ISBN: 978-3-8085-5559-0 (Buch)ISBN: 978-3-8085-5829-4 (E-Book)
Der Titel erscheint in der Edition Harri Deutsch des Verlages Europa-Lehrmittel.
Kinematik und KinetikArbeitsbuch mit ausführlichen Aufgabenlösungen, Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Antworten
von Gerhard Knappstein
4. Auflage
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 55583
knappstein-kinematik_titelei.indd 1 25.06.2014 13:36:00
Der Autor Dipl.-Ing. Gerhard Knappstein war nach seiner Ausbildung zum Werk-zeugmacher und dem Maschinenbaustudium als Konstrukteur und Be-rechnungsingenieur in der Industrie tätig. Er ist Mitarbeiter im Fachbereich Maschinenbau – Fachgebiet Technische Mechanik – an der Universität Siegen.
4. Auflage 2014Druck 5 4 3 2 1
ISBN 978-3-8085-5559-0
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlä-gen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung.
© 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.de
Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 RadevormwaldDruck: Medienhaus Plump GmbH, 53619 Rheinbreitbach
knappstein-kinematik_titelei.indd 2 25.06.2014 13:36:00
Vorwort Studierende der Ingenieurwissenschaften stellen sehr schnell fest, dass zum richtigen Verstehen und Einordnen der theoretischen Grundlagen des Mechanikfachs Kinematik und Kinetik das selb-ständige Lösen von Aufgaben unverzichtbar ist. Oft glauben Übende, die gelernten Formeln und Lehrsätze verstanden zu haben, doch in Wirklichkeit haben sie keineswegs alle ihre Anwendungs-bedingungen und Konsequenzen erfasst.
Das vorliegende Arbeitsbuch ist als Ergänzung zu den Vorlesungen gedacht und bietet die notwendigen Grundbegriffe und Formeln, zahlreiche ausführlich gelöste Übungsaufgaben sowie Fragen und Antworten zum Überprüfen der Kenntnisse.
Alle wichtigen Teilgebiete der Kinematik und Kinetik werden behandelt und sind so struktu-riert, dass in jedem Kapitel die drei Komponenten Grundbegriffe und Formeln, Aufgaben mit Lösungen sowie Fragen und Antworten aufeinander folgen. Dadurch besteht eine ausgewogene Verbindung von Theorie und gelösten Übungsaufgaben.
Der Inhalt des Buches beschränkt sich bewusst auf das Notwendige und ist durch viele Bilder leicht verständlich, so dass die Studierenden schnell erkennen, worauf es ankommt und den Über-blick behalten. Überhaupt habe ich mit Zeichnungen nicht gespart, da Studierende dadurch viel schneller und besser über schwierige Sachverhalte "im Bilde" sind, als das je mit Text geschehen könnte.
Zur bestmöglichen Nutzung des Buches empfehle ich, in Verbindung mit den Vorlesungen zunächst das Wesen der wichtigsten Grundbegriffe und Grundformeln zu studieren, und dann zu versuchen, die Aufgaben selbständig zu lösen. Oft ist es auch hilfreich, die Aufgaben, Lösungen, Fragen und Antworten in der Gruppe zu bearbeiten und zu diskutieren.
Da die Erfahrung zeigt, dass viele Studienanfänger den Weg von der Problemstellung zur Lö-sung verlieren, wenn man ihn nicht systematisch anlegt, sind ergänzend Leitlinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben als grundsätzliches Lösungsverfahren angegeben.
In der vorliegenden 4. Auflage habe ich zusätzlich zur Formelsammlung der Kinematik und Kinetik noch Formelsammlungen zur Statik und zur Festigkeitslehre aus meinen gleichlautenden Büchern aufgenommen, so dass jetzt alle wichtigen Formeln für das Grundlagenfach Technische Mechanik wiedergegeben sind. Das Buch erscheint erstmals in der Edition Harri Deutsch des Verlags Europa-Lehrmittel. Siegen, 2014 Gerhard Knappstein
Leserkontakt
Autoren und Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Str. 23 42781 Haan-Gruiten [email protected] http://www.europa-lehrmittel.de
knappstein-kinematik_titelei.indd 4 25.06.2014 13:37:50
Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes 1
1.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 1 1.1.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung ................................................................... 11.1.2 Kinematische Diagramme ........................................................................................ 21.1.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (gleichförmige Bewe-
gung) ........................................................................................................................ 21.1.4 Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung oder gleichmäßig verzögerte Bewegung) .............................................. 31.1.5 Ungleichförmig beschleunigte Bewegung ............................................................... 3
1.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 5
Aufgabe 1.1 Freier Fall ................................................................................................... 5Aufgabe 1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug ...................................................... 6Aufgabe 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs .................................................... 7Aufgabe 1.4 Auffahrunfall zweier Fahrzeuge ................................................................ 9Aufgabe 1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Strecken .............................. 11Aufgabe 1.6 Punktmasse über Seil an Gleitstein gekoppelt ........................................... 13Aufgabe 1.7 Parallelprojektion einer Kreisbewegung .................................................... 16
1.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 19
2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes 21
2.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 21 2.1.1 Ebene Bewegung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem .............................. 212.1.2 Ebene Bewegung in natürlichen Koordinaten; Tangential- und Normalbeschleuni-
gung .......................................................................................................................... 222.1.3 Bewegung auf kreisförmiger Bahn; Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleuni-
gung, gleichförmige Kreisbewegung, gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung . 242.1.4 Beschreibung der Bewegung in Polarkoordinaten ................................................... 262.1.5 Räumliche Punktbewegung ...................................................................................... 26
2.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 28
Aufgabe 2.1 Ebene Punktbewegung in Parameterdarstellung ........................................ 28Aufgabe 2.2 Bewegung des Schnittpunktes zweier Geraden ......................................... 29
VI Inhaltsverzeichnis
Aufgabe 2.3 Räumliche Bahnkurve ................................................................................ 30Aufgabe 2.4 Rollendes Rad auf horizontaler Unterlage ................................................. 32Aufgabe 2.5 Punktbewegung auf ebener Kurve ............................................................. 35Aufgabe 2.6 Ziehen eines Bootes über einen Kanal ....................................................... 36Aufgabe 2.7 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe ............................. 38Aufgabe 2.8 Kreisbewegung eines Punktes ................................................................... 39Aufgabe 2.9 Kreisförmige Kurvenfahrt eines Zuges....................................................... 40Aufgabe 2.10 Entgegengesetzte Punktbewegungen auf einer Kreisbahn ........................ 42Aufgabe 2.11 Bremsscheibe ............................................................................................. 44Aufgabe 2.12 Schwungscheibe ......................................................................................... 45Aufgabe 2.13 Rotierende Schleifenschwinge ................................................................... 46Aufgabe 2.14 Roboter ....................................................................................................... 47
