Formelsammlung Dimensionieren I (30 Seiten) Prof. Dr. Paolo Ermanni
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1) Mathe Allgemein
Geometrie r: Radius, V: Volumen, h: Höhe, A: Fläche, A0: Gesamtoberfläche, G: Grundfläche, U: Umfang, M: Mantelfläche
Zylinder : hGV ⋅= hUM ⋅=
(nur gerader Zylinder)
GMO ⋅+= 2 GU
r
ssh
Kegel (gerade):
GhhrV 312
31 == π
π⋅⋅= srM )(0 srrA += π
22 rhs += 22 rsh −= 22 hsr −=
)( 223 rRrRVh ++= ⋅π
22)( hrRm +−= mrRM ⋅⋅+= π)(
)tan(ϕrRh −=
r
Kugel : 3
34 rV ⋅= π
20 4 rA ⋅= π
Kreissegment (Winkel in Bogenmass):
( ))()sin( 2122
hrsrbA r −−=−= αα
hshr 8
4 22 += 22
2 )(2)sin(2 hrrrs −−== α
( ) 422 2)cos( srrrrh −−=⋅−= α )tan(42 α⋅= s
°+⋅ ⋅⋅==⋅= 1808
)4( 22 Gradrrb hsh αα πα )arctan(4 2s
h⋅=α
Logarithem, Wurzeln, Euler, Sin, Cos, Tan, …
xy alog= ⇔ xay =
)(log)(log)(log vuvu bbb +=⋅ )(log)(log)/(log vuvu bbb −=
n
mn m aa =
m nnmn m aaa == nnn abba =
Allg.: +∈ Rba, Potenzen: Rmn /∈, Wurzeln: Nmn /∈,
)sin()cos( xixe xi ⋅+=⋅ xe x =)ln( 1)ln( =e
xxe 1)ln( =−
mnmn aaa += mn
m
n
aa
a −=
nmmn aa =)( nnn abba )(=
na
na 1=− n
n
n
b
a
b
a = 10 =a
aa =1
)(log)(log uru br
b ⋅=
)log(
)log(
)ln(
)ln()(log
a
x
a
xxa ==
0)1log( =
?)1log( =−
Cosinussatz:
)cos(2222 αbccba −+= Rechenregeln sin/cos/tan:
Rechtwinkliges Dreieck:
eHypothenusteGegenkathe=)sin(α
eHypothenusAnkathete=)cos(α
AnkatheteteGegenkathe=)tan(α
ααα cossin)tan( =
1)(cos)(sin 22 =+ αα
2)2cos(12 )(sin xx −=
2)2cos(12 )(cos xx +=
)2sin()cos()sin(2 xxx =
)sin()cos( ϕϕϕ iei +=
)()cos(
)()sin(
21
21
αα
αα
αα
⋅−⋅
⋅−⋅
+=
−=ii
iii
ee
ee
)()sinh( 21 ααα −−= ee
)()cosh( 21 ααα −+= ee
)(tan1 2)(cos
12 αα +=
)(cot1 2)(sin
12 αα +=
Parameterwirkung cos/sin dcbxa ++⋅ )sin( a : Amplitude, b : Periode= bπ2 , c : Nullstelle, d : y-Verschiebung ( ))cos()cos()sin()sin( 21 yxyxyx +−−= ( ))cos()cos()cos()cos( 21 yxyxyx ++−= ( ))sin()sin()cos()sin( 21 yxyxyx ++−=
)sin()sin()cos()cos()cos( αγαγγ +=− a )sin()cos()cos()sin()sin( αγαγγ −=− a
( ))2cos(1)(sin 212 xx −= ( ))3sin()sin(3)(sin 413 xxx −= ( )3)2cos(4)4cos()(sin 814 +−= xxx
)sin()cos()cos()sin()sin( yxyxyx +=+ )sin()sin()cos()cos()cos( yxyxyx −=+
( ))2cos(1)(cos 212 xx += ( ))3cos()cos(3)(cos 413 xxx += ( )3)2cos(4)4cos()(cos 814 ++= xxx
Häufige Ableitungen (Funktion � Ableitung)
xa )ln(aa x ⋅ xae ⋅ axea ⋅
nx 1−⋅ nxn )ln(x x
1
)(log xa xax1
)ln(1 = )(log ea
)sin(x )cos(x )cos(x )sin(x−
)tan(x )(cos12 x )(tan1
2 x+=
)arcsin(x 211
x−
)arccos(x 21
1
x−−
)arctan(x 21 1x+ )sinh(x )cosh(x )cosh(x )sinh(x
)tanh(x )(cosh12 x )(tan1
2 x−=
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2) Allgemein
SI-Präfixe
Symbol Name Wert T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion G Giga 109 1.000.000.000 Milliarde M Mega 106 1.000.000 Million k Kilo 103 1.000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert
da Deka 101 10 Zehn --- --- 100 1 Eins d Dezi 10−1 0,1 Zehntel c Zenti 10−2 0,01 Hundertstel m Milli 10−3 0,001 Tausendstel µ Mikro 10−6 0,000.001 Millionstel n Nano 10−9 0,000.000.001 Milliardstel p Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel
Einheiten
][J = ][ 22
s
kgm= ][Nm = ][VAs = ][CV = ][Ws
][C = ][ As ][J = ][eV
][][][ 33 mMN
mmNMPa ==
Kraft amF ⋅= Energie Kinetisch: 22
