Formelsammlung zur Vorlesung
Experimentalphysik II
Prof. Dr. Winfried Daum
1 Coulombsches Gesetz
Kraft, die von Ladung Q2 am Ort ~r2 auf Ladung Q1 am Ort ~r1 ausgebt wird:
~F12 =1
4pi0 Q1Q2|~r1 ~r2|2
~r1 ~r2|~r1 ~r2| (1)
~r1~r2|~r1~r2| ist der Einheitsvektor in Richtung von ~r1 ~r2.Betrag der Kraft: F12 =
14pi0 Q1Q2
r212mit r12 = |~r1 ~r2| =
(x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2
Gesamtkraft
~Fges auf Ladung Q1, wenn mehrere Ladungen Q2, Q3, . . . , QN an den Orten r2, r3, . . . ,rN sind:
~Fges =
Ni=2
~F1i mit ~F1i =1
4pi0 Q1Qi|~r1 ~ri|2
~r1 ~ri|~r1 ~ri|
2 Elektrische Ladungsdichte %
%(~r) = limV0
Q
V
Q ist die im Teilvolumen
V enthaltene Ladung(2)
Gesamtladung Q im Volumen V :
Q =
V
%(~r)dV (3)
Falls homogene Ladungsverteilung, also konstante Ladungsdichte vorliegt:
% =Q
VQ =%V
3 Elektrische Feldstrke
~E
Denition von
~E durch elektrische Kraft ~F auf Probeladung q:
~E(~r) =1
q ~F (~r) (4)
Spezialfall: elektrische Feldstrke einer Punktladung Q1 am Ort ~r1 (Coulomb-Feld):
~E(~r) =1
4pi0 Q1|~r ~r1|2
~r ~r1|~r ~r1|
Elektrische Feldstrke mehrerer Punktladungen Q1, Q2, . . . , QN an den Orten ~r1, ~r2, . . . , ~rN :
~E(~r) =
Ni=1
1
4pi0 Qi|~r ~ri|2
~r ~ri|~r ~ri|
Experimentalphysik II Formelsammlung
4 Elektrischer Fluss
Denition des elektrischen Flusses durch ein (innitesimal) kleines orientiertes Flchenelement
~dA:
del = ~E ~dA
Elektrischer Fluss durch eine endlich groe Flche A:
el =
A
~E ~dA (5)
5 Gausches Gesetz A
~E ~dA = Q0(6)
Notwendige Kenntnisse hierzu:
Was bedeutet das Integralsymbol?
Welche Feldstrkevektoren sind zu integrieren?
In welcher geometrischen Beziehung steht die geschlossene Integrations-
che zur Ladung Q?
6 Arbeit im elektrischen Feld
Allgemeine Denition der Arbeit, um einen Krper gegen die Kraft
~F vom Anfangsort 1 zum Endort2 zu bringen:
W12 = 2
1
~F ~ds
Arbeit, um Ladung q gegen die Kraft ~F = q ~E im elektrischen Feld von 1 nach 2 zu bringen:
W12 = q2
1
~E ~ds (7)
~ds ist das Wegelement am Ort ~r der elektrischen Feldstrke ~E(~r)Spezielle Anwendung auf Coulomb-Feld einer Punktladung Q im Koordinatenursprung ~r = 0:
W12 =qQ
4pi0r2r1
dr
r2=
4pi0(
1
r2 1r1
)
Arbeit hngt bei Coulomb-Feldern nur von der Anfangs- und Endposition der verschobenen Ladung
q, nicht aber vom Verschiebungsweg ab: konservatives Kraftfeld.