2.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 48 3 Kinematik des starren Körpers 51
3.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 51 3.1.1 Translation und Rotation sowie Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ........ 513.1.2 Ebene Bewegung des starren Körpers (mit Hinweisen auf die Bewegung im
Raum), Momentanpol, Geschwindigkeit und Beschleunigung ............................... 52 3.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 56
Aufgabe 3.1 Rechtwinkliger Kreuzschieber ................................................................... 56Aufgabe 3.2 Dreieckscheibe ........................................................................................... 58Aufgabe 3.3 Beschleunigte rollende Kreisscheibe ......................................................... 59Aufgabe 3.4 Kette einer Planierraupe ............................................................................ 61
3.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 64
4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme 67
4.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 67 4.1.1 Dynamisches Grundgesetz (Massenpunkt) .............................................................. 674.1.2 Prinzip von D'ALEMBERT (Massenpunkt) ................................................................. 684.1.3 Impulssatz (Massenpunkt) ....................................................................................... 694.1.4 Arbeit, Energie, Leistung (Massenpunkt) ................................................................ 704.1.5 Energiesatz und Arbeitssatz (Massenpunkt) ............................................................ 724.1.6 Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz beim Massenpunktsystem ........................ 73
4.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 76
Aufgabe 4.1 Anschieben eines Autos ............................................................................. 76Aufgabe 4.2 Antriebskraft einer Straßenbahn ................................................................ 76Aufgabe 4.3 Ebene Massenpunktbewegung in Parameterdarstellung ........................... 77Aufgabe 4.4 Beschleunigte Bewegung und schiefe Ebene ............................................ 79
Inhaltsverzeichnis VII
Aufgabe 4.5 Drei miteinander verbundene Massen ....................................................... 80Aufgabe 4.6 Bremsung eines Krans ............................................................................... 82Aufgabe 4.7 Fall eines Transportguts ............................................................................. 83Aufgabe 4.8 Massenpunkt an kreisförmiger Wand ........................................................ 85Aufgabe 4.9 Massenpunkt auf rauer Unterlage .............................................................. 87Aufgabe 4.10 Sprung aus einem fahrenden Boot ............................................................. 88Aufgabe 4.11 Arbeit eines Gepäckträgers ........................................................................ 89Aufgabe 4.12 Aufprall eines beladenen Wagens .............................................................. 89Aufgabe 4.13 Reibscheibenkupplung ............................................................................... 90Aufgabe 4.14 Abbremsung auf rauer Unterlage ............................................................... 91Aufgabe 4.15 Bewegung auf rauer schiefer Ebene .......................................................... 92Aufgabe 4.16 Reibungsfreie horizontale Bewegung eines Massenpunktes ..................... 93
4.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 94
5 Kinetik starrer Körper 97
5.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 97 5.1.1 Translation ............................................................................................................... 975.1.2 Rotation um eine feste Achse .................................................................................. 975.1.3 Massenträgheitsmomente ......................................................................................... 995.1.4 Auswuchten von Rotoren ......................................................................................... 1065.1.5 Ebene Bewegung des starren Körpers ..................................................................... 107
5.1.5.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz .......................................................................... 1075.1.5.2 Prinzip von D'ALEMBERT .............................................................................. 1085.1.5.3 Energiesatz und Arbeitssatz ......................................................................... 109
5.1.6 Räumliche Bewegung starrer Körper ....................................................................... 1105.1.6.1 Schwerpunktsatz, Drallsatz .......................................................................... 110
5.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 112
Aufgabe 5.1 Rotierender -förmig gebogener Körper .................................................. 112Aufgabe 5.2 Massenträgheitsmoment von Kreisringsegment mit konstanter Dicke ..... 113Aufgabe 5.3 Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel ..................................... 114Aufgabe 5.4 Auswuchten eines starren Rotors ............................................................... 115Aufgabe 5.5 Gekoppelte Körper auf schiefer Ebene ...................................................... 119Aufgabe 5.6 Rollende Walze .......................................................................................... 121Aufgabe 5.7 Fördersystem aus Rollen und Seil ............................................................. 124Aufgabe 5.8 Schweres Seil auf Windentrommel ............................................................ 127Aufgabe 5.9 System aus zwei Körpern und einer Rolle ................................................. 128Aufgabe 5.10 Drehbarer Stab ........................................................................................... 129
5.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 131
VIII Inhaltsverzeichnis 6 Schwingungen 133
6.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 133 6.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen ........................................................................... 1376.1.2 Federn und Federnschaltungen ................................................................................ 1406.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen ............................................................................... 141
6.1.3.1 Das logarithmische Dekrement (Dämpfungsdekrement) ............................. 1436.1.4 Erzwungene Schwingungen ..................................................................................... 144
6.1.4.1 Krafterregung oder Erregung über eine Feder (Federkrafterregung) ........... 1446.1.4.2 Unwuchterregung ......................................................................................... 147
6.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 149
Aufgabe 6.1 Taktmesser (Metronom) .............................................................................
