Formelsammlung
SYSTEMTHEORIE
Wintersemester 2010/2011
Dipl.-Ing. Elias Strigel
Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen
Letzte Anderung: 10. Februar 2011
Institut fur Mess–, Regel– und Mikrotechnik
Fakultat fur Ingenieurwissenschaften und Informatik
Universitat Ulm
Inhaltsverzeichnis
1 Dynamische Systeme 2
1.1 Linearitat und Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Linearisierung nichtlinearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Beschreibung und Eigenschaften linearer Systeme 4
2.1 Beschreibung im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Zustandstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Berechnung der Transitionsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Ein–/Ausgangsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Steuerbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Zustandsregler 9
3.1 Direkte Eigenwertvorgabe (Eingroßenfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Reglerentwurf in Regelungsnormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Reglerentwurf durch Ein–/Ausgangsentkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Optimale Regelung (LQR–Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 Behandlung von Storgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Beobachterentwurf 13
4.1 Vollstandiger Luenberger–Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Separationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Behandlung von Storgroßen – Storbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 Reduzierter Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Folgeregelung 15
5.1 Folgeregelung fur den Ausgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 Zwei–Freiheitsgrade–Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
A Bezeichungen im Skript 19
B Mathematische Grundlagen 20
B.1 Determinantenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
B.2 Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . 20
B.3 Inverse einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
B.4 Pseudoinverse rechteckiger Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B.5 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B.6 Algebraische und geometrische Vielfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B.7 Satz von Cayley–Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C Laplace–Transformation 23
C.1 Eigenschaften der Laplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C.2 Korrespondenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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1 Dynamische Systeme
• Allgemeine Darstellung eines nichtlinearen dynamischen Systems im Zustandsraum
x = f(x,u, t) mit x(t0) = x0
y = h(x,u, t)(1)
Die Großen u, y und x werden einfach als Eingang, Ausgang und Zustand des dynamischenSystems bezeichnet. Man unterscheidet folgende Sonderfalle:
• zeitinvariantes, nichtlineares System:
x = f (x,u) mit x (t0) = x0
y = h (x,u)(2)
• freies, nichtlineares System:
x = f (x, t) mit x (t0) = x0
y = h (x, t)(3)
• autonomes nichtlinares System (frei und zeitinvariant):
x = f (x) mit x (t0) = x0
y = h (x) .(4)
1.1 Linearitat und Zeitinvarianz
• Linearitat: Das System (1) nennt man linear, wenn fur alle (zulassigen) Eingangsgro-ßen u (t) und jeden beliebigen Anfangszeitpunkt t0 ≥ 0 die Ausgangsgroße y (x0,u, t) =h (ϕ (x0,u (t) , t) ,u (t) , t) zu jedem Zeitpunkt t ≥ t0 die folgenden Bedingungen mit α1, α2,β1, β2 ∈ R erfullt:
Superposition bzgl. x0 : y (α1x0,1 + α2x0,2,0, t) = α1y (x0,1,0, t) + α2y (x0,2,0, t)
Superposition bzgl. u : y (0, β1u1 + β2u2, t) = β1y (0,u1, t) + β2y (0,u2, t)
Superposition bzgl. x0 & u : y (x0,u, t) = y (x0,0, t) + y (0,u, t)
• Das System (1) ist genau dann linear und zeitinvariant, wenn es sich in der folgenden Formschreiben lasst:
x = Ax+Bu
y = Cx+Du(5)
1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Losung
• Lokale Existenz und Eindeutigkeit: Es sei f (x, t) stuckweise stetig in t und genuge derAbschatzung
‖f (x, t)− f (y, t)‖ ≤ L ‖x− y‖ , 0 < L <∞ (6)
fur alle x, y ∈ B = {z ∈ Rn | ‖z − x0‖ ≤ r} und alle t ∈ [t0, t0 + τ ]. Dann existiert ein δ > 0so, dass
x = f (x, t) mit x(t0) = x0 (7)
genau eine Losung fur t ∈ [t0, t0 + δ] besitzt. Dabei wird (6) auch als Lipschitz-Bedingungund L als Lipschitz-Konstante bezeichnet.
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• Im Falle eines linearen autonomen Systems
x = Ax mit x(t0) = x0 . (8)
kann leicht auf die Existenz und Eindeutigkeit der Losung von (8) geschlossen werden. Dazuwird die Abschatzung
‖Ax−Ay‖ = ‖A (x− y)‖ ≤ ‖A‖ ‖x− y‖ (9)
mit ‖A‖ als der induzierten Matrixnorm der MatrixA betrachtet. Es ist somit direkt ersicht-lich, dass das System (8) mit der Lipschitz-Konstanten L = ‖A‖ die Lipschitz-Bedingung(6) erfullt.
1.3 Linearisierung nichtlinearer Systeme
• Linearisierung um die Ruhelage: Es sei xR, yR eine Ruhelage des Systems
x = f (x,u) mit x (t0) = x0
y = h (x,u)(10)
fur u = uR. Die Anderung der Losung ∆x, ∆y bei hinreichend kleinen Abweichungen ∆uvon uR und ∆x0 von xR wird durch das lineare, zeitinvariante System
∆x = A∆x+B∆u mit ∆x (t0) = ∆x0 = x0 − xR∆y = C∆x+D∆u
(11)
mit
A =∂
∂xf (xR,uR) , B =
∂
∂uf (xR,uR) , C =
∂
∂xh (xR,uR) , D =
∂
∂uh (xR,uR)
beschrieben. Das System (11) wird auch als Linearisierung von (10) um die Ruhelage (Ar-beitspunkt) (xR,uR) bezeichnet.
• Linearisierung um eine Trajektorie: Es sei x∗(t) eine Trajektorie des Systems (10) fureine vorgegebene Eingangsgroße u(t) = u∗(t) und einen vorgegebenen Anfangswert x0 = x∗0.Die Anderung der Losung ∆x (t), ∆y (t) bei hinreichend kleinen Abweichungen ∆u (t) vonu∗(t) und ∆x0 von x∗0 wird durch das lineare, zeitvariante System
∆x = A (t) ∆x+B (t) ∆u mit ∆x (t0) = ∆x0 = x0 − x∗0∆y = C (t) ∆x+D (t) ∆u
(12)
mit
A (t) =∂
∂xf (x∗,u∗) , B (t) =
∂
∂uf (x∗,u∗) ,
C (t) =∂
∂xh (x∗,u∗) , D (t) =
∂
∂uh (x∗,u∗)
beschrieben. Das System (12) wird auch als Linearisierung von (10) um die Trajektorie(x∗,u∗) bezeichnet.
