HelabaLandesbank Hessen-Thüringen Girozentrale
Eine Einführung in die VaR-BerechnungReferent: Klaus Bohl
Frankfurt MathFinance Institute, 20. Dezember 2000
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Agenda
• Fakten und Zahlen aus der Praxis
• Grundlagen interner Modelle (GS I, MaH)
• VaR
• Eine Alternative zum VaR
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Organisationsstruktur in der Commerzbank
Unternehmensbereich Konzernsteuerung Unternehmensbereich Konzernsteuerung
Zentraler Stab Risikocontrolling (ZRC)
Zentraler Stab Risikocontrolling (ZRC)
Fachbereiche
Marktrisiko Bonds
Marktrisiko Equities
Marktrisiko Treasury
Methoden und Policies
Operationales Risiko
Gruppen
Marktdaten
Marktgerechtigkeitsprüfung
Fachbereiche
Marktrisiko Bonds
Marktrisiko Equities
Marktrisiko Treasury
Methoden und Policies
Operationales Risiko
Gruppen
Marktdaten
Marktgerechtigkeitsprüfung
Zentraler Stab Kredit (ZKA)
Zentraler Stab Kredit (ZKA)
Risk Commitee (RC)
RisikomanagementRisikomanagement
Fachbereiche
Commercial Banking
Prophylaxe/ Work out
Investment Banking
Fachbereiche
Commercial Banking
Prophylaxe/ Work out
Investment Banking Zentraler Stab Recht (ZRA)
Zentraler Stab Recht (ZRA)
Interne RevisionInterne Revision
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Geschäftsberichte 1999 im Vergleich
• Risikobericht erstmals pflichtmässig im Geschäftsbericht- Welche Risikoarten werden unterschieden?- Wie ist die Organisationsstruktur?
• Angaben zu Marktpreisrisiken- Value-at-Risk bzw. Money-at-Risk Zahlen- Anerkennung für Internes Modell?
• Angaben zu Operativen Risiken
Deutsche BankDresdner BankCommerzbank
Deutsche BankDresdner BankCommerzbank
WestLBBalabaHelaba
WestLBBalabaHelaba
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Bilanzsummen 1999 im Vergleich
0100200300400500600700800900
in M
rd. E
UR
O
Dt. Ban
k
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eins.
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Comm
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Balab
a
Helab
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VaR- bzw. MaR-Zahlen 1999 im Vergleich
0
50
100
150
200
250
300
350
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VaR- bzw. MaR-Zahlen 1999 im Vergleich
020
4060
80100120
140160
180
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io E
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Zinsen
Währungen
Sonstige
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Internes Modell gemäß Grundsatz I
Dt. Bank Für alle Marktrisikopositionen (allg. + spez. Kursrisiko)
DreBa Für alle Marktrisikopositionen (allg.) seit 1998
Helaba Für Zinsänderungsrisiken (allg.) seit 1998
Commerzbank Ausbau des Konzepts (Prüfung geplant)
WestLB Ausbau des Konzepts
Balaba Ausbau des Konzepts
Dt. Bank Für alle Marktrisikopositionen (allg. + spez. Kursrisiko)
DreBa Für alle Marktrisikopositionen (allg.) seit 1998
Helaba Für Zinsänderungsrisiken (allg.) seit 1998
Commerzbank Ausbau des Konzepts (Prüfung geplant)
WestLB Ausbau des Konzepts
Balaba Ausbau des Konzepts
Hinweise aus Traber-Artikel (WM Heft 20/2000)
1998 gab es 15 Anträge, davon wurden 9 Interne Modelle genehmigt
Multiplikator liegt zwischen 3,1 und 5,0 (Median 4,4)
(seit Frühjahr 2000: Eine Bank mit Multiplikator 3,0)
Hinweise aus Traber-Artikel (WM Heft 20/2000)
1998 gab es 15 Anträge, davon wurden 9 Interne Modelle genehmigt
Multiplikator liegt zwischen 3,1 und 5,0 (Median 4,4)
(seit Frühjahr 2000: Eine Bank mit Multiplikator 3,0)
