Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung
Framework zur Modalanalyse
Daniel Höhne
Fakultät InformatikInstitut für Software- und Multimediatechnik
Professur für Computergrafik und Visualisierung
Belegverteidigung, 02.07.2008 - 09:00hDresden
Daniel Höhne Technische Universität Dresden
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Gliederung
1 Motivation
2 Theorie
3 Implementation
4 Zusammenfassung
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Gliederung
1 Motivation
2 Theorie
3 Implementation
4 Zusammenfassung
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Elastische Deformation
Modalanalyse wird angewendet bei. . .
elastischer Verformung z.B.
• Analyse der Schwingung von Maschinen• Softbody bzw. Softtissue Simulation• Soundsynthese
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Elastische Deformation
Modalanalyse wird angewendet bei. . .elastischer Verformung z.B.
• Analyse der Schwingung von Maschinen• Softbody bzw. Softtissue Simulation• Soundsynthese
aus [de Silva, 1989]
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Elastische Deformation
Modalanalyse wird angewendet bei. . .elastischer Verformung z.B.
• Analyse der Schwingung von Maschinen• Softbody bzw. Softtissue Simulation• Soundsynthese
aus [Pentland, 1989]
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Elastische Deformation
Modalanalyse wird angewendet bei. . .elastischer Verformung z.B.
• Analyse der Schwingung von Maschinen• Softbody bzw. Softtissue Simulation• Soundsynthese
aus [James, 2000]
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Elastische Deformation
Modalanalyse wird angewendet bei. . .elastischer Verformung z.B.
• Analyse der Schwingung von Maschinen• Softbody bzw. Softtissue Simulation• Soundsynthese
aus [O’Brien, 2002]
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Das Problem
Prinzipiell wohluntersucht. . .
Thinglab/Thingworld [Pentland, 1989]DyRT Framework [Doug L. James, 2002]Simulationsframework für PS2TM [Kris K. Hauser, 2003]Impl. mit Vertex und Pixel-Shadern [Che Yinghui, 2006]
erweiterter Ansatz: Real-Time Subspace Integration[Jernej Barbic, 2005]
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Das Problem
Prinzipiell wohluntersucht. . .
Thinglab/Thingworld [Pentland, 1989]DyRT Framework [Doug L. James, 2002]Simulationsframework für PS2TM [Kris K. Hauser, 2003]Impl. mit Vertex und Pixel-Shadern [Che Yinghui, 2006]
erweiterter Ansatz: Real-Time Subspace Integration[Jernej Barbic, 2005]
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Das Problem
Prinzipiell wohluntersucht. . .
Thinglab/Thingworld [Pentland, 1989]DyRT Framework [Doug L. James, 2002]Simulationsframework für PS2TM [Kris K. Hauser, 2003]Impl. mit Vertex und Pixel-Shadern [Che Yinghui, 2006]
erweiterter Ansatz: Real-Time Subspace Integration[Jernej Barbic, 2005]
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Das Problem
Prinzipiell wohluntersucht. . .
Thinglab/Thingworld [Pentland, 1989]DyRT Framework [Doug L. James, 2002]Simulationsframework für PS2TM [Kris K. Hauser, 2003]Impl. mit Vertex und Pixel-Shadern [Che Yinghui, 2006]
erweiterter Ansatz: Real-Time Subspace Integration[Jernej Barbic, 2005]
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Das Problem
Prinzipiell wohluntersucht. . .
Thinglab/Thingworld [Pentland, 1989]DyRT Framework [Doug L. James, 2002]Simulationsframework für PS2TM [Kris K. Hauser, 2003]Impl. mit Vertex und Pixel-Shadern [Che Yinghui, 2006]
erweiterter Ansatz: Real-Time Subspace Integration[Jernej Barbic, 2005]
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Das Problem
Prinzipiell wohluntersucht. . .
aber...
ProblemLösungen häufig propritär bzw. kein Source-CodeNur Simulationsframworks, das Erzeugen der Modelle wirdvernachlässigtEs existiert kein ganzheitlicher Ansatz, außerExtrem teure CAD/FEM Software
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Das Problem
Prinzipiell wohluntersucht. . .
aber...
ProblemLösungen häufig propritär bzw. kein Source-CodeNur Simulationsframworks, das Erzeugen der Modelle wirdvernachlässigtEs existiert kein ganzheitlicher Ansatz, außerExtrem teure CAD/FEM Software
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Das Problem
Prinzipiell wohluntersucht. . .
aber...
