Folie 6.1
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6 Zerteilprozesse 2
6.1 Grundlagen und Mikroprozesse des Zerteilens .......................... 2 6.2 Zur Bruchwahrscheinlichkeit disperser Festkörper ................ 10 6.3 Zerkleinerungsarbeit und Zerkleinerungsmodelle .................. 12
6.3.1 Wirkungsgrad der Zerkleinerung ...................................... 12 6.3.2 Produktfeinheit = f(Zerkleinerungsarbeit) ........................ 13 6.3.3 Abschätzung des zeitlichen Zerkleinerungsfortschrittes .. 16
6.4 Rührwerksmühlen ....................................................................... 17 6.4.1 Prinzipieller Aufbau ............................................................ 17 6.4.2 Spezifischer Energieeintrag ................................................ 19 6.4.3 Beanspruchungshäufigkeit und -intensität in einer Rührwerkskugelmühle 20 6.4.4 Maschinenbeispiele .............................................................. 25
6.5 Prozesskinetik der zeitlichen Änderung der Partikelgrößenverteilung bei Zerkleinerung, Agglomeration und Desintegration............................................... 29
6.5.1 Mikroprozesse beim Partikelstoß ....................................... 29 6.5.2 Diskrete Massebilanzen ....................................................... 30 6.5.3 Verteilungsfunktion des Produktes .................................... 36 6.5.4 Impuls- und Energiebilanzen .............................................. 37
Folie 6.2
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6 Zerteilprozesse 6.1 Grundlagen und Mikroprozesse des Zerteilens
Zerkleinerung von Erz in einem Pochwerk
in: Georgius Agricola "De re metallica libri XII" (1556)
Folie 6.3
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Zerteilprozesse von Festkörperna) Zerkleinerung von Festkörpern grobe Stücke multiple Rißbildung Bruchstückeamorph
+ Energie
+ Energie
polykristallin
Prozeßziele:
günstigePartikelgrößen- und -formver-teilungen
Aufschluss vonWert- oderSchadstoffen
Schaffung neuerOberflächen
Trennen oderVermischen derPrimärpartikeln
günstige Weiter-verarbeitungs-eigenschaften
b) Dispergierung von Agglomeraten (reversibel: Reagglomeration)
+ Energie
+ Energie
irreversibel
rever-sibel
rever-sibel
aufgeschlossen teilweiseaufge-schlossen
verwachsen
Agglomerate Kontaktablösung Primärpartikel
irreversibel
Bild 6.1
Folie 6.4
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Bruchvorgänge und Mikroprozesse der Zerkleinerung
2. Spannungen in Platte 3. Energiebilanz für die mit elliptischem Rißausbreitung (Griffith) Mikroinnenriß (Riß- länge l << Plattenbreite)
lxt
yσmax σy(x)
σ
σ
rR
Ene
rgie
a
bc
Rißlänge l
Icrit
E4lW
22
Vσπ
−=
AA l2W γ=
a Grenzflächenarbeit WAb elastische Form- änderungsarbeit WVc Gesamtarbeit = WA+WV
lcrit kritische Rißlänge:
I. Bruchvorgänge
1. Mikroprozeß der Rißausbreitung
5,0
Acrit2
Acrit l
E4,E4l
πγ
=σσπγ
=
4. Bruchhypothesen ...
Blatt 1
lW
lW0
lW AVges
∂∂
+∂
∂==
∂∂
A
2AV 2
E2l
lW
lW
γ≥σπ
⇒∂
∂≥
∂∂
Vorgeschichte: Mikroriß
Stück, Partikelmit Defekten und
Inhomogenitätsstellen
Rißbildung
Rißausbreitung
Sprödbruch Zähbruch
instabil stabil
ständige Energiezufuhr,Rißausbreitungs-geschwindigkeit vR < 1 m/s
l > lcrit
gespeicherte elastische Formänderungsarbeit,Rißausbreit.geschw.vR cS/3 = 0,33.(E/ρs)0,5 ~~
Folie 6.5
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e) Schneiden f) Scheren g) Reißen (schnelle h) Druck-Zug- Zugbeanspr.) Schneiden
II. Mikroprozesse des Zerkleinerns - Einzelkornbeanspruchung
vT
FT
FT
FN
FN
v > 5 m/s
2. Einzelkorn-Beanspruchung an einer steifen, glatten oder profilierten Werkzeugfläche (gerader und schiefer Prall) und Partikelstoß
FN
FN
FSFZ
FZ
FS
FN
FN
FS
FS
v v v
FN
FN
v
1. Einzelkorn-Beanspruchung zwischen zwei steifen, glatten oder profilierten Festkörperflächen (Formzwang des Beanspruchungswerkzeugs)
3. Einzelkorn-Beanspruchung durch das umgebenden Fluid oder Strahlung - ohne direkten Kontakt an steifen Werkzeugflächen
Blatt 2Bruchvorgänge und Mikroprozesse der Zerkleinerung
a) Scherströmung b) Explosions- & Schalldruckwellen c) Wärmestrahlung
u
+ Q
uS
FS
FS
a) Druck b) Druck-Schub c) Schlag (schnelle d) Biegung Druckbeanspr.)
