1
-1-
Grundlagen der Elektrotechnik 2
(GET 2)
Lehrstuhl für Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE)Abteilung für Elektrotechnik und InformationstechnikFakultät für IngenieurwissenschaftenUniversität Duisburg-Essen
Norbert Koster
Daniel Erni
(BA 342, [email protected])
(BA 337, [email protected])
Markus Pell
(BA 302, [email protected])
Inhalt
1. Einführung
2. Bauelemente der
Elektrotechnik
3. Elektrische Netzwerke
4. Wechselspannungen
und Wechselströme
5. Komplexe
Wechselstromrechnung
6. Netzwerkanalyse
7. Netzwerksätze
-2-
2
Einführung I
Vorlesungsunterlagen
• Lehrbuch GET 1:
Skriptum für das Kapitel «Bauelemente der Elektrotechnik»
• Ergänzende Unterlagen zur Vorlesung:
Bildmaterial zum Buch Ergänzende Manuskripte Aufgabenstellungen Alles via Moodle-Server: http://moodle.uni-duisburg-essen.de/
Ingo WolffVerlagsbuchhandlungDr. Wolff, 2003401 Seiten, 35.50
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Einführung II
Vorlesungsunterlagen
• Lehrbuch GET 2:
Nebenstehendes Buch von Ingo Wolff wird alsSkriptum zur Vorlesung verwendet.
• Ergänzende Lehrbücher:
H, Frohne, K.-H. Löcherer, H. Müller, «Moeller Grundlagen der Elektrotechnik» Teubner, 2005, 551 Seiten, 38.90
Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger, «Theoretische Elektrotechnik – eine Einführung» Springer Verlag, 2005, 745 Seiten, 44.95
Eugen Philippow, W.-J. Becker, W. Hofmann,«Grundlagen der Elektrotechnik»Verlag Technik, (10. Aufl.), 2000,800 Seiten, 74.20
Ingo WolffVerlagsbuchhandlungDr. Wolff, 2005373 Seiten, 35.50
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3
Einführung III
Vorlesungsunterlagen
• Alternative Lehrbücher:
Manfred Albach, «Grundlagen der Elektrotechnik 1 – Erfahrungssätze, Bauelemente,
Gleichstromschaltungen» Pearson Studium, 2005, 304 Seiten, 29.95
Manfred Albach, «Grundlagen der Elektrotechnik 2 – Periodische und nichtperiodische
Signalformen» Pearson Studium, 2005, 272 Seiten, 29.95
L.-P. Schmidt, G. Schaller, S. Martius, «Grundlagen der Elektrotechnik 3 – Netzwerke» Pearson Studium, 2006, 256 Seiten, 29.95
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Einführung IV
Verschiedenes
• Vorlesungsbetrieb:
ÜbungenSeminareTutorienSkript (Lehrbücher GET 1 & GET 2, I. Wolff)Vorlesungsfolien (PDF-Files via Moodle herunterladen)
• Nomenklatur:
Referenzen auf Folien der Vorlesung «Grundlagen der Elektrotechnik 1» (GET 1)erfolgen gemäss der folgenden SchreibweiseFolie 1-76, Folie 1-228, Folien 1-89-91.
• Bitte:
Lesen Sie auch die zugehörige Literatur (Skript und Bücher) !
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4
Einführung V
Worum es geht
Elektrische und magnetischeFelder: E, D, B, H.
(A) Elektromagnetische Feldtheorie (B) Stromlehre
Bauelemente:R, C, L, M.
Netzwerke und Schal-tungen: u, i.
Das elektrische Strömungs-feld: J.
• Gleichstrom/-spannung
• Wechselstrom/-spannung«Übersetzung»
-7-
-8-
4. Bauelemente
Grundlagen der Elektrotechnik GET 2
• Bezugspfeile
• Bezugspfeile und Netzwerke
• Elektrische Quellen
• Der elektrische Widerstand
• Der Kondensator
• Die Spule
• Gekoppelte Spulen
• Der Transformator[Buch GET 1: Seiten 258-401]
5
Voraussetzungen I
Energetische Verhältnisse in den Bauelementen
Aktive / passive elektrische Bauelemente:
• Passive Bauelemente:
• Elektrische Energie wird in Wärme umge-wandelt (Verbraucher), gespeichert oderübertragen.
• Ohne Anlegen einer elektrischen Spannungfliesst auch kein Strom.
• Wichtige passive Bauelemente: Widerstand,Kondensator, Spule, Transformator.
• Aktive Bauelemente:
• Es fliesst ein Strom auch ohne Anlegen einer elektrischen Spannung.
• Elektrische Quellen (oder genauer: elektri-sche Energiewandler, da es keine «Energiequellen» im eigentlichen Sinn gibt).
-9-
Voraussetzungen II
Grössenverhältnisse der Bauelemente
Zeitskalen der Anregung elektrischer Bauelemente:
20
=c020 f
ElektromagnetischeWelle (Anregung)
Ein Bauelement heisst «konzentriertes Bauelement», falls dessencharakteristische Abmessung viel kleiner als die Wellenlänge der anregenden Grösse ist. Die räumliche Variation der elektri-schen Grössen entlang des Bauelements ist vernachlässigbar.Netzwerke bestehen aus konzentrierten Bauelementen.
-10-
6
Netzwerkelement
i
u
KlemmeKlemme
Voraussetzungen III
Idealisierung von Bauelementen
Netzwerkelemente:
• Realen elektrischen Bauelementenwerden Idealisierungen zugeord-net: Netzwerkelemente.
• Netzwerkelemente sind mathema- tische Modelle zur Beschreibung
der Haupteigenschaften vonelektrischen Bauelementen.
• Netzwerkelemente (Modelle)werden mittels (Schalt-) Symbolgekennzeichnet.
• Eine Schaltung realer Bauelemente idealisiert sich zu einem Schaltplan
von Netzwerkelementen.
• Ein solcher Schaltplan heisst «elektrisches Netzwerk».
Netzwerkelement Mathematisches Modell
ElektrischesNetzwerk
Gleichungssystem
(2) Netzwerkanalyse:
-11-
Bezugspfeile I
Bezugspfeil der elektrischen Spannung
u = E ds1
2 • Bezugspfeil der Spannung stets in Richtung des Wegelements.
• u > 0: Die Wegelemente (d.h. der Bezugspfeil) zeigen währendder Integration grösstenteils in Richtung der elektrischenFeldstärke (Integral ist positiv).
• u < 0: Die Wegelemente sind grösstenteils entgegengesetzt zurRichtung der elektrischen Feldstärke (Integral ist negativ).
1 2
E
ds
a) u
12> 0
1 2
E
ds
b) u
12< 0
-12-
7
A
b)
J
n
a) i > 0
i J
n
i < 0
i
Bezugspfeile II
Bezugspfeil der elektrischen Stromstärke
i = J n dAdFA
• Bezugspfeil der elektrischen Stromstärke stets in Richtung desFlächennormalenvektors.
• i > 0: Flächennormalenvektor zeigt in Richtung der elektri-schen Stromdichte (Skalarprodukt ist positiv).
• i < 0: Flächennormalenvektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung der elektrischen Stromdichte.
-13-
H,B n
m> 0
A
ds
i > 0 n
quera)
H,B
n
m< 0
A
ds
i > 0 n
querb)
Bezugspfeile III
Bezugspfeil des magnetischen Flusses
(1) Elektrische Stromstärke und magnetische Feldstärke:
H dsC
= J nquer dAquerAquer
• Bezugspfeil des Stromes i bestimmt nquer.
• Bezugspfeil des Stromes i ordnet die Rich-tung von ds im Rechtsschraubensinn zu.
• nquer und ds bilden Rechtsschraubensystem.