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2 Beschreibung und Eigenschaften linearer Systeme
• Lineares, zeitinvariantes System im Eingroßenfall (SISO – Single Input Single Output)
x = Ax+ bu , x(t0) = x0
y = cTx+ du(13)
• Lineares, zeitinvariantes System im Mehrgroßenfall (MIMO – Multiple Input Multiple Output)
x = Ax+Bu , x(t0) = x0
y = Cx+Du(14)
2.1 Beschreibung im Zustandsraum
• allgemeine Losung des Systems (14)
x (t) = Φ (t)x0 +
∫ t
0
Φ (t− τ)Bu (τ) dτ
y (t) = Cx (t) +Du (t)
(15)
• Transitionsmatrix
Φ (t) = eAt =∞∑k=0
Ak tk
k!. (16)
• Impulsantwort y(t) = g(t) bzw. Gewichtsfunktion fur einen (vektoriellen) Dirac–Impulsu(t) = [δ(t), . . . , δ(t)]T mit x0 = 0 und D = 0
g(t) = CΦ(t)B bzw. g(t) = cTΦ(t)b (m = p = 1) (17)
• Ausgangsverhalten y(t) fur einen allgemeinen Stellgroßenverlauf u(t) mit x0 = 0 und D = 0
y(t) =
∫ t
0
g(t− τ)u(τ) dτ . (18)
• Sprungantwort y(t) = h(t) auf einen Einheitssprung u(t) = [σ(t), . . . , σ(t)]T
h(t) =
∫ t
0
CΦ(τ)B dτ bzw. h(t) =
∫ t
0
cTΦ(τ)b dτ (m = p = 1) . (19)
fur det(A) 6= 0:
h(t) = CA−1 (Φ(t)− I)B bzw. h(t) = cTA−1(Φ(t)− I)b (m = p = 1). (20)
2.2 Zustandstransformation
• regulare Zustandstransformation mit neuem Zustand x ∈ Rn
x(t) = V x(t) , V ∈ Rn×n – regular (21)
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• transformiertes System (14)
˙x = V −1AV︸ ︷︷ ︸A
x+ V −1B︸ ︷︷ ︸B
u , x(0) = x0 = V −1x0
y = CV︸︷︷︸C
x+ D︸︷︷︸D
u(22)
• Losung des transformierten Systems
x(t) = Φ (t) x0 +
∫ t
0
Φ (t− τ) Bu (τ) dτ
y(t) = Cx(t) + Du(t)(23)
• Zusammenhang mit ursprunglicher Transitionsmatrix Φ(t) in (15) und (16)
Φ (t) = V Φ (t)V −1 (24)
2.3 Berechnung der Transitionsmatrix
• Diagonalform: Die Dynamikmatrix A besitze Eigenwerte λi, i = 1, . . . , n fur die gilt, dassdie geometrische Vielfachheit gi gleich der algebraischen Vielfachheit ni gleich sind (z.B. beieinfachen Eigenwerten).
Transformationsmatrix
V = [v1,v2, . . . ,vn] , Avi = λivi , i = 1, . . . , n (25)
transformierte Systemmatrix
A =
λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · λn
(26)
Transformationsmatrix des transformierten Systems
Φ (t) =
eλ1t 0 · · · 0
0 eλ2t · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · eλnt
. (27)
• Nichtdiagonalahnliche Systemmatrizen: Die Dynamikmatrix A besitze genau einenEigenwert λ, fur den gilt, dass die geometrische Vielfachheit g kleiner als die algebraischeVielfachheit n ist (z.B. bei mehrfachen Eigenwerten).
Transformationsmatrix fur g = 1
V = [v1,v2, . . . ,vn] , Av1 = λv1 , (A− λI)vi+1 = vi , i = 1, 2, . . . , n− 1 (28)
transformierte Systemmatrix
A =
λ 1 . . . 00 λ . . . 0...
.... . . 1
0 0 . . . λ
(29)
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Transformationsmatrix des transformierten Systems
Φ (t) = eλt
1 tt2
2!· · · tn−1
(n− 1)!
0 1 t · · · tn−2
(n− 2)!...
......
. . ....
0 0 · · · · · · t0 0 · · · · · · 1
(30)
• Konjugiert komplexe Eigenwerte: Die Dynamikmatrix A besitze die konjugiert kom-plexen Eigenwertpaare λi = αi + jβi , λ−i = αi − jβi , i = 1, . . . , r, fur die gilt, dass diegeometrische Vielfachheit gi und die algebraische Vielfachheit ni gleich sind.
Transformationsmatrix
V = [Re(v1), Im(v1), . . . ,Re(vr), Im(vr)] (31)
transformierte Systemmatrix
A =
α1 β1 · · · 0 0−β1 α1 · · · 0 0
......
. . ....
...0 0 · · · αr βr0 0 · · · −βr αr
. (32)
Transformationsmatrix des transformierten Systems
Φ (t) =
eα1t cos (β1t) eα1t sin (β1t) · · · 0 0−eα1t sin (β1t) eα1t cos (β1t) · · · 0 0
......
. . ....
...0 0 · · · eαrt cos (βrt) eαrt sin (βrt)0 0 · · · −eαrt sin (βrt) eαrt cos (βrt)
(33)
• Reelle Jordansche Normalform: Es sei die reellwertige (n× n)-Matrix A die Dynamik-matrix eines linearen, zeitinvarianten Systems. Angenommen, A habe k reelle und (n− k) /2konjugiert komplexe Eigenwerte. Dann existiert eine regulare Transformationsmatrix
V = [v1, . . . ,vk,Re (vk+1) , Im (vk+1) , . . . ,Re (vr) , Im (vr)] (34)
bestehend aus linear unabhangigen (komplexwertigen) Eigen- und Hauptvektoren vj, j =1, . . . , r mit r = (n+ k) /2 so, dass die Dynamikmatrix des transformierten Systems folgendeForm
A = V −1AV =
J1 0 · · · 00 J2 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · J l
f (35)
annimmt. Dabei bezeichnen J i, i = 1, . . . , l die so genannten Jordanblocke, deren Strukturfur reelle Eigenwerte λi in der Form
J i =
λi 1 · · · 0 00 λi · · · 0 0...