1 vmT ⋅= , potentiell: hgmT ⋅⋅=
Definierte Funktionen (TI Voyage 200)
Funktion Beschreibung ),,( dtrforman Formzahl Absatz Normalspannung
),,,( Ddtrformab Formzahl Absatz Biegung ),,,( Ddtrformato Formzahl Absatz Torsion
),,( dtrformrn Formzahl Rundnut Normalspannung ),,( dtrformrb Formzahl Rundnut Biegung ),,( dtrformrto Formzahl Rundnut Torsion
3) Kräfte, Beanspruchungen
Spannungskomponenten im Bauteil (vereinfacht)
σ = Fn / A
FFn
Fq
τ= Fq / A
A
Fn=σ
A
Fq=τ
F : Kraft
nF : Normalkraft
qF : Querkraft σ : Normalspannung τ : Scherspannung
Zahnkraft )cos(α
AFF = )90cos( α−°⋅= FFR
Beispiel:
2d
ttA
MMF
∆+=
F : Zahnkraft
RF : Radiale Kraftkomponente der Zahnkraft
AF : Axiale Kraftkomponente der Zahnkraft α : Verzahnungswinkel d : Durchmesser (…)
tM : Antriebsmoment Mittelwert ][Nm
tM∆ : Antriebsmoment Amplitude ][Nm
Beanspruchung (Notation)
x
y
N
Q
M
N
Q
M
x
z
N
Q
M
N
Q
M
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4) Statischer Festigkeitsnachweis
Spannungen (mit und ohne Kerbe)
Nennspannung (Normalspannung)
Mögliche Nennspannungen:
Zn,σ infolge Zug
Bn,σ infolge Biegung
Tn,τ infolge Torsion
Qn,τ infolge Querkraft Immer nur kritische Querschnitte (z.B. Kerbe) betrachten!
einachsig:
A
FZugn =,σ ][ 2m
N
Dehnung: 0ll∆=ε
ax
b
WM
Biegungn =,σ
P
T
WM
Torsionn =,τ
AF
Querkraftn =,τ
bM : Biegemoment
TM : Torsionsmoment z.B. Antriebsmoment +
Amplitude: TT MM ∆+ F : Z.B. wirkende Lagerkraft A : Querschnittsfläche
ba ⋅ bei Kerbe Ba ⋅ genügend weit von Kerbe entfernt
W : Widerstandsmoment ][ 3m
Scherung Schubspannung:
AF=τ
Scherung:
hy∆== αγ tan
FZ
FZ
n
maxK
Z
a
b
B
σ
σ
σ
σ*
Spannungserhöhung
mit Kerbe
Widerstandsmoment & Flächenmoment
axW ][3m :
Das axiale Widerstandsmoment ist ein Mass für den Widerstand der Randfaser gegen eine Biegebeanspruchung.
PW ][3m :
Das polare Widerstandsmoment oder Torsionswiderstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand der Randfaser gegen Torsion.
W : Widerstandsmoment ][ 3m D : Aussendurchmesser d : Innendurchmesser (Ring)
yW : Bez. Horizontalachse
yW : Bez. Vertikalachse
Kreis 3
32 DWaxπ=
316 DWPπ=
( )424 DZY II π==
Rechteck
6
2bhYW = 12
3bhYI =
6
2hbZW = 12
3hbZI =
Kreisring
DdD
axW)(
32
44−= π
DdD
PW)(
16
44−= π
( ) ( )[ ]42424 dDZY II −== π
Quadrat
6
3aYW =
6
3aZW =
Hohlprofil
HbhBH
YW 633−=
BhbHB
ZW 633 −=
)( 33121 hbHBI Z −=
Trapez
)2(12)4( 222
bBbBbBh
oW +++=
)2(12)4( 222
bBbBbBh
uW +++=
Normalspannungs- hypothese sprödes Bauteilverhalten
Durch Trennbruch in Ebene senkrecht zur grössten Normalspannung. Bei sprödem Bauteilverhalten anwenden, oder wenn die Hauptspannungen im Zugbereich liegen und ähnlich gross sind (= sprödes Bauteilverhalten).
2221
21 4)( XYYXVYX τσσσσ σσ +−+== + falls 0=Yσ :
2221
2 4 XYXVX τσσ σ ++=
Schubspannungs- hypothese (Tresca) zähes Bauteilverhalten
Fliessgefahr, wenn max. Schubspannung einen Versagensgrenzwert erreicht.
max2 τσ ⋅=V falls 03 =σ : 22
21
21 4)()( XYYXYXV τσσσσσ +−++=
minmax σσ −= falls 02 =σ : 22 4)( XYYXV τσσσ +−=
31 σσ −= falls 02 =σ : 22 4 XYXV τσσ += resp. 0=Yσ
Gestaltänderungs- hypothese (Mises) Nach dieser Hypothese tritt Fliessen ein, wenn die Arbeit für die Gestaltänderung im mehr- und dreiachsigen Spannungszustand denselben Wert aufweisen.
