HOMOSKEDASTIZITÄTVoraussetzung für
lineare Modelle: ANOVA,
ANCOVA, lineare Regression, t-
Test, F-Test
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HOMOSKEDASTIZITÄT- DEFINITION- RESIDUUM
Der Vorhersagefehler:
E = Beobachteter Wert – Vorhergesagter Wert
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HOMOSKEDASTIZITÄT- DEFINITION
Homoskedastizität = Varianzgleichheit der Residuen
„Bei vorliegender Homoskedastizität sind die Residuen gleich über alle Stufen der unabhängigen Variablen verteilt“ (statistikguru.de 2019)
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Homoskedastisch
Heteroskedastisch
URSACHEN
Messfehler
Nicht-linearer Zusammenhang
Fehlender Prädiktor
Scale-Variable
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FOLGEN VON HETEROSKEDASTIZITÄT
- Fälle mit größerer Abweichung > größerer Einfluss auf das Modell als andere Fälle
- Berechnung des Standardfehlers: Bei Heteroskedastizität hat dieser einen Bias > inkorrekte Schlussfolgerungen über Regressionskoeffizienten oder p-Werte.
–> schneller Fehler 1. oder 2. Art
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ERKENNEN UND BERECHNEN- TESTS AUF HOMOSKEDASTIZITÄT
Levene-Test
Brown-Forsythe-Test
(White-Test, … )
> 25% Signifikanz-Niveau: Test soll früher signifikant werden!
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VORBEUGEN & KORRIGIEREN
- robusteres Verfahren: gewichtete Regression (Weighted-Least-Squares-Verfahren)
- Transformation der Variablen
- für Heteroskedastizität adjustierte Standardfehler (Bsp. White estimator)
Die Methode der kleinsten Quadrate gilt als robust gegenüber Verletzungen der Homoskedastizität > große Abweichung davon nötig
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HOMOSKEDASTIZITÄT IN SPSS
Grafisch:
Residualplot
Analytische Tests:
Levene-Test
Brown-Forsythe-Test
White-Test
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HOMOSKEDASTIZITÄT IN SPSS
Grafisch: Residualplot
Analysieren > Regression > linear > … > Diagramme: Y = z-std. Residuen (ZRESID)X-Achse = standardisierte Prädiktoren (ZPRED)
Analytisch:
Zweifaktoriell (2 UV):
Analysieren > Allgemeines Lineares Modell > univariat >… >Optionen > Homogenitätstests
Einfaktoriell (1 UV)
Analysieren > Mittelwerte vergleichen > Einfaktorielle Varianzanalyse>.. >Optionen: Homogenitätstest der Varianzen & Brown-Forsythe-Test
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SPHÄRIZITÄT Voraussetzung für rmANOVA
(3 oder mehr Stufen)
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SPHÄRIZITÄT – WAS IST DAS?
Ist Sphärizität gegeben, so sind die Varianzen der Differenzen aller Messpaare (daher aller Stufen der unabhängigen Variablen) der Messungen gleich
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VP-Nr. t1 t2 t3 …
1
…
Var(∆1) Var(∆2) Var(∆3)
→ Nur bei 3 oder mehr Stufen der unabhängigen Variablen notwendig
EIN DATENBEISPIEL
VP-Nr. t1 t2 t3 t1-t2 t1-t3 t2-t3
1 12 14 11 -2 1 3
2 7 10 5 -3 2 5
3 9 11 8 -2 1 3
4 14 15 10 -1 4 5
5 10 12 7 -2 3 5
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0,40 1,36 0,96Varianzen:
→ Sphärizitätsannahme womöglich verletzt
EPSILON - EIN MAß FÜR DIE SPHÄRIZITÄT
Epsilon = 1 : Varianzen sind zwischen allen Gruppen gleich und die Sphärizität wird ohne Abweichungen eingehalten
→ es liegt Sphärizität vor
Epsilon < 1 : Die Varianz der Differenzen zwischen allen möglichen Paaren ist ungleich
→ es liegt keine Sphärizität vor
Je weiter Epsilon von 1 entfernt ist, desto stärker ist die Verletzung der Sphärizitätsannahme
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MAUCHLY – EIN TEST ZUR ÜBERPRÜFUNG DER SPHÄRIZITÄT
p-Wert des Mauchly-Test größer oder gleich des festgelegten alpha-Niveaus (in der
Regel .05) → Sphärizität der Daten ist gegeben
Mauchly-Test signifikant (bspw. p < .05) → die Freiheitsgrade müssen nach unten korrigiert werden, da sonst erhöhtes Risiko für Fehler 1. Art
Kritik am Mauchly: stark abhängig von der Stichprobengröße
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FOLGEN
Bei vorhandener Sphärizität kann der p-Wert der rmANOVA interpretiert werden
Sollte die Annahme der Sphärizität allerdings verletzt worden sein, so müssen die Freiheitsgrade nach unten korrigiert werden → Risiko für Fehler erster Art
Alternative: Berechnung der MANOVA (Sphärizität keine Voraussetzung dafür)
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KORREKTUREN
- Greenhouse-Geisser-Korrektur (konservativer)
- Huynh-Feldt-Korrektur (liberaler)
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SPHÄRIZITÄT IN SPSS
Mauchly – Test:
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→ Mauchly-Test wird in SPSS beim Rechnen der rmANOVA automatisch ausgegeben
VORGEHEN IN SPSS
rmANova berechnen:
1. „Analysieren“ → „Allgemeines Lineares Modell“ → „Messwiederholung…“
2. im Dialogfeld unter „Anzahl der Stufen“ Anzahl der Messzeitpunkte definieren
3. die Variablen, die die Messungen zu den unterschiedlichen Messzeitpunkten enthalten in das Feld „Innersubjektvariablen“ ziehen
(4. unter „Diagramm“ ein Diagramm der Mittelwerte ausgeben lassen)
(5. unter „Optionen“ Haken bei: Deskriptive Statistiken, Schätzungen der Effektgrößen, Haupteffekte vergleichen, „Anpassung des Konfidenzintervalls“ in Bonferroni ändern)
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QUELLEN
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Beratung-Statistik (2019): Mauchly-Test und Sphärizität. https://www.beratung-statistik.de/statistik-beratung-infos/spss-tips/mauchly-test-sphaerizitaet-spss/
Dipl. Psych. Both, (2016) B. Methodenlehre Uni Mainz.Vonhttp://methodenlehre.sowi.uni-mainz.de/download/Lehre/SS2010/SPSSKurs/bboth/final/SPSS_Skript_Version_01_04.pdf
Karteikarten (2019). https://www.cobocards.com/pool/de/card/2q6v80513/online-karteikarten-was-versteht-man-unter-sphaerizitaet-und-wie-kann-diese-ueberprueft-werden-/
Laerd Statstics (2019): Sphericity.
https://statistics.laerd.com/statistical-guides/sphericity-statistical-guide.php
Matheguru (2019): Sphärizität. https://matheguru.com/stochastik/spharizitat.html
Persike, D. M. (2013) Von https://iversity.org/de/my/courses/primer-regressionsrechnung/lesson_units/7488 abgerufen
Regorz-Statistik (2019). Homoskedastizität. http://www.regorz-statistik.de/inhalte/tutorial_regression_homoskedastizitaet.html
Wikipedia. (2006). Homoskedastizität. https://de.wikipedia.org/wiki/Homoskedastizit%C3%A4t_und_Heteroskedastizit%C3%A4t