repräsentation)
Objekte darbietenBeispiele für Begriffe (ikonische Repräsentation)
Merkmale entdeckenPrinzip der VariationPrinzip des KontrastsSprache (benennen, beschreiben)
2.15Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Erarbeiten eines Begriffs
Definition erarbeitenGenetische DefinitionCharakterisierende Definition
Oberbegriff angebenDefinierende Eigenschaft notwendige und hinreichende Bedingung für den Begriff
Kritisch ReflektierenDefinition durch möglichst „schwache“ ForderungBezeichnung
Herkunftevtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache
Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 111-115
Präsenzübung:Geben Sie für den Begriff Parallelogramm mehrere verschiedene Definitionen an.
2.16Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.3 Unterrichtsphasen beim Erarbeiten zentraler Begriffe
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.17Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Unterrichtsphasen bei zentralen Begriffen
EinstiegIn einem geeigneten Problemkontext können erste Vorstellungen vom Begriff entwickelt werden.
ErarbeitungUmfang und Inhalt des Begriffs herausarbeiten.
SicherungErgebnisse festhaltenLernerfolg überprüfen (z. B. Beispiele und Gegenbeispiele für den Begriff identifizieren lassen)
VertiefungQuerverbindungen zu anderen Begriffen herstellenSpezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachten(Z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften)Anwendungen …
2.18Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
RelationsbegriffTangente an einen Kreis
EinstiegWie viele Punkte können ein Kreis und eine Gerade gemeinsam haben?
ErarbeitungLagemöglichkeiten von Gerade und Kreis untersuchen.
SicherungErgebnisse festhalten
Passante ⇒ keine gem. PunkteTangente ⇒ ein BerührpunktSekante ⇒ 2 Schnittpunkte(Zentrale ⇒ Sekante durch M)
Lernerfolg überprüfenTangente zeichnen!
https://www.geogebra.org/m/WWf7MvD3
2.19Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Beispiel: Tangente an einen Kreis
Vertiefung:Besitzt die Figur aus Kreis und Tangente eine Symmetrieachse?Ja! ⇒ Tangente steht senkrecht auf dem Berührpunktradius.Wie kann man die Tangente konstruieren?
https://www.geogebra.org/m/WWf7MvD3
2.20Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
M P
Beispiel: Tangente an einen Kreis
Vertiefung:Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P?Skizziere Sie!Wie kann man die Tangenten konstruieren?
2.21Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.4 Begriffe klassifizierenKapitel 2: Begriffsbildung
2.22Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Welche Arten geometrischer Begriffe gibt es?
Inhaltliche EinteilungFigurenbegriffeAbbildungsbegriffeMaßbegriffe
Logische EinteilungObjektbegriffe (bzw. Eigenschaftsbegriffe)RelationsbegriffeFunktionsbegriffe
Axiomatische EinteilungGrundbegriffe
Kein Grundbegriff sollte mit Hilfe anderer Grundbegriffe definiert werden können!
definierte Begriffe
Strukturelle EinteilungEin geometrischer Objekt-oder Abbildungsbegriff heißt invariant gegenüber einer Abbildungsgruppe 𝐺𝐺, falls jede Abbildung aus 𝐺𝐺 den Umfang des Begriffs auf sich abbildet.
2.23Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Inhaltliche Einteilung geometrischer Begriffe
EbeneBegriffe
Räum-licheBegriffe
Figurenbegriffe Abbildungsbegriffe MaßbegriffeGerade
VieleckKreis
parallelkongruent
achsensymmetrisch
Strecke
Ebene
Kugelparallel
kongruentebenensymmetrisch
Geradenspiegelung
Kongruenzabbildungzentrische Streckung
Drehung (Punkt)
Ebenenspiegelung
Kongruenzabbildungzentrische Streckung
Drehung (Achse)
Länge
FlächeninhaltWinkelgröße
Volumen
2.24Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Logische Einteilung geometrischer Begriffe
Objektbegriffe Relationsbegriffe Funktionsbegriffe
beschreiben Beziehungen
zwischen geometrischen
Figuren.
Relation in einer
Figurenmenge
Relation zwischen zwei
Figurenmengen
Objekte einer Grundmenge G
(z. B. ebene Figuren, räumliche Figuren,
bijektive Abbildungen)
die gemeinsame Eigenschaften
besitzen, lassen sich zu einer Untermenge
zusammenfassen, die den Umfang eines Objektbe-griffs in G bildet.