213
232
2212
1 )()()( σσσσσσσ −+−+−⋅=V Für den allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand in x-, y-, z-Komponenten:
)(6)()()( 2222222
1ZXYZXYXZZYYXV τττσσσσσσσ +++−+−+−⋅=
Entsprechend für den allgemeinen zweiachsigen Spannungszustand:
222 3 XYYXYXV τσσσσσ +⋅−+= und für zusätzlich 0=Yσ : 22 3 XYXV τσσ +=
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Vergelichsspannung Festigkeitsnachweis (Vergleichsspannung Von obiger Versagenshypothese prüfen)
j
GzulässigV S
σσσ =≤
Wenn erfüllt � Bauteil O.K. z.B.:
F
F
SzulAF
xσσσ =≤=
Gσ : Grenzbelastung (Zäh/Fliessen: FG σσ = , bei nicht ausgeprägter Fliessgrenze: 2.0σσ =G , Bruch/Spröd: BG σσ = )
jS : Sicherheitszahl gegen Versagen durch Fliessen oder Bruch
Kerben, Kerbwirkung, Formzahl
Beispiel (Baum mit Kerbe) B
B
WM
XV == σσ 323πd
KreisaxB WW == � Spannungserhöhung durch Kerbe von Faktor 4 bis 5
Formzahl (Verhältnis der Spannungsspitze im Kerbgrund
Kmaxσ und der Nennspannung in der Kerbe)
Ist die Formzahl weit über 3: Konstruktion anpassen!
n
K
σσα max=
⇒ ασσ ⋅= nKmax
Normalspannungen: n
K
σσ
σα max= Schubspannungen infolge Torsion:
n
K
ττ
τα max=
Kmaxσ : Spannungsspitze im Kerbgrund
(siehe Bild vorige Seite)
nσ : Nennspannung in der Kerbe nK σσ ≥max
Formzahl für Absatz oder Rundnut
DdZ
tr
dr
dr
tr CBA ⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
+=)()21(2
11
2,τσα
r , t , d , D
↓
Kombination : Formzahl für Absatz mit Freistich
Bei Biegung und Zug:
AbsatzdDdD
AbsatzRundnut σσσσ αααα +⋅−= −−1)(
Bei Torsion:
Absatzττ αα ⋅= 04.1 ( Rundnutτα wird nicht benötigt)
Formzahl für Rundstab mit Querbohrung
Zug: ( )drZug 23−=σα Biegung: ( ) drdrBieg 28.2324.1 −+=σα Bei Biegung: Falls die Bohrung in Richtung des Momentenvektors liegt, wird ασBieg ≈ 1 (kleiner 1!)
Torsion: dr2125.1023.2 −=τα
MBMB
MTMT
2r
d
F F
Tabellen, Maximalspannungen
Geometrie/Belastung A B C Z
F F0.22 1.37 0 0
MB MB 0.2 2.75 0 0
T T0.7 10.3 0 0
F F0.62 3.5 0 0
MB MB 0.62 5.8 0.2 3
T T3.4 19 1 2
Zug Biegung Torsion
Nennspannungs- und wirkliche Spannungsverteilung
ma xK
n
FF
σ
σMB
maxK
n
MB
σ
σ
MT
MT τmaxK
τn
Nennspannung
σn = FA σn =M BWB
τn = MTWPFormzahl
ασ(Zug ) =σmaxKσn
ασ(Biegung ) =σmaxKσn
α τ (Torsion ) =τmaxKτ n
Überlagerung von Kerben 21 ααα ⋅=
Nur eine Näherung! Überlagerungen von Kerben können z.B. bei Wellenschulter und gleichzeitiger Passfeder oder Wellenschulter und gleichzeitiger Schrumpfpassung auftreten.
Einfluss der Kerbwirkung auf die Festigkeits-rechnung
Für ruhende Belastung und zähes Materialverhalten (duktil) (Gestaltänd.- oder Schubspannungshypothese) 22 3)( ntnBiegxnZugxV τσσσ ++=
Für ruhende Belastung und sprödes Materialverhalten (Normalspannungshypothese)
( )2221 )(4)( tnBiegxBiegnZugxZugnBiegxBiegnZugxZugV τασασασασασ τσσσσ ++++=
Für wechselnde Belastung
sfaktorSicherheitungGrenzspann
SV GG =≤ σσ
Tragfähigkeit AT zul ⋅= σ A : Fläche zulσ : Zulässige Spannung
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5) Dynamischer Festigkeitsnachweis (Ermüdungsfestigkeit)
Statisches Versagen: Durch Fliessen Brechen oder Knicken. Dynamisches Versagen: Durch Ermüdung bei andauernder wechselnder Belastung.
Vorgehen Allgemein
Ausschlagsspannung - Berechnung der Ausschlags-Amplituden jeder Spannungskomponente im krit. Querschnitt - Vergleichs-Ausschlagsspannung berechnen als Kombination aller Spannungsamplituden Vaσ Mittelspannung - Berechnung der mittleren Spannung aller Komonenten um welche die Amplitude ausschlägt - Vergleichs-Mittelspannung als Kombination aller Ausschlags-Spannungsamplituden Vmσ Gestaltfestigkeit - Berechnung der maximal ertragbaren Spannung VADKσ unter Berücksichtigung von:
Materialeigenschaften, Bauteilgrösse-/Geometrie, Kerbe, Spannungsart, Oberfläche… Vergleich - Vergleich der vorliegenden Spannung bei berechneter Mittelspannung zu Gestaltfestigkeit:
Ausschlagsspannung: B
mVADK
SVa)(σσσ ≤ Sicherheit gegen Bruch:
Va
VADKBS σ
σ= (?)