.... . .
......
0 0 · · · λi 10 0 · · · 0 λi
(36)
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bzw. fur konjugiert komplexe Eigenwerte αi ± jβi in der folgenden Form gegeben ist:
J i =
W I2 · · · 0 00 W · · · 0 0...
.... . .
......
0 0 · · · W I20 0 · · · 0 W
mit W =
[αi βi−βi αi
], I2 =
[1 00 1
]. (37)
2.4 Ein–/Ausgangsverhalten
• Ubertragungsfunktion 1 G(s) =Z(s)
N(s)=b0 + b1s+ · · ·+ bn−1s
n−1 + bnsn
a0 + a1s+ · · ·+ an−1sn−1 + sn
G(s) = cT (sI −A)−1 b+ d mit (sI −A)−1 =adj (sI −A)
det (sI −A)
=cT adj (sI −A) b+ d det (sI −A)
det (sI −A)
(38)
• Ubertragungsmatrix (Mehrgroßenfall)
G(s) =
G11(s) . . . G1m(s)... · · ·
Gp1(s) . . . Gpm(s)
mit Gij(s) =Yi(s)
Uj(s)= cTi (sI −A)−1bj (39)
• Realisierungsproblem: Eine Ubertragungsfunktion G(s) = Z(s)N(s)
mit dem Zahler- und Nen-
nerpolynom Z(s) und N(s) ist genau dann realisierbar, wenn grad(Z(s)) ≤ grad(N(s)) oderaquivalent dazu gilt lims→∞ |G(s)| <∞.
• BIBO-Stabilitat: Fur ein lineares, zeitinvariantes Eingroßensystem mit der Eingangsgroßeu und der Ausgangsgroße y gelte x0 = 0. Das System heißt BIBO-stabil, wenn zu jederbeschrankten Eingangsfunktion u (t) eine beschrankte Ausgangsfunktion y (t) gehort, d.h. zujedem finiten a > 0 mit |u (t)| ≤ a existiert ein finites b > 0 so, dass |y (t)| ≤ b gilt.
Ein lineares, zeitinvariantes Eingroßensystem ist genau dann BIBO-stabil, wenn die sich aus(17) ergebende Impulsantwort
g (t) = L−1 {G(s)1} = cTΦ (t) b , t > 0 (40)
absolut integrabel ist, d.h. die folgende Ungleichung gilt∫ ∞0
|g (t)| dt <∞ . (41)
1 Die Elemente Aij der Adjunkten adj(A) = [Aij ] einer Matrix A = [aij ] entsprechen den Subdeterminantender ((n− 1)× (n− 1))-Matrizen von A, die durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte hervorgehen,
multipliziert mit dem Faktor (−1)i+j
.
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2.5 Steuerbarkeit
• Definition der Steuerbarkeit: Man nennt das lineare System (14) vollstandig steuerbar,wenn ausgehend von einem beliebigen Anfangszustand x0 eine stuckweise stetige Eingangs-große u (t), 0 ≤ t ≤ T mit der endlichen Zeit T so existiert, dass gilt x (T ) = 0.
• Steuerbarkeitskriterium nach Kalman Das lineare, zeitinvariante System (14) ist genaudann vollstandig steuerbar, wenn die sogenannte Steuerbarkeitsmatrix
QS =[B,AB, . . . ,An−1B
]bzw. QS =
[b,Ab, . . . ,An−1b
](42)
den Rang n hat.
• Regelungsnormalform – Eingroßenfall (13)
˙x =
0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0... . . . 1
. . ....
0 0 · · · 0 1−a0 −a1 · · · −an−2 −an−1
︸ ︷︷ ︸
A = TAT−1
x+
0...01
︸︷︷︸b = Tb
u
y =[b0 − a0bn . . . bn−1 − an−1bn
]x+ bnu
(43)
• Transformation auf Regelungsnormalform: Das lineare System (13) kann durch dieTransformation x = V x bzw. x = Tx mit der Transformationsmatrix T = V −1
T =
tT
tTA...
tTAn−1
, tT =[0 . . . 0 1
]Q−1S , QS = [b,Ab, . . . ,An−1b] (44)
auf die Regelungsnormalform (43) gebracht werden, wenn die Steuerbarkeitsmatrix QS re-gular ist. Dabei stellt tT die letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix dar.
2.6 Beobachtbarkeit
• Definition der Beobachtbarkeit: Man nennt das lineare, zeitinvariante System (14) voll-standig beobachtbar, wenn aus der Kenntnis der Eingangs- und Ausgangsgroßen u (t) undy (t) auf dem Intervall 0 ≤ t ≤ T sowie der Systemmatrizen A, B, C und D der Anfangs-zustand x0 errechnet werden kann.
• Beobachtbarkeitskriterium nach Kalman: Das lineare, zeitinvariante System (14) istgenau dann vollstandig beobachtbar, wenn die sogenannte Beobachtbarkeitsmatrix
QB =
CCA
...CAn−1
bzw. QB =
cT
cTA...
cTAn−1
(45)
den Rang n hat.
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• Beobachtungsnormalform – Eingroßenfall (13)
x =
0 . . . . . . 0 −a01 0 . . . 0 −a1... 1
. . ....
...
0 0. . . 0 −an−2
0 0 . . . 1 −an−1
︸ ︷︷ ︸
A = V −1AV
x+
b0 − a0bnb1 − a1bn
...bn−2 − an−2bnbn−1 − an−1bn
︸ ︷︷ ︸b = V −1b
u
y =[0 . . . 0 1
]x+ bnu
(46)
• Transformation auf Beobachtungsnormalform: Das lineare System (13) kann durchdie Transformation x = V x mit
V =[v Av . . . An−1v
], v = Q−1B
0...01
, QB =
cT
cTA...
cTAn−1
(47)
auf die Beobachtungsnormalform (46) gebracht werden, wenn die BeobachtbarkeitsmatrixQB regular ist. Dabei stellt v die letzte Spalte der inversen Beobachtbarkeitsmatrix dar.