149
Aufgabe 6.2 Rollschwinger ............................................................................................ 149Aufgabe 6.3 Schwingsystem aus Kreisscheibe und Feder ............................................. 150Aufgabe 6.4 Scheibe mit Feder ...................................................................................... 151Aufgabe 6.5 Dünner Stab mit Feder ............................................................................... 153Aufgabe 6.6 Schwingende Kreisscheibe ........................................................................ 154Aufgabe 6.7 Masse mit Balken und Stäben .................................................................... 156Aufgabe 6.8 Feder-Masse-Dämpfer-System .................................................................. 158Aufgabe 6.9 Ausschwingversuch ................................................................................... 159Aufgabe 6.10 Federkrafterregtes System ......................................................................... 160Aufgabe 6.11 Harmonisch erregtes Federende ................................................................ 161Aufgabe 6.12 Schwinger mit Erregerkraft ....................................................................... 163Aufgabe 6.13 Unwuchterregte Maschine ......................................................................... 165
6.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 167
7 Stoßvorgänge 169
7.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 169
7.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 173Aufgabe 7.1 Stoß auf horizontaler Unterlage ................................................................. 173Aufgabe 7.2 Stoß auf schiefer Ebene ............................................................................. 174Aufgabe 7.3 Stoß gegen drehbar gelagerten Körper ...................................................... 176Aufgabe 7.4 Stoß zwischen Pendel und drehbarem Stab ............................................... 178
7.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 180
8 Relativbewegung 181
8.1 Grundbegriffe und Formeln ............................................................................................... 181
Inhaltsverzeichnis IX
8.2 Aufgaben mit Lösungen .................................................................................................... 185Aufgabe 8.1 Mit dem Boot über einen Fluss .................................................................. 185Aufgabe 8.2 Gleitstein in radialer Führung einer rotierenden Scheibe .......................... 186Aufgabe 8.3 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe ............................. 188Aufgabe 8.4 Radiale Punktbewegung auf einem drehbaren Stab .................................. 190Aufgabe 8.5 Fliehkraftpendel ......................................................................................... 191
8.3 Fragen und Antworten ....................................................................................................... 193
Leitlinien zum Lösen von Aufgaben aus Kinematik und Kinetik 194 Anhang: Zusammenstellung der Formeln (Formelsammlung) 196
A1 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes ...................................................... 196A2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes ................................................... 197A3 Kinematik des starren Körpers .......................................................................................... 203A4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme ............................................... 205A5 Kinetik starrer Körper ....................................................................................................... 211A6 Schwingungen ................................................................................................................... 218A7 Stoßvorgänge ..................................................................................................................... 222A8 Relativbewegung ............................................................................................................... 224
Das griechische Alphabet .............................................................................................................. 227Vorsätze und Vorsatzzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Einheiten ........................... 227Einheitennamen und Einheitenzeichen ......................................................................................... 228Einige Formeln aus der Mathematik ............................................................................................. 229
Einige Grundlagen und Formeln aus der Statik ………………………………………….….
S1 Kräfte, Lagerungen, Freimachen, Axiome, Schnittprinzip ……………..….…………… S2 Zentrales Kräftesystem …………………………………………………………………..S3 Allgemeines Kräftesystem ……………………………………………………………….S4 Ebenes Fachwerk ………………………………………………………………………...S5 Schnittgrößen am Balken ……………………………………………...………………... S6 Schwerpunkt ……………………………………………………………………………..S7 Haftung und Reibung ……………………………………...……………………………. S8 Biegeschlaffes Seil ………………………………………………………………………
230
230235238241243245249250
X Inhaltsverzeichnis
Einige Grundbegriffe und Formeln der Festigkeitslehre ……………………………………
F1 Einheiten; Spannungen …………………………………………………………………..F2 Verformungen ……………………………………………………………………………F3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen ……………………...…….. F4 Zug und Druck in Stäben ………………………………………………………………...F5 Flächenträgheitsmomente; Lage der Hauptachsen; Widerstandsmomente ……………...F6 Biegung ……………………………………………………………………...………….. F7 Torsion …………………………………………………………………………………...F8 Lage der Schubmittelpunkte von dünnwandigen Profilen ………………...……………. F9 Querkraftschub …………………………………………………………………………..F10 Knickung ………………………………………………………………………………... F11 Dünnwandige Behälter (Membranschalen) unter Innendruck ……………...…………... F12 Festigkeitshypothesen, Vergleichsspannung …………………………………………….F13 Zugfestigkeit Rm, Streckgrenze Rp0 2, und Bruchdehnung A5 einiger Werkstoffe …....F14 Zulässige Spannungen für Kran-Stahltragwerke ………………………………………...F15 Ausgewählte Werkstoffkennwerte ………………………………………………………F16 Anwendung des Energieprinzips bei Biegebeanspruchung (CASTIGLIANO, MOHR-
sches Arbeitsintegral, Kraftgrößenverfahren) ……………………………………...……
253
253254255255257262265269270270273274275275276 277
Literatur 282
Sachwortverzeichnis 283
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XI
Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite 1 Kinematik der geradlinigen
Bewegung eines Punktes 1
1.1 Freier Fall;
Geschwindigkeit, Fallzeit, kinematische Diagramme
5
1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug;
Geschwindigkeit, Zeit t
v Kraftfahrzeug
t
v Zug
t
v Kraftfahrzeug
t
v Zug
6
1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs;
Geschwindigkeit, kinematische Diagramme t
v
7
1.4 Auffahrunfall zweier Kraftfahrzeuge; Zeit, Geschwindigkeit beim Aufprall
9
1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Stre-cken;
