Institut für Atmosphäre und Umwelt der J. W. Goethe-Universität Frankfurt/M.
Arbeitsgruppe Klimaforschung
Jürgen Grieser*, Tim Staeger**, Christian-D. Shönwiese**
Zur Schätzung der Wiederkehrzeiten von Starkniederschlägen
* SDRN, Welternährungsorganisation (FAO) der Vereinten Nationen, Rom
** Institut für Atmosphäre und Umwelt der Universität Frankfurt am am Main
Maximale Tagesniederschläge pro Jahr 1951 - 2000 an der Station Ingolstadt.
Jahr
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
täg
lic
he
r M
ax
ima
l-N
ied
ers
ch
lag
[m
m]
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
Gumbels Methode:
Gegeben: Eine große Anzahl von Realisationen einer iid Zufallsvariablen.
Bildung von Teilkollektiven – Hier: einzelne Jahre – und deren Maxima.
Konvergiert die Verteilung der zugrundeliegenden Variable für sehr großeWerte gegen die Exponentialverteilung, so ist die Gumbel-Verteilung einegute Approximation für die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Überschreitenseiner Schwelle S der Maxima der Teilkollektive:
b
aSSG expexp)(
Schätzung der relativen kumulativen Häufigkeit G(S) aus der Stichprobe:
1)(ˆ
M
kSG S
:Sk Anzahl der Teilkollektive mit einem maximalen Wert kleiner gleich S
:M Anzahl der Teilkollektive
Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80
rela
tive
ku
mm
ula
tive
Hä
ufi
gk
eit
, G
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Beispiel Ingolstadt
Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80
Z=
ln(-
ln(G
))
-4
-3
-2
-1
0
1
-4
-3
-2
-1
0
1
Beispiel Ingolstadt
Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80
Z=
ln(-
ln(G
))
-4
-3
-2
-1
0
1
-4
-3
-2
-1
0
1
r²=0.984
Beispiel Ingolstadt
Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80
rela
tive
ku
mm
ula
tive
Hä
ufi
gke
it,
G
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80
Z=
ln(-
ln(G
))
-4
-3
-2
-1
0
1
-4
-3
-2
-1
0
1
r²=0.984
Beispiel Ingolstadt
Erklärte Varianzen der Regression für 1769 Stationenam Beispiel der zweitägigen Niederschlags-Summen
erklärte Varianz r²
0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00
0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00
Häu
fig
keit
0,1
1
10
100
1000
0,1
1
10
100
1000
Parameter a der Gumbel-Verteilung für maximale Tagesniederschläge
25 m m
30 m m
35 m m
40 m m
45 m m
50 m m
55 m m
60 m m
65 m m
Schwellenabhängige Wiederkehrzeiten am Beispiel Berlin-Lichterfelde(maximale tägliche Niederschlags-Summen)
Wiederkehrzeit in Jahren20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S
ch
wel
le i
n m
m
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Schwellen eines Jahrhundert-Ereignisses für max. Niederschlags-Summeninnerhalb eines Tages
60 m m
80 m m
100 m m
120 m m
140 m m
160 m m
180 m m
200 m m
Schwellen eines Jahrhundert-Ereignisses für max. Niederschlags-Summeninnerhalb von zwei Tagen
60 m m
80 m m
100 m m
120 m m
140 m m
160 m m
180 m m
200 m m
Schwellen eines Jahrhundert-Ereignisses für max. Niederschlags-Summeninnerhalb von drei Tagen
60 m m
80 m m
100 m m
120 m m
140 m m
160 m m
180 m m
200 m m
Wiederkehrzeit:
baSsGS
expexp1
1
)(1
1
Wiederkehrzeit-abhängige Schwellenwerte:
1lnlnbaS
b
aA
bB
1mit:
Konfidenz-Ellipse der linearen Regressionskoeffizienten am Beispiel Frankfurt /M.
Regressionskoeffizient A
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
Reg
ress
ion
sko
effi
zien
t B
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
Konfidenz-Ellipse der linearen Regressionskoeffizienten am Beispiel Frankfurt /M.