3 Zustandsregler
• Blockschaltbild (Mehrgroßenfall m, p ≥ 1)
x = Ax+Bu
Eingangs-
vektor u vektor y
Ausgangs-
x
Zustand
Regler
Strecke
Sgroße w
Fuhrungs-
Vorfilter
K
CuV
uR
• allgemeines Regelgesetz
u = −Kx+ Sw bzw. u = −kTx+ Sw (m = 1) (48)
• Stationares VorfilterS =
[C(BK −A)−1B
]−1(49)
3.1 Direkte Eigenwertvorgabe (Eingroßenfall)
• Geschlossener Kreis
x =
AR︷ ︸︸ ︷(A− bkT)x+ Sbw , x(0) = x0
y = cTx
(50)
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• Bestimmung von kT durch Koeffizientenvergleich von dem gewunschtem charakteristischemPolynom
p∗(λ) = p0 + p1λ+ · · ·+ pn−1λn−1 + λn =
n∏i=1
(λ− λ∗i ) (51)
und dem charakteristischem Polynom des geschlossenen Kreises
q(λ,k) = det(λI −A+ bkT)
= q0(k) + q1(k)λ+ · · ·+ qn−1(k)λn−1 + λn(52)
3.2 Reglerentwurf in Regelungsnormalform
• Ackermann–Formel (Eingroßenfall) fur Ruckfuhrung u = −kTx+ Sw:
kT = tT(p0I + p1A+ · · ·+ pn−1A
n−1 +An)
(53)
mit tT – der letzten Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix (42) – und den Koeffizienten pides gewunschten charakteristischen Polynoms (51).
• Steuerbarindizes im Mehrgroßenfall: Der i–te Steuerbarkeitsindex ρi des linearen steu-erbaren Systems (14) ist die kleinste ganze Zahl, so dass der Spaltenvektor Aρibi von denlinks gelegenen Spalten der Steuerbarkeitsmatrix
QS = [b1 , . . . , bm ,Ab1 , . . . ,Abm , . . . ,An−1b1 , . . . ,A
n−1bm] . (54)
linear abhangig ist. Wenn QS regular ist, das System (14) also vollstandig steuerbar ist, soist auch die reduzierte Steuerbarkeitsmatrix 2
QS =[b1 , . . . ,A
ρ1−1b1 , . . . , bm, , . . . ,Aρm−1bm
],
m∑i=1
ρi = n , (55)
regular.
• Regelungsnormalform (Mehrgroßenfall)
˙xi,1 = xi,2...˙xi,ρi−1 = xi,ρi˙xi,ρi = gTi x+ hT
i u , i = 1, . . . ,m
(56)
mit den Vektoren
gTi = tTi AρiT−1 , hT
i = tTi Aρi−1B , i = 1, . . . ,m (57)
• Transformation auf Regelungsnormalform (Mehrgroßenfall): Das lineare Mehrgro-ßensystem (14) erfulle die Rangbedingung Rang(B) = p und sei vollstandig steuerbar mitden Steuerbarkeitsindizes ρ1, . . . , ρm. Dann kann das System (14) mit Hilfe der Transforma-tion
x = Tx , x =
x1,1...
x1,ρ1...
xm,1...
xm,ρm
, T =
tT1...
tT1Aρ1−1
...
tTm...
tTmAρm−1
. (58)
2 Man beachte, dass die Spalten in QS anders geordnet sind als in QS !
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 11
und den Vektoren tTitT1...tTm
=
eT1...eTm
Q−1S , eTi = [ 0 , . . . , 0︸ ︷︷ ︸(∑i
j=1 ρj)−1
, 1, 0, , . . . , 0] ∈ Rn (59)
auf die Regelungsnormalform (56) gebracht werden. Dabei stellt tTi die∑i
j=1 ρj–te Zeile derinversen reduzierten Steuerbarkeitsmatrix (55) dar.
• Ackermann–Formel im Mehrgroßenfall
K = H−1
tT1 (p1,0I + p1,1A+ · · ·+ p1,ρ1−1Aρ1−1 +Aρ1)
...tTm(pm,0I + pm,1A+ · · ·+ pm,ρm−1A
ρm−1 +Aρm)
(Ann.: Rang(B) = m)
(60)mit Kopplungsmatrix H ∈ Rm×m
H =
tT1Aρ1−1
...tTmA
ρm−1
B (61)
und tTi – den∑i
j=1 ρj–ten Zeilen der inversen reduzierten Steuerbarkeitsmatrix (55) sowieden Koeffizienten pi,j der charakteristischen Polynome
p∗i (λ) = pi,0 + pi,1λ+ · · ·+ pi,ρi−1λρi−1 + λρi =
ρi∏j=1
(λ− λ∗i,j) , i = 1, . . . ,m . (62)
3.3 Reglerentwurf durch Ein–/Ausgangsentkopplung
• Vektorieller relativer Grad (Mehrgroßenfall): Das lineare System (14) besitzt denvektoriellen relativen Grad {r1, . . . , rm} falls die folgenden Bedingungen erfullt sind:
(i) cTi Akbj = 0 , i = 1, . . . ,m , j = 1, . . . ,m , k = 0, 1, . . . , ri − 2
(ii) die (m×m)–Kopplungsmatrix
Hy =
cT1Ar1−1b1 · · · cT1Ar1−1bm
......
cTmArm−1b1 · · · cTmA
rm−1bm
(63)
ist nicht singular, d.h. Rang(Hy) = m.
• Relativer Grad (Eingroßenfall): Im Falle einer skalaren Stellgroße u und einer skalarenAusgangsgroße y (m = p = 1) vereinfachen sich die obigen Bedingung zu
(i) cTAkb = 0 , k = 0, 1, . . . , r − 2
(ii) cTAr−1b 6= 0(64)
• Lineare Ein–/Ausgangsnormalform:
˙xi,1 = xi,2...˙xi,ri−1 = xi,ri
E/A–Dynamik: ˙xi,ri = gTy,i xy + gTη,iη + hTy,iu , i = 1 . . . ,m
Interne Dynamik: η = My xy +Mη η +Nu
(65)
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 12
mit den Ausgangsgroßen yi = xi,1, i = 1, . . . ,m und
gTi =[gTy,i gTη,i
]= cTi A
riT−1 , hTy,i = cTi A
ri−1B , i = 1, . . . ,m
M =[My Mη
]= TηAT
−1 , N = TηB .(66)
• Transformation auf Ein–/Ausgangsnormalform: Der Ausgang y = [y1, . . . , ym]T deslinearen Systems (14) besitze den vektoriellen relativen Grad {r1, . . . , rm} mit r =
∑mi=1 ri ≤
n. Dann kann Tη ∈ Rn−r×n stets so gewahlt werden, dass die Transformation
[xyη
]︸ ︷︷ ︸x
=
[TyTη
]︸ ︷︷ ︸T
x mit xy =
x1,1...
x1,r1...
xm,1...
xm,rm
∈ Rr , Ty =
cT1...
cT1Ar1−1
...
cTm...
cTmArm−1
∈ Rr×n . (67)
regular ist und das System (14) in die Ein–/Ausgangsnormalform (65) transformiert werdenkann.