Zeit, Steig- und Fallhöhe, Geschwindigkeiten, ki-nematisches Diagramm
11
1.6 Punktmasse über Seil an Gleitstein gekoppelt;
Orts-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs-Zeit-Funktion
13
1.7 Parallelprojektion einer Kreisbewegung;
Ort, Geschwindigkeit, kinematische Diagramme
16
2 Kinematik der krummlinigen Bewegung eines Punktes
21
2.1 Ebene Punktbewegung in Parameterdarstellung;
Beschleunigungen, Krümmungsradius
28
2.2 Bewegung des Schnittpunktes zweier Geraden;
Geschwindigkeiten, Bahngleichung des Schnitt-punktes
29
2.3 Räumliche Bahnkurve;
Geschwindigkeiten, Bahnkurve
30
XII Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite
2.4 Rollendes Rad auf horizontaler Unterlage;
Bahnkurve, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Weg
32
2.5 Punktbewegung auf ebener Kurve;
Bahngeschwindigkeit, Beschleunigung, Bahnkurve
35
2.6 Ziehen eines Bootes über einen Kanal;
Bahnkurve des Bootes
36
2.7 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe;
Geschwindigkeit, Beschleunigung
38
2.8 Kreisbewegung eines Punktes;
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion
39
2.9 Kreisförmige Kurvenfahrt eines Zuges;
Beschleunigungen
40
2.10 Entgegengesetzte Punktbewegungen auf einer Kreisbahn;
Beschleunigungen, Lage der Gesamtbeschleuni-gung, Ort
42
2.11 Bremsscheibe;
Anfangsdrehzahl, Winkelbeschleunigung, Verzö-gerung, Winkelgeschwindigkeit
t
ω
44
2.12 Schwungscheibe;
Winkelbeschleunigung, Umdrehungen t
ω
45
2.13 Rotierende Schleifenschwinge;
Größe und Richtung der Beschleunigung
46
2.14 Roboter;
Zylinderkoordinaten, Geschwindigkeitsvektor, Beschleunigungsvektor
47
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XIII Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite
3 Kinematik des starren Körpers 51
3.1 Rechtwinkliger Kreuzschieber;
Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Win-kelbeschleunigung
56
3.2 Dreieckscheibe;
Geschwindigkeit, Momentanpol
58
3.3 Beschleunigte rollende Kreisscheibe;
Beschleunigung und Beschleunigungsverlauf
59
3.4 Kette einer Planierraupe;
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
61
4 Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme
67
Beispiel Massenpunkt auf rauer schiefer Ebene;
Geschwindigkeit
72
4.1 Anschieben eines Autos;
Beschleunigung
76
4.2 Antriebskraft einer Straßenbahn;
Antriebskraft, Anfahrweg
76
4.3 Ebene Massenpunktbewegung in Parameterdar-stellung;
verursachende Kräfte
77
4.4 Beschleunigte Bewegung und schiefe Ebene;
Beschleunigung, Seilkraft
79
4.5 Drei miteinander verbundene Massen;
Beschleunigung, Seilkraft
80
4.6 Bremsung eines Krans;
Ausschlagwinkel, Seilkraft
82
XIV Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite
4.7 Fall eines Transportguts;
Fallhöhe
83
4.8 Massenpunkt an kreisförmiger Wand;
erforderliche Höhe
85
4.9 Massenpunkt auf rauer Unterlage;
Geschwindigkeit
F
t
F
t
87
4.10 Sprung aus einem fahrenden Boot;
Geschwindigkeiten
88
4.11 Arbeit eines Gepäckträgers;
mechanische Arbeit
89
4.12 Aufprall eines beladenen Wagens;
erforderliche Geschwindigkeit
89
4.13 Reibscheibenkupplung;
Winkelgeschwindigkeit, Energieverlust
90
4.14 Abbremsung auf rauer Unterlage;
erforderlicher Reibungskoeffizient
91
4.15 Bewegung auf rauer schiefer Ebene;
Geschwindigkeit
92
4.16 Reibungsfreie horizontale Bewegung eines Mas-senpunktes;
Geschwindigkeit
93
5 Kinetik starrer Körper
97
Beispiel Walze auf geneigter Bahn;
Geschwindigkeit
109
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XV Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite
5.1 Rotierender -förmig gebogener Körper;
Massenträgheitsmomente, Lagerkräfte
112
5.2 Massenträgheitsmoment von Kreisringsegment mit konstanter Dicke;
Massenträgheitsmomente
113
5.3 Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel;
Massenträgheitsmoment
114
5.4 Auswuchten eines starren Rotors;
notwendige Ausgleichsmassen
115
5.5 Gekoppelte Körper auf schiefer Ebene;
Beschleunigung, Stangenkraft
119
5.6 Rollende Walze;
Massenträgheitsmoment, Beschleunigung
121
5.7 Fördersystem aus Rollen und Seil;
Beschleunigung, Seilkräfte
124
5.8 Schweres Seil auf Windentrommel;
Drehzahl
127
5.9 System aus zwei Körpern und einer Rolle;
Geschwindigkeit
128
5.10 Drehbarer Stab; Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, Lagerreaktionen
129
XVI Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite
6 Schwingungen 133
6.1 Taktmesser (Metronom);
Schwingungsdauer
149
6.2 Rollschwinger;
Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer
149
6.3 Schwingsystem aus Kreisscheibe und Feder;
Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer
150
6.4 Scheibe mit Feder;
Schwingungsdauer
151
6.5 Dünner Stab mit Feder;
Massenträgheitsmoment, Eigenkreisfrequenz
153
6.6 Schwingende Kreisscheibe;
Eigenkreisfrequenz
154
6.7 Masse mit Balken und Stäben;
Eigenkreisfrequenz
156
6.8 Feder-Masse-Dämpfer-System;
Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer
158
6.9 Ausschwingversuch;
logarithmisches Dekrement, Dämpfungsgrad, Eigenkreisfrequenz, Federkonstante, Dämpfungskonstante
159
6.10 Federkrafterregtes System;
Eigenkreisfrequenz, Bewegung und Amplitude
160
Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen XVII Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite
6.11 Harmonisch erregtes Federende;
Schwingungsdifferenzialgleichung, Phasenverschiebung, Vergrößerungsfunktion
161
6.12 Schwinger mit Erregerkraft;
Erregerkreisfrequenz, Federkonstante
163
6.13 Unwuchterregte Maschine;
Amplitude, Federkonstante
165
7 Stoßvorgänge 169
7.1 Stoß auf horizontaler Unterlage;
Rückprallgeschwindigkeit, Weg
173
7.2 Stoß auf schiefer Ebene;
Zeit zwischen erstem Zusammenprall und näch-stem Zusammenstoß
174
7.3 Stoß gegen drehbar gelagerten Körper;
Geschwindigkeiten, Kraftstoß, stoßfreies Lager
176
7.4 Stoß zwischen Pendel und drehbarem Stab;
Winkelgeschwindigkeit
178
8 Relativbewegung 181 8.1 Mit dem Boot über einen Fluss;
Vorhaltewinkel, Absolutgeschwindigkeit, Fahrzeit
185
8.2 Gleitstein in radialer Führung einer rotierenden Scheibe;
Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung
186
XVIII Inhalt / Übersicht der Aufgaben mit Lösungen Aufgabe Erläuterung "Info"-Bild Seite
8.3 Kreisbewegung eines Punktes auf rotierender Scheibe;
Geschwindigkeit, Beschleunigung
188
8.4 Radiale Punktbewegung auf einem drehbaren Stab;
Absolutgeschwindigkeit, Beschleunigung
190
8.5 Fliehkraftpendel;
Eigenkreisfrequenz, erforderliche Körperpendel-länge
191
0 Einleitung Die Kinematik beschreibt Bewegungen eines Körpers, ohne auf die bewegenden Kräfte einzugehen, das heißt, die Lage von Körpern in Abhängigkeit von der Zeit wird beschrieben. In der Kinetik wird der Zusammenhang zwischen den Kräften und den durch sie bewirkten Bewe-gungsänderungen von Massen untersucht. Sind die Kräfte bekannt, so kann daraus im Allgemeinen der Bewegungsablauf bestimmt werden und umgekehrt.
1 Kinematik der geradlinigen Bewe-gung eines Punktes
Die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie wird beschrieben durch die Weg-Zeit-Funktion, besser Orts-Zeit-Funktion ( )txx = , das heißt, wir wissen zu jeder Zeit t den Abstand x des Punktes P von einem festen Punkt 0 (Bild 01.1).