Die wichtigsten Funktionsbegriffe in der Geometrie sind
die Maßbegriffe. (Länge, Winkelmaß,
Flächeninhalt & Volumen)
Sie sind Funktionen, deren
Definitionsbereich eine spezielle
Figurenmenge und deren Zielmenge eine Menge von
Größen ist.
2.25Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Relationsbegriffe in einer Figurenmenge (Beispiele)
Relation Figurenmenge
ist kongruent zu
ist ähnlich zu
ist zerlegungsgleich zu
ist parallel zu
ist orthogonal zu
ist Wechselwinkel zu
Figuren der Ebene oder des Raumes
Figuren der Ebene oder des Raumes
Vielecke oder Körper
Geraden der Ebene oder des Raumes;Ebenen des Raumes
Geraden der Ebene oder des Raumes;Ebenen des Raumes
Winkel der Ebene
2.26Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Relationsbegriffe zwischenzwei Figurenmengen
Relation Vorbereich
ist orthogonal zu
ist Tangente an
hat als Tangente
ist Mittelsenkrechte von
hat als Mittelsenkrechte
ist Umkreis von
Geraden im Raum
Geraden
Kreise
Geraden
Strecken
Kreise
hat als Umkreis Dreiecke
Nachbereich
Ebenen
Kreise
Geraden
Strecken
Geraden
Dreiecke
Kreise
2.27Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Funktionsbegriffe
Funktion Definitionsmenge
hat als Mittelsenkrechte
hat als Umkreis
LängenmaßfunktionWinkelmaßfunktion
Flächeninhaltsfunktion
Volumenmaßfunktion
Menge d. Strecken
Menge d. Dreiecke
Menge d. StreckenMenge d. Winkel
Menge d. Vielecke
Polyeder
Für diese Maßfunktionen ist in den jeweiligen Mengen eine Addition „+“ und eine Kleinerrelation „<“definiert. Diese Struktur ist zur Struktur der nichtnegativen reellen Zahlen bzgl. Addition undKleinerrelation isomorph. Zahlnamen können zur Bezeichnung der Größen benutzt werden.
Zielmenge
Menge d. Geraden
Menge d. Kreise
Menge d. LängenMenge der WinkelmaßeMenge der FlächeninhalteMenge der Volumina
2.28Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.29Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Inhalt
2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
2.5.1 Grundvorstellungen als Basis und Bezugsnorm
2.5.2 Diagnostische Kompetenz
2.5.3 Kernideen des Messens
2.5.4 Grundlegende Strategien zur Flächen- und Rauminhaltsmessung
2.5.5 Themenkreis Flächeninhalt
2.5.6 Rauminhaltsbegriff
2.30Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.5.1 Grundvorstellungen als Basis und Bezugsnorm
2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
2.31Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
HeMaS-Konzept
Siller/Roth (2016). Herausforderung Heterogenität: Grundvorstellungen als Basis & Bezugsnorm − das Beispiel Terme. PM 70, S.2-8
Lernen im Gleichschritt
Individualisiertes Lernen
Diff
eren
zier
en
Kompetenzerfahrung
Diagnose Selbst-regulation
Kompetenzaufbau
Arbeits-weisen
Schüler-aktivierung
Grundvor-stellungen
Wissensspeicher
Grund-wissen
Grund-fertigkeiten
2.32Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Definition der Begriffe
Grundvor-stellungen
• Tragfähige mentale Modelle für einen Begriff oder ein Verfahren
Grund-wissen
• Für einen Inhaltsbereich grundlegende Fakten (Begriffsdefinitionen, Formeln, Sätze, …)
• Sollten auswendig gewusst werden
Grund-fertig-keiten
• Anwendung von Routinekalkülen
• Anwendung des Grundwissens in einer typischen Situation (geforderte Operation vorgeben)
Wichtige.Grundlagen
für das Verstehen.
2.33Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Grundfertigkeiten
Beispiel: Grundfertigkeiten zu den Kernideen des Messens (vgl. Folie 56)
Maßeinheit festlegen bzw. nutzen können Einheitsquadrat, Handspanne, Bleistift, Meter, …
Zu messende Größe mit der Maßeinheit auslegen können
Die zum Auslegen benötigte Anzahl der gewählten Maßeinheit (strukturiert) zählen können
Die Maßeinheit bei Bedarf sinnvoll verfeinern können
Umfang der Tischplatte messen!