-14-
8
Bezugspfeile IV
Bezugspfeil des magnetischen Flusses
(2) Stromstärke, magnetische Feldstärke und magnetischer Fluss:
i Bezugspfeil nquerRechtsschraubensinn ds
i > 0 J nquer > 0
i < 0 J nquer < 0
i > 0 H ds > 0
i < 0 H ds < 0
i = J nquer dAquerAquer
= H dsC
mBezugspfeil n B H
m > 0 B n > 0
m < 0 B n < 0
m = B n dAA
«willkürlich»
«willkürlich»
-15-
Rn
indi
indu
a)
n m
indub)
m
Bezugspfeile V
Bezugspfeil des magnetischen Flusses
(3) Bezugspfeilordnung beim Induktionsgesetz:
(b) Der Bezugspfeil der induziertenSpannung uind und der Bezugspfeildes magnetischen Flusses m
bilden ein Rechtsschraubensystem.
uind = E dsA
=d m
dt=
d
dtB n dA
A
iind =uindR
(a) Die Bezugs-pfeile derinduziertenStromstärke iindund desmagnetischenFlusses m
bilden einRechtsschrau-bensystem.
-16-
9
i
u
Netzwerkelement
i
u
Netzwerkelement
i
u
Netzwerkelement
i
u
Netzwerkelement
a) b)
c) d)
Bezugspfeile VI
Netzwerkelemente und Bezugspfeile
(1) Mögliche Zuordnung der Bezugspfeile:
E, J
Die Richtungen der Feld-grössen werden durch die Physik vorgegeben.
u, i Die Bezugspfeile der elektrischen Grössen Spannung und Stromkönnen willkürlich gewählt werden.
-17-
Bezugspfeile VII
Netzwerkelemente und Bezugspfeile
(2) Konsequenzen der «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:
u = + E
i = + J A
u = E
i = + J A
u = E
i = J A
u = + E
i = J A
E, J
-18-
10
Bezugspfeile VIII
Netzwerkelemente und Bezugspfeile
(2) Konsequenzen der «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:
J = E
Wir berücksichtigen den festen, physikalischen Zusammenhangzwischen den beiden Feldgrössen (Folie 1-134):
u = +Ai = +R i
u =Ai = R i
u = +Ai = +R i
u =Ai = R i
a( ) u > 0; i > 0
b( ) u < 0; i > 0
c( ) u < 0; i < 0
d( ) u > 0; i < 0
p = +u i = R i2 =u2
R
p = u i = R i2 =u2
R
p = +u i = R i2 =u2
R
p = u i = R i2 =u2
R
-19-
Bezugspfeile IX
Netzwerkelemente und Bezugspfeile
(2) Konsequenzen der «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:
• Gleichsinnige Bezugspfeile führen jeweils zur üblichen Schreibweise u = + R·i desohm’schen Gesetzes. Bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach u = R·i.
• Die in Wärme umgesetzte Leistung (Verlustleistung = vom passiven Element aufge-nommene Leistung) ist stets positiv. Dies erfolgt direkt nur bei gleichsinnigen Bezugs-pfeilen, bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach das negative Produkt p = u·i.
• Bei aktiven Elemente, ist die abgegebene Leistung positiv, was direkt nur bei denentgegengesetzten Bezugspfeilen erfolgt.
u u
i i
a) b)
(4) Konvention: das Verbraucherbezugspfeilsystem:
Passives Bauelement Aktives Bauelement
«gleichsinnig» «gegensinnig»
-20-
11
– +
CdSO4
Cd
U0
CdSO4
Hg2SO4
Hg
Klemmen
Elektrische Quellen I
Beispiele elektrischer Quellen
(1) Das Normalelement von Weston:
• Es gibt keine Energiequellen, sondern nur Energiewandler.
• In einer elektrischen Quellewerden Ladungen mittels EMK(«treibende» Kraft nichtelek-trischer Natur, cf. Folie 1-243)getrennt.
• Elektrochemische EMK: Cad-miumsulfat-Lösung mit Queck-silber-Anode (+) und Cadmium-Kathode (–).
• Cd ist unedler als Hg und geht bei der Kathode in Lösung. Bei
der Anode verbinded sich Cd++
mit Hg2SO4 und bildet dort CdSO4
und metallisches Hg.
U0 = 1.0813 V (Spannungsnormal, i < 1 mA,bei 20°C, ändert wenig mit der Temperatur).
-21-
– + U
0 PbO
2PbSO
4
H
2SO
4+H
2O
iLaden
iEntladen
Pb PbSO
4
Elektrische Quellen II
Beispiele elektrischer Quellen
(2) Der Blei-Akkumulator:
• Gebräuchlichster elek-trischer Energiespeicher
(Automobilindustrie)
• Zwei Bleisulfatelektroden(PbSO4) in verdünnterSchwefelsäure (H2SO4).
• Laden: elektrische chemische
Energie Bindung
• Entladen: chemische elektrische
Bindung EnergieChemischeBindungsenergie
ElektrischeEnergie
-22-
12
Elektrische Quellen IIIBeispiele elektrischer Quellen
(2) Der Blei-Akkumulator:
Ladevorgang:
Positive Elektrode (Anode): PbSO4 + SO4-- + 2H2O 2(-e) = PbO2 + 2H2SO4
Negative Elektrode (Kathode): PbSO4 + H2++ + 2(-e) = Pb + H2SO4
Entladevorgang:
Positive Elektrode (Anode): PbSO4 + H2++ + H2SO4 = PbSO4 + 2H2O 2(-e)
Negative Elektrode (Kathode): Pb + SO4-- = PbSO4 + 2(-e)
H2SO4 + H2O
H2++
– +
SO4--
PbSO4 PbO2PbSO4 Pb
2(-e)2(-e)
H2SO
4 + H
2O
H2++
– +
SO4--
PbO2
PbSO4
Pb PbSO4
2e–2e–
«laden»
Elektronenstrom
«entladen»
Ionenstrom
-23-
0 2 4 6 8 10 12 h t
1,6
1,8
2,2
2,4
2,6
2,8
V
U0
2,0
Laden
Entladen
Elektrische Quellen IV
Beispiele elektrischer Quellen
(2) Der Blei-Akkumulator:
• Beim Entladevorgang ist dieSpannung über eine bestimm-te Zeit nahezu konstant.
• Die Spannung hängt zudem von der Grösse des bei der
Entladung fliessenden Strom-stärke ab.
• Ladungszustand lässt sichanhand der Spannung amAkkumulator bestimmen.
-24-
13
IE
B
u
u
B
n
a
b t = 0
A
Elektrische Quellen V
Beispiele elektrischer Quellen
(3) Elektromechanische Energiewandler: • Drehende Leiterschleifeim Magnetfeld.
• Spannungserzeugung durch Induktion.
• Abgriff über Schleifringe.
Elektromagnet zur Erzeugungdes statischen Magnetfeldes.
Bewegte, d.h. drehende Leiterschleife zurErzeugung der (induzierten) Quellenspannung.
-25-
Beispiele elektrischer Quellen
(3) Elektromechanische Energiewandler:
u =d m
dt=
d
dtB a b cos t( ){ }
= B a b
u
sin t( ) = u sin t( )
u
B
n
a
b t = 0
A
• Wird ein Verbraucher angeschlossen, dann
fliesst ein Strom, bzw.es wird elektrische
Energie umgesetzt.
• Die verbrauchte Leis-tung wird an der Wellemechanisch erbracht.
m t( ) = B n t( )A
dA =
= B a bA
cos t( )
t n
Elektrische Quellen VI-26-
14
u
0
i
Ideale elektrische Quellen I
Elektrisch starre Quellen
(1) Urspannungsquelle:
u = u0 i
Schaltsymbol u
i0
(2) Urstromquelle:
u
i0 i
u
u0
i
i = i0 u
Verbraucherbezugs-pfeilsystem: Quellenhaben gegensinnigeBezugspfeile !
u-i-Kennlinie
Kurzschluss: i ( Rinnen = 0) Leerlauf: u ( Rinnen = )
: Urspannung : Urstromstärke
-27-
( )10 ufu =
2 2´
1 1´1u
( )10 ifu =
2´
1 1´1i
a)
b)
2
( )10 ufi =
1 1´1u
2 2´
( )10 ifi =
1 1´1i
c)
d)
2 2´
Ideale elektrische Quellen II
Gesteuerte Quellen
(a) Spannungsge- steuerte Span-
nungsquelle.