1.1 Grundbegriffe und Formeln
1.1.1 Ort (Weg), Geschwindigkeit, Beschleunigung
x(t)P
xΔ
(x t )+Δt
0
t t+Δ t
Bild 01.1: Bewegung eines Punktes auf geradliniger Bahn
( )txx =
( ) ( )t
txttxtxv
Δ−Δ+
=ΔΔ
=m
( ) ( )t
tvttvtva
Δ−Δ+
=ΔΔ
=m
vxt
dxdt
xt
= = =→
lim &Δ
ΔΔ0
avt
dvdt
v xt
= = = =→
lim & &&Δ
ΔΔ0
x Ortskoordinate (Wegkoordinate)
t Zeit, Zeitpunkt
vm mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall Δt
am mittlere Beschleunigung im Zeitintervall Δt
v momentane Geschwindigkeit zur Zeit t
a momentane Beschleunigung zur Zeit t
&x Geschwindigkeit (1. Ableitung des Ortes (Weges) nach der Zeit)
&&x Beschleunigung (2. Ableitung des Ortes (Weges) nach der Zeit)
&v Beschleunigung (1. Ableitung der Ge-schwindigkeit nach der Zeit)
2 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes
1.1.2 Kinematische Diagramme
Über die Bewegung eines Punktes gewinnen wir einen anschaulichen Überblick, wenn wir die Ortskoordinate x, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a über der Zeit auftragen. Die Ortskoordinate x wird öfters auch als Wegkoordi-nate bezeichnet, was dann zu Missverständnissen führen kann, weil die Koordinate x nicht den Weg, sondern den Ort des Punktes angibt. Wenn zum Beispiel ein Punkt auf einer Strecke hin und her bewegt wird, so kann der zurückgelegte Weg beliebig groß werden, während sich sein Ort nur zwischen zwei Grenzen x1 und x2 ändert. Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion ( ) ( )txtv &= (der Punkt über der Größe bedeutet die Ableitung nach der Zeit) entsteht durch Ableitung (Differentiation) der Funktion ( )tx . Dies gilt auch analog für die Funktionen ( )tv und ( )ta . Durch Integration können wir umge-
kehrt aus der Beschleunigungs-Zeit-Funktion ( )ta die Geschwindigkeits-Zeit-Beziehung ( )tv und weiter die Orts (Weg)-Zeit-Beziehung ( )tx bestimmen. Das bedeutet zum Beipiel, daß die Änderung des Ortes (Ortsdifferenz) durch die Fläche unter der v,t-Linie dar-gestellt wird (Bild 01.3). In Bild 01.2 sind diese Dia-gramme für eine ungleichförmige Bewegung in einer geradlinigen Bahn dargestellt. Die geradlinige Bahn ist neben der Ortskoordinate x im Bild 01.2 zu sehen. Manchmal wird der Ort x als unabhängige Vari-able gewählt, um zum Beispiel die Geschwindigkeits-Orts-Funktion ( )xv darzustellen. All diese graphischen Darstellungen bezeichnen wir als kinematische Diagramme.
1.1.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Ge-schwindigkeit (gleichförmige Bewegung)
Gleichförmige geradlinige Bewegung heißt eine Bewe-gung, bei der die Beschleu-nigung a = 0 und die Ge-schwindigkeit v = konstant ist. Der zurückgelegte Weg nach der Zeit t ist x x v t= +0 . x0 ist der Weg, der zu Be-ginn der Zeitmessung bereits zurückgelegt war.
x
t
xva
t
t
x v=
vx a= =
Bild 01.2: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für
eine ungleichförmige Bewe-gung in einer geradlinigen Bahn
x
t
t
tvx a= =
=x v
x0 x0x0x- =v t
x0x= +v t
v0v t
v=v0=
0
Die Steigung der x,t -Geraden istv=Δ Δx/ t= konst.
Die Ortsdifferenz währendder Zeit t ist gleich der"Fläche" v t imv,t -Diagramm.
konst.
Bild 01.3: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm für eine geradlinige Punktbewegung mit konstanter Geschwindigkeit
Grundbegriffe und Formeln 3
1.1.4 Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleu-nigung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung oder gleichmäßig verzögerte Bewegung)
Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung heißt eine Bewegung, bei der die Beschleunigung a =konstant ist. Die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t ist v v a t= +0 . v0 ist die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0. Nach Integration mit der Anfangsbedin-gung t = 0, x x= 0 folgt:
⇒= ∫ dtvx x x v t a t= + +0 0 212
.
Aus diesen beiden Gleichungen wird durch Elimination von t: ( ) 2002 vxxav +−= . Wenn wir die Ortskoordinate x, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a über der Zeit auf-tragen, erhalten wir die Diagramme nach (Bild 01.4). Die Ortskoordinate x ist eine quadratische Funktion der Zeit t, während die Ge-schwindigkeit v x= & linear in t ist (Bild 01.4). Die Ge-schwindigkeit setzt sich aus der Anfangsgeschwindigkeit v0 und der durch die Be-schleunigung verursachten Geschwindigkeitszunahme a t (Rechteck im a t, -Dia-gramm) zusammen. Die Flä-che unter der v t, -Linie im v t, -Diagramm besteht aus
dem Dreieck 12
at t und dem
Rechteck v t0 und sie ent-spricht der Ortsdifferenz während der Zeit t (Bild 01.4). Ausgehend vom x t, -Diagramm erhalten wir das v t, -Diagramm als erste und das a t, -Diagramm als zweite Ableitung.
1.1.5 Ungleichförmig beschleunigte Bewegung Ist die Bewegung weder gleichförmig noch gleichmäßig beschleunigt, das heißt, wenn die Be-schleunigung eine Funktion der Zeit, also nicht mehr konstant oder Null ist, so liegt eine ungleich-förmig beschleunigte Bewegung vor. Als kinematische Grundaufgaben werden die gegen-seitigen Überführungen der kinematischen Größen Zeit t, Ort (Weg) x, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a bei einer geradlinigen Bewegung bezeichnet (siehe nebenstehende Tabelle). Ist eine dieser Funktionen ge-geben, so können die gesuchten Funktionen (siehe Ta-belle) teils durch Differentiation, teils durch Integration berechnet werden.
x
t
t
tvx a= =
=x v
x0 x0
v0
a ta=
v,t
Ortsdifferenz währendder Zeit t
ist ein Maß für dieFläche unter der -Linie
.
tv0
v0v= +a t12 a t t
x0x= +v t0 +12 a t
2
x0x- v t0 +12 a t
2=
v0 a,t
Geschwindigkeitsänderungwährend der Zeit
ist ein Maß für dieFläche unter der -Linie
t.
a tv0v- =
konst.