2.34Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Wissensspeicher
Was soll in den Wissensspeicher aufgenommen werden?Grundvorstellungen organisieren Grundwissen und Grundfertigkeiten
Häufig auftretende ProblemeZu viel Nicht alles ist Grundwissen!Zu schwer Basiswissen: Weiteres
kann erarbeitet werden.Zu unstrukturiert Wichtigkeit von Grundvorstellungen
Diese Fragen könne die Auswahl erleichtern:Was wird in (fast) jeder Mathematikstunde benötigt?Was braucht man um den Alltag zu bestehen?Was halten alle Kolleg/inn/en der Fachschaft für Grundwissen?(Schnittmenge bilden!)
2.35Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Kernpunkte des Grundvorstellungskonzepts
Grundvorstellungenrepräsentieren abstrakte Begriffe anschaulich,ermöglichen Verbindungen zwischenMathematik und Anwendungssituationen,zu einem mathematischen Begriff sind inhaltliche Deutungen des Begriffs, die diesem Sinn geben.
Zwei Typen von GrundvorstellungenPrimäre Grundvorstellungen Sekundäre Grundvorstellungen
vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7
2.36Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Primäre Grundvorstellungen
vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014). Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7
Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen
2.37Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Sekundäre Grundvorstellungen
Dargestellt mit mathematischen Repräsentationenvom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7
https://www.geogebra.org/m/GxfP39GY
Beispiel:Zuordnung bei Maßfunktionen(Nutzung der Kernideen des Messens vgl. Folie 56)
2.38Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Ziele beim Ausbilden von Grundvorstellungen
• Anknüpfen an bekannte Situationen oder Handlungsvorstellungen
Sinnzusammenhänge herstellen
• Ermöglichen mentales operieren mit ihnen
Aufbau visueller Repräsentationen
• Erkennen der Struktur in Sachzusammenhängen
• Modellieren des Phänomens mit Hilfe der mathematischen Struktur
Fähigkeit zur Anwendung des Inhalts auf die
Wirklichkeit
Roth, J. & Siller S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, S. 2-8
2.39Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.5.2 Diagnostische Kompetenz2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
2.40Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Diagnostische Kompetenz (DK)
Diagnostische Kompetenz hilft Lernprozesse zu gestaltenDK ist „ein Bündel von Fähigkeiten, um
den Kenntnisstand, die Lernfortschritte und die Leistungsprobleme
sowie die Schwierigkeiten verschiedener Lernaufgaben
im Unterricht fortlaufend beurteilen zu können,
sodass das didaktische Handeln auf diagnostischen Einsichten aufgebaut werden kann.“
Weinert (2000). Lehren und Lernen für die Zukunft - Ansprüche für das Lernen in der Schule, Päd. Institut Bad Kreuznach, S. 16
Schüler-diagnose
Aufgaben-diagnose
Unterrichts-handeln
einzelner Schüler,
2.41Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Prozess des Diagnostizierens
Geeignete Daten sichten / selbst erheben
Förderrelevante Beobachtungen beschreiben
Beobachtungen differenziert deuten
Ursachen ergründen
Konsequenzen für Förderung ableiten
Beretz, von Aufschnaiter & Lengnink (2016). Bearbeitung diagnostischer Aufgaben durch Lehramtsstudierende. In Maurer [Hrsg.]Implementation fachdidaktischer Innovation im Spiegel von Forschung und Praxis. Gesellschaft für Didaktik der Chemie und Physik
Jahrestagung in Zürich 2016. Regensburg: Universität Regensburg 2017, S. 244-247
2.42Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.5.3 Kernideen des Messens2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
2.43Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Rechtecksflächeninhalt 𝒂𝒂,𝒃𝒃 ∈ ℕ
FlächenmessungAuslegen mit Einheitsquadraten𝑏𝑏 Reihen, zu je 𝑎𝑎 Einheitsquadraten ⇒ 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏
Vgl. Benz, Peter-Koop, Grüßing (2015). Frühe mathematische Bildung. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum. S. 234f
𝟏𝟏 𝐋𝐋𝐋𝐋²
𝒂𝒂
𝒃𝒃
Kernideen des Messens
(1) Maßeinheit finden bzw. nutzen
(2) Mit der Maßeinheit auslegen
(3) Maßeinheiten zählen (4) Maßeinheit ggf.