(b) Stromgesteuerte Spannungs-
quelle.
(c) Spannungsge- steuerte
Stromquelle.
(d) StromgesteuerteStromquelle.
Beispiel (Folie 25):
u = f IE( )
-28-
15
Der elektrische Widerstand I
Netzwerkelement und Symbol
Definitionen des ohm’schen Widerstands:
u = R i
R =A
R[ ] =u
i=V
A=
R
i
u
R
a) b)Schaltsymbol Bezugspfeile
i = G u
G =A
G[ ] =i
u=1
R=
=A
V=
1= SElektrischer Widerstand in Ohm. Elektrischer Leitwert
in Siemens.
-29-
0
1
2
3
4
5
6
V
u
R3=10
R2 = 5
R1=1
u
i
u1
u2
i1 i2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A i 0 1 2 3 4 5 V u
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
1,2
A
i
G1=1S
G2= 0,2S
G3= 0,1S
Der elektrische Widerstand II
Strom-Spannungs-Kennlinien
Die Widerstandskennlinie:
R =u
i=
=u2 u1i2 i1
R bzw. G ist die Steigung der entspr. Kennlinie.
G =i
u=
=i2 i1u2 u1
-30-
16
0 1 2 3 4 5 V u
0
6,25
12,5
18,75
25,0
W
p
0 1 2 3 4 5 A i
0
25
50
75
100W
p
G1 =1S
G2 = 0,25 S
R2 = 4
R1 =1
Der elektrische Widerstand III
Die Verlustleistung am elektrischen Widerstand
Verlustleistung als Funktion der elektrischen Grössen:
Die Leistung p wird dem elektrischenSystem entzogen bzw. in Wärme umgewandelt:
Verlustleistung.
QuadratischesVerhalten.
p = u i = R i2 =u2
Rp[ ] = u i[ ] = VA =W Die Leistung
in Watt.
-31-
Schutzschicht Anschlusskappe
Widerstandsdraht Wickelkörper
Technische Bauformen
(1) Der Drahtwiderstand:
• Aufgewickelter Draht ausWiderstandsmaterial wieNickelin, Manganin, usw.(cf. Folien 1-138, 1-141).
• Werte: 1 bis 100 k .
• Präzis einstellbar, dafür teuer.
• Auch für grosse Verlust-leistung erhältlich.
1 – 22 / 50 W24 – 82 k / 6 W
Der elektrische Widerstand IV-32-
17
Schutzschicht Anschlusskappe
Widerstandsmasse
Der elektrische Widerstand V
Technische Bauformen
(2) Der Massewiderstand:
• Körper gefüllt mit homo- gener Widerstandsmasse
wie Bindemittel mit Russoder Graphit.
• Werte: 10 bis 1 G .
• Sehr geringe Herstellungs-kosten, dafür sind die Toleranzen der Wider-standswerte gross.
• Diese Bauform eignetsich für grosse Stück-zahlen.
• Typischer Einsatz in derKonsumerelektronik.2.4 M / ± 20%
-33-
• Dünne Metall- oder Kohle-schicht, ergibt Widerstand:
• Werte: 1 bis 100 k .
• Diese Bauform eignetsich für genaue Wider-stände, d.h. mit kleinenToleranzen und für grosseStückzahlen.
Schutzschicht Anschlusskappe
Widerstandsschicht
a i
Der elektrische Widerstand VI
Technische Bauformen
(3) Der Schichtwiderstand:
R =a2
i2( )
56 k / ± 1%(Metallschicht)
-34-
18
2.4 M / ± 5%
} Metall-Schicht-
widerstände
Kohle-Schicht-
widerstände
Der elektrische Widerstand VII
Technische Bauformen
(4) Farbcode für Widerstandswerte (DIN IEC 62):
Farbe A B C Multiplikator Toleranz Temperaturkoeffizient
-35-
Der elektrische Widerstand VIII
Technische Bauformen
(4) Farbcode für Widerstandswerte (DIN IEC 62):
2.4 M / ± 5%
24 100 k
± 5%
-36-
19
Der elektrische Widerstand IX
Technische Bauformen
(5) Internationale Normenreihe für Widerstandswerte (E-Reihen, DIN IEC 63):
En = Enk En
k= 10 round 10kn( ); k = 0,1,…,n 1{ }
E 6: 10 15 22 33 47 68 ± 20%
E 12: 10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 ± 10%
E 24: 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 … ± 5%
E n: n = 6, 12, 24, 48, 96, 192.
(6) SMD-Widerstände (Surface Mounted Device):
Beschriftete Widerstände mit sehr kleinen Abmessungen für eng bedruckte Schaltungen
E 24: 2.4 2R4 R [1,10] ± 5%, ± 2% 24 24R R ]10,100] ± 5%, ± 2% 240 k 244 4: Anzahl Nullen R ]100,107] ± 5%, ± 2%
0.2 mm 0.4 mm
-37-
Der elektrische Widerstand X
«Extreme» Widerstandsbauformen
110 kW / 1.8 m
Widerstandssensor
(Nano-Thermometer)Hochleistungswiderstand:
SMD-Widerstände
(Lokomotivbau, usw.)
Mikrowellen-Widerstände (SMD)
(cf. Folie 10)
-38-
20
Der Kondensator I
Die Parallelplatten-Anordnung
Prinzipieller Aufbau:
• Wichtig: Siehe hierzu auch Folien1-58, 1-87 bis 1-88 (Ladung undD-Feld) und 1-89 (Ladung und Spannung) bzw. Folie 1-107 zum Energieinhalt !
• Zweielektrodenanordnung: Mit dem Anlegen einer Spannung wird einelektrisches Feld dazwischen ausge-bildet und Ladungen auf die Platten aufgebracht: Speicherung von Ladun-gen und elektrischer (Feld-)Energie.
• Eine solche Anordnung (ein solcheselektrisches Speicherelement) heisst«Kondensator».
• Der Vorgang des «Aufbringens» heisst «laden» des Kondensators.
E,D
+ Q
A
d u
Q
r
-39-
+ + + + + + + + + +- - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + +- - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - -
+
-
b) c)a) t = 0
iL
iL
+ Q
Q
U0 U0
U0 E E
Q = 0
Q = 0
t < 0 t > 0
Der Kondensator II
Laden des Kondensators
(1) Der Ladevorgang:
Keine Spannung,kein Feld,keine Ladung.
Spannung wird angelegt,es existiert ein E-Feld,es erfolgt Ladungstren-nung durch Influenz.
Quelle «saugt» auf der oberen Platte die negative Träger ab und schiebt sie auf die untere Platte, wo sie die positven Ladungen kompensieren. «Schieben» Ladestrom iL.
Spannungsquelle liefert positive Ladung auf die obere Platte und negative Ladung auf die untere Platte.
alternativeLesart !
-40-
21
Der Kondensator III
Laden des Kondensators
(2) Fazit: • Der Kondensator speichert die positive Ladung auf der einen Platte und diegleiche Menge an negativer Ladung auf der gegenüberliegenden Platte.
• Durch das zwischen den Platten existierende elektrische Feld speichert der Kondensator auch elektrische (Feld-)Energie.
• Im geladenen Zustand kann keine Energie mehr zugeführt werden, d.h. eskann kein Strom mehr fliessen.
Bei Anlegen einer Gleichspannung an den Kondensator fliesst, abge-sehen vom Ladestrom, kein elektrischer Strom über den Kondensator.
• Das bleibt so, solange nichts an der Kondensatoranordnung geändert wird,d.h. es bleibt so, selbst wenn die Spannungsquelle abgehängt wird.
• Wird der geladene Kondensator an einen Widerstand angeschlossen, so fliesst ein Strom, der Kondensator wird entladen. Durch den Entladestrom
werden die positiven und negativen Ladungen ausgeglichen, d.h. alle gespeicherten Grössen werden abgeführt.