Bild 01.4: x,t-, v,t- und a,t-Diagramm einer geradlinigen Punktbe-
wegung mit konstanter Beschleunigung
Fall gegebene Funktion gesuchte Funktionen
1 a t( ) x t v t( ), ( ) 2 v t( ) x t a t( ), ( ) 3 x t( ) v t a t( ), ( ) 4 v x( ) a x t x( ), ( ) 5 a x( ) v x t x( ), ( ) 6 a v( ) x v t v( ), ( )
4 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes
In der nachstehenden Tabelle sind für die Fälle 1 bis 6 die gegebenen und die daraus berechneten kinematischen Funktionen (Lösungswege bzw. Ansätze) zusammengestellt. Alle in der Tabelle vorkommenden Integrale sind bestimmte Integrale, wobei t v x x, , $und als so-genannte Integrationsvariable eingeführt werden. Kinematische Grundaufgaben bei geradliniger Bewegung. Beginn der Bewegung zur Zeit t t x x v v= = =0 0 0: und Fall Gegebene
Funktion Berechnete Funktionen
1 a t( ) ( ) ( ) tdtavtvt
tt∫=
+=0
0 ; ( ) ( ) tdtvxtxt
tt∫=
+=0
0 ;
( ) ( ) ( )( ) tdtttattvxtxt
tt∫=
−+−+=0
000
2 v t( ) ( )( )tdtdvta = ; ( ) ( ) tdtvxtx
t
tt∫=
+=0
0
3 x t( ) ( )( )2
2
tdtxdta = ; ( ) ( )
tdtxdtv =
4 v x( ) ( ) ( )( )xdxvdxvxa = ; ( ) ( )∫=
+=x
xx xvxdtxt
0
0
5 a x( ) ( ) ( )∫=
+=x
xx
xdxavxv0
220 ; ( ) ( )∫=+=
x
xx xvxdtxt
0
0 ;
( )( )
∫∫
=
=
+
+=x
xxx
xx
xdxav
xdtxt0
0ˆ
20
0
ˆˆ2
6 a v( ) ( ) ( )∫=+=
v
vv vavdvxvx
0
0 ; ( ) ( )∫=+=
v
vv vavdtvt
0
0
Aufgaben mit Lösungen 5
1.2 Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 1.1 Freier Fall
Ein Körper wird im freien Fall (Fallbeschleunigung g) ohne Berück-sichtigung des Luftwiderstandes aus der Höhe h auf die Erde fallen gelassen (Bild 1.1). Wie groß sind Aufprallgeschwindigkeit und Fallzeit, wenn der Körper zur Zeit tA = 0 mit vA = 0 und xA = 0 losgelassen wird?
h g= =100 9 81m ms2
, , .
Die kinematischen Diagramme für die Funktionen ( )tx , ( )tv und ( )ta sind zu zeichnen. Lösung: ( ) == gta konstant (gleichmäßig beschleunigte Bewegung), das heißt:
dvdt
g= ; dv g dt= ; ⇒= ∫∫=
tv
v
tdgvdA 00
v g t= (1)
dxdt
v g t= = ; dx g t dt= ; ⇒= ∫∫=
tx
x
tdtgxdA 00
x g t=2
2 (2)
Aus (2) folgt: t xg
=2 (3)
(3) in (1) eingesetzt: v g xg
g x= =2 2 .
Mit x h= erhalten wir die Aufprallgeschwindigkeit v g hE = 2 ,
und aus (3) folgt die Fallzeit t hgE
=2 .
Zahlenwerte: vE = ⋅ ⋅ =2 9 81 100 44 3, ,ms
m ms2
(Aufprallgeschwindigkeit)
tE =⋅
=2 100
9 814 52mm
s
s2,
, (Fallzeit).
Im Bild 1.1.1 sind die kinematischen Diagramme dargestellt, wobei links oben im Bild die positiven Koordinatenrichtungen von x, v und a eingetragen sind.
x
A
h
g
E
Fall-Bahn
Bild 1.1: Freier Fall ohne
Luftwiderstand
6 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes
Aufgabe 1.2 Bewegung von Zug und Kraftfahrzeug
An einem anfahrendem Zug fährt ein Kraftfahrzeug auf der parallel zu den Schienen verlaufenden Landstraße mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit von 55 km/h in Fahrtrichtung des Zuges vor-bei. Nach welcher Zeit und Entfernung holt der Zug das Kraftfahrzeug ein, wenn er seine Höchstge-schwindigkeit von 85 km/h bei gleichmäßiger Beschleunigung nach 3 min 32 s erreicht und diese dann beibehält?
Lösung: Zur Lösung wird das v t, -Diagramm jeweils für das Kraftfahrzeug und den Zug gezeichnet (Bild 1.2.1). Es ist: vK = 55 km / h; vZ = 85 km / h; tH = 212 s; x x xK Z E= = . Das Kraftfahrzeug ist vom Zug nach einer Strecke x x xK Z E= = und der Zeit tE eingeholt. Da die Fläche unter der v t, -Linie (Bild 1.2.1) ein Maß für die Ortsdifferenz ist, gilt:
Kraftfahrzeug: x v tK K E=
Zug: ( )HEZHZZ ttvtvx −+=2
.
02040
0 1
6080
100
2 3 4 5tE = 4,52 s
ts
xm
01020
0 1
304050
2 3 4 5tE = 4,52 s
ts
vm/s
vE = 44,3 m/s
vE
2vE
tE
05
10
0 1
15
2 3 4 5tE = 4,52 s
ts
a=g= 9,81 m/s2
vE g tE=
a m/s2
xva x =
g2 t
2( )th
v =g t)(t
g
v,t
Ortsdifferenz währendder Zeit
ist ein Maß für dieFläche unter der -Linie
.tE
a,t
Geschwindigkeitsänderungwährend der Zeit
ist ein Maß für dieFläche unter der -Linie
.tE
Bild 1.1.1: Orts-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit- und Beschleunigungs-Zeit-Diagramm für freien Fall unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes
tH= 212 s
t
v
vK = 55 km/h vK tExK=
tE
Kraftfahrzeug
t
vvZ = 85 km/h
tE
Zug
xZ
Bild 1.2.1: v,t-Diagramme für Kfz und ZugtH= 212 s
t
v
vK = 55 km/h vK tExK=
tE
Kraftfahrzeug
t
vvZ = 85 km/h
tE
Zug
xZ
Bild 1.2.1: v,t-Diagramme für Kfz und Zug
Aufgaben mit Lösungen 7
Weiter gilt mit tH = 212 s: x x xK Z E= = x xK Z=
( )HEZHZEK ttvtvtv −+=2
⇒ = + −v t v t v t v tK E Z H Z E Z H2
( )ZKHZ
E vvtvt−
−=2
( )ZKHZK
EKKE vvtvvtvxx−
−===2
.