Schwingende Belastung 1 Lastspiel
oσ : Oberspannung
uσ : Unterspannung
aσ : Spannungsamplitude
mσ : Mittelspannung R : Spannungsverhältnis
n : Anzahl Lastspiele mit der Lastspielzahl
N : Lastspielzahl
2uo
aσσσ −=
2uo
mσσσ +=
o
uR σσ=
σ
Belastungsfälle & Wöhlerkurve
Bauteilbeanspruchung erfolgt vielfach in Kurzform:
am σσσ ±= , am τττ ±=
Bei Stahl: Dauerfestigkeit ab 106 oder 107 Lasten.
Smithdiagramm
Oberspannungslinie:
amo σσσ += Unterspannungslinie:
amu σσσ −=
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Festigkeitswerte (Richtwerte)
dB: Nenndurchmesser Festigkeitswerte für allgemeine Baustähle, d B ≤ 16 mm
1) Nach DIN EN 10025 2) Richtwerte berechnet nach Gleichung
(5.7) bis (5.9) 3) Gilt für Nenndurchmesser dB ≤ 16 mm
Kurzname 1)σ1)B
[N / mm2]dB ≤ 3, mm
σ1),3)S
[N / mm2]σ
2)zdW
[N / mm2]σ
2)bW
[N / mm2]τ
2)t W
[N / mm2]
S235JR 360 235 140 180 105
S275JR 430 275 170 215 125
E295 490 295 195 245 145
S355JO 510 355 205 255 150
E335 590 335 235 290 180
E360 690 360 275 345 205
Festigkeitswerte für Einsatzstähle (für die Kantenhärte) dB ≤ 11 mm
1) Nach DIN EN 10084 2) Richtwerte berechnet nach Gleichung
(5.7) bis (5.9) 3) Richtwerte 4) dB ≤ 16 mm
Kurzname1)σ
3)B
[N / mm2]σ
3)S
[N / mm2]σ
2)z dW
[N / mm2]σ
2)bW
[N / mm2]τ
2)t W
[N / mm2]
C10E 750 430 300 375 225
17Cr3 1050 750 420 525 315
16MnCr5 900 630 360 450 270
20MnCr5 1100 730 440 550 330
20MoCrS4 900 630 360 450 270
18CrNiMo7-64 1150 830 460 575 345
Festigkeitswerte für Vergütungsstähle (im vergüteten Zustand) dB ≤ 16 mm
1) Nach DIN EN 10083 2) Richtwerte berechnet nach Gleichung
(5.7) bis (5.9) 3) Richtwerte
Kurzname 1)σ 3)B
[N / mm2]σ 1)S
[N / mm2]σ2)z dW
[N / mm2]σ2)bW
[N / mm2]τ 2)t W
[N / mm2]
1 C 22 500 340 200 250 150
2 C 22 500 340 200 250 150
1 C 25 550 370 220 275 165
1 C 30 600 400 240 300 180
1 C 35 630 430 250 315 190
1 C 40 650 460 260 325 200
1 C 45 700 490 280 350 210
2 C 45 700 490 280 350 210
1 C 50 750 520 300 375 220
(1 C 60) 850 580 340 425 250
46Cr2 900 650 360 450 270
41Cr4 1000 800 400 500 300
34CrMo4 1000 800 400 500 300
42CrMo4 1100 900 440 550 330
50CrMo4 1100 900 440 550 330
36CrNiMo4 1100 900 440 550 330
30CrNiMo8 1250 1050 500 625 375
34CrNiMo6 1200 1000 480 600 360
Festigkeitswerte für Nietrierstähle dB ≤ 100 mm
1) Nach DIN EN 17211 2) Richtwerte berechnet nach Gleichung
(5.7) bis (5.9)
Kurzname1)σ
1)B
[N / mm2]σ
1)S
[N / mm2]σ
2)z dW
[N / mm2]σ
2)bW
[N / mm2]τ
2)t W
[N / mm2]
31CrMo12 1000 800 400 500 300
31CrMoV9 1000 800 400 500 300
15CrMoV59 900 750 360 450 270
34CrAlMo5 800 600 320 400 240
34CrAlNi7 850 650 340 425 255
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6) Achsen und Wellen
Achsen sind zum Tragen und Lagern von Laufrädern, Seilrollen, Hebel etc... Sie übertragen kein Drehmoment. Sie werden durch Querkräfte auf Biegung, weniger durch Längskräfte zusätzlich noch auf Zug oder Druck beansprucht.
Wellen drehen sich um ihre eigene Achse und übertragen das Drehmoment auf Zahnräder, Riemenscheiben usw. Wellen werden auf Torsion und durch Querkräfte zusätzlich auf Biegung beansprucht. Durch Kegelräder oder schrägverzahnte Stirnräder werden zusätzliche Längskräfte eingeleitet, die von der Welle und den Lagern aufgenommen werden müssen.
Verformungen infolge Torsionsbeanspruchung
Spezifische Verdrehung P
t
IG
M
L ⋅== θυ
Verdrehungswinkel P
tGrad GI
LM
πθ 180=
P
tRad IG
ML
⋅⋅=θ
tM : Torsionsmoment
θ : Absoluter Torsionswinkel (Verdrehungswinkel)
υ : Relativer längenbezogener Torsionswinkel
Gesamtverdrehungswinkel ∑= iθθ Summe der Verdrehungswinkel von den einzelnen Wellenabschnitten ergibt Gesamtverdrehungswinkel.