• Nulldynamik:η = Mηη (68)
mit Mη ∈ Rn−r×n−r aus
M =[My Mη
]= M −NH−1y G , G =
cT1Ar1...
cTmArm
T−1 (69)
• Zustandsreglerenwurf durch Ein–/Ausgangsentkopplung: Das lineare System (14)habe den vektoriellen relativen Grad {r1, . . . , rm} und die Nulldynamik (68) sei asymptotischstabil. Dann ist das System (14) mit dem Regelgesetz (48) und der Reglermatrix
K = H−1y
cT1 (p1,0I + p1,1A+ · · ·+ p1,r1−1Ar1−1 +Ar1)
...cTm(pm,0I + pm,1A+ · · ·+ pm,rm−1A
rm−1 +Arm)
(70)
asymptotisch stabilisierbar, wobei Hy die Kopplungsmatrix (63) und pi,j die Koeffizientender gewunschten charakteristischen Polynome
p∗i (λ) = pi,0 + pi,1λ+ · · ·+ pi,ri−1λri−1 + λri =
ri∏j=1
(λ− λ∗i,j) , i = 1, . . . ,m (71)
fur die Ein–/Ausgangsdynamik in (65) darstellen.
3.4 Optimale Regelung (LQR–Problem)
Gegeben sei das steuerbare lineare zeitinvariante System (14) mit dem zu minimierenden Kos-tenfunktional
J(u,x0) =1
2
∫ ∞0
x(t)TQx(t) + u(t)TRu(t) dt , (72)
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 13
wobei Q positiv semi–definit und R positiv definit sind und das Paar [A, C] mit Q = CTC
beobachtbar ist. Dann ergibt sich das Minimum von (72) durch das optimale Ruckfuhrgesetz
u = −Kx mit K = R−1BTP (m > 1)
u = −kTx kT =1
RbTP (m = 1)
(73)
zu J(u,x0) = 12xT0 P x0, wobei P die eindeutige positiv semi–definite Losung der algebraischen
Riccati–GleichungPA+ATP − PBR−1BTP +Q = 0 (74)
ist. Des Weiteren besitzen samtliche Eigenwerte der Matrix (A−BR−1BTP ) negative Realteile,so dass der geschlossene Kreis
x =(A−BR−1BTP
)x , x(0) = x0
asymptotisch stabil ist.
3.5 Behandlung von Storgroßen
• Lineares, zeitinvariantes System mit Storung d ∈ Rl und Storeingangsmatrix E ∈ Rn×l
x = Ax+Bu+Ed , x(0) = x0
y = Cx(75)
• Storgroßenaufschaltung
u = −Kx+ Sw − (BTB)−1BTEd (76)
• PI–ZustandsreglerxI = w −Cxu = −Kx+Kp(w −Cx) +KIxI
(77)
mit Reglerverstarkungen
Kp = −(CA−1B)−1 , KI = −K2 , K = K1 −KpC (78)
4 Beobachterentwurf
4.1 Vollstandiger Luenberger–Beobachter
• Luenberger–Beobachter
˙x =
Simulator︷ ︸︸ ︷Ax+Bu+
Korrektur︷ ︸︸ ︷K(y − y) , x(0) = x0
y = Cx
(79)
• Analogie zwischen Regler– und Beobachterentwurf
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 14
Zustandsregler ⇔ Beobachter
A AT
B CT
C BT
K KT
QB QTS
QS QTB
• Ackermann–Formel fur Zustandsbeobachter (Eingroßenfall): Die Eigenwerte derFehlerdynamikmatrix Ae = A− kcT des vollstandigen Beobachters
˙x = Ax+ bu+ k(y − y) , x(0) = x0
y = cTx(80)
zum System (13) konnen genau dann durch k beliebig plaziert werden, wenn das System (13)beobachtbar ist. Der Ruckfuhrvektor berechnet sich dann nach der Formel
k =(p0I + p1A+ · · ·+ pn−1A
n−1 +An)t (81)
in Abhangigkeit von t = Q−1B [0, . . . , 0, 1]T – der letzten Spalte der inversen Beobachtbar-keitsmatrix (45) – und den Koeffizienten pi des gewunschten charakteristischen Polynoms
p∗(λ) = p0 + p1λ+ · · ·+ pn−1λn−1 + λn =
n∏i=1
(λ− λ∗i ) .
4.2 Separationsprinzip
• Zustandsregler/Beobachter–Konfiguration
Strecke
˙x = Ax+Bu+ K(y − y)
x0
x
u y
y = Cx
x0
C
K
Sw
x = Ax+Bu
Beobachter
Regler
• Separationsprinzip: Wenn das System (14) vollstandig erreichbar und vollstandig beob-achtbar ist, dann ergibt sich das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises zu
pges(λ) = det(λI −A+BK) det(λI −A+ KC) = p∗(λ)p∗(λ)
mit den gewunschten charakteristischen Polynomen p∗(λ) fur den Zustandsreglerentwurf undp∗(λ) fur den Zustandsbeobachterentwurf.