-41-
i t( )
+Q t( )
Q t( )
E t( ) ,D t( )
u t( )
u t( )
Der Kondensator IV
Die Kapazität des Kondensators
Bezugspfeile und Bezugsgrössen:
Q =0 r A
du = :C u
• Vereinbarung: Unter Ladung Qwird die Ladung verstanden,die sich auf der Elektrode be-findet, an welcher der Bezugs-pfeil der Spannung beginnt(siehe hierzu auch Folie 1-107).
• Spannung und Ladung verhal-ten sich im Kondensator pro-portional zueinander (sieheFolien 1-89 und 1-106).
• Die Proportionalitätskonstanteheisst Kapazität C:
C =Q
uC[ ] =
As
V=s= F Die Kapazität
in Farad.
Verbraucherbezugs-pfeilsystem !
-42-
22
Der Kondensator V
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(1) Zur Stromstärke:
i t( ) =dQ t( )dt
= 0 r A
d
du t( )dt
i t( ) = Cdu t( )dt
• Varierende Spannung (z.B. eineWechselspannung) am Konden-sator: ständiger Lade- und Ent-ladevorgang.
• Gemäss Folie 42 wird auchständig Ladung aufgebrachtbzw. weggeführt: es fliesst einStrom, solange u(t) sich ändert:
i t( )
+Q t( )
Q t( )
E t( ) ,D t( )
u t( )
u t( )
Verbraucherbezugs-pfeilsystem !
Die elektrische Stromstärke i(t) am Kondensatorist proportional zur zur Zeitableitung der Spannung, mit der Kapazität C als Proportionalitätskonstante.
-43-
• Frage : Fliesst der Stromi(t) am, zum oder durch denKondensator?
• Stromfluss i(t) verändert aberlaufend die Ladungen ± Q(t).
• Die Elektrodenladungen sindAnfangs- und Endpunkte derelektrischen Flussdichte D.
H t( )
A
K
A
K n
+Q t( )
Q t( )
D t( )
H t( )
H t( )
i t( )
i t( )
u t( )
u t( )
n
L A
L
J t( )
Der Kondensator VI
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:
Q = D n dAdFAk
dQ
dt=d
dtD n dA
dF
= iAk
i= J nL dAAL
-44-
23
• Es sieht so aus, als würde die Leitungs-stromdichte J zwischen den Plattendurch die sogenannte Verschiebungs-stromdichte JD = dD/dt fortgesetzt, fallsdie Elektrodenladungen zeitabhängigsind.
• Die Verschiebungsstromdichte schliesstden Stromkreis Quelle-Kondensator;selbst bei Vakuum (!) zwischen denElektrodenplatten.
Der Kondensator VII
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:
i = J nL dA =
AL
dQ
dt=d
dtD n dA
dFAk
=dD
dtn dA
Ak
:= JD n dAAk
interessante Interpretation !
dD
dt
i t( ), j t( )
i t( ), j t( )
u t( )
-45-
• Frage : Ist die Verschiebungsstromdichte dD/dt wirklich eine physikalische Stromdichte zumal ja keine Ladungsträger zwischen den Platten fliessen?
• Besser: Hat dD/dt die gleichen Eigenschaften wie eine reale Stromdichte?Will heissen: Kann die Verschiebungsstromdichte dD/dt auch ein Magnetfeld erzeugen?
Der Kondensator VIII
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:
i = H dsC
=
= J nL dAAL
=dD
dtn dA
Ak
dD
dt
i t( )
u t( )
H
H
i t( ) H
• Antwort : Aus der Kontinuität von dD/dt und der Stromdichte J folgt über das Durch-flutungsgesetz der Nachweis des H-Feldes:
-46-
24
• Elektrische Ströme i / StromdichtenJ, als auch Verschiebungsströme /Verschiebungsstromdichten dD/dt sind Erzeugende des magneti-schen Feldes.
• Beide bestimmen das Magnetfeld in ihrer Umgebung entsprechend des um die Gesamtstromdichte erweiterten Durchflutungsgesetzes(siehe auch Folie 1-193):
Der Kondensator IX
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(3) Das verallgemeinerte Durchflutungsgesetz:
H dsC
= J n dAA
+d
dtD n dA
A
Jges = J +dD
dt
Antworten:
Der Strom fliesst bei zeitlich veränderlicherAnregung «durch» den Kondensator.
Der Verschiebungsstrom ist ein real exis-tierender Strom, der auch im Vakuum
«fliessen» kann. Im Dielektrikum lässt sichdieser Wechselstrom über die zeitlich ver-änderliche Polarisation versinnbildlichen.
(cf. Folie 1-193)
-47-
i
u
C
Der Kondensator X
Netzwerkelement und Symbol
(1) Schaltsymbol:
i = Cdu
dt
u =1
Ci( ) d
0
t
+ U0
Mathematisches Netzwerkmodell des Kondensators.
«Eimer-Analogie»:u: Füllstand; i: Volumenstrom; Q: Füllmenge C: Querschnittsfläche des Eimers
(3) Spannungen und Ströme:
(2) Definitionsgleichung:
Q = C u
Verbraucherbezugs-pfeilsystem !
-48-
25
Q,i,u ( )tQ
( )tu
( )ti
0
4T 2T 43T T t
a)
Q,i,u
( )tQ
( )tu
4T 2T 43T T t
( )ti
b)
0
Der Kondensator XI
Zeitliche Variation der
Zustandsgrössen
• Strom hat Nulldurchgang beiSpannungsextremum.
• Aus der Lage der Nulldurchgänge:Der elektrische Strom eilt derSpannung um T/4 voraus.
• Beim nichtsinusförmigen Verlaufhaben Strom und Spannungnicht mehr dieselbe Form.
• Komplikation bei Digitaltechnik.
u t( ) : Q t( ) u t( )
i t( ) u t( )
u t( ) := u sin t( )
-49-
d E D
+ Q A
u
Q
0 r
Der Kondensator XII
Im Kondensator gespeicherte Energie
Wel =1
2E D V =
1
2
u
dE
Q
AD
A d
V(Folie 1-107)
GleichwertigeAustrücke fürdie Energie.
Wel =1
2Q u
=1
2C u2
=1
2
Q2
C
Im elektrischen Feld eines Konden-sators wird Energie gespeichert. Siewird aus der Spannung u zwischen denElektroden, der Ladung Q auf den Elek-troden und der Kapazität C bestimmt.
-50-
26
Der Kondensator XIII
Spezielle Bauformen
(1) Der Kugelkondensator:
e = D n dAA
=
= D n dAA
= D dAA
=
= D dAA
= 4 r2 D =+ Q
• Berechnung des elektrischen Flusses e
durch die (gestrichelte) Kugelhüllfläche A:
• Aus Symmetriegründen ist das D-Feld rein radial gerichtet, wie auch der Flächen-
normalenvektor.
Aus Symmetriegründen ist das D-Feldauf der konzentrischen Hüllfläche konstant.
siehe Folie 1-60
-51-
E
E
max
Metall Metall Dielektrikum Luft
E
min
~1
r2
0 r ri
rai
ra
Der Kondensator XIV
Spezielle Bauformen
(1) Der Kugelkondensator:
D =+ Q
4 r2
E =+ Q
4 0 r r2
Emax
=+ Q
4 0 r ri2
Emin
=+ Q
4 0 r rai2
-52-
27
Der Kondensator XV
Spezielle Bauformen
(1) Der Kugelkondensator:
u = E dsri
rai
= E drri
rai
= E drri
rai
= E n drri
rai
= E drri
rai
=+ Q
4 0 rr2 dr
ri
rai
=+ Q
4 0 r
1
r ri
rai
=Q
4 0 r
rai rirai ri
• Die Spannung u:
• Die Kapazität C:
C =Q
u=4 0 r rai ri
rai ri=4 0 r
1ri
1rai( )
siehe Folie 42
Die Kapazität C ist wie aus Folie 42auch hervorgeht, nur von der Geo-metrie und dem Material abhängig.C , falls der Abstand null wird.
-53-
Qr0
n
u
ED
i
ai a D,E
u r0
Q+
n
n
Der Kondensator XVI
Spezielle Bauformen
(2) Der Zylinderkondensator:
• Idealisierung: >> , d.h. ver-
nachlässige die Streufelder.