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Risikomesssysteme – Drei Problemkreise
Daten
MathematischeModellierung
IT
40 %40 %
20 %20 %
40 %40 %
Vgl. Traber, Uwe [2000]Vgl. Traber, Uwe [2000]
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Bei der Betrachtung der Bestände sind die Begrifflichkeiten von Handelsrecht, MAH und Grundsatz I zu unterscheiden
Handels-bestand
Nicht-Handels-bestand
Nicht-Handels-geschäfte
Handels-geschäfte
Geschäftsbestand
Trading-Book
Non-Trading-
Book
MAH
Handels-recht
GS I
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Interne Modelle - organisatorische Anforderungen der Aufsicht
Anforderungen aus:
- MaH- Grundsatz I
- BIZ
• Angemessene Aufsicht durch Geschäftsleitung
• Adäquates Risikomanagementsystem
• Angemessenes Internes Kontrollsystem
Ergebnis-überleitung
zur GuV
Positions-abstimmungen
Markt-konformitäts-
kontrollen
Personal
Verantwortungder
Geschäftsleitung InterneGeschäfte
Portfolio-strukturAbwicklung
Internes Modell
Revision
Ergebnis-ermittlung
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Wirtschaftlichkeit und interne Modelle
Zwischen den Kosten einer Informationsrechnung und dem Nutzen der durch sie vermittelten Informationen muss ein angemessenes Verhältnis bestehen.
(Aus: Busse von Colbe, W./Ordelheide, D.: Konzernabschlüsse, 6. Auflage, 1993, S. 42)
Zu erfassende Risikofaktoren gemäss GS I:
Bei der Bestimmung der potentiellen Risikobeträge sind alle nicht nur unerheblichen Marktrisikofaktoren in einer dem Umfang und der Struktur des Geschäftes des Instituts angemessenen Weise zu berücksichtigen.
(§ 35 Abs. 1)
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Grundlagen interner Modelle (GS I, MaH)
MaH
GS I
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MaH
Mindestanforderungen an das Betreiben von Handelsgeschäften der Kreditinstitute
2.4 Qualifikation und Verhalten der Mitarbeiter
Absatz 3:
Die Gehälter der Mitarbeiter des Risiko-Managements und des Risiko-Controllings sowie der Abwicklung sollten so bemessen sein, dass qualifiziertes Personal gefunden und gehalten werden kann.
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VaR
Definition des VaR
Die drei Klassen der VaR-Methoden
Beispiele
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Statistische Grundbegriffe für MaR-Modelle
• Haltedauer: Zeitraum, den man zur Liquidation bzw. vollständigen Ab-sicherung der Handelsposition braucht ( z.B. 1 Tag, 10 Tage).
• Historischer Beobachtungszeitraum: Wie weit in die Vergangenheit werden die Marktschwankungen (Volatilitäten) der Risikofaktoren analysiert (z.B. 250 Handelstage)?
• Konfidenzniveau: Beschreibt die Wahrscheinlichkeit (z.B. 99%), mit der eine nachfolgend zu berechnende, in Geldeinheiten gemesseneVerlustobergrenze nicht überschritten wird.
• Korrelationen: Das Gesamtrisiko des Portfolios ist geringer als die Summe der Risiken der einzelnen Positionen (Diversifikation)
Auf Basis der Analyse der Zinsentwicklung des letzten Jahres können wir mit 99%iger Wahrscheinlich-
keit sagen, daß unser Verlust von heute in 10 Tagen nicht höher als x Mio EUR sein wird.
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VaR – Mathematische Definition
Seien die Risikofaktoren (Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Maß P) eines beliebigen Portfolios und
die dazugehörige Loss-Funktion in Abhängigkeit der Realisierungen der Risikofaktoren. Dann ist
der VaR zum Sicherheitsniveau von 99%.