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 15
4.3 Behandlung von Storgroßen – Storbeobachter
• Lineares, zeitinvariantes System mit Storung d ∈ Rl und Storeingangsmatrix E ∈ Rn×l
x = Ax+Bu+Ed , x(0) = x0
y = Cx(82)
• Storgroßenmodellxd = Ad x , xd(0) = xd,0
d = Cd xd(83)
• Beobachterentwurf fur erweitertes Streckenmodell[xxd
]=
[A ECd0 Ad
] [xxd
]+
[B0
]u ,
[x(0)xd(0)
]=
[x0
xd,0
]y =
[C 0
] [ xxd
] (84)
• Storgroßenaufschaltung mit geschatztem Zustand x und geschatzter Storung d
u(t) = −Kx(t) + Sw − (BTB)−1BTE d(t) (85)
4.4 Reduzierter Beobachter
• Annahme: p linear unabhangige Messungen y = Cx mit Rang(C) = p
• Schritt 1: Wahl von Matrix T 2 ∈ R(n−p)×n fur regulare Zustandstransformation
x =
[x1
x2
]=
[CT 2
]x = Tx , (86)
• Schritt 2: Berechnung von Blockmatrizen des transformierten Systems[˙x1
˙x2
]=
[A11 A12
A21 A22
]︸ ︷︷ ︸TAT−1
[x1
x2
]+
[B1
B2
]︸ ︷︷ ︸TB
u , y =[Ip×p 0
]x
(87)
• Schritt 3: Auslegung von K2 so, dass Fehlerdynamik ew = (A22−K2A12)ew des reduziertenBeobachters asymptotisch stabil ist
• reduzierter Beobachter fur w = x2 − K2y ∈ Rn−p
˙w = (A22−K2A12)w + (B2−K2B1)u + (A21−K2A11+A22K2−K2A12K2)y
x2 = w + K2y (Schatzung fur x2)(88)
5 Folgeregelung
• Lineares, zeitinvariantes System
Mehrgroßenfall: x = Ax+Bu (89)
y = Cx bzw. yi = cTi x , i = 1, . . . , p = m
Eingroßenfall: x = Ax+ bu (90)
y = cTx
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 16
5.1 Folgeregelung fur den Ausgang
• Folgefehler
ey,i(t) = yi(t)− y∗i (t) , i = 1, . . . ,m bzw. ey(t) = y(t)− y∗(t) (91)
• Asymptotische Ausgangsfolgeregelung: Gegeben sei das lineare System (89) mit demvektoriellen relativen Grad {r1, . . . , rm} und den beschrankten (ri–fach stetig differenzierba-ren) Solltrajektorien y∗i (t) ∈ Cri , t ∈ [0, T ]. 3 Dann ist die Fehlerdynamik
e(ri)y,i + pi,ri−1e
(ri−1)y,i + · · ·+ pi,1ey,i + pi,0ey,i = 0 , i = 1, . . . ,m (92)
durch die Ruckfuhrung
u = −Kx+H−1y
p1,0 y∗1(t) + · · ·+ p1,r1−1y
∗(r1−1)1 (t) + y
∗(r1)1 (t)
...
pm,0 y∗m(t) + · · ·+ pm,rm−1y
∗(rm−1)m (t) + y
∗(rm)m (t)
(93)
asymptotisch stabilisierbar, wobei Hy die Kopplungsmatrix (63), K die Reglerverstarkung(70) und pi,j die Koeffizienten der gewunschten charakteristischen Polynome
p∗i (λ) = pi,0 + pi,1λ+ · · ·+ pi,ri−1λri−1 + λri =
ri∏j=1
(λ− λ∗i,j) , i = 1, . . . ,m . (94)
darstellen. Falls daruberhinaus die Nulldynamik (68) asymptotisch stabil ist, so ist der Zu-stand η(t), t ∈ [0, T ] der internen Dynamik (65) fur alle Zeiten T > 0 beschrankt.
• Folgeregelung mit I–Anteil
xI = y∗ − y , xI(0) = 0
u = −Kx+KIxI +H−1y
p1,0 y∗1(t) + · · ·+ p1,r1−1y
∗(r1−1)1 (t) + y
∗(r1)1 (t)
...
pm,0 y∗m(t) + · · ·+ pm,rm−1y
∗(rm−1)m (t) + y
∗(rm)m (t)
KI =H−1y
[pI,1 0
. . .0 pI,m
] (95)
5.2 Zwei–Freiheitsgrade–Regelung
• Zwei–Freiheitsgrade–Regelungsstruktur (linearer Zustandsregler, lineares System)
x∗A,x
∗B
CVorsteuerunguuR
Strecke
xK
Regler
y(t) → y∗(t)x = Ax+Bu
x∗
u∗
3 Cn beschreibt die Klasse der n–mal stetig differenzierbaren Funktionen.
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 17
• Flacher Ausgang fur lineare Systeme – Eingroßenfall: Unter der Annahme, dass daslineare System (90) steuerbar ist, stellt
z = tTx (96)
einen flachen Ausgang von (90) dar, wobei tT die letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsma-trix (42) ist. Durch den flachen Ausgang z und seine Zeitableitungen
x = [z, z, . . . , z(n−1)]T (97)
sowie z(n) lassen sich der Zustand x, die Stellgroße u und der Ausgang y ausdrucken
x = T−1x , u = z(n) − tTAnT−1x , y = cTT−1x , (98)
wobei die Transformationsmatrix T durch (44) gegeben ist.
• Flacher Ausgang fur lineare Systeme – Mehrgroßenfall: Unter der Annahme, dassdas lineare System (89) steuerbar ist, stellt
z =
tT1...tTm
xeinen flachen Ausgang von (90) dar, wobei tTi gemaß (59) die
∑ij=1 ρj–te Zeile der inversen
reduzierten Steuerbarkeitsmatrix (55) ist. Durch den flachen Ausgang z und seine Zeitablei-tungen
x = [z1, z1, . . . , z(ρ1−1)1 , . . . , zm, zm, . . . , z
(ρm−1)m ]T
sowie z(ρ1)1 , . . . , z
(ρm)m lassen sich der Zustand x, die Stellgroße u und der Ausgang y aus-
x = T−1x , u =
z(ρ1)1...
z(ρm)m
− t
T1A
ρ1
...tTmA
ρm
T−1x , y = CT−1x , (99)
wobei die Transformationsmatrix T durch (58) gegeben ist.