• Es gibt daher nur radial aus-
gerichteteFelder.
• Aber:In der Praxissind die Kon-densatoreneher «kurz».
-54-
28
e = D n dAA
= D n dAAM
= D dAAM
= D dAAM
=2 D =Q
D =Q
2E =
Q
2 0 r
Emax
=Q
2 0 r i
Emin
=Q
2 0 r ai
u = E dsi
ai
= E d =
i
ai Q
2 0 r
di
ai
=Q
2 0 r
ln ai
i
Der Kondensator XVII
Spezielle Bauformen
(2) Der Zylinderkondensator:
• Berechnung des elektrischen Flusses e durch die Zylindermantelfläche AM:
C =Q
u=2 0 r
ln ai
i
• Berechnung der Kapazität C:
-55-
Metall Dielektrikum Metall Luft
~1
E
E
max
E
min
i 0
0
ai a
Der Kondensator XVIII
Spezielle Bauformen
(2) Der Zylinderkondensator:
E =Q
2 0 r
Emax
=Q
2 0 r i
Emin
=Q
2 0 r ai
-56-
29
Zuleitungen
Metall
Metall
Dielektrikum
Dielektrikum
Metall
a)
Metall-
Belegung
Dielektrikum
Zuleitungen
b)
Dielektrikum Drahtring
Metall-
Belegung
c) d)
Metall
Lot
Dielektrikum
Der Kondensator IXX
Technische Bauformen
(a) Wickel-kondensator.
(b) Scheiben-kondensator
(c) Röhren-kondensator
(d) Chip- Kondensator.
Nicht abgebildet:Elektrolytkond.,Tantalkond.
0.1 pF – 0.1 F
0.5 F – 10 mF
-57-
Grundfarbe
50 V -
16 V -,25 V-
grün
violett
siehe Tabellenächste Folie
A B Mult. Tol.
Werkstoffe, hier nicht weiter
spezifiziert
Der Kondensator XX
Technische Bauformen
Kennzeichnung der Kapazitätswerte:
Kennwerte von Zylinder-Kondensatoren(i.e. Röhrenkondensatoren):
-58-
30
Der Kondensator XXI
Technische Bauformen
Kennzeichnung der Kapazitätswerte:
Kennwerte von Keramik- Scheibenkondensatoren:
Kapazitätswerte werdenaufgedruckt:
p63 = 0.63 pF
6p3 = 6.3 pF
63p = 63 pF
n63 = 0.63 nF = 630 pF
6n3 = 6.3 nF
Toleranzwerte werden mitKennbuchstaben gemäss Tabelle angegeben.
Grundfarbe des Kondensatorkörpers kenn-zeichnet die Werkstoffklasse, die Farbe deroberen Kappe das Material.
-59-
Der Kondensator XXII
Superkondensatoren als Energiespeicher
Elektrolyt-Kondensatoren («Elkos»):
Kondensatorbank z.B. für dieunterbruchsfreie Stromversorgungvon Rechnern und Kleinanlagen. 3000 F !
• Elektrolyt (flüssig, feucht) alsDielektrikum.
• Achtung! Polarität der An-schlüsse ist stets zu beachten!
-60-
31
Die Spule I
Die Toroidspule
(1) Aufbau und Abmesssungen:
Mit r >> 100:
• Tritt das Magnet-feld nur im Eisen-kern auf.
• Ist das Magnet-feld homogen
verteilt bezüglichder Breite b.
-61-
Die Spule II
Die Toroidspule
(2) Zum Betriebsverhalten:
Fall #1: Spule an Gleichspannung U:
• Es fliesst, abgesehen vom Einschaltvorgang, der Strom I, welcher nur durch den ohmschen Widerstand des Spuhlendrahtes gegeben ist.
Fall #2: Spule an Wechselspannung u:
• Die Zeitabhängigkeit der Spannung u(t) sei sinusförmigbzw. kosinusförmig und charakterisiert durch denScheitelwert û und die Kreisfrequenz .
• Verhältnis zwischen Strom und Spannung lässt sich hier nichtmehr so ohne Weiteres angeben!
• Wirkungen des Magnetfeldes müssen in das «Verhältnis» mit einbezogen werden.
• Stichwort: Induktionsgesetz.
I =U
R
u = u cos t( )
u i
H,B
-62-
32
H dsC
= H dsC
= H dsC
= H 2 r = = w i
H =w i
2 rB = μ0μr H = μ0μr
w i
2 r
Die Spule III
Die Toroidspule
(2) Das Magnetfeld:
• Gebrauch des Durchflutungsgesetzes:
Aus Symmetriegründen ist das H-Feld wie auch der Integrationsschritt ds auf C gleichsinnig gerichtet.
Aus Symmetriegründen ist das H-Feld entlangdes Integrationsweges C konstant.
-63-
Luft Eisenkern Luft
r~
1
mrir ar r
B
μ0μ
r
w i
2 ri
μ0μ
r
w i
2 rm
μ0μ
r
w i
2 ra
Die Spule IV
Die Toroidspule
(2) Das Magnetfeld:
• Die magnetischeFlussdichte istkonstant entlangder Breite b.
• Die magnetischeFlussdichte variiert
mit dem Radius r,d.h. entlang derDicke a der Toroid-spule.
-64-
33
Die Spule V
Die Toroidspule
(2) Der magnetische Fluss:
Näherungsrechnung für kleine Werte der Dicke a; d.h. die magnetische Flussdichte istnäherungsweise konstant über den Querschnitt A = a·b.
a = ra ri( ) klein
m = B n dAA
=μ0μr w i
2b
1
rri
ra
dr m =μ0μr w b
2ln
rari
i
B Bm =μ0μr w i
2 rm=μ0μr w i
= const. rm =ra + ri2
m Bm n( ) A m =μ0μr w A
i
-65-
Die Spule VI
Die Toroidspule
(3) Zum Induktionsgesetz:
uind =d m
dt=
uind =μ0μr w b
2ln
rari
di
dt
• Induzierte Spannung in einer Windung gemäss der magnetischen Flüsse aus Folie 65:
(vergleiche hierzu auch Folien 1-285 ff.)
uind =d m
dt=
uind =μ0μr w A di
dt
(A) exakt:
(B) genähert:
-66-
34
B
n
n
B
0ind <i
0>i
0d
d m>+=
tu
0d
d a)
m>
t
0d
d b)
m<
t
0d
d m<+=
tu
0>i
R
0ind >i
0ind <u
0ind >u
R
1
1‘
1
1‘
Die Spule VII
Induzierte Spannung und induktive Spannung
Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung und Strom:
• Angelegte Spannung u bewirkt einen elektrischen Strom i in der Schleife
(Richtungen nach dem Verbraucher-pfeilsystem).
• Annahme: Es sei du/dt > 0 und somitauch di/dt > 0.
• Magnetische Flussdichte B und Flächen-normalenvektor sind gleichsinnig gerichtet.
• Magnetischer Fluss m mit Bezugspfeil ent-sprechend dem Flächennormalenvektorwird daher positiv berechnet: d m/dt > 0.
• Induzierte Spannung uind in einer Win-dung, die im Rechtsschraubensinn zumFlächennormalenvektor gezählt wird, istwegen uind = – d m/dt negativ !
-67-
Die Spule VIII
Induzierte Spannung und induktive Spannung
Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung und Strom:
• Maschenspannung in der Leiterschleife (cf. hierzu auch Beispiel aus Folie 1-266):
R i t( ) u t( ) = uind =d m
dtR 0 :
u t( ) = uind =d m
dt
u t( ) = uind = +d m
dt
u = uind
(ideale Spule ohne ohm’schen Widerstand)
Induktive elektrischeSpannung
Fliesst durch die Leiterschleife(Spule) ein zeitabhängiger elektrischerStrom, so wird in der Schleife eineSpannung uind induziert, welche denAufbau des Magnetfeldes (bzw. denStromfluss) zu verhindern versucht(Lenz’sche Regel). Es muss vonaussen eine Spannung u angelegtwerden, die gerade uind kompensiert,damit ein Strom fliessen kann.