FZ
v > 5 m/s
in: Schönert, K., Bruchvorgänge und Mikroprozesse des Zerkleinerns, S. 185, H. Schubert (Ed.) Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, Wiley-VCH Weinheim 2003
Folie 6.6
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Folie 6.7
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6. Bruchereignisse bei der Druck- und Prallbeanspruchung von einzelnen Kugeln, unregelmäßig geformter Stücke und Partikel (RUMPF & SCHÖNERT)
1) primäre Brüche bei elastischer Verformung (a, d)2) Feingutbereiche bei elastischer (g, i) oder elast.-plastischer Verformung (h, j)3) Kontaktfläche bei elastisch- plastischer Kontaktverformung (c, f)4) Meridianbrüche bei elastisch-plastischer Kontaktverformung (c, f)
1 1 1
1 12
3
4
3
4
a) d) g) i)
b) e) h) j)
c) f)
2
1 1
22
Druck Prall
FN
FN
FN
FN
Zuna
hme
der
Bean
spru
chun
gsin
tens
ität
FN
FN
FT
FT
7. Bruchereignisse als Folge unterschiedlicher Beanspruchungsintensität
a) Zertrümmern
b) Abbröckeln
c) Abrasion
Blatt 4Bruchvorgänge und Mikroprozesse der Zerkleinerung
Folie 6.8
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- Druck erzeugte Spannung in Prallrichtung + Zug
FEM-Simulation der Prallbeanspruchung einer Betonkugel
t = 4 µs
t = 23 µs t = 48 µs
Gitternetzt = 0
Prallgeschwindigkeit v = 50 m/s
t = 98 µs t = 123 µs
t = 143 µs
Khanal, M., Schubert, W. and Tomas J., Ball impact and crack propagation - simulations of particle compound material, paper, GVC-Fachausschuß „Zerkleinern und Klassieren“, Freiburg 2003
v
gesamte Aufprallzeitt = 0.2 ms
Folie 6.9
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Vergleich der Riss- und Bruchmuster der 2D-DEM-Simulationen mit Prallversuchen einer großkalibrigen Luftkanone
Betonkugeln d = 150 mm v = 15 m/s v = 25 m/s v = 35 m/s
Feinkornkegel (-keil)
Restkegel (-keil)
Sekundärbrüche Meridianrisse
Folie 6.10
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6.2 Zur Bruchwahrscheinlichkeit disperser Festkörper
Man unterscheidet zwischen der Bruchwahrscheinlichkeit ΦB - dem Mengenanteil (Anzahl oder Masse) der Partikel, die bei aus-reichender Beanspruchung zu Bruch gehen - und der Überlebens-wahrscheinlichkeit 1-ΦB, dem komplementären Mengenanteil der Partikel, die die Beanspruchung ohne äußeren Schaden überleben. Die Beanspruchungen lassen sich nach ihrer Art, siehe 6.1 S.5, und ihrer Intensität wie folgt quantifizieren: • Kraft F oder massebezogene Kraft F/m • Mittlere Spannung σ = F/A, Spannungsverteilung σ(r) • Arbeit (Energie) ∫= ds)s(FW oder ∫ σ=
V
dV)V(W , massebezo-
gene Arbeit Wm = W/m. Gemäß Weibull (1932) gilt für die Bruchauslösung durch aktivier-te Fehlstellen: • Bruchauslösung im spröden Festkörper erfolgt im Wesentli-
chen unter Zugspannung σ . • Die Brüche starten an den Fehlstellen (Strukturdefekte, Mi-
krorisse) auf der Oberfläche.
Bild 6. 2: Zur Herleitung der Bruchwahrscheinlich-keit )l,(B σΦ eines Stabelementes der Länge l: Für die Überlebenswahrscheinlichkeit 1-ΦB bei dop-pelter Länge 2.l gilt:
2B ))l,(P1()l2,(1 σ−=⋅σΦ− (1)
Für die gesamte Länge L gilt
lL
BB ))l,(1(1)L,( σΦ−−=σΦ (2) Durch Einführen einer neuen Funktion g(σ/σ0)
σΦ−
=
σσ
)l,(11lngB0
(3)
L
d
F
σ
σ
Folie 6.11
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erhält man:
σσ
⋅−−=σΦ0
B g)l/L(exp1)L,( (4)
Weibull fand, dass sich Messergebnisse durch eine einfache Po-tenzbeziehung
n
00
g
σσ
=
σσ
(5)
beschreiben lassen, wobei n und σ0 von • der Fehlstellenverteilung an der Oberfläche • dem mechanischen Stoffverhalten und • der Orientierung der Fehlstellen abhängen.
Die obige Gleichung (4) lässt sich auf andere Geometrien übertra-gen, d.h. auch auf Partikel, die durch Druck beansprucht werden. Durch die Integration über der Oberfläche AS ergibt sich
σ
σ⋅−−=Φ ∫
SA
n
00,SB dxdy)y,x(
A1exp1 (6)
wobei x und y Koordinaten auf der Partikeloberfläche sind.
Die Spannungsverteilung σ(x, y) kann in erster Näherung durch die Hertz-Theorie eines elastischen Kugelkontaktes beschrieben werden. Die Integration der elliptischen Spannungsverteilung lie-fert für kugelförmige, glatte, isotrope und elastische Partikel:
⋅
−−=Φ
54.0
c,m
m
25.0
cB W
Wddexp1
(7)
d Partikelgröße Wm eingetragene massebezogene Arbeit (Beanspruchungsener-
gie) dc Bezugspartikelgröße, z.B. für Quarz ≈ 60 µm Wm,c Bezugsarbeit, z.B. für Quarz ≈ 10 J/g
Folie 6.12
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6.3 Zerkleinerungsarbeit und Zerkleinerungsmodelle
6.3.1 Wirkungsgrad der Zerkleinerung Die bei der technischen Zerkleinerung aufzuwendende Arbeit be-trägt ein Vielfaches der sog. „Grenzflächenenergie“ (svw. flä-chenbezogene Bindungsenergie der Moleküle). Definition eines theoretischen Wirkungsgrades der Zerkleinerung mit dem kritischen Risswiderstand Rc:
W2RA cS
th ⋅⋅∆
=η (8)
∆AS Oberflächenzuwachs W technische Zerkleinerungsarbeit Energieausnutzung von Kugelmühlen-Prozessen liegt etwa - zwischen 0,001 und 0,004 m2/J und der - Risswiderstand für mineralische Rohstoffe kann überschläglich
mit 30 bis 60 J/m2 angesetzt werden, so berechnen sich - theoretische Wirkungsgrade ηth von 1,5 bis 12 %. Folgende Verlustarbeitsbeträge: a) für die viskoelastische Deformation (Hystereseverluste) von
Partikeln, die nicht zur Auslösung von Bruchereignissen führt, b) für die nichtelastische Deformation von Partikeln und der Ar-
beitsflächen, soweit diese über die in der Bruchzone auftretende hinausgeht und nicht schon im Risswiderstand erfasst ist,
c) die kinetische Energie der Bruchstücke, d) die Festkörperreibung der Partikel untereinander (einschließlich
der Reibung auf den Bruchflächen) und an den Arbeitsflächen, e) für den Verschleiß an den Arbeitsflächen, f) die innere Reibung beanspruchter Partikel infolge thermoelasti-
scher Effekte, der Schallwellenausbreitung oder von Oszilla-tionen elastisch-plastisch verformter Bruchstücke.
Diese Verlustarbeitsbeträge, die überwiegend als Wärme anfal-len, werden sowohl von den
Folie 6.13
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- Stoffeigenschaften des zu zerkleinernden Gutes (Disper-sitätszustand, Festigkeits- bzw. Bruchverhalten) und des Dis-pergiermittels (Umgebungsmedium) als auch von den
- Prozessbedingungen (Art, Intensität und Geschwindigkeit der Beanspruchung, Temperatur, Art des Gutstromes u.a.m.) beein-flusst.
Die Reibungsverluste werden durch die - Partikelanordnung, Packungsdichte bzw.
Partikelanzahlkonzentration im Prozessraum (damit auch durch die Partikelgrößenverteilung),
- die Wechselwirkungskräfte zwischen den Partikeln und durch - die Beanspruchungsart, -intensität und -geometrie bestimmt. ⇒ Bei Einzelpartikelzerkleinerung lassen sich die inneren Rei-
bungsverluste weitgehend reduzieren. ⇒ Bezug des energetischen Wirkungsgrades auf den für die
Einzelpartikelzerkleinerung notwendigen Energieverbrauch, ist für die Beurteilung technischer Zerkleinerungsprozesse sinn-voll.