7 Potentielle Energie im elektrischen Feld
Eine Ladung q hat im elektrischen Feld anderer Ladungen eine potentielle Energie Epot(~r).Potentielle Energie von q im Feld einer Punktladung Q1 am Ort ~r1:
Epot(~r) =1
4pi0 qQ1|~r ~r1| (8)
Wenn ~r1 = 0:
Epot(~r) =1
4pi0 qQ1r
2
Experimentalphysik II Formelsammlung
Mehrere Punktladungen Q1, Q2, . . . , QN an den Orten ~r1, ~r2, . . . , ~rN :
Epot(~r) =
Ni=1
1
4pi0 qQi|~r ~ri|Allgemeine Zusammenhnge zwischen potentieller Energie und Arbeit im elektrischen Feld:
Epot(~r) =W~r = q~r
~E ~ds Epot() = 0 gesetzt (9)
W12 =Epot(2) Epot(1) (10)
8 Elektrisches Potential
Denition:
(~r) =1
qEpot(~r) (11)
Potential einer Punktladung Q1 am Ort ~r1:
(~r) =1
4pi0
Q
|~r ~r1| Coulomb-Potential
Mehrere Ladungen Q1, Q2, . . . , QN an den Orten ~r1, ~r2, . . . , ~rN :
(~r) =
Ni=1
1
4pi0
Q
|~r ~ri|
9 Elektrische Spannung
Denition der elektrischen Spannung zwischen den Punkten 1 und 2:
U12 = 2
1
~E ~ds = 1qW12 (12)
Zusammenhang zwischen elektrischer Spannung und elektrostatischem Potential:
U12 = (2) (1) (13)
10 quipotentialchen (PF)
Verschiebung von q auf PF kostet keine Arbeit:
1
qW12 = (2) (1) =
21
~E ~ds = 0
wenn Punkte 1 und 2 auf PF liegen.
Mit 21
~E ~ds = 0 auf PF folgt, dass ~E senkrecht zur PF stehen muss.
11 Elektrostatik von Leiteroberchen
Leiteroberchen sind PF. Auf Leiteroberchen ist
~E senkrecht ausgerichtet.Ladungen auf Leiteroberchen treten als Flchenladungen auf. Flchenladungsdichte = Ladung /Flche.
Auf Leiteroberchen gilt:
E =
0(aus Gauschem Gesetz) (14)
In der Elektrostatik gilt:
~E = 0 im Inneren eines Leiters.
3
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12 Kondensatoren und Kapazitt
Denition der Kapazitt C:
C =
QU (15)Gesetzte fr Plattenkondensatoren:
U =E d (16)C = 0 A
d(17)
d: PlattenabstandA: Plattenche: Dielektrizittskonstante des den gesamten Plattenzwischenraum ausfllenden Dielektrikums
Das elektrische Feld in einem Plattenkondensator mit d
Experimentalphysik II Formelsammlung
Zusammenhang zwischen Stromstrke I und Stromdichte ~j:
dI =~j ~dA I =A
~j ~dA (26)
Elektrischer Strom als Transport von Ladungstrgern mit Einzelladung q, Ladungstrgerdichte n undGeschwindigkeit ~v:
~j = ~v = nq~v (27)
: elektrische Ladungsdichte der bewegten Ladungen
17 Ohmsches Gesetz
Konventionelle Formulierung: Ein elektrischer Strom durch einen ohmschen Widerstand (Leiter) er-
zeugt eine Spannung zwischen den Leiterenden (Spannungsabfall, genauer: Potentialabfall):
U = R I (28)
R: elektrischer Widerstand
Korrekterweise msste es U = R I lauten, weil entlang der technischen Stromrichtung ein Potenti-alabfall und damit an den Leiterenden eine negative Spannung erzeugt wird.
Weitere Formulierung des Ohmschen Gesetzes:
~j = ~E (29)
: elektrische Leitfhigkeit
Spezischer Widerstand s:
s =1
(30)
Widerstand eines Leiters der Lnge L und Querschnittsche A:
R = sL
A(31)
18 Schaltungen von Widerstnden
Parallelschaltung:
1
Rges=i
1
Ri(32)
Reihenschaltung: Rges =i
Ri (33)
19 Elektrische Leistung an einem ohmschen Leiter
P = U I = R I2 = U2
R(34)
20 Kirchhosche Regeln fr verzweigte Stromkreise
Knotenregel:
Ni=1
Ii = 0 (35)
Die auf einen Leitungsknoten zulaufenden Strme (technische Stromrichtung) werden positiv, die von
einem Leitungsknoten abieenden Strme negativ gezhlt.