ProblemLösungen häufig propritär bzw. kein Source-CodeNur Simulationsframworks, das Erzeugen der Modelle wirdvernachlässigtEs existiert kein ganzheitlicher Ansatz, außerExtrem teure CAD/FEM Software
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Das Problem
Prinzipiell wohluntersucht. . .
aber...
ProblemLösungen häufig propritär bzw. kein Source-CodeNur Simulationsframworks, das Erzeugen der Modelle wirdvernachlässigtEs existiert kein ganzheitlicher Ansatz, außerExtrem teure CAD/FEM Software
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Gliederung
1 Motivation
2 Theorie
3 Implementation
4 Zusammenfassung
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Modelle
Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .
EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt
Masse(n)
Fm = mu
(Drehmoment(e)
J = Iω
)Dämpfunge(en)
Fc = cu
Steifigkeit(en)
Fk = ku
Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage
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Modelle
Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .
EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt
Masse(n)
Fm = mu
(Drehmoment(e)
J = Iω
)Dämpfunge(en)
Fc = cu
Steifigkeit(en)
Fk = ku
Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage
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Modelle
Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .
EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt
Masse(n)
Fm = mu
(Drehmoment(e)
J = Iω
)Dämpfunge(en)
Fc = cu
Steifigkeit(en)
Fk = ku
Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage
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Modelle
Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .
EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt
Masse(n) Fm = mu(Drehmoment(e) J = Iω)Dämpfunge(en)
Fc = cu
Steifigkeit(en)
Fk = ku
Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage
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Modelle
Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .
EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt
Masse(n) Fm = mu(Drehmoment(e) J = Iω)Dämpfunge(en)
Fc = cu
Steifigkeit(en)
Fk = ku
Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage
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Modelle
Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .
EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt
Masse(n) Fm = mu(Drehmoment(e) J = Iω)Dämpfunge(en)
Fc = cu
Steifigkeit(en) Fk = ku
Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage
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Modelle
Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .
EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt
Masse(n) Fm = mu(Drehmoment(e) J = Iω)Dämpfunge(en)
Fc = cu
Steifigkeit(en) Fk = ku
Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage
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Modelle
Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .
EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt
Masse(n) Fm = mu(Drehmoment(e) J = Iω)Dämpfunge(en) Fc = cuSteifigkeit(en) Fk = ku
Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage
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Modelle
Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .
EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt
Masse(n) Fm = mu(Drehmoment(e) J = Iω)Dämpfunge(en) Fc = cuSteifigkeit(en) Fk = ku
Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage
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Modelle
Modell-Erzeugung II - Partikelmodell
z.B. mittels Feder-(Dämpfer)-Masse Modellbekannt aus z.B. der Textilsimulation,Softbodysimulation
Elementm1 m2
u1
u2
u3
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Modelle
Modell-Erzeugung II - Partikelmodell
z.B. mittels Feder-(Dämpfer)-Masse Modellbekannt aus z.B. der Textilsimulation,Softbodysimulation
Elementm1 m2
u1
u2
u3
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Modelle
Modell-Erzeugung II - Partikelmodellz.B. mittels Feder-(Dämpfer)-Masse Modellbekannt aus z.B. der Textilsimulation,Softbodysimulation
Elementm1 m2
u1
u2
u3
Beispiel Modell
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Modelle
Modell-Erzeugung III - Finite Elemente Methode
Oder z.B. mithilfe finiter (Tetraeder) Elemente...
Element
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Modelle
Modell-Erzeugung III - Finite Elemente Methode
Oder z.B. mithilfe finiter (Tetraeder) Elemente...
Element
k0
k1
k2
k3
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Modelle
Modell-Erzeugung III - Finite Elemente Methode
Oder z.B. mithilfe finiter (Tetraeder) Elemente...
Element
k0
k1
k2
k3
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Modelle
Modell-Erzeugung III - Finite Elemente Methode
Oder z.B. mithilfe finiter (Tetraeder) Elemente...