Zahlenwerte:
( )
min5s300
hkm85552
s212h
km85==
−−=Et ; xE = =55 5
160
4 58kmh
h kmminmin
, .
Aufgabe 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs
Ein Fahrzeug bewegt sich auf einer geraden Strecke. Es startet aus dem Stillstand mit konstanter Beschleunigung a1 5= m / s
2 , erreicht die Fahrgeschwindigkeit v , die es beibehält, bis es auf dem letzten Teil der Gesamtfahrstrecke mit konstanter Bremsverzögerung a3 3= m / s
2 bis zum erneuten Stillstand abgebremst wird. Die Gesamtfahrstrecke beträgt 400 m, die gesamte Fahrzeit 25 s.
Gesucht ist die gleichförmige Geschwindigkeit v , und es sind für die drei Bewegungsabschnitte die kinematischen Diagramme der Funktionen ( )tx , ( )tv und ( )ta zu zeichnen. Lösung: Der gesamte Bewegungsablauf läßt sich in drei Ab-schnitte unterteilen. Im ersten Abschnitt steigt die v t, -Linie bei konstanter Beschleunigung linear an, verläuft dann im 2. Abschnitt bei der Beschleunigung von Null waagerecht und fällt im 3. Abschnitt schließlich bei gleichförmiger Verzögerung linear auf Null ab (Bild 1.3.1). Außerdem sind bekannt: T3 25= s ; xges = 400m ; a1 5= m / s
2 a3 3= m / s
2 . Gesamtfahrstrecke x x x xges = + +1 2 3 .
Die Fahrstrecken (Ortsdifferenzen) x x x1 2 3, und in den einzelnen Bewegungsabschnitten entspre-chen den Flächen unter der v t, -Linie (Bild 1.3.1 und 1.3.2b):
x x x x v t v t v tges = + + = + +1 2 3 1 2 32 2 . (1)
Gesamte Fahrzeit: T t t t va
t va3 1 2 3 1
23
= + + = + + ⇒ = − −t T va
va2 3 1 3
.
In (1) eingesetzt, folgt:
3
2
3
2
1
2
31
2
3313
1 2222 av
av
avTv
av
avv
av
avTv
avvxges +−−+=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+=
t1t
v
x1
v
0t2 t3T3
x2 x3
Bild 1.3.1: v,t-Diagramm
8 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=−−=
31
1323
3
2
1
2
3 222 aaaa
vTva
va
vTvxges
v a aa a
v T xges2 1 3
1 332
0+ − + =
v a aa a
T v a aa a
xges2 1 3
1 33
1 3
1 3
2 2 0−+
++
=
( ) gesxaaaa
aaTaa
aaTaav
31
312
31
331
31
3312/1
2+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
±+
=
sm400
35352
352535
352535 2
2/1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⋅⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⋅⋅
±+⋅⋅
=v ⇒ =v1 73 28,ms
; v2 20 47= ,ms
.
Welche Geschwindigkeit gilt, können wir ermitteln, indem wir die Fahrzeiten im ersten und dritten Abschnitt berechnen.
t va
t va1
1
13
1
31 1= =; ;
mit v = 73 28, ms
ergibt sich: t t1 31 173 28
573 28
324 43= = = =, , ,s 14,66 s und s s.
Da die Addition dieser beiden Fahrzeiten t t1 31 1 39 09+ = , s schon größer ist als die gesamte Fahrzeit
von 25 s, erkennen wir, dass die Geschwindigkeit v2 20 47= ,ms
gelten muß.
Also beträgt die gesuchte gleichförmige Geschwindigkeit v = 20 47, ms
.
Um nun die kinematischen Diagramme (Bild 1.3.2) zeichnen zu können, berechnen wir zunächst die Fahrzeiten und die Fahrstrecken in den drei Bewegungsabschnitten.
Fahrzeit im ersten Bewegungsabschnitt: t va1 1
20 475
4 094= = =, ,m / sm / s
s2
Fahrzeit im dritten Bewegungsabschnitt: t va3 3
20 473
6 823= = =, ,m / sm / s
s2
Fahrzeit im zweiten Bewegungsabschnitt: t T t t2 3 1 3 25 4 094 6 823= − − = − − =s s s 14,083s, ,
Fahrstrecken (siehe auch Gleichung (1)):
Fahrstrecke im ersten Bewegungsabschnitt: x v t1 1220 47 4 094
241 9= = ⋅ =, , ,m m
Fahrstrecke im zweiten Bewegungsabschnitt: x v t2 2 20 47 14 083 288 28= = ⋅ =, , ,m m
Bremsweg im dritten Bewegungsabschnitt: x v t3 3220 47 6 823
269 83= = ⋅ =, , ,m m .
Die Diagramme (Bild 1.3.2) zeigen im ersten Bewegungsabschnitt eine konstante Beschleunigung, die nach t1 4 094= , s Null wird. Im zweiten Bewegungsabschnitt folgt die gleichförmige Bewegung und im dritten Bewegungsabschnitt ist die Beschleunigung negativ. Die x,t-Kurve setzt sich aus der Parabel der gleichförmig beschleunigten Bewegung und der Gera-den der gleichförmigen Bewegung und der Parabel der gleichförmig verzögerten Bewegung zu-sammen.
Aufgaben mit Lösungen 9
Weil die Beschleunigung in den Zeitpunkten t1 und T2 unstetig (Sprung) und die Geschwindigkeit nicht differenzierbar (Knick) ist, stellt sich die Bewegung hier als eine Idealisierung dar. Die Orts-Zeit-Funktion ist im Gegensatz dazu differenzierbar, weil die Parabelteile knickfrei mit dem Gera-denteil verbunden sind. Bei realen Bewegungen sind zu allen Zeitpunkten die Geschwindigkeit dif-ferenzierbar und die Beschleunigung stetig.