6.3.2 Produktfeinheit = f(Zerkleinerungsarbeit) Gesucht ist eine Verknüpfung von Produktfeinheit = f(Zerklei-nerungsarbeit, sog. „Zerkleinerungsgesetze“:
ndC)d(d
dW −⋅−= (9)
Diese Gleichung (9) verknüpft das Arbeitsinkrement dW/d(d), das in einem Volumenelement zu einer Größenreduktion (- Vorzei-chen des n) führt, mit einer Potenzfunktion der Partikelgröße d-n. - Für den Exponenten n = 2 ergibt die Integration zwischen der
Aufgabepartikelgröße dA und dem Feingut dF:
−⋅=⋅=−= ∫ −
AFRitt
d
dRitt
d
d
2Ritt d
1d1C
d1C)d(ddCW
F
A
F
A
(10)
Folie 6.14
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Da 1/d einer volumenbezogenen Partikeloberfläche entspricht, beschreibt diese Gleichung den direkten Zusammenhang zwi-schen der Zerkleinerungsarbeit und dem Oberflächenzuwachs
AFS d/1d/1A −∝∆ , der schon von RITTINGER gefunden wurde. Er betrachtete das Zerteilen eines Würfels in kleinere Würfel und meinte, dass die erforderliche Arbeit WRitt der neu geschaffenen Oberfläche ∆AS proportional sein müsse:
SAconstW ∆⋅= (11) - Davon ausgehend stellte RUMPF ein Ähnlichkeitsgesetz der
Bruchmechanik auf, das ebenfalls zum Ergebnis von Gl.(11) führt:
.constWA
WA
WA
m
m,S
V
V,SS =∆
=∆
=∆
(12)
Es gibt recht gut den phänomenologischen Zusammenhang beim Feinkornmahlen mit hohem Oberflächenzuwachs wieder.
- KICK stellte ein Ähnlichkeitsgesetz auf, dass für eine ähnliche Verformung geometrisch ähnlicher und im Übrigen physikalisch gleicher Körper eine dem Volumen proportionale Arbeit zuzu-führen ist. Auf Grund der von KICK getroffenen Voraussetzun-gen ergibt sich für das Zerteilen eines Würfels der Kantenlänge dA in kleinere Würfel der Kantenlänge dF der Zusammenhang (mit dem Exponenten n = 1):
⋅=⋅−=−= ∫ −
F
AKick
d
dKick
d
d
1Kick d
dlnCdlnC)d(ddCW F
A
F
A
(13)
Diese Beziehung (13) entspricht beim Grobbrechen dessen ge-ringem Oberflächenzuwachs.
- Im Bereich zwischen dem Grobbrechen (KICK) und dem Mah-len (RITTINGER, RUMPF) erhält man für n = 3/2:
Folie 6.15
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−⋅⋅=⋅⋅=−= ∫ −
AFBond
d
dBond
d
d
2/3Bond d
1d1C2
d1C2)d(ddCW
F
A
F
A
−⋅⋅⋅=
A
F
FBond d
d1d1C2W (14)
Diese Beziehung zwischen der massebezogenen Zerkleine-rungsarbeit Wm,Bond und den 80 %-Partikelgrößen dA,80 bzw. dF,80 der Aufgabe bzw. des zerkleinerten Gutes gilt gemäß BOND:
−=
80,A80,F
*Bondm d
1d1CW (15)
Die Konstante CBond enthält sämtliche Arbeitsbeträge, die in der Zerkleinerungsmaschine aufgebracht werden müssen. Für
i,mBond W5C ⋅= lassen sich die Gln.(14) oder (15) wie folgt um-formen:
−⋅
µ⋅=
80,A
80,F
80,Fi,mm d
d1
dm100WW (16)
Unter dem Arbeitsindex Wm,i wird die massebezogene Zerklei-nerungsarbeit verstanden, um ein Material von "unendlicher" Partikelgröße auf ein Feingut dF,80 = 100 µm zu zerkleinern, sie-he Tabelle 1:
Folie 6.16
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Tabelle 1: Arbeitsindex nach BOND (s. Schubert 2003, Höffl 1985) Feststoff mittlerer Arbeits-
index Wm,i in kWh/t mittl. Feststoffdichte ρs in kg/m3
Baryt 5,21 4500 Basalt 18,88 2910 Bauxit 9,66 2200 Dolomit 12,4 2740 Eisenerze 14,23 3550 Feldspat 11,9 2590 Ferrosilizium 11,10 4410 Glas 13,65 2580 Gips 7,8 2690 Granit 16,70 2660 Graphit 48,5 1750 Kalisalz 8,92 2400 Kalkstein 13,89 2650 Kohle 14,3 1400 Koks 16,7 1310 Pyriterze 9,83 4060 Quarz 14,95 2650 Schiefer 15,67 2570 Zementklinker 14,95 3150
6.3.3 Abschätzung des zeitlichen Zerkleinerungsfortschrittes Aus dem Ähnlichkeitsgesetz der Bruchmechanik Gl.(12) folgt mit
dem mittleren Leistungseintrag ∫=ozessPrt
0ozessPr
dt)t(Pt
1P ein überschläg-
licher zeitproportionaler Oberflächenzuwachs oder reziproke Partikelgrößenabnahme:
ozessPrS tP.constA ⋅⋅=∆ (17) Eine genauere Modellierung folgt im Abschnitt 6.5.2.