Element
k0
k1
k2
k3
u1
u2
u3
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Modelle
Modell-Erzeugung III - Finite Elemente Methode
...wird aus einem Oberflächenmodell, ein FEM-Modellerstellt:
Oberflächen-Modell
Element-Modell
Material-Parameter- Dichte- E-Modul- Querkontraktionszahl
- linear elastisch- isotrop/anisotrop
FEM-Modell
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Modelle
Modell-Erzeugung III - Finite Elemente Methode
...wird aus einem Oberflächenmodell, ein FEM-Modellerstellt:
Oberflächen-Modell
Element-Modell
Material-Parameter- Dichte- E-Modul- Querkontraktionszahl
- linear elastisch- isotrop/anisotrop
FEM-Modell
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Modelle
Modell-Erzeugung III - Finite Elemente Methode
...wird aus einem Oberflächenmodell, ein FEM-Modellerstellt:
Oberflächen-Modell
Element-Modell
Material-Parameter- Dichte- E-Modul- Querkontraktionszahl
- linear elastisch- isotrop/anisotrop
FEM-Modell
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Modelle
Modell-Erzeugung III - Finite Elemente Methode
...wird aus einem Oberflächenmodell, ein FEM-Modellerstellt:
Oberflächen-Modell
Element-Modell
Material-Parameter- Dichte- E-Modul- Querkontraktionszahl
- linear elastisch- isotrop/anisotrop
FEM-Modell
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Schwingungen
Schwingungsgleichung IMathematische Beschreibung der Modelle führt auf
M u+ C u+ K u = f
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konst.Koeffizienten-Matrizen M,C,KM ~ Matrix der Massen / MomenteC ~ Matrix der (viskosen) DämpfungenK ~ Matrix der Steifigkeitenf ~ Vektor der Erregerkräfte
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Schwingungen
Schwingungsgleichung IMathematische Beschreibung der Modelle führt auf
M u+ C u+ K u = f
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konst.Koeffizienten-Matrizen M,C,KM ~ Matrix der Massen / MomenteC ~ Matrix der (viskosen) DämpfungenK ~ Matrix der Steifigkeitenf ~ Vektor der Erregerkräfte
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Schwingungen
Schwingungsgleichung IMathematische Beschreibung der Modelle führt auf
M u+ C u+ K u = f
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konst.Koeffizienten-Matrizen M,C,KM ~ Matrix der Massen / MomenteC ~ Matrix der (viskosen) DämpfungenK ~ Matrix der Steifigkeitenf ~ Vektor der Erregerkräfte
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Schwingungen
Schwingungsgleichung IMathematische Beschreibung der Modelle führt auf
M u+ C u+ K u = f
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konst.Koeffizienten-Matrizen M,C,KM ~ Matrix der Massen / MomenteC ~ Matrix der (viskosen) DämpfungenK ~ Matrix der Steifigkeitenf ~ Vektor der Erregerkräfte
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Schwingungen
Schwingungsgleichung IMathematische Beschreibung der Modelle führt auf
M u+ C u+ K u = f
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konst.Koeffizienten-Matrizen M,C,KM ~ Matrix der Massen / MomenteC ~ Matrix der (viskosen) DämpfungenK ~ Matrix der Steifigkeitenf ~ Vektor der Erregerkräfte
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Schwingungen
Schwingungsgleichung IMathematische Beschreibung der Modelle führt auf
M u+ C u+ K u = f
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konst.Koeffizienten-Matrizen M,C,KM ~ Matrix der Massen / MomenteC ~ Matrix der (viskosen) DämpfungenK ~ Matrix der Steifigkeitenf ~ Vektor der Erregerkräfte
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Schwingungen
Schwingungsgleichung II
„Gekoppelte“ Schwingungen, schwierig aufzulösen, z.B.:
m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m
u0
u1
u2
u3
+ Cu +
k00 k1 k2 k3
k1 k11 k4 k5
k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33
u0
u1
u2
u3
= f
m ~Mass, J ~Drehmoment, k ~Federsteifigkeit
Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahren
exakt, Matrizen-DifferentialgleichungenModalanalyse
(auch exakt)
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Schwingungen
Schwingungsgleichung II
„Gekoppelte“ Schwingungen, schwierig aufzulösen, z.B.:
m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m
u0
u1
u2
u3
+ Cu +
k00 k1 k2 k3
k1 k11 k4 k5
k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33
u0
u1
u2
u3
= f
m ~Mass, J ~Drehmoment, k ~Federsteifigkeit
Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahren
exakt, Matrizen-DifferentialgleichungenModalanalyse
(auch exakt)
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Schwingungen
Schwingungsgleichung II
„Gekoppelte“ Schwingungen, schwierig aufzulösen, z.B.:
m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m
u0
u1
u2
u3
+ Cu +
k00 k1 k2 k3
k1 k11 k4 k5
k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33
u0
u1
u2
u3
= f
m ~Mass, J ~Drehmoment, k ~Federsteifigkeit
Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahrenexakt, Matrizen-Differentialgleichungen
Modalanalyse
(auch exakt)
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Schwingungen
Schwingungsgleichung II
„Gekoppelte“ Schwingungen, schwierig aufzulösen, z.B.:
m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m
u0
u1
u2
u3
+ Cu +
k00 k1 k2 k3
k1 k11 k4 k5
k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33
u0
u1
u2
u3
= f
m ~Mass, J ~Drehmoment, k ~Federsteifigkeit
Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahrenexakt, Matrizen-DifferentialgleichungenModalanalyse
(auch exakt)
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Schwingungen
Schwingungsgleichung II
„Gekoppelte“ Schwingungen, schwierig aufzulösen, z.B.:
m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m
u0
u1
u2
u3
+ Cu +
k00 k1 k2 k3
k1 k11 k4 k5
k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33
u0
u1
u2
u3
= f
m ~Mass, J ~Drehmoment, k ~Federsteifigkeit
Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahrenexakt, Matrizen-DifferentialgleichungenModalanalyse (auch exakt)
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Modalanalyse
Ansatz - HauptachsentransformationWenn A ∈ Rn,n, symmetrisch :
A = ΦΦΦΛΛΛΦΦΦT =⇒ ΛΛΛ = ΦΦΦT AΦΦΦ [E1]
mit
ΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonalΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix
ABER: M u + (C u) + K uBei Linearkombination muss auf das allgemeineEigenwertproblem zurückgegriffen werden, mitunterschiedlichen Eigenschaften [E1] für M,C,K !
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Modalanalyse
Ansatz - HauptachsentransformationWenn A ∈ Rn,n, symmetrisch :
A = ΦΦΦΛΛΛΦΦΦT =⇒ ΛΛΛ = ΦΦΦT AΦΦΦ [E1]
mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonalΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix
ABER: M u + (C u) + K uBei Linearkombination muss auf das allgemeineEigenwertproblem zurückgegriffen werden, mitunterschiedlichen Eigenschaften [E1] für M,C,K !
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Modalanalyse
Ansatz - HauptachsentransformationWenn A ∈ Rn,n, symmetrisch :
A = ΦΦΦΛΛΛΦΦΦT =⇒ ΛΛΛ = ΦΦΦT AΦΦΦ [E1]
mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonalΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix
ABER: M u + (C u) + K uBei Linearkombination muss auf das allgemeineEigenwertproblem zurückgegriffen werden, mitunterschiedlichen Eigenschaften [E1] für M,C,K !
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Modalanalyse
Ansatz - HauptachsentransformationWenn A ∈ Rn,n, symmetrisch :
A = ΦΦΦΛΛΛΦΦΦT =⇒ ΛΛΛ = ΦΦΦT AΦΦΦ [E1]
mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonalΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix
ABER: M u + (C u) + K uBei Linearkombination muss auf das allgemeineEigenwertproblem zurückgegriffen werden, mitunterschiedlichen Eigenschaften [E1] für M,C,K !
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Modalanalyse
Ansatz - HauptachsentransformationWenn A ∈ Rn,n, symmetrisch :
A = ΦΦΦΛΛΛΦΦΦT =⇒ ΛΛΛ = ΦΦΦT AΦΦΦ [E1]
mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonal ←− Eigenvektoren φφφi von AΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix
←− Eigenwerte λi von A
ABER: M u + (C u) + K uBei Linearkombination muss auf das allgemeineEigenwertproblem zurückgegriffen werden, mitunterschiedlichen Eigenschaften [E1] für M,C,K !
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Modalanalyse
Ansatz - HauptachsentransformationWenn A ∈ Rn,n, symmetrisch :
A = ΦΦΦΛΛΛΦΦΦT =⇒ ΛΛΛ = ΦΦΦT AΦΦΦ [E1]
mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonal ←− Eigenvektoren φφφi von AΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix ←− Eigenwerte λi von A
ABER: M u + (C u) + K uBei Linearkombination muss auf das allgemeineEigenwertproblem zurückgegriffen werden, mitunterschiedlichen Eigenschaften [E1] für M,C,K !