5
Experimentalphysik II Formelsammlung
Maschenregel:
Ni=1
Ui = 0 (36)
Fr eine Leitermasche ist zunchst ein Umlaufssinn willkrlich festzulegen. Hinsichtlich dieses Um-
laufsinnes gelten fr die auftretenden Spannungen folgende Vorzeichenregeln:
1. Spannungsquellen: Fhrt der gewhlte Umlaufsinn innerhalb der Spannungsquelle vom Minuspol
zum Pluspol, dann ist die Spannung dieser Quelle positiv zu zhlen. Begrndung: Man muss
positive Arbeit verrichten, um eine positive Ladung vom Minuspol zum Pluspol zu bringen.
2. Ohmsche Widerstnde: Weist die technische Stromrichtung in Richtung des gewhlten Umlauf-
sinns, dann ist die Spannung am Widerstand negativ: UR = R. Begrndung: Potentialabfallim Widerstand.
Hinweis: Die technischen Stromrichtungen sind i.A. zunchst unbekannt. Daher knnen die Stromrich-
tungen zunchst willkrlich gewhlt werden. Stimmen die festgelegten mit den technischen Stromrich-
tungen nicht berein, so fhrt dies lediglich zu einem negativen Vorzeichen fr die berechneten Strme
und damit zu einem positiven Vorzeichen fr die Spannungen an den Widerstnden (UR = R I)
21 Lorentz-Kraft
Bewegt sich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit ~v in einem Magnetfeld ~B, so wirkt auf die Ladungdie Lorentz-Kraft:
~F =q(~v ~B) (37)F =qvB sin](~v, ~B)
Existiert zustzlich zum Magnetfeld noch ein elektrisches Feld
~E, dann wirkt die Gesamtkraft:
~F = q( ~E + ~v ~B)
22 Hall-Eekt
Bewegen sich in einem Leiter Ladungstrger in einem senkrecht zur Bewegungsrichtung orientierten
Magnetfeld
~B, so wird senkrecht zur Bewegungsrichtung und zu ~B eine Hallspannung erzeugt:
UH = RH I Bd(38)
RH =1nq : Hall-Konstante
n : Ladungstrgerkonzentration
d : Leiterdicke (Leiterdimension senkrecht zu ~B)
Hinweis: Sie sollten in der Lage sein, den Ausdruck fr UH mit Hilfe der Lorentz-Kraft und derSpannungsdenition herzuleiten!
23 Magnetischer Fluss
Denition analog zum elektrischen Fluss:
dm = ~B ~dA m =A
~B ~dA
6
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Fr eine geschlossene Flche gilt immer: A
~B ~dA = 0 (39)
Die Aussage ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass magnetische Feldlinien immer geschlossen sind,
also immer in sich zurckfhren.
24 Ampresches Gesetz C
~B ~ds = 0I (40)
Notwendige Kenntnisse hierzu:
Bedeutung des Integralsymbols?
Welche Feldstrkevektoren sind zu Integrieren?
In welcher geometrischen Beziehung steht die Integrationskurve C zurStromstrke I?
25 Krfte auf stromdurchossene Leiter
In einem ueren Magnetfeld
~B wirkt auf ein orientiertes Leiterelement ~dl die Kraft
d~F = I(~dl ~B), (41)
wenn
~dl vom Strom I durchstrmt wird und ~dl die Richtung des technischen Stroms hat.Zwei parallele stromdurchossene Leiter ziehen sich an oder stoen sich ab, je nachdem, ob die Strme
gleich oder entgegengerichtet sind.