Folie 6.17
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6.4 Rührwerksmühlen
• Einsatz in der Naßmahlung zur Erzeugung von ultrafeinen Produkten mit Partikelgrößen von etwa 10 nm bis 10 µm
• Wesentliche Einsatzgebiete, wenn: 1. Aufgabegut als Suspension vorliegt, 2. Mahlprodukt als Suspension gebraucht wird, 3. zur Agglomeration neigende ultrafeine Partikel disper-
giert werden müssen. • Anwendungsgebiete der Rührwerksmühlen:
o Farbstoffe und Pigmente o Chemische und Pharmazeutische Industrie o Lebensmitteltechnik o Keramikindustrie o Bioverfahrenstechnik
6.4.1 Prinzipieller Aufbau
1. Mahlbehälter, gefüllt zu 70 bis 90% mit Mahlkörpern 2. Mahlkörper, überwiegend Kugeln mit d = 0,3 bis 3 mm aus
Hartkeramik oder Hartglas 3. Welle mit gelochten Rührscheiben als Agitationsorgan
Bild 6.3: Schema einer liegenden Rührwerksmühle
v
L
x
AufgabeAustrag
y
vA F
D
Folie 6.18
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Eingetragene Rührerleistung P
LDncP 43TrN ⋅⋅⋅ρ⋅= (18)
Nc Leistungsbeiwert, abhängig vom Rührertyp und Rührer-Reynolds-Zahl
D Rührerdurchmesser L Länge des Rührers n Drehzahl des Rührers
Tr
2DnReν⋅
= Rührer-Reynolds-Zahl der Suspension im Mahlraum
νTr = ηTr/ρTr kinematische Viskosität der Suspension Trρ Dichte der Suspension (Index Tr für Trübe)
Beide Stoffgrößen sind auch abhängig vom Mahlgutvolumenanteil
MG,sl
MG,s
Tr
MG,ss VV
VV
V+
==ϕ (19)
der ultrafeinen Partikel in der Suspension: ( ) slMG,slTr ϕ⋅ρ−ρ+ρ=ρ (20)
ρl Flüssigkeitsdichte ρs,MG Feststoffdichte der Mahlgutpartikel für den Feststoffvolumenanteil in der Suspension ϕs < 30%, wobei ϕs,max = 0,35 ... 0,5 die Fließfähigkeit beeinflusst und T = const.
2
max,ss
slTr /1
25,11
ϕϕ−ϕ⋅
+⋅η=η (21)
Folgende Volumenanteile zur Kennzeichnung der Mahlkörper-Mahlgut-Wasser-Mischungen werden benötigt:
a) Der Mahlkörperfüllungsgrad ist 5,0
V)1(m
VV
MRMKMK,s
MK
MR
MKMK ≤
⋅ε−⋅ρ==ϕ (22)
VMR Mahlraumvolumen εMK Porosität der Mahlkörper im Prozessraum
Folie 6.19
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ρs,MK Feststoffdichte (Reindichte) der Mahlkörper b) Der Mahlgutfüllungsgrad ist
MRMGMG,s
MG
MR
MGMG V)1(
mVV
⋅ε−⋅ρ==ϕ (23)
εMG Porosität des Mahlgutes im Prozessraum c) Der effektive Mahlgutfüllungsgrad wird auf das Lückenvo-
lumen innerhalb der Mahlkörperpackung VMK⋅εMK bezogen
1,1...6,0mm
)1(1
VV
MK
MG
MG,s
MK,s
MKMG
MK
MKMK
MG
MKMK
MGeff,MG =⋅
ρρ⋅
ε⋅ε−ε−
=ε⋅ϕ
ϕ=
ε⋅=ϕ (24)
d) Der wirksame Mahlgutfüllungsgrad in der Suspension ver-mindert sich entsprechend des Wasservolumenanteils (1-φs):
eff,MGsTr,MG ϕ⋅ϕ=ϕ (25)
6.4.2 Spezifischer Energieeintrag Spezifischer Energieeintrag (Verbrauch) Wm wird auf folgende Weise experimentell bestimmt:
tmMtn2
mM
m
dt)t(PW
P,s
t
P,s
t
P,sm ⋅ω⋅=⋅⋅π⋅⋅== ∫ (26)
t Zerkleinerungszeit ms,P Mahlgutmasse Mt Rührerdrehmoment ω = 2.π.n Kreisfrequenz Für den Leistungsbedarf P(…) gilt beispielsweise:
75,15,337,15,0MKMK LDndkP ⋅⋅⋅⋅ρ⋅= (Herbst) (27)
k ≈ 1.54.10-2 kW numerische Konstante dMK Mahlkörperdurchmesser in cm ρMK Mahlkörperdichte in g/cm³ n Drehzahl in min-1 L Rührerlänge in m D Rührerdurchmesser in m
Folie 6.20
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LDncP 32N ⋅⋅⋅= (Zeng) (28)
Der Oberflächenzuwachs ∆AS infolge neu geschaffener Bruch-flächen ist beispielsweise
54.0s )tP(27.9A ⋅⋅=∆ (Charl) (29)
⇒ energiebezogener Oberflächenzuwachs ∆AS/W (der rezipro-ke Wert wird auch als Energieausnutzung bezeichnet) sinkt mit der Erhöhung des mittleren Leistungseintrages P :
( ) 48,0
54.0SS
tP27,9
)tP()tP(27.9
dt)t(PA
WA
⋅=
⋅⋅⋅
=∆
=∆
∫ (30)
⇒ Bei einer großen eingetragenen Leistung P arbeitet die Mühle vergleichsweise uneffektiv.
6.4.3 Beanspruchungshäufigkeit und -intensität in einer
Rührwerkskugelmühle
Bild 6. 4: Stromlinienmodell mit bevorzugter Scher- und Stoßzone
Stoßzone
Rührscheibe
Trajektorie
Mahlkörper
Rührerachse
Folie 6.21
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Die Beanspruchungs- oder Stoßhäufigkeit ist (a charakteristi-scher Abstand zwischen den fließenden Mahlkörpern):
MKNnavf ⋅≈= (31)
mit der Rührerumfangsgeschwindigkeit (D Rührerdurchmesser): DnRv ⋅⋅π=⋅ω= (32)
Demzufolge gilt für die gesamte Anzahl NC der Kontakte zwi-schen den Mahlkörpern
MKC NtntfN ⋅⋅≈⋅= (33) n Drehzahl des Rührers t Rührzeit NMK Anzahl der Mahlkörper Anzahl der Mahlkörper NMK im Mahlraum läßt sich abschätzen:
3MK
MKMKMR
MK
MKMKMRMK d6/
)1(VV
)1(VN⋅π
ε−⋅ϕ⋅=
ε−⋅ϕ⋅= (34)
dMK Durchmesser eines Mahlkörpers 1-εMK Packungsdichte der Mahlkörper im Prozessraum Die Wahrscheinlichkeit wc der Beanspruchung durch die Mahl-körper
Aktnc Vcw ⋅≈ (35) cn Anzahlkonzentration der Mahlgutpartikel pro Volumen-
einheit des Mahlraumes VAkt aktives Volumen in der wirksamen Beanspruchungszone
(Kontakt) zwischen 2 Mahlkörpern a) Die Desintegration (Zerstörung) von Agglomeraten benötigt
keine zu starken Beanspruchungsintensitäten und findet beim Scheren zwischen den Mahlkörpern statt.
Agg2MKScher,Akt ddV ⋅= (36)
b) Eine wirksame (effektive) Zerkleinerung kristalliner Primärpar-tikel findet nur bei einem zentralen Stoß (in Normalrichtung) zwischen zwei Mahlkörpern (svw. Schlagbeanspruchung) statt.