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Ansatz - HauptachsentransformationWenn A ∈ Rn,n, symmetrisch :
A = ΦΦΦΛΛΛΦΦΦT =⇒ ΛΛΛ = ΦΦΦT AΦΦΦ [E1]
mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonal ←− Eigenvektoren φφφi von AΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix ←− Eigenwerte λi von A
ABER: M u + (C u) + K uBei Linearkombination muss auf das allgemeineEigenwertproblem zurückgegriffen werden, mitunterschiedlichen Eigenschaften [E1] für M,C,K !
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Modalanalyse
Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = f
ΦΦΦT
M
ΦΦΦ q
+
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ q
+
ΦΦΦT
K
ΦΦΦ q
=
ΦΦΦT
f
[E1]
I q + ? q + ΛΛΛ q
=
g
ΦΦΦT
(αM + βK)
ΦΦΦ
=:
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse
Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = f
ΦΦΦT
M
ΦΦΦ q
+
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ q
+
ΦΦΦT
K
ΦΦΦ q
=
ΦΦΦT
f
[E1]
I q + ? q + ΛΛΛ q
=
g
ΦΦΦT
(αM + βK)
ΦΦΦ
=:
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse
Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = f
ΦΦΦT
MΦΦΦ q +
ΦΦΦT
CΦΦΦ q +
ΦΦΦT
KΦΦΦ q =
ΦΦΦT
f
[E1]
I q + ? q + ΛΛΛ q
=
g
ΦΦΦT
(αM + βK)
ΦΦΦ
=:
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f
[E1]
I q + ? q + ΛΛΛ q
=
g
ΦΦΦT
(αM + βK)
ΦΦΦ
=:
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f [E1]
I q +
? q + ΛΛΛ q
=
g
ΦΦΦT
(αM + βK)
ΦΦΦ
=:
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f [E1]
I q +
? q +
ΛΛΛ q =
g
ΦΦΦT
(αM + βK)
ΦΦΦ
=:
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f [E1]
I q +
? q +
ΛΛΛ q = g
ΦΦΦT
(αM + βK)
ΦΦΦ
=:
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f
[E1]
I q + ? q + ΛΛΛ q = g
ΦΦΦT
(αM + βK)
ΦΦΦ
=:
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f
[E1]
I q + ? q + ΛΛΛ q = g
ΦΦΦT
(αM + βK)
ΦΦΦ
=:
ΦΦΦT
C
ΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse
Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f
[E1]
I q + ? q + ΛΛΛ q = g
ΦΦΦT (αM + βK)ΦΦΦ =: ΦΦΦT CΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Framework zur Modalanalyse
Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung
Modalanalyse
Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f
[E1]
I q + ? q + ΛΛΛ q = g
ΦΦΦT (αM + βK)ΦΦΦ =: ΦΦΦT CΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f
[E1]
I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g
ΦΦΦT (αM + βK)ΦΦΦ =: ΦΦΦT CΦΦΦ
(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ
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Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung
Modalanalyse
Modalanalyse I
Einführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g1 0 0
0. . .
...0 . . . 1
q +
α + βλ0 0 0
0. . .
...0 . . . α+ βλn−1
q +
λ0 0 0
0. . .
...0 . . . λn−1
q = g
n Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gi
n Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Modalanalyse
Modalanalyse I
Einführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g1 0 0
0. . .
...0 . . . 1
q +
α + βλ0 0 0
0. . .
...0 . . . α+ βλn−1
q +
λ0 0 0
0. . .
...0 . . . λn−1
q = g
n Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gi
n Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Modalanalyse
Modalanalyse I
Einführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g1 0 0
0. . .
...0 . . . 1
q +
α + βλ0 0 0
0. . .
...0 . . . α+ βλn−1
q +
λ0 0 0
0. . .
...0 . . . λn−1
q = g
n Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gi
n Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Modalanalyse
Modalanalyse I
Einführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq
I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g1 0 0
0. . .
...0 . . . 1
q +
α + βλ0 0 0
0. . .
...0 . . . α+ βλn−1
q +
λ0 0 0
0. . .
...0 . . . λn−1
q = g
n Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gi
n Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Modalanalyse
Modalanalyse II - Näherungslösung
Mit zunehmender Größe, nimmt der Einfluss einesEigenwertes λi auf das Modell abλ0 < λk < λn−1 :
ΦΦΦ =
... . . .