Aufgabe 1.4 Auffahrunfall zweier Kraftfahrzeuge Zwei Kraftfahrzeuge A und B fahren mit einer Ge-schwindigkeit v = 75 km / h im Abstand von 20 m (Bild 1.4) hintereinander her. Das vorausfahrende Kraftfahr-zeug A bremst plötzlich mit einer Verzögerung von aA = 3 5, m / s
2. 1. Wie viel Sekunden nach dem Bremsbeginn des
Kraftfahrzeugs A fährt das ungebremste Kraftfahr-zeug B auf A auf?
2. Wie groß ist dann im Moment des Aufpralls von B auf A die Geschwindigkeit des Kraftfahr-zeugs A?
0
200
300
400
100
0 5 10 15 20 25t1
ts
xm
ts
vm/s
ts
a m/s2
xva
v,t
Ortsdifferenz währendder Zeit
ist ein Maß für dieFläche unter der -Linie
.
a,t
Geschwindigkeitsänderungwährend der Zeit
ist ein Maß für dieFläche unter der -Linie
.
T2 t2t1= +t2t1+T3= t3+
1x
1x 2x+
1x 2x+ 3x+
2x
v
0 5 10 15 20 250
10
1520
5
25
2x = t2v
t1 T2 T3
a t= 1 1
5 10 15
-4
0
24
-2
6
20 25t1
T2 T3
t3=
a1a= a1
a=0
a)
b)
c)
d)
vΔ
vΔ
vΔ3a -3 m/s2= a= 3a
3a
Bild 1.3.2: Kinematische Diagramme mit Koordinatensystemen a) Koordinatensysteme b) x,t-Diagramm c) v,t-Diagramm d) a,t-Diagramm
AB
20 m
v v
Bild 1.4: Zwei Fahrzeuge auf gerader
Strecke
10 Kinematik der geradlinigen Bewegung eines Punktes
Lösung: zu 1.
Den Ursprung der gemeinsamen Ortskoordinate x für die Bewegung beider Kraftfahrzeuge legen wir dorthin, wo sich zum Zeitpunkt des Beginns der Abbremsung von Kraftfahrzeug A (t0 0= ) die vordere Stoßstange des Kraftfahrzeugs B befindet (Bild 1.4.1). Nach Beginn des Bremsvorgangs von Kraftfahrzeug A fährt B nach Ablauf der Zeit tU auf Kraftfahrzeug A auf. Den Lösungsansatz für diese Aufgabe finden wir, wenn wir für die Bewegung der beiden Kraftfahrzeuge jeweils getrennt die kinematischen Diagramme zeichnen (Bild 1.4.2).
Der Lösungsansatz lautet nun: Nach der Zeit tU fährt Fahrzeug B an dem Ort x xB= auf Fahrzeug A auf, das heißt, in den Ort-Zeit-Diagrammen für die beiden Fahrzeuge (Bild 1.4.2) muß der ( )tx -Punkt für den Aufprall der beiden Fahrzeuge gleich sein. Daraus folgt die Bedingung: x xA B= . (1)
Da die Flächen unter der v t, -Linie ein Maß für die Ortsdifferenz sind, können wir schreiben (Bild 1.4.2): x v tB U= ⋅
x x v t a t t x x v t a tA U A U U A U A U− = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ −0 02
2 2 .
ABv v
x
= 20 mx0
Bild 1.4.1: Lage der Ortskoordinate x
(Beginn der Abbremsung des Kraftfahrzeugs A)
0tU t
x
Kraftfahrzeug B
t0
xA
xB tUv=
0 t
v= 75 km/hv
tUt0
-3,5 m/s2=
0 t
a
tU
t0
0 t
a
tUt0Ba = 0
0tU t
x
Kraftfahrzeug A
t0
xB
0 t
v= 75 km/hv
tUt0
tU
20 mx0=
xB tUv=
xA x0-
vU xA x0-
tU=vΔ aA
aAaA
Bild 1.4.2: Kinematische Diagramme für die Kraftfahrzeuge A und B
Aufgaben mit Lösungen 11
In Gleichung (1) einsetzen: x v t a t v tU A U U02
2+ ⋅ − = ⋅ .
Daraus folgt: t xaU A
= =⋅
=2 2 20
3 53 3810 m
m / ss2,
, .
zu 2.
Aus dem v t, -Diagramm des Fahrzeugs A (Bild 1.4.2) können wir die Geschwindigkeit vU des Kraftfahrzeugs A im Moment des Aufpralls von B auf A ablesen:
v v a tU A U= − ⋅ = − ⋅ =75 3 5 3 3811
10003600
132 4km
hms
s kmm
sh
kmh2
, , , .
Aufgabe 1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Strecken Ein Körper 1 wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit vA senkrecht nach oben und gleichzeitig aus der Höhe h ein zweiter Körper 2 mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit vA auf einer parallelen Strecke senkrecht nach unten geschleudert (Bild 1.5). 1. Für die Begegnung der beiden Körper auf gleicher Höhe
sind zu bestimmen: a) die Zeit, b) die Steig- bzw. Fallhöhe, c) die Geschwindigkeiten bei der Begegnung beider Körper, 2. Das x,t-Diagramm für die Bewegung der beiden Körper ist
zu zeichnen. Der Luftwiderstand sei vernachlässigbar. Zahlenwerte: vA = 30 m / s; h = 60 m; g = 9 81, m / s
2 .
Lösung: zu 1.a)
Bild 1.5.1 zeigt das v,t-Diagramm des Körpers 2. Die Zeit, nach der sich die zwei Körper begegnen, bezeichnen wir mit tB . Die zurückge-legte Fallhöhe h2B während der Zeit tB bis zur Begegnung ist gleich der "Fläche" im v,t-Diagramm (Bild 1.5.1):
h v t g tA B B221
2B= + . (1)
Bild 1.5.2 zeigt das v,t-Diagramm des Körpers 1. Die zurückgelegte Steighöhe h1B während der Zeit tB bis zur Begegnung ist gleich der "Fläche" im v,t-Diagramm (Bild 1.5.2):
h v t g tA B B121
2B= − . (2)
h
g
Körper 1
Körper 2
h2
1hvA
vA
Bild 1.5: Zwei Körper auf paralle-
len senkrechten Strecken
tB t
vA+g tv2 vA=
v2
h2B
Bild 1.5.1: v,t-Diagramm
des Körpers 2
tB t
vA-g tv1 vA=
v1
h1B
Bild 1.5.2: v,t-Diagramm
des Körpers 1