verfeinern
2.44Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Schülerschwierigkeiten bei der Flächen- und Volumenmessung
Begriffsverständnis Maßbegriffe
Umfang (Länge) ↔ FlächeninhaltFlächeninhalt ↔OberflächeninhaltVolumen (Rauminhalt) ↔ Oberflächeninhalt
FigurenbegriffeOberfläche ↔ FlächeWürfel ↔ QuadratWürfel ↔ RechteckWürfel ↔ Quader
Formeln aufstellen und nutzen 𝐴𝐴 = 2 ⋅ 400 𝑚𝑚 + 𝑓𝑓+2 ⋅ (𝑓𝑓 + 𝑙𝑙 + 𝑏𝑏)
Einheiten und Umrechnungs-faktoren
𝐴𝐴 = 600 cm= 6 m2
Kadunz; Sträßer (2007). Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe I. Hildesheim: Franzbecker, S. 205
2.45Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.5.4 Grundlegende Strategien zur Flächen- und Rauminhaltsbestimmung
2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
2.46Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Strategien zur Flächen- und Rauminhaltsbestimmung
Indirekter Vergleich mit einem Objekt als Vermittler
Direkter Vergleich
Vergleichdurch
Zerlegenbzw.
Ergänzen
Messendurch aus-legen mit selbst-
gewählterMaßeinheit
Berechnendurch
Anwenden von
Formeln
Kernideen des Messens(1) Maßeinheit finden/nutzen(2) Mit Maßeinheit auslegen(3) Maßeinheiten zählen(4) Maßeinheit ggf. verfeinern
Messendurch aus-legen mit vorge-
gebenerMaßeinheit
Vergleichen Messen Berechnen
2.47Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vergleichen: Direkter Vergleich
2.48Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vergleichen: Zerlegen
2.49Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vergleichen: Zerlegen
2.50Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vergleichen: Zerlegen
2.51Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vergleichen: Ergänzen
𝒄𝒄²𝒃𝒃²
𝒂𝒂²
2.52Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4
2
31
3
1
4
2
Vergleichen: Ergänzen
𝒄𝒄²𝒃𝒃²
𝒂𝒂²
2.53Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vergleichen: Ergänzen
3
1
4
2
𝒄𝒄²
4
2
31
𝒃𝒃²𝒂𝒂²
4
2
31
𝒃𝒃²𝒂𝒂²
2.54Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vergleichen: Ergänzen
3
1
4
2
𝒄𝒄²
4
2
31
𝒃𝒃²𝒂𝒂²
4
2
31
𝒃𝒃²𝒂𝒂²
2.55Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vergleichen: Indirekter Vergleich
2.56Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vergleichen: Indirekter Vergleich
2.57Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Messen: Auslegen mit selbstgewählter Maßeinheit
2.58Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Messen: Auslegen mit standardisierter Maßeinheit
2.59Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Berechnen: Anwenden einer Formel
𝒍𝒍
𝒃𝒃
𝒉𝒉𝑽𝑽𝑸𝑸𝑸𝑸𝒂𝒂𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 = Länge ⋅ Breite ⋅ Höhe
= 𝒍𝒍 ⋅ 𝒃𝒃 ⋅ 𝒉𝒉
2.60Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Videovignetten zur Analyse von Unterrichtsprozessen
Bartel & Roth (2017). Diagnostische Kompetenz von Lehramtsstudierenden fördern − Das Videotool ViviAn. In Leuders et al. (Hrsg.): Mit Heterogenität im Mathematikunterricht umgehen lernen − Konzepte und Perspektiven für eine zentrale Anforderung an die
Lehrerbildung. Springer: Wiesbaden, 2017
http://vivian.uni-landau.de
Schülerebene
Arbeitsauftrag
Schüler-dokumente
Materialien
Lernumgebung: Thema und Ziele Metaebene
Schülerprofile
Diagnose-auftrag
S4
S2
S1
S3
Zeitliche Einordnung
2.61Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.5.5 Themenkreis Flächeninhalt2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
2.62Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Themenkreis Flächeninhalt
Seitenlängenaus ℝ+
Zerlegungs-gleichheit
Ergänzungs-gleichheit
Flächen-messung
Flächen-vergleich
Axiome des Flächeninhalts
Flächeninhalt?!
Seitenlängenaus ℕ
Seitenlängenaus ℚ+
2.63Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Stufen bei der Behandlung von Größen
1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln
2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten
3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter Maßeinheiten
ein drittes Objekt als Vermittler benutzenein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen
4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten
5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten
6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen
7. Stufe: Rechnen mit Größen
Franke, M. (2003): Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. Spektrum Akademischer Verlag, S. 201-215
2.64Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Axiome des Flächeninhalts
NichtnegativitätDie Maßzahl 𝐴𝐴 des Flächeninhalts ist nichtnegativ. (𝐴𝐴 ≥ 0)
NormierungEin Quadrat der Seitenlänge 1 LEhat den Flächeninhalt 𝐴𝐴 = 1 LE2.