Folie 6.22
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∫ ⋅==maxr
0kppStoß,Akt AddAdV (37)
Mit der wirksamen Kontakfläche zwischen beiden Mahlkörpern
2dd
2d
2d
4drA pMK
2pMK
2MK2
maxk
⋅⋅π≅
−−⋅π=⋅π= (38)
Bild 6.5: Partikel-Schlagbeanspruchung beim zentralen Mahlkör-perstoß Die mittlere Anzahl der Beanspruchungen SN (engl.: stressing number) ist bei der a) Desintegration von Agglomeraten (Deagglomeration, Scherung)
MK
Agg1Agg
2MKMK d
dtnkonstddNtnSN ⋅⋅⋅≈⋅⋅⋅⋅≈ (39)
b) Zerkleinerung kristalliner Primärpartikel (Schlagbean-spruchung)
2MK
p2pMKMK d
dtnkonstddNtnSN ⋅⋅⋅≈⋅⋅⋅⋅≈ (40)
Beanspruchungsintensität IS,MK ist proportional zur kinetischen Energie eines Mahlkörpers (MK):
dp
Zylinder
Mahlkörper
Partikel
2r
dMK
rr+dr
Folie 6.23
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1
MK
p2MK
3MKMK,S E
E1vdI
−
+⋅⋅ρ⋅= (41)
Bild 6.6: Anzahlan-teile (Quantile) Q0(SN) zum Errei-chen einer Produkt-feinheit d = 1 µm als Funktion der Beanspruchungs-häufigkeit SN
Bild 6.7: Massebezo-gene Beanspru-chungsenergie zur Mahlung von Kalk-stein
10 100 1000 10000Beanspruchungsanzahl SN
0.4
0.8
0.2
0.6
1
Q (
1 µm
)0
100
1000
1000
0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
Kalkstein
mas
sebe
zoge
ne E
nerg
ie in
J/g
Beanspruchungsintensität in mJ
Folie 6.24
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Bild 6.8: Massebe-zogene Beanspru-chungsenergie, die für die Dispergie-rung von 60 % aller Hefezellen notwen-dig ist
Bild 6. 9: Massebezogene Beanspruchungsenergie, die für das Er-reichen eines Zerkleinerungsproduktes mit einer charakteristi-
schen Partikelgröße d50 = 2 µm benötigt wird S
SS
IA
WA ∆
≈∆
10.4 10Bezogene Bruchintensität
Mas
senb
ezog
ene
Obe
rflä
che
Dispergierung von Aggregaten
100
1000
10000
Beanspruchungsintensität in mJ
0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
mas
sebe
zoge
ne E
nerg
ie in
J/g
Folie 6.25
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6.4.4 Maschinenbeispiele
Bild 6. 10: Rührwerks-mühle, Ring-spaltmühlen
Zerkleinerungsmaschinen
Folie 6.26
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Ringspaltmühle (CoBall-Mill) Anwendungen:
material flow
milling beads
rotor
statorslit
ring gapchamber
Folie 6.27
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Advantages
Uniform grinding fineness with very dense particle-size distribution Optimally adaptable to each particular product Excellent reproducibility of the dispersion and grinding results Exceptionally large heat exchange surface for optimum cooling High hourly throughput combined with very fine grinding, even with
highly viscous products Optimum utilization of machine capacity Small quantity of grinding media Product can be changed rapidly with no losses Easy to clean and service owing to small grinding gap. Reduction in pollution because only very small quantities of cleaning
agents are used Sterile version available as an option
The raw product is fed from below into the annular gap which is formed by two conical bodies (stator outside, rotor inside). The special geometry enables the product to be optimally ground before being conveyed out of the top of the chamber. A sizing gap ensures that the milling balls remain in the grinding chamber.
Folie 6.28
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Rührwerksmühle
Zerkleinerungsmaschinen
Folie 6.29
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6.5 Prozesskinetik der zeitlichen Änderung der Partikel-größenverteilung bei Zerkleinerung, Agglomeration und Desintegration
6.5.1 Mikroprozesse beim Partikelstoß Mikroprozesse der Partikelhaftung, des Partikelbruches sowie der kombinierten Haftung und Bruch nach einem Partikel-Partikel-Stoß mit den Prallgeschwindigkeiten v1 und v2:
Beanspruchungsereignis:ein Partikel-Partikel-StoßErgebnisse:
Bruch
teilweise Haftung
Bruch
weiche Kontaktabplattung
HaftungAnzahl d. Agglomerate ni = 1
Steifigkeit kN,pl r1,2
steifes Verhalten Steifigkeit kN = const. spröder BruchBruchstücke nj....N >> 1
V1 V2
v1 v2r1 + + r2
V1 + V2
Bruch Bruch
VH/(V1+V2) = 1Haftwahrscheinlichkeit = 1 Bruchwahrscheinlichkeit = 1
VBr/(V1+V2) = 1VH/(V1+V2) = 0,5
Bild 6.11: Mikroprozesse beim Partikelstoß Bei einem Beanspruchungsereignis, z.B. Zusammenstoß zweier Partikel gemäß Bild 6.11, kann je nach Stoffeigenschaften der Kontaktpartner • ein neues Agglomerat aufgrund der geringen Kontaktsteifig-
keit weicher Partikel und ihres Haftvermögens, • viele Bruchstücke unterschiedlicher Größe bei sprödem Ver-
halten der verbindenden Festkörperbrücken oder • eine Mischung aus teilweisem Bruch und partieller
Agglomeratbildung
Folie 6.30
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entstehen. Als relevante Beanspruchungsereignisse werden so-wohl Partikel-Partikel-Stöße, Partikel-Wand-Stöße als auch Scherspannungen betrachtet, die durch Mikrowirbel des umge-bende turbulenten Strömungsfeldes hervorgerufen werden. 6.5.2 Diskrete Massebilanzen Ausgehend von grundlegenden Zusammenhängen des Masse-, Impuls- und Energietransportes lassen sich für die hier interessie-rende Partikelzerkleinerung und -desintegration die folgenden Bi-lanzgleichungen einer diskreten Partikelpopulation in einem aus-gewählten Volumenelement dV angeben. Die Massebilanz einer diskreten Partikelgrößenklasse i lautet mit den 3 örtliche Koordinaten xk mit k = 1, 2, 3 (svw. x, y, z) und der Zeitkoordinate t:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )dVt,xt,x
t,xcx,Wa),(W)(W,cr
dVt,xt,x
t,xcx,Wa),(W)(W,cr
dVt,xt,xcx,Wb)(W)(W,cs
dVt,xt,xc)(W)(W,cs
dVt,xt,xcx
Dx
dVx
t,xvt,xt,xcdV
tt,xt,xc
kinkn
)t(V
1i
1nk
2skin,n,diss,min,ikl,inkl,nmmax,msn
knki
)t(V
nN
1ik
2skn,i,diss,mn,ikl,nkl,immax,msi
)t(V
1i
1jkjkskj,mj,imin,mkl,jmsj
)t(Vkiksmin,mkl,imsi
)t(Vkiks
ki,t
k
)t(V k
kk,ikiks
)t(V
kiks
kl,H
kl,H
kl,H
kl,H
−
−
=−−−σ
−
=σ
−
=σ
σ
µ⋅µ⋅
⋅⋅⋅σσ−Φ+
µ⋅µ⋅
⋅⋅⋅σσ−Φ−
+µ⋅⋅⋅Φ−σ+
+µ⋅⋅Φ−σ−
=
µ⋅
∂∂
⋅∂∂
−
+∂
⋅µ⋅∂+
∂µ⋅∂
∫ ∑
∫ ∑
∫ ∑
∫
∫
∫∫
(42) Der Klassenindex in der Gl.(42) zählt beginnend von der gröbsten Klasse i = 1 bis zur feinsten Klasse N. Die Klasseneinteilung wird sinnvoller Weise als geometrische Reihe gewählt, so das für i < N der Quotient di+1/di konstant ist:
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8,010/1q/1d/d 1010i1i ≈==+ . (43)
5,0)10(q/1d/d 10/33/10i1i ≈== −
+ . (44)
Die feinste N-te Klasse muß den Bereich dN bis d = 0 erfassen. Auf der linken Seite der Integro-Differentialgleichung (42) findet man folgende Größen und Terme: cs = ms/V Partikelmassekonzentration (!) der Suspension im
Volumenelement dzdydxdV ⋅⋅= . Sie bestimmt im Wesent-lichen das makroskopische Raum-Zeit-Verhalten des Pro-duktausbringens und mikroskopisch die räumliche und zeitli-che Verteilung der Partikel-Stoßwahrscheinlichkeiten.