Verformungen infolge Biegebeanspruchung
Durchbiegung (Allgemein) IE
LFf
⋅⋅⋅=
3
3
64
4dI
⋅= π
Verschiebung f (an der Stelle A)
−+−+=3
32
33
2
31
32
1
31
3 a
aa
a
aa
a
aAA I
LL
I
LL
I
L
E
Ff
Neigung α (an der Stelle A)
−+−+=3
22
23
2
21
22
1
2
2 a
aa
a
aa
a
aiA
I
LL
I
LL
I
L
E
Fα
Durchbiegung f )( ABa
A ffL
Lff −⋅+=
Neigungswinkel γ (der Tangente der Biegelinie) L
ff BA −=≈ γγ )tan(
Die Welle wird an der Stelle geschnitten, wo die Durchbiegung bestimmt werden soll.
I : Flächenträgheitsmoment 2. Grades Neigungswinkel α (am Lager A, resp. B) γαα −=L γββ +=L
Schwingungen
Krit. Winkelgeschwindigkeit mc
k =ω Gf199=
Krit. Frequenz Gfk
n 1946⋅≈
22
21
11
1
kk
krit
ωω
ω+
=
c : Federkonstante der Welle m : Masse der Exzentrizität
kn : Frequenz ][ min1
Gf : Durchbiegung Welle ][mm infolge Gewichtskraft einer Einzelmasse
A : Drehpunkt S : Massenschwerpunkt O : Mom. Drehzentrum
Bei mehreren Massen: Superposition wie bei Thévenin
Knickung
1. Ermittlung der Schlankheit λ 2. Entscheidung für Theorie: Quetschen:
Fλλ < , Tetmajer: 0λλλ
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7) Flächenpressung
Flächenpressung ebener Wirkflächen A
Fp x= ][ 2m
N XF : Kraft normal auf Berührungsfläche
A : Berührungsfläche
Flächenpressung bei Zapfen- Bohr-Verbindungen (Bolzen) (Lochleibung)
projAFp = ⇐ LdAproj ⋅=
(Falls die Durchmesser annähernd gleich sind)
Überprüfung : Zulässige Pressung : ppzul >
L : Bohrungstiefe (Berührungstiefe) d : Bohrungsdurchmesser, Bolzendurchmesser
Hertz'sche Pressung (Flächenpressung gewölbter Wirkflächen)
Voraussetzungen: - Wirkfläche ist klein gegenüber den Hauptkrümmungsradien - Elastizitätsgrenze wird nicht überschritten - Nur Normalspannungen auf Druckoberfläche (keine Reibung)
b
z
x
y
a
Berührungsfläche ist im Allgemeinen elliptisch.
( )( )3 11
112
43
21
21)1(rr
EEFa++
⋅⋅−⋅= υ Druckfläche / Berührungsfläche ist ein Kreis mit Radius a.
Kugel gegen Kugel (Hertz)
Druckfläche 2a
F
r2
A
F
A
r1
pmax
z
Maximale Spannung: )0(max =−= zp zσ
( )( )3 211223
211
max
21
21
)1(
6
EE
rrFp+⋅−⋅
+⋅⋅=
υπ ][ 2m
N (?)
a : Radius Berührungsfläche
2,1E : Elastizitätsmoduli der Kugeln
2,1r : Radius der Kugeln
υ : Querkontraktionszahl [] F : Anpresskraft ][N
Eine Kugel gegen eine Platte gepresst: ∞== Platterr2 und mit E1=E2=E: 3)1(5.1 2
ErFa ⋅−⋅= υ 3
)1(5.11
max 2222
υπ −⋅⋅=
rEFp
Eine Kugel gegen die innere Seite einer anderen Kugel gepresst: 02
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Formelsammlung_Dimensionieren_14.doc (20.01.2009) Seite 9 von 18 05.10.2009 / LP, ETH Masching HS2009
8) Dünnwandige Träger
Dünnwandige Stäbe Lut s
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Momenttabelle W T, IT
dΘdx = Θ' =
MTGIT
, τ max = MTWT
Querschnitt WT IT Bemerkungen
1 Vollkreisquerschnitt πr3
a2
πr 4a2
grösst e Schubspannung amRand r = ra
2 Ellipse a ≥ b πab2
2πa3b3
a2+ b2
grösst e Schubspannung inden Endpunkten der kleinenAchse
3 Quadrat 0.208a3 0.141a4grösst e Schubspannung aus-sen, in der Mitte der Seiten
4dickwandiges
Kreisrohr α = r ira
πr 3a2 (1− α
4 )grösst e Schubspannung amäusseren Rand r = ra
5dünnwandigegeschlossene
Hohlquerschnitte2Amt mi n
(2Am)21t ds
Am = Von der Profil-mitte eingeschlosseneFläche
1t ds = Linienintegra l über
die Profilmittellinie
(für t = const .: 1t ·Umfang)grösst e Schubspannung imdünnensten Querschnittsteil(tmin )