AdditivitätDer Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegt werden kann.
KongruenzaxiomKongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt.
1 LE
1 LE
1 LE2
2.65Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Rechtecksflächeninhalt 𝒂𝒂,𝒃𝒃 ∈ ℕ
FlächenmessungAuslegen mit Einheitsquadraten𝑏𝑏 Reihen, zu je 𝑎𝑎 Einheitsquadraten ⇒ 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏
Vgl. Benz, Peter-Koop, Grüßing (2015). Frühe mathematische Bildung. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum. S. 234f
𝟏𝟏 𝐋𝐋𝐋𝐋²
𝒂𝒂
𝒃𝒃
Kernideen des Messens
(1) Maßeinheit finden bzw. nutzen
(2) Mit der Maßeinheit auslegen
(3) Maßeinheiten zählen (4) Maßeinheit ggf.
verfeinern
2.66Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Rechtecksflächeninhalt 𝒑𝒑𝒒𝒒
, 𝑸𝑸𝒔𝒔∈ ℚ+
IdeeEin Rechteck mit den Kanten-längen 𝑝𝑝
𝑞𝑞, 𝑟𝑟𝑠𝑠∈ℚ lässt sich nicht
mit Einheitsquadraten auslegen.Verfeinern der Einteilung beiderKantenlängen führt zu 𝑝𝑝�𝑠𝑠
𝑞𝑞�𝑠𝑠, 𝑟𝑟�𝑞𝑞𝑠𝑠�𝑞𝑞
∈ℚ.
In das Einheitsquadrat passenfolglich 𝑞𝑞 � 𝑠𝑠 � 𝑞𝑞 � 𝑠𝑠 = 𝑞𝑞 � 𝑠𝑠 2
kleine Teilquadrate. (Im Beispiel: 3 � 5 � 3 � 5 = 3 � 5 2 = 152 = 225)
Ein Teilquadrat besitzt also den Flächeninhalt 1
𝑞𝑞�𝑠𝑠 2 LE² = 1225
LE².
Flächenmessung Auslegen mit Teilquadraten ergibt 𝑝𝑝 � 𝑠𝑠 Zeilen mit je 𝑟𝑟 � 𝑞𝑞 Quadraten.
𝐴𝐴 = 𝑝𝑝 � 𝑠𝑠 � 𝑟𝑟 � 𝑞𝑞 � 1𝑞𝑞�𝑠𝑠 2 = 𝑝𝑝�𝑠𝑠 � 𝑟𝑟�𝑞𝑞
𝑞𝑞�𝑠𝑠 2 = 𝑝𝑝�𝑠𝑠�𝑟𝑟�𝑞𝑞𝑞𝑞�𝑠𝑠�𝑞𝑞�𝑠𝑠
= 𝑝𝑝�𝑟𝑟𝑞𝑞�𝑠𝑠
= 𝑝𝑝𝑞𝑞� 𝑟𝑟𝑠𝑠
𝑝𝑝𝑞𝑞
=23
𝑟𝑟𝑠𝑠 =
45 =
4 � 35 � 3 =
𝑟𝑟 � 𝑞𝑞𝑠𝑠 � 𝑞𝑞
=2 � 53 � 5
=𝑝𝑝 � 𝑠𝑠𝑞𝑞 � 𝑠𝑠
2.67Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Rechtecksflächeninhalt 𝒂𝒂,𝒃𝒃 ∈ ℝ+
𝑎𝑎1 𝑎𝑎2
𝑎𝑎3𝑎𝑎4
𝐴𝐴1𝐴𝐴2
𝐴𝐴3𝐴𝐴4
𝒂𝒂
𝐵𝐵1𝐵𝐵2𝐵𝐵3
𝐵𝐵4
𝑏𝑏1
𝑏𝑏2𝑏𝑏3
𝑏𝑏4𝒃𝒃
𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑛𝑛;𝐴𝐴𝑛𝑛𝑏𝑏 = {[𝑏𝑏𝑛𝑛;𝐵𝐵𝑛𝑛]}mit𝑎𝑎𝑛𝑛, 𝑏𝑏𝑛𝑛,𝐴𝐴𝑛𝑛,𝐵𝐵𝑛𝑛∈ℚ+
⇒ {[𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛;𝐴𝐴𝑛𝑛𝐵𝐵𝑛𝑛]} = 𝑎𝑎𝑏𝑏ist eine Intervallschachtellungfür den Flächeninhalt
2.68Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
TangramZerlegungsgleichheit
http://www.juergen-roth.de/dynageo/tangram/katze.html
2.69Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
TangramZerlegungsgleichheit
2.70Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Flächeninhaltsbestimmung
RechteckFlächenmessung, d. h. Auslegen mit Einheitsquadraten (bzw. Intervallschachtelung)
DreieckFlächenvergleich mit dem Rechteck
PolygonTriangulierung (Einteilen in Dreiecke)
KreisIntervallschachtelung
http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/dreiecke/6-f.html
g
h
A B
C
A
B
C
h
2.71Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Kreisinhaltsbestimmung
https://www.geogebra.org/m/cQHqmekc#chapter/1938
2.72Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Flächeninhalt der Antarktis
Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt.
Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist.
(Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.)
PISA-Aufgabe
0200 400 600 800
1000
Kilometer
2.73Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Idee: „Auslegen“ mit Einheitsquadraten
Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt.
Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist.
(Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.)
PISA-Aufgabe
0200 400 600 800
1000
Kilometer
Fläche mit Schelfeistafeln:13 975 000 km2
2.74Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Idee: Vergleichen mit einer einfachen Fläche
Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt.
Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist.
(Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.)
PISA-Aufgabe
0200 400 600 800
1000
Kilometer
Fläche mit Schelfeistafeln:13 975 000 km2
2.75Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Parallelogramm
https://www.geogebra.org/m/zxtgysfc
A B
D C
A B
D C
2.76Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Parallelogramm
A B
CD EFParallelogramme, die in der Länge einer Seite und der zugehörigen Höhe überein-stimmen sind zerlegungsgleich.
Beweisidee: Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ~ Δ𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
A B
CDEF
Voraussetzung: 𝐵𝐵𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵𝐴𝐴 ≠ ∅
2.77Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Parallelogramm
𝑨𝑨 𝑩𝑩
𝑪𝑪𝑫𝑫
2.78Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Flächeninhaltsbestimmung beim Trapez
2.79Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Flächeninhaltsbestimmung beim Trapez
𝒄𝒄
𝒂𝒂
𝒉𝒉 𝒉𝒉
𝐴𝐴𝑇𝑇𝑟𝑟𝑇𝑇𝑝𝑝𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝑃𝑃𝑇𝑇𝑟𝑟𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝐴𝐴𝐷𝐷𝑟𝑟𝑇𝑇𝐷𝐷𝑇𝑇𝐷𝐷𝐷𝐷= 𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉 + 1
2(𝒂𝒂 − 𝒄𝒄) ⋅ 𝒉𝒉
= 𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉 + 12𝒂𝒂 ⋅ 𝒉𝒉 − 1
2𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉
= 12𝒂𝒂 ⋅ 𝒉𝒉 + 1
2𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉 = 𝒂𝒂+𝒄𝒄
2⋅ 𝒉𝒉
2.80Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Flächeninhaltsbestimmung beim Trapez
𝒄𝒄
𝒂𝒂
𝒉𝒉 𝒉𝒉
𝐴𝐴𝑇𝑇𝑟𝑟𝑇𝑇𝑝𝑝𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝐷𝐷𝑟𝑟𝑇𝑇𝐷𝐷𝑇𝑇𝐷𝐷𝐷𝐷1 + 𝐴𝐴𝐷𝐷𝑟𝑟𝑇𝑇𝐷𝐷𝑇𝑇𝐷𝐷𝐷𝐷2= 1
2𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉 + 1
2𝒂𝒂 ⋅ 𝒉𝒉
= 𝒂𝒂+𝒄𝒄2⋅ 𝒉𝒉
2.81Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.5.6 Rauminhaltsbegriff2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
2.82Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Rauminhaltsbegriff
HerleitungWeitgehend analog zum FlächeninhaltsbegriffAber: Satz von Dehn beachten!
Satz von Dehn (vgl. Text!)Zwei rauminhaltsgleiche Polyeder sind im Allgemeinen weder zerlegungs- noch ergänzungsgleich.
Quadervolumen
Volumen Dreiecksprisma
Volumen gerades Prisma
Videos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie
http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf
2.83Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Rauminhaltsbegriff
Zylindervolumen PyramidenvolumenVgl. Text!