Zwischen zwei unendlich langen parallelen Leitern im Abstand r wirkt eine Kraft pro Leiterlnge L:
F
L=0I
2
2pir(42)
26 Stromdurchossene Leiterschleifen als magnetische Dipole
Denition des magnetischen Dipolmoments ~ einer Leiterschleife mit Strom I:
~ = IA~n = I ~A (43)
A : Flche der Schleife~n : Einheitsvektor senkrecht zur Flche
Magnetisches Dipolmoment im homogenen Magnetfeld (analog zu Kapitel 15):
Drehmoment auf magnetischen Dipol infolge eines Magnetfeldes:
~ =~ ~B (44) =B sin](~, ~B)
Potentielle Energie:
Epot = ~ ~B (45)Epot = B cos](~, ~B)
7
Experimentalphysik II Formelsammlung
27 Induktionsgesetz
An einer oenen Leiterschleife (Wicklungszahl N = 1) oder an den Leiterenden einer Spule mit NWicklungen wird eine Induktionsspannung Uind abgegrien, wenn sich der magnetische Fluss durchdie Schleifenche / durch die Spulenquerschnittsche ndert:
Uind = N ddt
A
~B ~dA = N m (46)
A: Querschnittsche der Schleife / der Spule
Als Ursache fr die zeitliche nderung von m kann ein zeitabhngiges Magnetfeld ( ~B 6= 0) oder /und die Bewegung einer Leiterschleife / Spule in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft) auftreten.
28 Selbstinduktion
In einem Stromkreis mit einer Induktivitt (Spule) tritt eine Induktionsspannung an dieser Induktivitt
auf, wenn die Stromstrke I zeitabhngig ist:
Uind = LdIdt(47)
L: Selbstinduktionskoezient, InduktivittLenzsche Regel: negatives Vorzeichen auf den rechten Seite der Gleichung
(Was besagt die Lenzsche Regel?)
29 Transformator
Transformator = zwei Spulen mit Wicklungszahlen N1 und N2 auf einem gemeinsamen, meist geschlos-senen)Eisenkern (Trafokern) zur Erhhung des magnetischen Flusses.
U2 = N2N1
U1 (48)
U1: Primrspannung, EingangsspannungU2: Sekundrspannung, AusgangsspannungVorzeichen hngt vom Wicklungssinn der beiden Spulen ab.
30 Eektive Leistung in ohmschen Wechselstromkreisen
U(t) =U0 cost I(t) =I0 cost
Peff =Ueff Ieff Ueff = U02
Ieff =I0
2(49)
31 Stme und Spannungen in beliebigen Wechselstromkreisen
In unverzweigten Wechselstromkreisen mit Kapazitt, Induktivitt und Ohmschem Widerstand fhrt
die Anwendung der Maschenregel auf eine Dierentialgleichung fr die Ladung (auf dem Kondensator)
beziehungsweise fr den Strom I. Nach Festlegung einer (momentanen) Stromrichtung ist bei derAnwendung der Maschenregel bezglich der Vorzeichen der auftretenden Spannungen Folgendes zu
beachten:
1. Wechselspannungsquelle: positives Vorzeichen der bereitgestellten Wechselspannung, wenn Ma-
schenumlaufrichtung und Stromrichtung bereinstimmen.
8
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2. Ohmsche Widerstnde:
UR =RI (50)
3. Induktivitten:
UL = LI (51)
4. Kapazitten: Da ein Kondensator betragsmig gleich groe Ladungen beiderlei Vorzeichens
trgt, muss zuerst geklrt werden, was unter der Ladung Q verstanden wird. Versteht manunder Q die Ladung auf derjenigen Elektrode des Kondensators, die beim Maschenumlauf zuersterreicht wird, dann gilt:
UC = QC
I =Q (52)
32 Wechselstromwiderstnde
Wechselstromamplituden und die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung lassen sich mit
Hilfe der komplexen Wechselstromwiderstande berechnen. Diese sind wie folgt:
ZL =iL ZC =1
iCZR =R (53)
Bei Parallel- oder Serienschaltungen kann der komplexe Gesamtwiderstand Z() analog zu den Regelnfr ohmsche Widerstnde berechnet werden. Zur Berechnung der Stromstrke und der Phasenverschie-
bung zwischen Strom und Spannung ist eine Darstellung von Z() durch Betrag und Phase sinnvoll:
Z() = |Z()| ei() () = arctan Im(Z())Re(Z())(54)
Mit der angelegten Wechselspannung U(t) = U0 cost folgt fr die Stromstrke:
I(t) =U0|Z()| cos [t ()] (55)
Fr die Stromamplitude gilt also:
I0 =U0|Z()| (56)
Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist durch den Real- und Imaginrteil des
komplexen Gesamtwechselstromwiderstandes gem () = arctan Im(Z())Re(Z()) festgelegt.