µi = mi/mges Massenanteil, Wahrscheinlichkeit des Auftretens der i-ten Klasse im betrachteten Volumenelement dV (Inkrement der Verteilungssumme iii,3ii,3 d)d(q)d(Q µ=∆⋅=∆ ). ( ) ( )[ ]
tt,xt,xc kiks
∂µ⋅∂
Akkumulation (Speicherung) der Partikel-größenklasse i im betrachteten Volumenelement während des Zeitinkrementes δt.
k,iv Geschwindigkeit der Partikel der i-ten Klasse im Volumen-element dV des Prozessraumes mit den Koordinaten k=1,2,3. ( ) ( ) ( )[ ]
k
kk,ikiks
xt,xvt,xt,xc
∂⋅µ⋅∂
konvektiver (gerichteter) Masse-
strom der i-ten Klasse durch das Volumenelement dV auf-grund eines äußeren Kraftfeldes.
Dt,i Diffusionskoeffizient oder Dispersionskoeffizient der i-ten Klasse aufgrund der Impulsübertragung des turbulenten Strömungsfeldes des Dispersionsmittels im Volumenelement (siehe Spannungstensor σi,kl in Gl. (56)).
( ) ( )( )
µ⋅
∂∂
⋅∂∂ t,xt,xc
xD
x kiksk
i,tk
diffusiver (zufälliger,
ungerichteter) Massestrom der i-ten Klasse durch das Volu-menelement dV.
Folie 6.32
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Auf der rechten Seite der Integro-Differentialgleichung (42) wur-den die Partikelwechselwirkungsterme aufgeschrieben, und zwar die Stoffwandlungsgeschwindigkeit oder, in anderen Worten, die Änderung des Masseanteiles der i-ten Klasse im betrachteten Vo-lumenelement dV durch • Zerstörung von Partikelwechselwirkungen (- Vorzeichen:
zerteilen) als Kinetik 1. Ordnung (∼ cs,i) und durch • Aufbau von Partikelwechselwirkungen (+ Vorzeichen: agglo-
merieren) als Kinetik 2. Ordnung (∼ cs,i cs,n).
isi cs µ⋅⋅ Massesenke der i-ten Klasse in Volumenelement dV zur Zeit t; Masseanteil, der in der Zeiteinheit dt aus der i-ten Klasse durch Zerkleinern in feinere Klassen verschwindet („death“). ( ))(W)(W,cs
kl,Hmin,mkl,imsi σΦ−σ massebezogene Zerkleinerungs-geschwindigkeitskonstante der i-ten Klasse, die sowohl die konzentrationsabhängige Stoßwahrscheinlichkeit der Partikel si(cs) als auch ( ))(W)(Ws
kl,Hmin,mkl,imi σΦ−σ die energieabhän-gige Bruchwahrscheinlichkeit enthält. Dieser wesentliche Kinetikparameter, manchmal auch als Zer-kleinerungsrate bezeichnet, ist unmittelbar mit der aus dem Strömungsfeld eingetragenen massebezogenen Beanspru-chungsenergie Wm(Spannungstensor σi,kl) verknüpft. Bruchereignisse werden nur dann ausgelöst, wenn die eingetra-gene Beanspruchungsenergie einen Mindestwert Wm,min(ΦσH,kl) überschreitet. Dieser energetische Schwellenwert (eine sog. „Aktivierungsenergie“) lässt sich physikalisch wiederum auf die konkreten Beanspruchungsbedingungen und die Haft-, Ab-löse- oder Bruchbedingungen der Partikelkontaktkräfte (Binde- kräfte) bzw. Haft- oder Fließspannungen der Agglomerate (In-dex H) zurückführen, siehe Gln.(45) bis (48) in der Tabelle 2:
Folie 6.33
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Tabelle 2: Auswahl physikalisch begründeter Kontaktgesetze und Modelle der typischen Mikroprozesskinetik benötigt für die DEM-Simulationen Mikroprozesse Agglomeration durch Van der Waals Kräfte (Haft-
kraftverstärkung weicher Kontakte) Aggregation und Festkörperbrückenbindung durch Kris-tallwachstum im Partikelkontakt (steifes Verhalten)
Nr.