...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .
...
→ ΦΦΦ :=
... . . .
...φφφ0 . . . φφφk... . . .
...
Mit u ≈ ΦΦΦq : ΦΦΦT
MΦΦΦ q + ΦΦΦT
CΦΦΦ q + ΦΦΦT
KΦΦΦ q = ΦΦΦT
fk Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gik Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Modalanalyse
Modalanalyse II - Näherungslösung
Mit zunehmender Größe, nimmt der Einfluss einesEigenwertes λi auf das Modell abλ0 < λk < λn−1 :
ΦΦΦ =
... . . .
...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .
...
→ ΦΦΦ :=
... . . .
...φφφ0 . . . φφφk... . . .
...
Mit u ≈ ΦΦΦq : ΦΦΦT
MΦΦΦ q + ΦΦΦT
CΦΦΦ q + ΦΦΦT
KΦΦΦ q = ΦΦΦT
fk Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gik Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Modalanalyse
Modalanalyse II - Näherungslösung
Mit zunehmender Größe, nimmt der Einfluss einesEigenwertes λi auf das Modell abλ0 < λk < λn−1 :
ΦΦΦ =
... . . .
...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .
...
→ ΦΦΦ :=
... . . .
...φφφ0 . . . φφφk... . . .
...
Mit u ≈ ΦΦΦq : ΦΦΦ
TMΦΦΦ q + ΦΦΦ
TCΦΦΦ q + ΦΦΦ
TKΦΦΦ q = ΦΦΦ
Tf
k Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gik Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Modalanalyse II - Näherungslösung
Mit zunehmender Größe, nimmt der Einfluss einesEigenwertes λi auf das Modell abλ0 < λk < λn−1 :
ΦΦΦ =
... . . .
...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .
...
→ ΦΦΦ :=
... . . .
...φφφ0 . . . φφφk... . . .
...
Mit u ≈ ΦΦΦq : ΦΦΦ
TMΦΦΦ q + ΦΦΦ
TCΦΦΦ q + ΦΦΦ
TKΦΦΦ q = ΦΦΦ
Tf
k Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gik Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Modalanalyse
Modalanalyse II - Näherungslösung
Mit zunehmender Größe, nimmt der Einfluss einesEigenwertes λi auf das Modell abλ0 < λk < λn−1 :
ΦΦΦ =
... . . .
...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .
...
→ ΦΦΦ :=
... . . .
...φφφ0 . . . φφφk... . . .
...
Mit u ≈ ΦΦΦq : ΦΦΦ
TMΦΦΦ q + ΦΦΦ
TCΦΦΦ q + ΦΦΦ
TKΦΦΦ q = ΦΦΦ
Tf
k Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gik Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Modalanalyse
Modalanalyse II - Näherungslösung
Mit zunehmender Größe, nimmt der Einfluss einesEigenwertes λi auf das Modell abλ0 < λk < λn−1 :
ΦΦΦ =
... . . .
...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .
...
→ ΦΦΦ :=
... . . .
...φφφ0 . . . φφφk... . . .
...
Mit u ≈ ΦΦΦq : ΦΦΦ
TMΦΦΦ q + ΦΦΦ
TCΦΦΦ q + ΦΦΦ
TKΦΦΦ q = ΦΦΦ
Tf
k Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gik Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)
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Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung
Gliederung
1 Motivation
2 Theorie
3 Implementation
4 Zusammenfassung
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Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung
Programmvorführung
Programmvorführung
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Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung
Gliederung
1 Motivation
2 Theorie
3 Implementation
4 Zusammenfassung
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Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung
ZusammenfassungAnwendung
Bei der Modalanalyse wird eine komplex gekoppelte Schwingung in einfacheSchwingungen (Eigenformen) zerlegt. Umgekehrt genügt die Kombinationweniger, ausgesuchter Eigenformen um den Verlauf der komplex gekoppeltenSchwingung zu approximieren.
Das Prinzip der Modalanalyse kann auf alle Gleichungen der FormMu + Cu + Ku = f angewendet werden.
ABER: Nicht anwendbar bei z.B. ...nicht-linearen Koeffizientenmatrizen M(t), C(t), K(t)
(also nicht-linearem Materialverhalten)
sich verändernder Modell-Konfiguration
großen Verschiebungen⇔ nicht-lineares Problem !