Videos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie
http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf
2.84Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Rauminhaltsbegriff
Satz von Cavalieri (vgl. Text!)Zwei Körper gleicher Höhe sind volumengleich, wenn sie in jeweils gleicher Höhe flächen-gleiche Querschnitte haben.
Text lesen!Prinzip von CavalieriSatz von DehnVolumen der PyramideKugelvolumen/Kugeloberfläche
KugelvolumenHerleitung über den Satz von Cavalieri (vgl. Text)
Videos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie
http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf
2.85Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Kugelvolumen
https://www.geogebra.org/m/a7SkNSWh
𝑸𝑸 𝑸𝑸
𝒉𝒉 𝒉𝒉
𝒉𝒉
𝝆𝝆
𝑸𝑸45°
2.86Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Kugelvolumen
https://www.geogebra.org/m/a7SkNSWh
Es muss noch gezeigt werden, dass die Flächeninhalte der Schnittflächen in der Höhe ℎ in beiden Körpern gleich groß sind. 𝐴𝐴Schnittfläche = 𝜌𝜌2 ⋅ 𝜋𝜋
= 𝑟𝑟2 − ℎ2 ⋅ 𝜋𝜋𝐴𝐴Schnittfläche = 𝑟𝑟2 ⋅ 𝜋𝜋 − ℎ2 ⋅ 𝜋𝜋
= 𝑟𝑟2 − ℎ2 ⋅ 𝜋𝜋
Nach dem Prinzip von Cavalieri gilt also:𝑉𝑉Halbkugel = 𝑉𝑉Zylinder − 𝑉𝑉Kegel = 𝐺𝐺 ⋅ 𝑟𝑟 −
13⋅ 𝐺𝐺 ⋅ 𝑟𝑟
=23⋅ 𝐺𝐺 ⋅ 𝑟𝑟 =
23⋅ 𝑟𝑟2𝜋𝜋 ⋅ 𝑟𝑟 =
23⋅ 𝑟𝑟3𝜋𝜋 ⇒ 𝑉𝑉Kugel =
43⋅ 𝑟𝑟3𝜋𝜋
𝑸𝑸 𝑸𝑸
𝒉𝒉 𝒉𝒉
𝒉𝒉
𝝆𝝆
𝑸𝑸45°
2.87Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Exkurs: Netze von KörpernVideos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie
http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf
2.88Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.6 Objektbegriffe: Dreieck und Viereck
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.89Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Haus der ViereckeStrukturierung: Seiten & Winkel
http://www.juergen-roth.de/dynageo/vierecke/viereck_begriffshierarchie.html
Viereck
Trapez
Drachen-viereck
symmetr.Trapez
Parallelo-gramm
Quadrat
Rechteck Raute
… ist Oberbegriff des …
2.90Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
… ist Oberbegriff des …Symmetrieachse (durch die Seitenmitten)
Symmetrieachse (durch die Eckpunkte)
Symmetriezentrum (Punktsymmetrie)
Drehzentrum (Drehwinkel: Vielfache von 90°)
Haus der ViereckeStrukturierung: Symmetrie
Viereck
symmetr.TrapezParallelo-
gramm
Raute
Quadrat
Rechteck
Drachen-viereck
2.91Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Haus der ViereckeStrukturierung: Innenwinkel
Parallelo-gramm
Viereck
Trapez Sehnen-viereck
Rechteck
… ist Oberbegriff des …
2.92Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
ObjektbegriffeDreiecksgrundformen
Dreiecksbegriffe rechtwinkligspitzwinkligstumpfwinkliggleichschenkliggleichseitig
als „bewegliche“ Strukturen aufbauen.
„Merkbild“Im Merkbild sind Bewegungen kondensiert.Wissensabruf benötigt Bewegliches Denken
ZielBegriffe deutlich flexibler verfügbar machen als mit statischen Prototypen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/index.html
www.geogebra.org/m/NRtMBwUJ
2.93Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Gleichschenklige Dreiecke
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/
α β
γ
A B
C75 °
45 °60 °
4,5 cm 3,6 cm
5 cm
1) Bewege den Punkt 𝐵𝐵 so, dass Dreiecke entstehen, diea) gleichschenklig mit |𝐴𝐴𝐵𝐵| = |𝐵𝐵𝐵𝐵| sind,b) gleichschenklig mit |𝐴𝐴𝐵𝐵| = |𝐴𝐴𝐵𝐵| sind,c) gleichschenklig mit |𝐵𝐵𝐵𝐵| = |𝐴𝐴𝐵𝐵| sind.