Skizze der wesentlichen Bin-dungsmechanismen
Fließbedingun-gen a) Kontaktver-sagen ΦF = 0 b) Stabilität und Haftung ΦF < 0
Haftbedingung nach Kontakt-abplattung
( )
( )0
FFFF
1*Er2
FF3pr
FFFF3/2
0HN
0HH22,1
0HNfp
22,1
0HN0HHHF
≤
+−
+⋅⋅⋅+⋅
⋅⋅κ⋅⋅π+
++⋅κ+−=Φ
0
ttexp1
ccX
63l
S*S
Bs0B≤
−−⋅
ρ−
⋅⋅ϕ⋅τ−τ=Φτ (45),
(46)
mikroskopische Fließoberfläche für Kontaktver-sagen oder Bruch
Abgleiten in der Kontaktfläche
( )[ ]0
FFF)1(2cosF/F12sinF
iHMM0H
iRHRRFT
≤µ−⋅κ++⋅κ+
α⋅µ⋅⋅κ+−α⋅=Φ 0
FF
1MM
FF
Z,N
N
n
C,
n
C,T
TB
≤
+−
+
=Φ
γ
γτ
(47), (48)
Mindeststoß- und Wachs-tumszeit
s. Hertz: 5/1
12,12
22,1
min,K vr*Em
7846.3t
⋅⋅⋅= ( )
( )l
*Sm,SB
mono,TTTB
lls
2Pssl
B,63l,6363/cA
X/XkexpkD1rk
tttρ⋅⋅β
⋅⋅+
⋅ρ⋅ϕ−⋅ρ⋅ϕ⋅
=+= (49), (50)
( ) 112
112,1 rrr −−− += mittlerer Radius von Partikel 1 und 2; ( ) 11
21
12,1 mmm −−− += mittlere Partikelmasse; AS,m spezifische Partikeloberfläche; E*, G* mittlerer Elastizitäts- und Gleitmodul; ν Querdehnungszahl; pf plastische Mikrofließspannung; ( )PAP / κ−κκ=κ elastisch-plastischer Kontaktverfestigungskoeffi-zient; ρl, ρs Lösungs-, Feststoffdichte; cS Sättigungskonzentration; βl Stoffübergangskoeffizient; Dl Diffusionskoeffizient des gelösten Stoffes, XB Massean-teil einer Kristallbrücke; XT Tensidbeladung; kl, kT, kB Anpassungsparameter der Partikeleigenschaftsfunktionen;
Folie 6.34
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∑−
=
µ⋅⋅⋅1i
1jjsj,ij cbs Massequelle der i-ten Klasse im Volumenele-
ment dV zur Zeit t. Das ist die Teilmasse, die der i-ten Klasse (Tochterklasse) in der Zeiteinheit δt durch Zerkleinern gröberer Klassen j < i (Mutterklassen) zugeführt wird („birth“).
bi,j(Wm,j) diskrete Bruchstückgrößenverteilung, d.h. der Massean-teil, der von den gebrochenen Partikeln der gröberen j-ten Klas-se (Mutterklasse) in die kleinere i-te Partikelgrößenklasse (da-runter liegende Tochterklasse) übergeht (sog. nicht-kumulative Bruchfunktion, d.h. die kumulative Bruchfunktion ergibt sich
aus ∑=
==N
1mj,mj,ij,i,3 bBQ ). Diese Übergangsfunktion hängt
auch von einem eingetragenen spezifischen Energiewert Wm,j ab, da die Erzeugung feinerer Klassen mehr energetischen Aufwand benötigt, und zwar wegen des geringeren Anteils bruchauslösender Fehlstellen als die Zerkleinerung gröbere Fraktionen mit hohem bruchauslösenden Fehlstellenanteil.
n
nN
1ii
2sn,ii car µ⋅µ⋅⋅⋅∑
−
= Massesenke, d.h. Massenanteil der i-ten
Klasse, der in der Zeiteinheit δt durch Agglomeration mit einer feineren n-ten Klasse (n > i) durch Agglomeration in eine grö-bere Klasse verschwindet („death“). ( )),(W)(W,cr kl,nkl,immin,msi kl,H
σσ−Φσ massebezogene Agg-lomerationsgeschwindigkeitskonstante der i-ten Klasse, die so-wohl die von der Konzentration abhängige Stoßwahrschein-lichkeit der Partikel ri(cs) als auch die energieabhängige Haft-wahrscheinlichkeit ( )),(W)(Wr kl,nkl,immax,mi kl,H
σσ−Φσ enthält. Dieser wesentliche Kinetikparameter (svw. Agglomerations-rate) ist ebenfalls mit der aus dem Strömungsfeld eingetrage-nen massebezogenen Energie Wm(σi,kl, σn,kl) verknüpft.
Folie 6.35
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Haftereignisse werden nur dann ausgelöst, wenn die eingetra-gene Energie den Schwellenwert Wm,max(ΦσH,kl) nicht über-schreitet. In diesem Falle ist also die Fließ- oder Ablösebedin-gungen der Partikelkontaktkräfte bzw. -spannungen ΦσH,kl < 0. Die Kollisionen feiner Partikel (weiche Kontakte mit hoher Haftwahrscheinlichkeit!) führen folglich zu elastisch-plas-tischen Kontaktdeformationen verbunden mit einer ausreichend großen Haftung durch Van der Waals Kräfte. Nachfolgend setzt die Kontaktverfestigung durch sofortige Bildung von Kristalli-sationsbrücken (steife Kontakte aber verbunden mit hoher Bruchwahrscheinlichkeit) ein.
ai,n(Wm,diss,i,n) diskrete Agglomeratgrößenverteilung. Aus den fei-nen Partikeln der Größenklasse n werden bei erfolgreichen bi-nären und/oder multiplen Agglomerationsereignissen mit den Partikeln der bilanzierten Größenklasse i neue gröbere Eltern-generationen verschiedener Größe erzeugt. Das hängt insbe-sondere von der Verteilung der Energiedissipation in den Kon-takten der Primärpartikel ab, die das Agglomerat erzeugen.
in
1i
1nn
2sin,in car −
−
=− µ⋅µ⋅⋅⋅∑ Massequelle der i-ten Klasse in Vo-
lumenelement dV. Es ist der Masseanteil, der in der Zeiteinheit δt aus den jeweils feineren n-ten und (n-i)-ten Klassen (n > i) durch binäre Agglomeration erzeugt wird („birth“). ( )),(W)(W,cr kl,inkl,nmmin,msn kl,H −σ σσ−Φ massebezogene Agglomerationsgeschwindigkeitskonstante der n-ten Klasse, die sowohl die von der Konzentration abhängige Stoßwahrschein-lichkeit der Partikel rn(cs) als auch die energieabhängige Haft-wahrscheinlichkeit ( )),(W)(Wr kl,inkl,nmmax,mn kl,H −σ σσ−Φ enthält. Dieser wesentliche Kinetikparameter (svw. Agglomerations-rate) ist ebenfalls mit der aus dem Strömungsfeld eingetrage-nen massebezogenen Energie Wm(σn,kl, σn-i,kl) verknüpft.
Folie 6.36
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ai,n-i(Wm,diss,i,n-i) diskrete Agglomeratgrößenverteilung. Aus den feinen Partikeln der Größenklassen n und n-i werden bei erfolg-reichen binären und/oder multiplen Agglomerationsereignissen Agglomerate der bilanzierten Größenklasse i erzeugt. Mikro-skopisch wird das durch die Verteilung der Energiedissipation in den Kontakten der Primärpartikel beeinflusst, die die Agglomeratverteilung erzeugen.