33 Komplexe Wechselstromwiderstnde in Spannungsteilern
Will man die Wechselspannung an einem oder mehreren hintereinander geschalteten Wechselstromwi-
derstnden, die ihrerseits Teil einer Reihenschaltung von Wechselstromwiderstnden sind, bestimmen,
so kann man dies mit Hilfe einer komplexen Spannungsteilung machen:
Beispiel:
U0 cost
I(t)
L C R
ZL ZC ZR
Es soll die Wechselspannung mit Amplitude und Phase bestimmt werden, die an einem oder mehreren
in Reihe geschalteten Wechselstromwiderstnden X abgegrien wird. Z() sei der komplexe Wech-selstromwiderstand der gesamten Reihenschaltung, ZX() der komplexe Wechselstromwiderstand des
9
Experimentalphysik II Formelsammlung
betrachteten Einzelwiderstandes X.
Komplexer Spannungsteiler: Die abgegrienen komplexen Spannungen verhalten sich zueinander wie
die zugehrigen komplexen Wechselstromwiderstnde:
UX(t) =ZX()
Z()UZ(t) (57)
Mit UZ(t) = U0eit (Maschenregel) und UX(t) = ZX()Z() U0eit folgt fr die Amplitude und Pha-senverschiebung von UX(t):
UX0 =
Zx()Z()U0 UX(t) = UX0 cos [t+ X()] (58)
X() = arctanIm(
ZxZ
)Re(
ZxZ
)(59)
34 Geometrische Optik
Lichtausbreitung in Materialien mit optisch glatten Flchen.
35 Reexionsgesetz
e =r (Einfallswinkel = Reexionswinkel) (60)
36 Brechungsgesetz
1: Einfallswinkel in Medium 1 mit Brechungsindex n12: Brechungswinkel in Medium 2 mit Brechungsindex n2
n1 sin1 = n2 sin2 (61)
Beispiele:
Vakuum: n = 1Luft: n 1, 00Glser: n = 1, 4 . . . 1, 8
37 Grenzwinkel fr Totalreexion
Medium 1 sei das optisch dichtere Medium, das heit n1 > n2. Fr = 90tritt kein gebrochener
Strahl in Medium 2 auf. Grenzwinkel 1g der Totalreektion:
sin1g =n2n1(62)
Zusammenhang zwischen Brechungsindex und Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in Medien
c =c
nc: Vakuumlichtgeschwindigkeit ( 3, 0 108 ms1) (63)
10
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38 Abbildung mit dnnen Linsen
g: Gegenstandsweiteb: Bildweitef : Brennweite
1
g+
1
b=
1
fAbbildungsgleichung (64)
Sammellinse: f > 0Zerstreuungslinse: f < 0
G: GegenstandsgreB: Bildgre
B
G=b
gAbbildungsmastab (65)
Brechkraft einer Linse:
D =1
f(66)
Einheit: 1 Dioptrie = 1 dpt = 1 m
1
39 Wellen
Fortlaufende harmonische Welle:
(x, t) = 0 cos(kx t+ 0) (67)Bedeutung von 0, k, , 0 und der beiden Vorzeichen muss klar sein.
k =2pi
, = 2pif =
2pi
T(68)
Bedeutung von , f und T muss klar sein.
Phasengeschwindigkeit: vph =k = f = TBedeutung der Phasengeschwindigkeit muss klar sein.
Longitudinale und transversale Wellen: Bedeutung und Unterschied.
Exponentiell gedmpfte Welle mit Extinktionskoezient :
(x, t) = 0 exp (x) cos(kx t+ 0) (69)
Komplexe Schreibweise fr harmonische Wellen:
(x, t) = 0 exp [i(kx t)] , 0 = 0 exp (i0) (70)
Harmonische Kreis- bzw. Kugelwelle (die Phasenkonstante wird hier weggelassen):
(r, t) =0r
cos(kr t) (71)Wellenfronten = Flchen konstanter Phase sind Kugelchen. Bei Kreiswellen sind die Wellenfronten
Kreislinien.