• Folgeregelungsproblem (Eingroßenfall): Arbeitspunktwechsel (x∗A, u∗A) → (x∗B, u
∗B) fur
System (90)0 =Ax∗A + bu∗A , y∗A = cTx∗A0 =Ax∗B + bu∗B , y∗B = cTx∗B
(100)
• Flachheitsbasierte Vorsteuerung (Eingroßenfall)
0 =Ax∗A + bu∗A , y∗A = cTx∗A0 =Ax∗B + bu∗B , y∗B = cTx∗B
(101)
mit 2(n+ 1) Randbedingungen
z∗(0) = z∗A = tTx∗A , z∗(i)(0) = 0 , i = 1, . . . , n
z∗(T ) = z∗B = tTx∗B , z∗(i)(T ) = 0 , i = 1, . . . , n .(102)
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 18
• Polynomiale Solltrajektorie fur flachen Ausgang
z∗(t) = z∗A + (z∗B − z∗A)2n+1∑i=n+1
pi
(t
T
)i(103)
mit n+ 1 Koeffizienten
pi =(−1)i−n−1(2n+ 1)!
i n!(i− n− 1)!(2n+ 1− i)! , i = n+ 1, . . . , 2n+ 1 . (104)
Vorsteuerungsentwurf im Mehrgroßenfall analog...
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 19
A Bezeichungen im Skript
n = Systemordnung
m = Anzahl der Eingange des Systems
p = Anzahl der Ausgange des Systems
x = Zustandsvektor (x ∈ Rn)
u = Eingangsvektor (u ∈ Rm)
y = Ausgangsvektor (y ∈ Rp)
w = Fuhrungsvektor (w ∈ Rp)
d = Storvektor (d ∈ Rl)
A = Systemmatrix (A ∈ Rn×n)
B = Eingangsmatrix bzw. Stelleingriffsmatrix (B ∈ Rn×m)
b = Stelleingriffsvektor (nur bei SISO-Systemen, b ∈ Rn)
C = Ausgangsmatrix (C ∈ Rp×n)
cT = Ausgangsvektor (nur bei SISO-Systemen, cT ∈ R1×n)
D = Durchgangsmatrix (D ∈ Rp×m)
E = Storeingangsmatrix (E ∈ Rn×l)
S = Vorfiltermatrix (S ∈ Rm×p)
S = Vorfilterwert (nur bei SISO-Systemen, S ∈ R)
K = Reglermatrix (K ∈ Rm×n)
kT = Reglervektor (nur bei SISO-Systemen, kT ∈ R1×n)
K = Beobachtermatrix (K ∈ Rn×p)
k = Beobachtervektor (nur bei SISO-Systemen, (k ∈ Rn×1)
Die meisten Formeln dieser Formelsammlung sind allgemein fur MIMO-Systeme angegeben.Werden diese Formeln fur SISO-Systeme verwendet, muss auf die richtige Ersetzung der Ma-trizen durch Vektoren geachtet werden:
SISO anstatt MIMO
b anstatt B
cT anstatt C
d anstatt D
kT anstatt K
k anstatt K
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 20
B Mathematische Grundlagen
B.1 Determinantenberechnung
• (2× 2)-Matrizen
det
[a11 a12a21 a22
]=
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11 · a22 − a12 · a21 (105)
• (3× 3)-Matrizen
det
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13−a13a22a31 − a11a32a23 − a12a21a33 (106)
• (n× n)-Matrizen: Entwicklung nach der i-ten Zeile
det
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
......
...an1 an2 · · · ann
=n∑j=1
(−1)i+j · aij · det(Aij) (107)
wobei Untermatrix Aij durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht
• (n× n)-Matrizen: Entwicklung nach der j-ten Spalte
det
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
......
...an1 an2 · · · ann
=n∑i=1
(−1)i+j · aij · det(Aij) (108)
wobei Untermatrix Aij durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht
• Rechenregeln fur Determinanten
det(R S) = det(R) · det(S) (109)
det
[A1 00 A2
]= det(A1) · det(A2) (110)
B.2 Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit von Vektoren
n Vektoren v1, ...,vn sind genau dann linear unabhangig, wenn die Determinante der aus ihnengebildeten Matrix
V =
[v1
... · · · ... vn
](111)
ungleich 0 ist.
det(V ) = det
[v1
... · · · ... vn
]6= 0 ⇒ linear unabhangig (112)
det(V ) = det
[v1
... · · · ... vn
]= 0 ⇒ linear abhangig (113)
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 21
Dieses Verfahren ist nur dann moglich, wenn die Vektoren v1, ...,vn die Dimension n haben.Andernfalls ist zu prufen, ob das lineare Gleichungssystem
n∑i=1
αi · vi = 0 (114)
eine nicht triviale Losung αi 6= 0 fur mindestens ein i mit vi 6= 0 besitzt. Ist dies der Fall, sinddie Vektoren linear abhangig.
B.3 Inverse einer Matrix
• (2× 2)-Matrizen
A−1 =
[a11 a12a21 a22
]−1=
1
det(A)·[
a22 −a12−a21 a11
](115)
• (3× 3)-Matrizen
A−1 =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
−1 (116)
=1
det(A)·
a22a33 − a23a32 a13a32 − a12a33 a12a23 − a13a22a23a31 − a21a33 a11a33 − a13a31 a13a21 − a11a23a21a32 − a22a31 a12a31 − a11a32 a11a22 − a12a21
• (n× n)-Matrizen: Die Inverse einer (n× n)-Matrix A berechnet sich wie folgt
A−1 =adj(A)
det(A)mit adj(A)ji = (−1)i+jdet(Aij) (117)
wobei Untermatrix Aij durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht
• Rechenregeln fur Inverse und Transposition
(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 (118)
(A ·B)T = BT ·AT (119)(AT)−1
=(A−1
)T(120)
• Inversion von Blockmatrizen
A =
[A11 00 A22
]⇒ A−1 =
[A−111 0
0 A−122
](det(A) 6= 0) (121)
• Determinantenberechnung von Blockmatrizen: Die Matrix A sei in 4 Matrizen parti-tioniert, so dass F und J quadratisch und F bzw. J regular sind
det (A) = det
[F GH J
]= det (F ) · det
(J −HF−1G
)bzw.