2) Angabe von Kurven (Begründung)
3) Widerlegen bzw. vertrauens-bildende Maßnahme durch Binden von 𝐵𝐵an die Kurven.
4) Beobachtung der Innenwinkel → Basiswinkelsatz
5) Gleichseitige Dreiecke
2.94Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Dreiecksgrundformen„Merkbild“
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/dreiecksgrundformen_zusammenschau.html
www.geogebra.org/m/NRtMBwUJ
2.95Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Eckpunkt wandertauf einer Kurve
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/eckpunkt_auf_parabel.html
2.96Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Prüfungsaufgabe
Roth (2011). Computerwerkzeuge und Prüfungen – Probleme, Lösungsansätze und Chancen.
In: Kortenkamp et al. (Hrsg.): Computerwerkzeuge und Prüfungen (S. 67-79). Hildesheim: Franzbecker
𝑼𝑼
𝑽𝑽𝑾𝑾
Aufgabe
Der Punkt 𝑽𝑽wird entlang der eingezeichneten Kurve nach links unten bewegt.
Welche Dreiecksgrund-formen nimmt das Dreieck 𝑼𝑼𝑽𝑽𝑾𝑾 dabei der Reihe nach an?
2.97Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Objektbegriffe im Alltag
2.98Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.7 AbbildungsbegriffeKapitel 2: Begriffsbildung
2.99Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Kongruenzabbildungen
http://www.mcescher.com/
2.100Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Kongruenzabbildungenhttp://www.uni-koeln.de/math-nat-fak/didaktiken/mathe/Projekte/VisuPro/
http://www.juergen-roth.de/dynageo/bewegungen/bewegungen.html
2.101Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Achsenspiegelung und Drehung
https://www.geogebra.org/m/tkxfmrku
2.102Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Punktspiegelung
2.103Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Verschiebung und schiefe Achsenspiegelung
Achtung: Die schiefe Achsen-spiegelung ist keine Kongru-enzabbildung! Sie dient als
Kontrastbeispiel!
2.104Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Typen von Kongruenzabbildungen
α2
A
A′
g
A
A′
Z
A
α
A'
A*
A′
s
v→
v→
v→ A
A'A
Z
v→Geradenspiegelung
Drehung
Punktspiegelung
ParallelverschiebungSchub-spiegelung
α
2.105Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Kongruenzabbildungen?
http://www.juergen-roth.de/dynageo/bewegungen/bewegungen.html
2.106Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Kongruenzabbildungen?
http://www.juergen-roth.de/dynageo/bewegungen/bewegungen.html
2.107Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Hierarchie der Ähnlichkeitsabbildungen
Ähnlichkeitsabbildung
Umwendung(ungleichsinnig)
(echte) Bewegung(gleichsinnig)
Drehung Verschiebung
zentrischeStreckung Kongruenzabbildung
Punkt-spiegelung
Geraden-spiegelung
(echte) Gleit-spiegelung
… ist Oberbegriff der …
2.108Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Zentrische Streckung
https://www.geogebra.org/m/chThYhGT
2.109Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.8 WinkelbegriffKapitel 2: Begriffsbildung
2.110Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Thaleskreis – Winkeltypen
https://www.geogebra.org/m/ckw8eaky
2.111Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Winkelbegriffe
elementar-geometrisch
Winkel einesungeordnetenPaares von
Halbgeradenin
unorientierterEbene,
bestimmtzwischen 0° und
180°
analytisch-geometrisch
Winkel einesgeordnetenPaares von
Geradenin
orientierterEbene,
bestimmtmod π
gonio-metrisch
Winkel einesgeordnetenPaares von
Halbgeradenin
orientierterEbene,
bestimmtmod 2π
stereo-metrisch
Winkel einesungeordnetenPaares von
Geradenin
unorientierterEbene,
bestimmtzwischen 0° und
90°
2.112Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Winkelbegriffe
Die Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge zweier Halbebenen,deren Randgeraden sich in einem Punkt 𝑺𝑺 schneiden, heißtspitzer bzw. überstumpfer Winkel.Eine Halbgerade nennt man auch Nullwinkel, eine Halbebeneauch gestreckter Winkel.
Durch eine Gerade 𝒈𝒈 werden in der Zeichenebenezwei Halbebenen bestimmt. Eine Halbebene ist dieMenge aller Punkte, die auf einer Seite von 𝒈𝒈liegen, einschließlich 𝒈𝒈 selbst.
𝑺𝑺 𝑺𝑺