6dünnwandiges
Kreisrohr t = const .2πr 2m t 2πr
3m t
7schmales
Rechtecksrohrt
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9) Bolzen und Nietverbindungen
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10) Klebverbindungen
Vorteile: Kombination unterschiedlicher Werkstoffe, gute Krafteinleitung, geringes Gewicht, gute Dämpfung, Flüssigkeits-/Gasdicht, Elektrische Isolation. Nachteile: Nur geringer Schälbeanspruchung möglich, Kostenintensive Montage (Härtungserhitzung, Vorbehandlung Fügeteile, Vorrichtungen nötig, …) Unterteilung: Chemisch reagierend (z.B. Epoxi, Polyurethan, …) und physikalisch abbindend (z.B. Schmelzklebstoffe, Polyamid, Thermoplaste, …)
Chemisch reagierende Mechanische Kennwerte üblicher Zweikomponentenklebstoffe (warmhärtende: bessere Eigenschaften!): Kleber-Typ Querkontraktionszahl E-Modul [MPa] Gleitmodul [MPa] Zugscherfestigkeit [MPa] Warmhärtend 0.38 - 0.40 3000 - 4200 900 - 1520 20 - 35 Kalthärtend 0.38 - 0.40 1200 - 2500 1500 - 2500 18 - 25
Schmelz- klebstoffe
Charakteristische Verarbeitungsparameter von Schmelzklebstoffpolymeren: Klebstoff-Grundstoff Erweichungsbereich Schmelzviskosität [s Pa] Verarbeitsungstemp. [°C] Polyamid 95 - 175 1 - 20 120 - 240 Polyester 50 - 230 20 - 2000 150 - 240 Ethylen, Vinyl 90 - 200 20 - 10000 Max. 200
Beanspruchungs-arten
Beanspruchungsarten von Klebverbindungen:
b : Breite der Klebfläche
ül : Überlappungslänge
BS : Sicherheit gegen Bruch
5.35.1 −≈BS
Zug-Druck-Beanspruchung (Spannungsverteilung in der Klebefuge sehr gleichmässig)
üx lb
F
A
F
⋅==σ
B
Bzul S
σσ =≤
F : Zug- oder Druckkraft
xσ : Zugspannung ( zulσ : Zulässige)
Bσ : Zugfestigkeit des Klebstoffs
Scher-beanspruchung
ülb
F
A
F
⋅==τ
B
Bzul S
ττ =≤
Abminderungsfaktoren (Für rechnerische Abschätzung)
Statische Beanspruchungen:
BSBWQrealB Fff τττ 1, ==
Dynamiasche Beanspruchungen:
BATDWQdynB fffff ττ =, Bτ1.0≈
8.0=Qf 66.0=Wf
5.0...2.0=Af
F : Scherkraft
τ : mittlere Scherspannung ( zulτ : uulässige)
B : Zugfestigkeit des Klebstoffs
Bτ : Scherfestigkeit des Klebstoffs Qf : Werkstoffeigenschaften
B
Temp
Tf ττ=
B
schwD
Df ττ=
Überlappungslänge
B
moptü
tRl
τ⋅=,
Für duktile metallische Werkstoffe: B
moptü
tRl
τ⋅=, F
F : Kräfte im Fügeteil: btRF mF =
KF : Kräfte im Klebstoff: üBK blF τ= Klebschichtdicke Die Klebschichtdicke wird vom Hersteller angegeben.
Dünnschicht Epoxid-Harze (Bsp.): mmd 2.0...05.0= Faustformel (Allgemein): max3 Rd ⋅=
t : Fügeteildicke (schmalere) d : Klebschichtdicke
maxR : Maximale Rautiefe
Schäl-beanspruchung
EHb
Fx ⋅
=σK
abszul S
σσ =≤
(Beanspruchungsspitzen treten an der Schälstelle auf)
absσ : Absolute Schälfestigkeit F : Schälkraft EH : Einheitslänge ( mmEH 1= )
xσ : Schälspannung ( zulσ : Zulässige)
KS : Sicherheitsfaktor 2 bis 5
Geometrie der Fügeteile
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Formelsammlung_Dimensionieren_14.doc (20.01.2009) Seite 13 von 18 05.10.2009 / LP, ETH Masching HS2009
11) Druckbeanspruchung rotationssymmetrischer Teile
Ebener Formänderungszustand (EFZ)
Länge >> Radius, kein Einfluss der Längskoordinate x und der Umlaufkoordinate, nur Radius!
Längsdehnung Xε überall konstant; Spannung Xσ unbekannt. Ebener Spannungszustand (ESZ) Radius >> Länge, Längsdehnung Xε unbekannt; 0=Xσ .