Somit ist der VaR das kleinste 99%-Quantil der Verlustverteilung.
nn
n
,x,xLoss,x,x
Loss
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:
n,x,x 1
n,X,X 1
99,0,,0inf 1%99 cXXLossPcVaR n
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Verteilung der Delta-Gamma-Approximation
Unter der Normalverteilungsannahme für die Risikofaktoren hat die Taylorapproximation 2.Ordnung eine Verteilung wie die Summe einer Linearkombination von unabhängigen nicht-zentral Chi-quadrat- und einer unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen.
(Handbook of Statistics 1980)
Matrix der itVielfachhemit Eigenwerte die die sind Dabei
sind.eilt normalvert Uund -quadratChi zentralnicht die
und unabhängig Uunddie wobei,,~,~
'2
1
2
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jj
j
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jjjj
f
UfPNr
rrrP
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Eine Alternative zum VaR
Definition des ML
Eigenschaften des ML
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Maximum Loss – Mathematische Definition
Seien wie vorhin die Risikofaktoren und die betrachtete Loss-Funktion. Es wird
nun die Loss-Funktion auf die volumenmäßig kleinste (meßbare) Konfidenzmenge im Faktorraum eingeschränkt und deren Maximum als Maximum Loss bezeichnet.
Ist C nicht eindeutig bestimmt, könnte das Supremum über alle C herangezogen werden.
Sind die Risikofaktoren gemeinsam normalverteilt, dann ist die Konfidenzmenge ein Ellipsoid.
n,X,XLoss 1
n,X,X 1
BVolCVolBPBCP
CxxxxLossML
nn
nn
99,0:99,0
wobei,,,,,sup 11%99
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Maximum Loss – Konfidenzellipsoid
Im dreidimensionalen Faktorraum kann ein 99%-Konfidenzellipsoid so aussehen:
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Maximum Loss – Subadditivität
Sind A und B zwei disjunkte Porfolios mit Loss-Funktionen LossA und LossB, dann gilt
Beweis:
BABA LossMLLossMLLossLossML
.
:0
)()()(
)(:0
qedLossMLLossMLLossML
LossMLLossMLLossML
LossMLLossMLxLossxLossxLoss
LossMLxLossLossMLCx
BABA
BABA
BABABA
BABABA
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Maximum Loss >= VaR
Das kleinste -Quantil der Verlustverteilung ist nicht größer als der Maximum Loss über einem –Konfidenzbereich.
Beweis:
PUUUzzLosszLosszP meßbar, supinfinf
zLosszPQ inf
PUUUzzLossE meßbar, supinf
E.Qist gilt, 0 allefür dies Da .ist Also
. und ist Dann .sup Setze
sup und mit meßbaresein esgibt Dann .0 Sei
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xzLosszPPUxzLosszUUzzLossx
EUzzLossEPUU
.
auchist gilt, 0 allefür dies Da .supfolgt Daraus
.sup und ist Dann . Setze
Qmit ein esgibt Dann .0 Sei
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QE
QUzzLossE
UzzLossPUzLosszU
QzLosszP
EQ
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Literaturhinweise
Artzner, Philippe/Delbaen, Freddy/Eber, Jean-Marc/Heath, David: Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, Vol.9, No.3 (July 1999), p. 203-228
www.GloriaMundi.org: All about Value-at-Risk by Barry Schachter.
Grundsatz I. Rechtsverordnung zu §§10, 10a KWG.
Hull, John: Options, Futures and other Derviatives. Fourth Edition, 2000
RiskMetricsTM-Monitor. First quarter 1996.
RiskMetricsTM-Technical Document. Fourth Edition, 1996
Traber, Uwe: Die Prüfung und Zulassung bankinterner Marktrisikomodelle nach § 32 Grundsatz I, in: WM Heft 20/2000
HelabaLandesbank Hessen-Thüringen Girozentrale
Klaus Bohl, Frankfurt am Main, 20. Dezember 2000
Ein frohes Weihnachtsfest und einen gutenRutsch ins neue Jahr wünscht ihnen imvoraus
Ein frohes Weihnachtsfest und einen gutenRutsch ins neue Jahr wünscht ihnen imvoraus