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Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung
ZusammenfassungAnwendung
Bei der Modalanalyse wird eine komplex gekoppelte Schwingung in einfacheSchwingungen (Eigenformen) zerlegt. Umgekehrt genügt die Kombinationweniger, ausgesuchter Eigenformen um den Verlauf der komplex gekoppeltenSchwingung zu approximieren.
Das Prinzip der Modalanalyse kann auf alle Gleichungen der FormMu + Cu + Ku = f angewendet werden.
ABER: Nicht anwendbar bei z.B. ...nicht-linearen Koeffizientenmatrizen M(t), C(t), K(t)
(also nicht-linearem Materialverhalten)
sich verändernder Modell-Konfiguration
großen Verschiebungen⇔ nicht-lineares Problem !
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Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung
Danke !
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Anhang
Weiterführende Literatur
Weiterführende Literatur I
PENTLAND, A. ; WILLIAMS, J.:Good vibrations: modal dynamics for graphics andanimation.In: SIGGRAPH Comput. Graph.23 (1989), Nr. 3, S. 207–214. –ISSN 0097–8930
JAMES, Doug L. ; PAI, Dinesh K.DyRT: Dynamic Response Textures for Real TimeDeformation Simulation with Graphics Hardware.ACM SIGGRAPH ’02 conference proceedings.
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Anhang
Weiterführende Literatur
Weiterführende Literatur II
O’BRIEN, James F. ; SHEN, Chen ; GATCHALIAN,Christine M.:Synthesizing sounds from rigid-body simulations.In: SCA ’02: Proceedings of the 2002 ACMSIGGRAPH/Eurographics symposium on Computeranimation.New York, NY, USA : ACM, 2002. –ISBN 1–58113–573–4, S. 175–181
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Anhang
Weiterführende Literatur
Weiterführende Literatur III
HAUSER, KRIS,SHEN,O’BRIEN:Interactive deformation using modal analysis withconstraints/ EECS, CS Division, University of California, Berkeley.2003.– Forschungsbericht
YINGHUI, Che ; JING, Wang ; XIAOHUI, Liang:Real-time deformation using modal analysis on graphicshardware.In: GRAPHITE ’06: Proceedings of the 4th internationalconference on Computer graphics and interactivetechniques in Australasia and Southeast Asia.
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Anhang
Weiterführende Literatur
Weiterführende Literatur IV
New York, NY, USA : ACM, 2006. –ISBN 1–59593–564–9, S. 173–176
BARBIC, Jernej ; JAMES, Doug L. :Real-Time Subspace Integration for St.Venant-KirchhoffDeformable ModelsACM SIGGRAPH ’05 conference proceedings.
DE SILVA, Clarence W.:Vibration : fundamentals and practiceCRC Press, 2000ISBN 0-8493-1808-4 (alk. paper)
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Anhang
Backup Slides
Backup I - Simulation
1 Festköper Simulation durchführen2 Kollisionen erkennen und auflösen3 Kollisionantwort auf das Mesh interpolieren4 Impulsvektoren an den Vertices ermitteln: p = f∆t5 1 Kraft-/Impulsbektor transformieren: g = ΦΦΦ
Tp
2 Verschiebungen der k Einzelschwinger berechnen:q+
i = qi (t + ∆t ,pi )
3 Rücktransformation der Verschiebungen: u+ = ΦΦΦq+
6 Update der Mesh-Vertices: x+ = x0 + u+
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Backup Slides
Backup II - Anfangswerte
x0 = ΦΦΦq0
ΦΦΦ−1
x0 = q0
besser:
x0 = ΦΦΦq0, ΦΦΦT
MΦΦΦ = I
x0 = ΦΦΦq0
ΦΦΦT
Mx0 = ΦΦΦT
MΦΦΦq0
ΦΦΦT
Mx0 = Iq0
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Anhang
Backup Slides
Backup III - Schwinger revisited
q(t + ∆t) = aeb[r cos(ω(t + ∆t)) + s sin(ω(t + ∆t))]
oder:
q(t + ∆t) = es1ω(t+∆t) + es2ω(t+∆t)
q(t + ∆t) = es1ωt · es1ω∆t + es2ωt · es2ω∆t
q(t + ∆t) = es1ωt · A(∆t) + es2ωt · A(∆t)
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