x
z
r
θ
y
Grundbeziehungen Dehnungen / Verschiebungen / Spannungen
0Xx
uX εε == ∂∂ 0=rθγ
rw=θε 0=rxγ
rrw
r w,== ∂∂ε 0=θγ x
Stoffgesetze (Hooke'sches Gesetz):
)]([1 rXEX σσυσε θ +−= )]([1 XrE σσυσε θθ +−= )]([1 θσσυσε +−= XrEr
Ebener Formänderungs-zustand (EFZ)
0XX εε =
Dehnungen:
−
⋅
−+−+−−
=
0
0
2
21
1)1(
)1(1
X
X
rE
r υευε
σσ
υυυυυυ
εε θθ
Spannungen:
++
⋅
−−
=
−− 0
0
21 1
12
Xr
XE
r υεευεε
υυυυ
σσ θ
υυθ
Differentialgleichung: 02)1(2211
,1
,
2
2 =+−+ − −− ωρυ υυ rwww Errrrr
Ebener Spannungs-zustand (EFZ)
0=Xσ
Dehnungen: )( rEx σσε θυ +−= )(1 θυσσε −= rEr )(1 rE υσσε θθ −=
Spannungen:
⋅
=
−
r
E
r εε
υυ
σσ θ
υθ
1
121
Differentialgleichung: 0211,1
,
2
2 =+−+ − ωρυ rwww Errrrr
Druckbelasteter dickwandiger Zylinder
Druckbehälter mit freier Längsdehnung (im ESZ mit 0=Xσ )
Dehnungen:
Er
r
ppE
pprw aaiai )1(
1
)()1(
1 2
22
22
2 υχχυ
χχ
θε+
−−−
−− +==
Er
r
ppE
pprr
aaiaiw )1(1
)()1(
1, 2
22
22
2 υχχυ
χχε +
−−−
−− −==
( )2212 χχυε − −−= ai ppEx
Spannungen:
2
2
2
2
2
2
11)(
r
rai
pp aai ppχ
χχ
χθσ −−
− −+=
2
2
2
2
2
2
11)(
r
rai
ppr
aai ppχ
χχ
χσ−−
− −−= 0=Xσ
Radiusverhältnis: a
i
rr=χ
(Im ESZ UND EFZ gleichzeitig)
ra
r ipa
p i
Dehnungen:
)]([1 XrE σσυσε θθ +−= )]([1 XrEr σσυσε θ +−= )]([1 rXEX σσυσε θ +−=
Spannungen:
2
2
1 χχσ
−−= ai ppX
υυσ
θυθυεεσ −− ++= 11 )(2
X
rE
υυσ
θυυεεσ −− ++= 11 )(2
X
rE
r
Druckbehälter mit behinderter Längsdehnung
00 =Xε , Xσ unbekannt
Dehnungen:
Er
r
ppE
pp aaiai )1(
1
)()1(
1 2
22
22
2 υχχυ
χχ
θε+
−−−
−− +=
Er
r
ppE
ppr
aaiai )1(
1
)()1(
1 2
22
22
2 υχχυ
χχε +
−−−
−− −=
0=xε
Spannungen:
2
22
22
2
1
)(
1 χχ
χχ
θσ −−
−− += aaiai r
r
pppp
2
22
22
2
1
)(
1 χχ
χχσ
−−
−− −= aaiai r
r
ppppr
2
2
12
χχυσ
−−= ai ppX
Vergleichsspannung Normalspannungs- und Schubspannungshyothese:
rV σσσ θ −= (bei irr = maximal) Xε , θε , rε sind Hauptspannungen für die
entsprechende Hypothese
Druckrohr mit vernachlässigbarem Aussendruck (bei ai pp >> ⇒ 0=ap )
)1( 22
2
2
1 r
ri
ap +=−χχ
θσ )1( 22
2
2
1 r
rir
ap −=−χχσ
Spezialfälle
Freie Längs-ausdehnung: 0=Xσ
behinderte Längsaus-dehnung:
2
2
1
2
χυχσ−
= ipX freie Läng-dehnung mit axialer Last
2
2
1 χχσ−
= ipX
Mit Schubspannungshypothese: F
F
SzuliiriV prrσ
χθσσσσ =≤=−=
−)()()( 21
2 F
F
Sip 2)1( 2χσ −≤
Grenzwertbetrachtung (Extreme Innendrücke erfordern hohe Wanddicken mit ∞→χ ) Für irr = : ip=θσ ir p−=σ 0≈Xσ Mit Schubspannungshypothese: iV p2=σ
p i
pa
r ir a
p i
pa
Dichtungen Stopfbüchsen
r ira
p i
pa
Formelsammlung Dimensionieren I (30 Seiten) Prof. Dr. Paolo Ermanni
Formelsammlung_Dimensionieren_14.doc (20.01.2009) Seite 14 von 18 05.10.2009 / LP, ETH Masching HS2009
Zylinder unter Aussendruck ( 0=ip , 0=riσ )
)1( 222
211
r
ra
ap ⋅−
+−= χχθ
σ )1( 222
211
r
rar
ap ⋅−
−−= χχ
σ )()( 212χθ
σσ−
== aiV pr
Für extreme Wanddicke ∞→χ : ap2−=θσ , 0=rσ aV p2=σ
Vollwelle unter Aussendruck 21 χθ σσ −
−== apr
Druckbelasteter dünnwandiger Zylinder (Kesselformel n)
Verhältnis von mittlerem Radius rm zur Wanddicke t in der Grössenordnung von > 100.