Haben die Spannung u und derStrom i gleichgerichtete Bezugspfei-le (Verbrauchersystem), dann ist dieSpannung u gleich der negativeninduzierten Spannung uind und heisst«induktive elektrische Spannung».
-68-
35
• Bisherige Betrachtungen waren bezüglich einer Windung.
• Bei w Windungen umschliesst der Spulendraht den magnetischen
Fluss m w mal; oder:
• Der magnetische Fluss m durch-setzt die vom Spulendraht aufge-spannte Fläche w mal. Damit ist:
• Die Grösse = w· m heisst verketteter magnetischer Fluss.
• Einheit: [ ] = [ m ] = Vs = Wb.
Die Spule IX
Der verkettete magnetische Fluss
Spule mit w Windungen:
u = wd m
dt=:d
dt
Induktive elektrische Spannung
-69-
(A) exakt:
Die Spule X
Die Induktivität der Spule
Beispiel: «Toroidspule»
= w m =μ0μr w
2b ln rari( )
2i
= w m =μ0μr w
2 Ai(B) genähert:
Der mit der Spule verkettete magnetische Fluss ist direkt proportional zur Stromstärke i durch
die Spule. Die Proportionalitätskonstante heisstInduktivität L der Spule. L hängt nur von derGeometrie und dem Material der Spule ab.
= L i(C) allgemein:
L =i
L[ ] =Vs
A= H «Henry»
L =μ0μr w
2b ln rari( )
2
L=μ0μr w
2A
w2 A 1( )
-70-
36
u,,i ( )t
4T 2T 43T T t
0
(t)u
(t)i
Die Spule XI
Zeitliche Variation der Zustandsgrössen
u = wd m
dt=d
dt= L
di
dt
Die elektrische Spannung ueilt dem Strom i durch dieSpule eine Viertelperiodevoraus, bzw. der Strom iist nacheilend.
u t( ) = Ldi t( )dt
i t( ) := i cos t( )
-71-
a)
b)
u
u
i
i
L
L
Die Spule XII
Netzwerkelement und Symbol
(1) Schaltsymbol:
= L i
MathematischesNetzwerkmodellder Spule
u = Ldi
dti =
1
Lu ( ) d
0
+ I0
(2) Definitionsgleichung:
(4) Spannungen und Ströme:
(3) Zum Netzwerkelement:
• Idealisierung besteht in der Ver-nachlässigung des Drahtwiderstan-des und der Wicklungskapazität.
• (a) Altes IEC-Symbol;(b) Aktuelles DIN-Symbol.
Verbraucherbezugs-pfeilsystem !
-72-
37
μ
0μ
r A
i
a
w
a
Die Spule XIII
Energieinhalt der Spule
(1) Zur Induktivität der «rechteckigen» Spule:
Wm =1
2H B V = :
1
2H B V
• Herleitung siehe Folien 1-283 bis 1-287:
A = a2
• Voraussetzungen: Lange Spule, Magnet-feld nur im Innern vorhanden; äusseresStreufeld wird vernachlässigt:
H = H e B = B e
H =w i
B =μ0μr w i
= w m = w B n( ) a2
-73-
Die Spule XIV
Energieinhalt der Spule
(1) Zur Induktivität der «rechteckigen» Spule:
• Induktivität: Zeigt den selben Ausdruck wie bei der Näherungsrechnung für die Toroid-Spule (Folie 70).
= w B n( ) a2 =μ0μrw
2a2i
L =i=μ0μrw
2a2=μ0μrw
2A
• Formfaktor der Induktivität ist das Feldvolu-men, welches wie folgt parametrisiert ist.
V = A : Mittellinie
A: Querschnittsfläche
A
-74-
38
Die Spule XV
Energieinhalt der Spule
(2) Im Magnetfeld gespeicherte Energie:
Mit dem H- und dem B-Feld aus Folie 73 ergibt sich für die Energie:
H =w i
B =μ0μr w i
Wm =1
2
w i μ0μr w iVA
Wm =1
2
μ0μr w2 A
i2 =1
2L i2
Wm =1
2
μ0μr w2 A
i i =1
2i
Wm =1
2
μ0μr w2 A
1
2=1
2
2
L
Wm =1
2L i2
Wm =1
2i
Wm =1
2
2
L
Äquivalente Darstellungen
-75-
Die Spule XVI
Berechnung spezieller Induktivitäten
Beziehungen zur Induktivität:
Die Induktivität lässt sich auch ohne ver-ketteten Fluss, d.h. über den Energieinhaltder Spule bestimmen: innere Induktivität.
= L i
u = Ldi
dt
L
Wm =1
2L i2 L =
2 Wm
i2
Die Bestimmung von Induktivitäten sollnun anhand von zwei Beispielen ausder Praxis dargestellt werden. Hierbeiwerden zwei verschiedene Anteile derInduktivität in Erscheinung treten.
-76-
39
Die Spule XVII
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(1) Betrachtete Anordnung:
• In der unendlich langen Doppelleitung wird die Fläche unendlich gross.
• Der magnetische Flussist auch unendlich gross.
• Wie erfasst man L ?
• Induktivitätsbelag L’ = H/m
Aa: «äussere»Fläche
Ai: «innere»Fläche
H =i
2 xez
i
2 d x( )ezIn der xy-Ebene:
-77-
Die Spule XVIII
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(2) Die äussere Indukivität La:
Den verkettete Fluss durch die «äussere» Fläche mit der erzeugenden Stromstärke in Verbindung bringen.
a =
w=1
ma = B n dAAa
=μ0i
2
1
x+
1
d x0
d 0
dx
=μ0i
2ln
d 0
0
ln 0
d 0
=μ0i ln
d 0
0
La =La = a
i=μ0 ln
d 0
0
d 0 La =μ0 ln
d
0
negatives Vorzeichenfällt weg, da das B-Feld und der Bezugs-pfeil von m die gleicheRichtung (-z) haben.
-78-
40
0 2 4 6 8 10 12 cm d
0
2
4
La
μ0
0
0,2 cm
0,4 cm
1,0 cm
2,0 cm
Die Spule XIX
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(3) Der äussere Indukivitätsbelag La’:
La =μ0 ln
d
0
-79-
Die Spule XX
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(4) Die innere Indukivität Li :
Ai =A1 +A2
• Durch die innere Fläche Ai
tritt auch ein verketteter Fluss.
• Symmetrie: Es muss der ge-samte verkettete Fluss nur füreinen Leiter berechnet wer-den. Für beide Leiter gilt dannentsprechend das Doppelte.
• Abstand d >> 0 der Leiter sei gross: nur «eigenes» H-Feld zählt innerhalb von 0.
• Im Leiterinnern A1 ist der Fluss nicht mehr mit dem gesamten
Strom i verkettet; es gilt:
Ai : «innere»Fläche
i =i
02 x2 = i
x2
02
-80-
41
Die Spule XXI
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(4) Die innere Indukivität Li :
H =i
2 02 B =
μ0μr i
2 02
Wmi =1
20
0
H B 2 d =
=μ0μr i
22
8 204
3d0
0
=μ0μr i
2
16
• Die Durchdringung des verketteten Flusses mitdem zugehörigen «ortsabhängigen» Strom be-darf einer allgemeinen Fassung von = L·i.
• Wir gehen den anderen Weg über die Energie:
Folie 1-196
-81-
Die Spule XXII
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(4) Die innere Indukivität Li :
Li = 22 Wmi
i2 =
μ0μr
4
Der Faktor 2 steht für die Berück-sichtigung der beiden Leiter.
(5) Die gesamte Indukivität L:
L = La + Liμ0 ln
d
0
+μ0μr
4
(6) Der Induktivitätsbelag L’ der Doppelleitung :
L =L μ0 ln
d
0
+μr
4
Die Doppelleitung setzte sich auseinem äusseren und inneren Be-reich zusammen: Induktivitäts-beiträge können addiert werden.