= det (J) · det(F −GJ−1H
) (122)
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 22
• Matrix-Inversionslemma: A invertierbar, u und v Spaltenvektoren und A+ uvT inver-tierbar: (
A+ uvT)−1
= A−1 −(A−1u
) (vTA−1
)1 + vTA−1u
(123)
bzw. allgemein fur A ∈ Rm×m, C ∈ Rn×n
(A+BCD)−1 = A−1 −A−1B(DA−1B +C−1
)−1DA−1 (124)
B.4 Pseudoinverse rechteckiger Matrizen
Fur rechteckige MatrizenA ist die Berechnung vonA−1 nicht moglich. Es gelten jedoch folgendeDefinitionen fur die Berechnung einer Pseudoinversen:
• Fur A ∈ Rm×n, m < n, Rang (A) = m: Moore-Penrose- oder Rechts-Pseudoinverse
A# = AT(AAT
)−1es gilt A ·A# = Im (125)
• Fur A ∈ Rm×n, m > n, Rang (A) = n: Links-Pseudoinverse
A� =(ATA
)−1AT es gilt A� ·A = In (126)
Dabei sind Im bzw. In Einheitsmatrizen der Dimension m×m bzw. n× n.
B.5 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
• Eigenwerte einer Matrix: Losung der charakteristischen Gleichung
p(λ) = det(A− λI)!
= 0 (127)
• Rechtsseitige Eigenvektoren: Zu jedem Eigenwert λi ergibt sich der zugehorige rechts-seitige Eigenvektor vi aus dem Gleichungssystem
(A− λiI) · vi = 0 mit vi 6= 0 (128)
• Linksseitige Eigenvektoren Zu jedem Eigenwert λi ergibt sich der zugehorige linksseitigeEigenvektor wi aus dem Gleichungssystem
wTi · (A− λiI) = 0T mit wi 6= 0 (129)
B.6 Algebraische und geometrische Vielfachheit
Das charakteristische Polynom det (A− λI) = 0 der Matrix A habe m verschiedene Wur-zeln λ1, . . . , λm ∈ C mit den entsprechenden Vielfachheiten n1, . . . , nm. Dann gelten folgendeBezeichnungen:
• ni ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λi, i = 1, . . . ,m,
• gi ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λi, i = 1, . . . ,m, die als die Dimensiondes Eigenraumes zum Eigenwert λi definiert ist, d.h.
gi = dim (Kern (A− λiI)) .
Einfacher ausgedruckt stellt gi die Anzahl der linear unabhangigen Eigenvektoren v dar, dieλiA = λiv erfullen. Fur die geometrische Vielfachheit gi eines Eigenwertes λi gilt 1 ≤ gi ≤ ni.
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 23
B.7 Satz von Cayley–Hamilton
Bezeichnetp(λ) = p0 + p1λ+ · · ·+ pn−1λ
n−1 + λn
das charakteristische Polynom der Matrix A ∈ Rn×n, so genugt A der Beziehung
p(A) = a0I + a1A+ . . .+ an−1An−1 +An = 0 . (130)
Der Satz von Cayley–Hamilton besagt, dass die Matrix An durch eine Linearkombination derniedrigeren Potenzen ausgedruckt werden kann, bei der die Koeffizienten denen des charakte-ristischen Polynoms entsprechen.
C Laplace–Transformation
Definition C.1 (Laplace-Transformation) Es sei angenommen, dass die Zeitfunktion f (t)kausal und auf jedem finiten Zeitintervall t ≥ 0 stuckweise stetig ist sowie der Ungleichung
|f (t)| ≤Meγt (131)
fur geeignete positive Konstanten γ und M genugt. Dann ist das Integral
F (s) = L (f (t)) =
∫ ∞0
e−stf (t) dt mit s = α + jω (132)
fur alle Re (s) = α > γ absolut konvergent. Man nennt die Funktion F (s) auch die Laplace-Transformierte der kausalen Zeitfunktion f (t) und das Gebiet Cγ = {s ∈ C| Re (s) > γ} denExistenzbereich von F (s).
C.1 Eigenschaften der Laplace–Transformation
• I. Linearitat:
Zeitbereich: c1f1 (t) + c2f2 (t) , c1, c2 ∈ C
Bildbereich: c1F1 (s) + c2F2 (s)
• II. Ahnlichkeitssatz:
Zeitbereich: f (at) , a > 0
Bildbereich:1
aF(sa
)• III. Erster Verschiebungssatz:
Zeitbereich: f (t− a)σ (t− a) , a > 0
Bildbereich: e−asF (s)
• IV. Zweiter Verschiebungssatz:
Zeitbereich: f (t+ a) , a > 0
Bildbereich: eas(F (s)−
∫ a
0
f (t) e−stdt
)
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 24
• V. Dampfungssatz:
Zeitbereich: e−ctf (t) , c ∈ C
Bildbereich: F (s+ c)
• VI. Differentiation:
Zeitbereich:d
dtf (t) = f (t)
Bildbereich: sF (s)− f (0+)
bzw.
Zeitbereich:dn
dtnf (t) = f (n) (t)
Bildbereich: snF (s)− f (0+) sn−1 − f (1) (0+) sn−2 − . . .− f (n−1) (0+)
• VII. Integration:
Zeitbereich:
∫ t
0
f (τ) dτ
Bildbereich:1
sF (s)
• VIII. Umkehrung zu VI:
Zeitbereich: (−t)n f (t)
Bildbereich:dn
dsnF (s)
• IX. Umkehrung zu VII:
Zeitbereich:1
tf (t)
Bildbereich:
∫ ∞s
F (σ) dσ
• X. Faltungssatz:
Zeitbereich: (f1 ∗ f2) (t) =
∫ t
0
f1 (τ) f2 (t− τ) dτ =
∫ t
0
f1 (t− τ) f2 (τ) dτ
Bildbereich: F1 (s)F2 (s)
• XI. Periodische Funktionen:
Zeitbereich: f (t+ T ) = f (t)
Bildbereich:1
1− e−sT∫ T
0
e−stf (t) dt
• XII. Grenzwertsatze: (nur anwendbar, wenn die Grenzwerte auch existieren)
Anfangswertsatz: limt→0+ f (t) = lims→∞ sF (s)
Endwertsatz: limt→+∞ f (t) = lims→0 sF (s)
Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 25
C.2 Korrespondenzen
Nummer Zeitbereich Bildbereichf (t) , t ≥ 0 F (s)
I. δ (t) 1
II. σ (t)1
s
III. t1
s2
IV. eat1
s− a
V. tneatn!
(s− a)n+1
VI. sin (bt)b
s2 + b2
VII. cos (bt)s
s2 + b2
VIII. eat sin (bt)b
(s− a)2 + b2
IX. eat cos (bt)s− a
(s− a)2 + b2