Regressionskoeffizient A
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
Reg
ress
ion
sko
effi
zien
t B
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
Si=95%
Konfidenz-Ellipse der linearen Regressionskoeffizienten am Beispiel Frankfurt /M.
Regressionskoeffizient A
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
Reg
ress
ion
sko
effi
zien
t B
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
Si=95%
Konfidenz-Ellipse der linearen Regressionskoeffizienten am Beispiel Frankfurt /M.
Regressionskoeffizient A
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
Reg
ress
ion
sko
effi
zien
t B
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
Si=95%
Konfidenz-Ellipse der linearen Regressionskoeffizienten am Beispiel Frankfurt /M.
Regressionskoeffizient A
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
Reg
ress
ion
sko
effi
zien
t B
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
-0,095
-0,090
-0,085
-0,080
-0,075
-0,070
Si=90%Si=95%Si=99%
Schwellenabhängige Wiederkehrzeiten und ihre Fehler am Beispiel Berlin-Lichterfelde
Wiederkehrzeit in Jahren20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S
chw
elle
in
mm
0
10
20
30
40
50
60
70
80
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100
110
120
130
0
10
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30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Schwellenabhängige Wiederkehrzeiten und ihre Fehler am Beispiel Berlin-Lichterfelde
Wiederkehrzeit in Jahren20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S
chw
elle
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0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Si: 95%
Schwellenabhängige Wiederkehrzeiten und ihre Fehler am Beispiel Berlin-Lichterfelde
Wiederkehrzeit in Jahren20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S
chw
elle
in
mm
0
10
20
30
40
50
60
70
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100
110
120
130
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Si: 95%
Schwellenabhängige Wiederkehrzeiten und ihre Fehler am Beispiel Berlin-Lichterfelde
Wiederkehrzeit in Jahren20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S
chw
elle
in
mm
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Si: 95%
Relativer prozentualer Fehler (Sig. 95%) der geschätzten Schwellen einesJahrhundert-Ereignisses für zweitägige max. Niederschlagssummen
0 %
5 %
10 %
15 %
20 %
Relativer prozentualer Fehler (Sig. 95%) der geschätzten Schwellen einesJahrtausend-Ereignisses für zweitägige max. Niederschlagssummen
0 %
5 %
10 %
15 %
20 %
Relativer prozentualer Fehler (Sig. 95%) der geschätzten Wiederkehrzeiten einesJahrhundert-Ereignisses für zweitägige max. Niederschlagssummen
0 %
30 %
60 %
90 %
120 %
150 %
Relativer prozentualer Fehler (Sig. 95%) der geschätzten Wiederkehrzeiten einesJahrtausend-Ereignisses für zweitägige max. Niederschlagssummen
0 %
30 %
60 %
90 %
120 %
150 %
Maximal schätzbare Wiederkehrzeiten unter Vorgabe des relativen Fehlersin Abhängigkeit der Anpassungsgüte (Sig.: 95%)
erklärte Varianz r²
0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99
ln(l
n(t
au))
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
= 20%
= 50%
= 100%
5
10
20
50
100
20050010³
104
105
106
= 3 yr
Zusammenfassung:
Die Anpassung der Gumbel-Verteilung gelingt in den allermeisten Fällensehr gut (r² > 0,95 in 90% der untersuchten Stationen).
Es besteht eine Höhenabhängigkeit des Parameters a.
Durch Konfidenzellipsen der Parameterpaare A – B der linearen Regressionwerden Fehler in tau und s abgeschätzt.
Die relativen Fehler für S sind gering (etwa 5% - 10%) und nehmen beisteigendem S nur langsam zu.
Die relativen Fehler für tau wachsen für hohe Wiederkehrzeiten schnell an.Maximal schätzbare Wiederkehrzeiten für gegebene relative Fehlerhängen sehr stark von der Anpassungsgüte ab.
http://user.uni-frankfurt.de/~grieser/downloads/ExPrec/ExPrec.htm