-82-
42
Die Spule XXIII
Beispiel: «Koaxialleitung»
(1) Zur Anordnung:
Das Magnetfeld der Koaxialleitungwurde bereits auf Folie 1-208 bis1-211 hergeleitet:
B =μ0μr i
2 i2
B =μ0 i
2
B =μ0μr i
2 i2 1
2ai2
a2
ai2
Leiterabschnittder Länge
-83-
a = ma = B n dAA
=μ0i
2d
i
ai
=μ0i
2ln ai
i
La =a
i=μ0
2ln ai
i
Die Spule XXIV
Beispiel: «Koaxialleitung»
(2) Die äussere Indukivität La:
Die äussere Induktivität ergibt sichaus der Verkettung des magnetischenFlusses im «Leiterzwischenraum» mitder erzeugenden Stromstärke.
(3) Die innere Indukivität Li:
Die innere Induktivität berechnet sich wiederum über dieEnergie unter Berücksichtigung der magnetischen Felder ausFolie 82. Die resultierenden Ausdrücke sind kompliziert undsollen hier nicht explizit hergeleitet werden.
-84-
43
Wmi =μ0μr i
2
16+μ0μr i
2
41+
2 ai2
a2
ai2 +
2 ai4
a2
ai2( )
2 ln a
ai
1 ai2
a2
ai2 + a
2 + ai2
4 a2
ai2( )
Li =μ0μr
8+μ0μr
21+
2 ai2
a2
ai2 +
2 ai4
a2
ai2( )
2 ln a
ai
1 ai2
a2
ai2 + a
2 + ai2
4 a2
ai2( )
Die Spule XXV
Beispiel: «Koaxialleitung»
(3) Die innere Indukivität Li:
Beitrag des (einzigen)Innenleiters (cf. Folien81 und 82).
-85-
Li =μ0μr
8+μ0μr
21+
2 ai2
a2
ai2 +
2 ai4
a2
ai2( )
2 ln a
ai
1 ai2
a2
ai2 + a
2 + ai2
4 a2
ai2( )
Die Spule XXVI
Beispiel: «Koaxialleitung»
(3) Die innere Indukivität Li:
Beitrag desInnenleiters(konstant)
Beitrag desAussenleiters(sehr klein)
L = Li + Laμ0μr
8+μ0
2ln ai
i
(4) Der Induktivitätsbelag der Koaxialleitung L’:
(siehe hierzu auch Folie 84)
-86-
44
0 2 4 6 8 10 cm ai
L i , μr =1
La
i = 0,1cm
0
2
4
6
8
10
12
14
16
La
μ0
8
,
L i
μ0
8
La
i = 0,5 cm
Die Spule XXVII
Beispiel: «Koaxialleitung»
(5) Zum Induktivitätsbelag der Koaxialleitung:
Lμ0
2ln ai
i
+μr
4
La Li
Wandstärke des Aussen-leiters: 0.2 cm.
Merke: Falls i gross wird,d.h. in die Nähe von ai
rückt, dann kann der Bei-trag von Li’ gross werden.
hier gemäss Formel aus Folie 86
-87-
Die Spule XXIX
Bauformen technischer Spulen
(1) Auswahl verschiedener Spulentypen:
Bauarten:
• Luftspulen (> 500 MHz)
• Spulen mit Magnetkern
• Toroidspulen
• Schalenkernspulen
Spulenkerne:
• Geschichtete, mit Papierisolierte, dünne Eisen-bleche mit r = 100 –10’000.
• Ferrit-Kerne, d.h. gesin-tertes Eisenoxid-Keramikfür mittelfrequente An-wendungen.
Integrierte Mikro-wellen-Spulen(1 GHz – 0.5 THz)
-88-
45
(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i1: Das Magnetfeld bzw. Fluss 11
wird erzeugt:
Das Magnetfeld der Spule 1 koppelt auch in die Spule 2:
Gekoppelte Spulen I
Die Gegeninduktivität
(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität:
11 = w1 m1 =
= w1 B1 n1 dAA1
21 = w2 m21 =
= w2 B1 n2 dAA2
-89-
(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i1:
m21 ist der von der Spule 1 durch den Querschnitt A2 der
Spule 2 erzeugte magnetischeFluss, welcher den mit derSpule 2 verketteten magne-tischen Fluss 21 hervorruft.Wir schreiben nun:
Eigen-Induktivität
Gegen-Induktivität
M21 = f(Geometrie 1 und 2, gegenseitige Lage)
Gekoppelte Spulen II
Die Gegeninduktivität
(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität:
11 = L1 i1
21 =M 21 i1
-90-
46
(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i2:(der Strom i1 := 0 A)
Das Streufeld der Spule 2 koppelt auch in die Spule 1und es ergibt sich:
Gekoppelte Spulen III
Die Gegeninduktivität
(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität:
22 = w2 m2 =
= w2 B2 n2 dAA2
12 = w1 m12 =
= w1 B2 n1 dAA1
-91-
Gekoppelte Spulen IV
Die Gegeninduktivität
(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität:
(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i2:
m12 ist der von der Spule 2 durch den Querschnitt A1 der
Spule 1 erzeugte magnetischeFluss, welcher den mit derSpule 1 verketteten magne-tischen Fluss 12 hervorruft.Wir schreiben nun:
Eigen-Induktivität
Gegen-Induktivität
M12 = f(Geometrie 1 und 2, gegenseitige Lage)
22 = L2 i2
12 =M12 i2
-92-
47
Gekoppelte Spulen V
Die Gegeninduktivität
(2) Zwei stromführende Spulen:
Durch Spule 1 fliesst Strom i1 und gleichzeitig fliesst durch Spule 2 der Strom i2:Da alle Beziehungen linear sind können die damit verknüpften verketteten Teilflüsseüberlagert werden:
1 = L1 i1 +M12 i2
2 =M 21 i1 + L2 i2
1 = 11 + 12
2 = 21 + 22
Frage: Wie verhalten sich die beiden Gegeninduktivitäten M12 und M21 zueinander? Annahme: der Raum zwischen den beiden Spulen sei isotrop.
Es sei: (1) i1 = I1 und i2 = 0: Erstes Gedankenexperiment.
Wm1 =1
2L1 I1
2 Wm2 = 0
-93-
Wm =1
2L1I1
2+ uind1i1 uind2i2( ) dt
0
t
=
=1
2L1I1
2+ M12I1 di2
0
I2
+ L2I2 di2 =0
I2 1
2L1I1
2+M12I1I2 +
1
2L2I2
2
Gekoppelte Spulen VI
Die Gegeninduktivität
(2) Zwei stromführende Spulen:
(2) i1 = I1 und i2 = 0 I2 : Verkopplung führt nun zur gegenseitigen Beeinflussung, d.h.zur Änderung der verketteten Flüsse in Spule 1 und Spule 2. Dadurch wird in beidenSpulen je eine (Gegen-)Spannung induziert.
uind1 =d 12
dt= M12
di2dt
uind2 =d 21
dt= M 21
di1dt
Damit i2 = 0 I2 müssen beim Aufbau des Magnetfeldes diese Gegenspannungenüberwunden werden, d.h. es wird daher folgende Energie im Feld gespeichert.
Energieinhalt Spule 1
Arbeit um die durch di2 in Spule 1 induzierte Spannung zu überwinden.
Arbeit für Feld-Aufbau in Spule 2
-94-
48
Gekoppelte Spulen VII
Die Gegeninduktivität
(2) Zwei stromführende Spulen:
(4) i2 = I2 und i1 = 0 I1 : Damit i1 = 0 I1 müssen beim Aufbau des Magnetfeldesdiese Gegenspannungen überwunden werden, d.h. es wird daher folgende Energieim Feld gespeichert.
Wm =1
2L2I2
2+ M 21I2 di1
0
I1
+ L1I1 di1 =0
I1 1
2L2I2
2+M 21I2I1 +
1
2L1I1
2
(3) i2 = I2 und i1 = 0: Umgekehrtes Gedankenexperiment.
Wm1 = 0 Wm2 =1
2L2 I2
2
(5) Fazit: Da im Endzustand in beiden Gedankenexperimenten jeweils die gleichen Ströme fliessen müssen,
gilt für die Gegeninduktivitäten:
M12 = M 21 :=MGekoppelte Spulensind bezüglich dergegenseitigen Ver-kopplung reziprok.