Diese allgemeine Komponentenbilanzgleichung stellt ein gekop-peltes Gleichungssystem für i = 1...N Partikelgrößenklassen dar. Die obere Randbedingung der gröbsten Klasse i = 1 lautet, dass sie nur den Senkenterm enthält. Im Falle einer gezielten Desinteg-ration sollten ja möglichst alle groben Partikelgrößenklassen ver-schwinden. Die feinste Klasse i = N enthält nur den Quellterm. Bei grenzwer-tiger Prozessführung (Verhinderung der Reagglomeration durch chemische, d.h., durch elektrostatische und/oder sterische Stabili-sierung) müsste für t → ∞ folglich nur dieses Feinstgut d < dN er-zeugt werden. Im angestrebten Falle des dynamischen Gleichgewichtes von Zer-kleinerung, Agglomeration und Desintegration soll eine Partikelgrößenverteilung in möglichst engen Grenzen du ... do er-zeugt werden. Die untere du = dN und die obere Grenze do < d1 lassen sich auf die physikalischen Grundlagen der Prozessbedingungen • mikroskopisch: Energieschwellen der Haft- und Bruchwahr-
scheinlichkeiten, • makroskopisch: einstellbare Spaltweiten s zwischen Rotor
und Wand innerhalb des Beanspruchungsraumes do ≈ s zurückführen. 6.5.3 Verteilungsfunktion des Produktes Deshalb ist es für die zu untersuchende Problematik physikalisch sinnvoll, die Verteilungsfunktionen mit oberer und unterer Grenze
Folie 6.37
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darzustellen, z.B. zweckmäßig in Form einer logarithmischen Normalverteilung (LNVT)
( )tlndtln21exp
21)d(Q
u 2
ln
lnr ∫
δ
∞−
σ
µ−⋅−⋅
π⋅=
, (51)
mit dem Zentralwert (Lage) 50ln dln=µ sowie der Varianz (Breite) ( )1684ln d/dln5,0 ⋅=σ und den Transformationen mit den unteren und oberen Grenzwert du ≤ d ≤ do:
δ
δδ σ
µ−δ=
ln,
ln,lnu
(52)
ddddd
o
uo −
−⋅=δ
(53) Für dmin = du = 0 geht sie in eine dreiparametrige Log-Normal-verteilung mit oberer Grenze über, die sich insbesondere für die Beschreibung von Zerkleinerungsergebnissen von Stoffen mit vorherrschend sprödem Bruchverhalten - ohne Chancen zur Agg-lomeration von Feingut - eignet, insbesondere dann, wenn mehre-re, physikalisch abgrenzbare Teilkollektive (NTK << N Klassenan-zahl) der gesamten Bruchfunktion q3 erzeugt werden:
∑=
µ⋅σ=TKN
1kmk,TKkln,k,50k,ok,3m3 )W(),d,d,d(q)W,d(q
(54) Sowohl Partikelgrößenverteilungen als auch Bruchwahrschein-lichkeiten können mit Hilfe der LNVT beschrieben werden (ne-ben der am Lehrstuhl bisher benutzten Weibull-Verteilung). 6.5.4 Impuls- und Energiebilanzen Die Impulsbilanz lässt sich für die i-te Partikelgrößenklasse wie folgt aufschreiben (fi,k massebezogene Volumenkraft (F/m) oder Beschleunigung infolge eines äußeren Kraftfeldes):
Folie 6.38
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( ) ( )0dVfc
xvvc
tvc
)t(Vk,iis
k
kl,H,ikl,il,ik,iisk,iis =
⋅µ⋅−
∂σ+σ−⋅⋅µ⋅∂
+∂⋅µ⋅∂
∫ (55) Die jeweiligen 3 örtlichen Koordinaten k = 1, 2, 3 und l = 1, 2, 3 und die Zeitkoordinate t wurden hier explizit nicht mehr genannt. Der Spannungstensor σi,kl (σi,11, σi,12, .... σi,32, σi.33) beschreibt die Wechselwirkungen der Partikel der i-ten Klasse mit einem Fluid (p isostatischer Druck, ηV, η Volumen- und Scherviskositäten, δkl = 1 für k = l und δkl = 0 für k ≠ l Kronecker-Symbol):
∂∂
+∂∂
⋅η+δ⋅∂∂⋅η+δ⋅−=σ
k
l
l
kkl
m
mVklkl,i x
vxv
xvp
(56) Diesen trennenden Strömungskräften wirken die Spannungen σH,kl entgegen, die die Haftung der Partikel bewirken. Dazu ist die Kopplung von CFD- und DEM-Methoden notwendig. In der Diskrete-Elemente-Methode (DEM) werden die Bewe-gungsgleichungen einer diskreten Anzahl von Partikel, d.h. deren räumliche • Kräfte- und • Momentenbilanzen, mit ihren • Kontaktgesetzen (Stoffeigenschaftsmodelle)
verknüpft und für ein System wechselwirkender Partikel zeit-schrittgesteuert gelöst. Berechnet werden die Vektoren der • Partikelbeschleunigungen, • Partikelgeschwindigkeiten und die • Partikelpositionen.
Ausgehend von einem theoretischen Ansatz von Rumpf (1970) sollen hier die mittleren Anteile der Normal- und Schubspannun-gen der jeweiligen Kontaktkräfte in Normal- und Tangentialrich-tung FN,k, FT,k formuliert werden (M3,0 vollständiges Moment der Anzahlverteilung, k Koordinationszahl):
Folie 6.39
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[ ] )d(d)d(qd)d(q,d,FF)d(kM
c0
d
d0k,Nk,H
0,3s
skk,H
o
u
⋅⋅⋅⋅⋅ρ⋅π
=σ ∫ (57)
[ ] )d(d)d(qd)d(q,d),F(FFF)d(kM
c0
d
d0k,Nk,Hk,Nk,T
0,3s
skl,H
o
u
⋅⋅+⋅⋅⋅ρ⋅π
=τ ∫ (58) Dazu ist die Präzisierung dieser Ausdrücke im Sinne der Formu-lierung eines verbesserten Mikro-Makro-Überganges mit verteil-ten Parametern zwischen Kontaktkräften und gemittelten Span-nungen notwendig. Die Energiestrom- bzw. Leistungsbilanz ist ( i,kq Wärmestrom-vektor, Um,i spezifische innere Energie) mit den Oberflächen- und Volumenkräften, die eine Leistung erbringen und damit dem Vo-lumenelement einen Energiestrom zuführen:
∫
∫∫∫
⋅⋅µ⋅+
+⋅σ⋅+⋅=
+⋅ρ
)t(Vk,ik,iis
Ai,Sllk,ik,i
ASli,l
)t(V
2i
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