11
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Ebene harmonische Wellen (die Phasenkonstante wird hier weggelassen):
(~r, t) = 0 exp [i(~k ~r t)] (72)Wellen(zahl)vektor:
~k = (kx, ky, kz). Wellenfronten = Flchen konstanter Phase sind unendlich ausge-
dehnte Ebenen senkrecht zu
~k.
40 Wellengleichung
Eindimensionale Wellengleichung:
2
x2=
1
v2ph
2
t2(73)
Dreidimensionale Wellengleichung:
2
x2+2
y2+2
z2=
1
v2ph
2
t2(74)
Wellengleichung fr das elektromagnetische Feld im Vakuum:
2 ~Eix2
+2 ~Eiy2
+2 ~Eiz2
=1
c22 ~Eit2(75)
mit i = x, y, z und
c =100
= 2, 9979 108 ms1 Vakuumlichtgeschwindigkeit (76)
Entsprechende Gleichungen auch fr das Magnetfeld.
41 Intensitt von Wellen
Intensitt I, ber Schwingungsperiode bzw. Wellenlnge gemittelte Energiedichte w:
I = w vph (77)Beispiel: elektromagnetisches Feld:
w =1
20E
2 +1
2
1
0B2 (78)
Harmonische elektromagnetische Welle im Vakuum:
~E(x, t) = ~E0 cos(kx t) (79)~B(x, t) = ~B0 cos(kx t) (80)
Mit cos2(kx t) = 1/2 und E = cB (aus Induktionsgesetz, ohne Beweis) folgt
0E2 =1
0B2 =
1
20E
20 (81)
und
I =1
20 c E20 (82)
12
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42 Stehende Wellen
berlagerung einer rechtslaufenden und einer linkslaufenden harmonischen Welle gleicher Frequenz
und gleicher Amplitude fhrt zu einer stehenden Welle.
Randbedingung (a): beidseitiger Abschluss mit = 0 (Wellenknoten), z. B. beidseitig eingespann-te Saite:
(x, t) = 0 sin(kx) sin(t) (83)
Randbedingung (b): beidseitiger Abschluss mit = 0 (Wellenbauch), z. B. beidseitig oene Flte:
(x, t) = 0 cos(kx) cos(t) (84)
Sie sollten in der Lage sein, das Frequenzspektrum eines derartig schwingenden Systems der Lnge Lanhand der Randbedingung ((x = L, t) = ...?) zu berechnen.
43 Interferenz
Interferenz = (phasenrichtige) berlagerung von Wellenamplituden. Intensitt I 2. Harmonischeelektromagnetische Wellen: I E2
Zweistrahlinterferenzen von Wellen mit nahezu parallelen Wellenfronten. Mit Wegdierenz undm = ganze Zahl gilt:
Konstruktive Interferenz: k = m 2piDestruktive Interferenz: k = (2m+ 1) pi
13
Coulombsches GesetzElektrische Ladungsdichte Elektrische Feldstrke Elektrischer FlussGausches GesetzArbeit im elektrischen FeldPotentielle Energie im elektrischen FeldElektrisches Potential Elektrische Spannungquipotentialflchen (PF)Elektrostatik von LeiteroberflchenKondensatoren und KapazittGesetze fr KondensatorschaltungenEnergie und Energiedichte im (Platten)kondensatorElektrische DipoleElektrische Stromstrke und StromdichteOhmsches GesetzSchaltungen von WiderstndenElektrische Leistung an einem ohmschen LeiterKirchhoffsche Regeln fr verzweigte StromkreiseLorentz-KraftHall-EffektMagnetischer FlussAmpresches GesetzKrfte auf stromdurchflossene LeiterStromdurchflossene Leiterschleifen als magnetische DipoleInduktionsgesetzSelbstinduktionTransformatorEffektive Leistung in ohmschen WechselstromkreisenStme und Spannungen in beliebigen WechselstromkreisenWechselstromwiderstndeKomplexe Wechselstromwiderstnde in SpannungsteilernGeometrische Optik ReflexionsgesetzBrechungsgesetzGrenzwinkel fr TotalreflexionAbbildung mit dnnen LinsenWellenWellengleichungIntensitt von WellenStehende WellenInterferenz