-95-
Gekoppelte Spulen VIII
Die Gegeninduktivität
(3) Zusammenfassung:
1 = L1 i1 +M i2
2 = M i1 + L2 i2
Der verkettete magnetische Fluss inzwei magnetisch verkoppelten Spulenist direkt proportional zu den elektri-schen Stromstärken in den Spulen
Die Proportionalitätskonstanten sinddie Eigeninduktivitäten L1 und L2 derbeiden Spulen sowie die Gegen-induktivität M zwischen den Spulen.
Für die Einheiten gilt demnach:
[L1] = [L2] = [M] = Vs/A = H (Henry)
u1 = L1di1dt
+Mdi2dt
u2 = Mdi1dt
+ L2di2dt
Die an den Klemmen zweier gekoppeltenSpulen anliegenden elektrischen Span-nungen u1 und u2 setzen sich aus zweiAnteilen zusammen: Der eine Anteil istProportional zur Stromänderung in derbetrachteten Spule, der andere Anteil istproportional zur Stromänderung in derverkoppelten Spule.
-96-
49
Gekoppelte Spulen IX
Die Bezugspfeilordnungen
(1) Die physikalische Anordnung: • Verbraucherbezugspfeilsystem
• Bezugspfeile werden an den beiden Spulen so gewählt,
dass die jeweiligen Bezugspfeileder Stromstärken bzw. der Span-nungen parallel zueinander liegen.
• Flächennormalenvektor bzw.der Bezugspfeil des verkettetenmagnetischen Flusses steht zurelektrischen Stromstärke imRechtsschraubensinn.
• (a) Gleichsinnig gewickelt: Jeeinen positiv verketteten FlussMit L1 und L2 > 0 M > 0
• (b) Gegensinnig gewickelt: DieSpule 1 hat einen positiven, dieSpule 2 einen negativen Fluss.Mit L1 und L2 > 0 M < 0gleichsinnig gewickelt gegensinnig gewickelt
-97-
Gekoppelte Spulen X
Die Bezugspfeilordnungen
(2) Schaltsymbole der gekoppelten Spulen:
Gleichsinnig gewickelteSpulen (Punkte an glei-chen Enden)
Gegensinnig gewickelteSpulen (Punkte an un-gleichen Enden)
GleichwertigeSchaltsymbole
M < 0
M > 0
Niederfrequenz-und Energietechnik
Hochfrequenz-technik
-98-
50
M
M < 0
u1
i1
L1
a) b)
i1
i2 i2
u1 u2 u2
M
M > 0
L1 L2 L2
Gekoppelte Spulen XI
Die Bezugspfeilordnungen
(3) Wicklungssinn und Bezugspfeilordnung:
Ändert man die Bezugspfeilordnungan einer der beiden Spulen, dannverändern sich (logischerweise) dieVorzeichenverhältnisse erneut.
-99-
Gekoppelte Spulen XII
Streufaktor und Kopplungsfaktor
(1) Streuflüsse: Streuflüsse der Spulen 1 und 2:
m 1 = m1 m21
m 2 = m2 m12
Streufaktoren der Spulen 1 und 2:
1 =m 1
m1
=m1 m21
m1
= 1 m21
m1
2 =m 2
m2
= 1 m12
m2
-100-
51
Gekoppelte Spulen XIII
Streufaktor und Kopplungsfaktor
(1) Streuflüsse:
Streufaktoren der Spulen 1 und 2:
1 = 1m21
m1
= 1w1Mi1w2L1i1
= 1w1M
w2L1
2 = 1m12
m2
= 1w2Mi2w1L2i2
= 1w2M
w1L2
Es gilt zudem:
= L i m =L
wi
m1 =L1w1
i1 m21 =M
w2i1
m2 =L2w2
i2 m12 =M
w1i2Streufaktoren sind ein Mass dafür, wie gross
der Anteil des magnetischen Flusses dereinen Spule ist, welcher die andere Spulenicht durchsetzt.Z.B.: Fluss m1 durchsetzt Spule 2 vollständig
m1 = m21 1 = 0
-101-
Gekoppelte Spulen XIV
Streufaktor und Kopplungsfaktor
(2) Kopplungsfaktoren:
Kopplungsfaktoren zwischen den Spulen 1 und 2:
k1 =m21
m1
=w1M
w2L1k1 = 1 1
k2 =m12
m2
=w2M
w1L2k2 = 1 2
Kopplungsfaktoren sind ein Mass für die Ver-kopplung der beiden Spulen miteinander.Z.B.: Fluss m1 durchsetzt Spule 2 vollständig
m1 = m21 k1 = 1
k1 <1 1 > 0
k2 <1 2 > 0
Für reale Spulen gilt immer:
Typischerweise haben dieStreufaktoren eher kleineWerte, d.h. die Kopplungs-faktoren gehen gegen eins.
-102-
52
Gekoppelte Spulen XV
Streufaktor und Kopplungsfaktor
(3) Gesamtstreufaktoren und Gesamtkopplungsfaktoren:
Die Gesamtkopplungs- bzw. Gesamtstreufaktoren erfolgen aus einer Mittelwertbildung:
k = k1 k2 =m21
m1
m12
m2
=M 2
L1 L2=
M
L1 L2k =
M
L1 L2
= 1 k2 = 1M 2
L1 L2
= 1 k2 = 1 k1 k2 = 1 1 1( ) 1 2( ) = 1 1+ 1 + 2 1 2
1 + 2 1 + 2
Näherung für kleine Streufaktoren 1 und 2:
-103-
z d1
w1 i1
H1,B
1 n1
1
H2,B
2
d2
i2
n2
2
1
2
w2
Gekoppelte Spulen XVI
Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen»
(1) Anordnung:
Voraussetzungen:
• Äussere Spule ist ideal, d.h. Streufeld wird vernachlässigt.
• Für = 0 sind die beidenSpulen gleichsinnig gewickelt.
• Es sei zuerst nur die äussereSpule angeschlossen, d.h.i1 0 und i2 = 0.
Gesucht:
• Die Gegeninduktivität M derangegebenen Anordnung.
-104-
53
z d1
w1 i1
H1,B
1 n1
1
H2,B
2
d2
i2
n2
2
1
2
w2
Gekoppelte Spulen XVII
Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen»
(2) Magnetfeld und magnetischer Fluss:
Äussere Spule 1:
H1 =w1i1
1
B1 =μ0w1i1
1
m21 = B1 n2 dAA2
=μ0w1i1
1
cosA2
( ) dA
Fluss in innerer Spule 2:
m21 =μ0w1i1
1
cos( )d22
4
-105-
z d1
w1 i1
H1,B
1 n1
1
H2,B
2
d2
i2
n2
2
1
2
w2
Gekoppelte Spulen XVIII
Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen»
(3) Verketteteter magnetischer Fluss:
Mit der inneren Spule 1 ist dem-nach der folgende magnetischeFluss verkettet:
21 = w2 m21
=μ0w1w2 i1
1
cos( )d22
4
Für die Gegeninduktivität M giltdaher die einfache Beziehung:
M = 21
i1=μ0w1w2 d2
2
4 1
cos( )
-106-
54
z d1
w1 i1
H1,B
1 n1
1
H2,B
2
d2
i2
n2
2
1
2
w2
Gekoppelte Spulen XIX
Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen»
(3) Alternative Berechnung der Gegeninduktivität:
• Man hätte auch umgekehrt, mitder inneren Spule 2 beginnenkönnen; d.h. i1 = 0 und i2 0.
• Das Streufeld der kurzen, inneren Spule 2 müsste dabeiaber bei der Berechnung mitbe-rücksichtigt werden, da diesesStreufeld die Spule 1 durchsetzt.
• Diese Berechnung ist sehr, sehraufwändig!
• Wir nutzen besser die Rezipro-zitätseigenschaft: M12 = M21 = M.
• Merke: M( ) ist variabel!M = 0 = (2n+1)· /2M lässt sich negativ einstellen
Diese Anordnung mit einstellbarerGegeninduktivität heisst Variometer.
-107-