Man setzt: 222
mia rrr ≈≈ (mit vernachlässigbarem Fehler)
)( aitr ppm −=θσ )(2 ait
rX pp
m −=σ resp.: lrptl m22 =θσ prtr mXm πσπ
22 = σθ
p
t
rm
p
σθ
σx
Rotierende rotationssymmetrische Zylinder
Differentialgleichung Er
b rarw22 1
8
3υρω −−+=
Dehnungen und Spannungen (ESZ) EE
r
r
ppE
pprw raaiai
22
2
22
22
21
82)1(
1
)()1(
1υρωυ
χχυ
χχ
θε −+
−−−
−− −+==
EEr
r
ppE
pprr rw
aaiai22
2
22
22
21
82)1(
1
)()1(
1,3 υρωυ
χχυ
χχε −+
−−−
−− −−==
[ ] )31(82)1(1)()1(11 2222222222 υσ ρωυχχυχχυθ +−+= −−−−− −− rErr ppEppE aaiai [ ] )3(82)1(1)()1(11 2222222222 υσ ρωυχχυχχυ +−−= −−−−− −− rErr ppEppEr aaiai
Schwungscheibe ohne Bohrung ( )0()0( rσσθ = , 0)( =ar rσ )
Differentialgleichung Er
b rarw22 1
8
3υρω −−+=
Dehnungen und Spannungen (ESZ)
Spannungskomponenten: Radialverschiebung:
])31()3[( 2282
rra υυσρω
θ +−+= rrrw a )1]()1()3[(22
8
2
υυυρω −+−+=
)])(3[( 2282
rrar −+= υσρω
0=Xσ
Schwungscheibe mit Bohrung (Innen- und Aussenrand frei von Radialspannungen)
Spannungen ( ) ])31()3[( 2228 2 222 rrr r rrai ai υυσ ρωθ +−+++= ⋅ ( )2228 2 222 )3( rrr r rrair ai −−++= ⋅υσ ρω
Extrem ungünstige Auswirkung der Bohrung auf die Materialbeanspruchung durch das Emporschnellen der Umfangsspannung nach innen im Radius (siehe Bild)
0 50 100 150 200 2500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
r[ m m]
σθ
σr
Formelsammlung Dimensionieren I (30 Seiten) Prof. Dr. Paolo Ermanni
Formelsammlung_Dimensionieren_14.doc (20.01.2009) Seite 15 von 18 05.10.2009 / LP, ETH Masching HS2009
12) Anhang: Theorie
Entwicklungs-prozess
Planung: Produkt an die Rand- und Rahmenbedingungen anpassen (Umfeld, Unternehmen, Markt). Konzept: Anforderungskatalog in konkrete Vorstellungen über Gestaltung, Werkstoffe, Herstell.-Prozess umsetzen. Vorentwicklung: Ausarbeitung von Konstruktionsvarianten. Detailphase: Dimensionierung der einzelnen Komponenten durch Festigkeits- / Steifigkeitsanalyse.
Bauteil-dimensionierung (7-Schritt-Methode)
1. Betriebszustände bestimmen: Meist Nenn-Belastungszustand, resp. Maximalbelastung Abweichungen der Nennbelastung sind in Betriebsfaktor c zusammengefasst:
nennB FcF ⋅=max mit ≈Bc 41 72.02.0
Ermüdungsnachweis (rechnerisch): Ausfallwahrscheinlichkeit von 1·10-4, Überlebenswahrscheinlichkeit von 95%, Sicherheitsfaktor mind. 1.35. Lastspiele bei Fahrt in Station, Stationsführung und auf der Strecke zusammen, ca.: 5.5·106.
Formelsammlung Dimensionieren I (30 Seiten) Prof. Dr. Paolo Ermanni
Formelsammlung_Dimensionieren_14.doc (20.01.2009) Seite 16 von 18 05.10.2009 / LP, ETH Masching HS2009
Mögliche Versagensarten (Unter Umständen kann eine plastische Verformung erlaubt sein.)
Fliessen: Belastung an der Beanspruchungsgrenze: Plastische Deformation.
Bruch: Bei z.B. allseitigen Zugspannungen (keine plastischen Bereiche). Belastungsgrenze kann auch durch Verformung gegeben werden.
Zu grosse Gestalterische Restriktion mit benachbarten Deformation: Bauteilen (Wirkflächen), die nur bestimmte Verformung 7 Deformation zulassen.
Instabilität: Vor allem schlanke Bauteile (Knicken) oder axiale Druckspannungen (Beulen).
Werkstoffkennwerte Spannung σ [N/mm ]
Gleichmassdehnung ε
2
Rm
Re
Fliessgrenze
Gleichmassdehnung ε1 2Bruchdehnung
Dehnung ε [-]
Spannungs-Dehnungsdiagramm für Metalle mit ausgeprägter Streckgrenze
eR : Streck-/Fliessgrenze (Zugbeanspr.)
"Fliessbeginn im Zugversuch", früher auch SF σσ ,
2,0pR : 0.2%-Dehngrenze (Zugbeanspr.) Spannung bei bleibender Dehnung von 0.2%
mR : Zugfestigkeit (Zugbeanspr.)
Spannung bei maxF (bez. auf Ausgangsquerschnitt)
edR : Quetsch-/Druckfliessgrenze (Druckbeanspr.)
bFσ : Biegefliessgrenze (Biegebeanspr.)
tFτ : Torsionsfliessgrenze (Torsionsbeanspr.)
sFτ : Scherfliessgrenze (Schubbeanspr.)
sBτ : Scherfestigkeit (Schubbeanspr.)
Werkstofftrennung
kritische Normalspannung
Trennfestigkeit kritσ ⇒> kritσσ Trennbruch (spröd) Kritische Schubspannung krit
τ ⇒> kritττ plastische Deformation (duktil)
Spröd / Duktil
Spröd : Trennfestigkeit überschritten. - Senkrechte Bruchfläche - Keine Verformung - Kündigt sich nicht an.
Duktil : Schubfestigkeit überschritten. - Schräge Bruchfläche - Deutliche Verformung - Kündigt sich an
Mischbruch (Trichterbruch) Bruchverlauf in Abhängigkeit der Beanspruchungsart
Erst duktil: Da Einschnürung und 45° schräger Anris s Dann Trennbruch: In der Mitte infolge mehrachsigem Spannungszustand.
Dauerbruch
Dauerbrüche unterscheiden sich von Gewaltbrüchen dadurch, dass sie in der Regel aus zwei Teilbruchflächen bestehen:
- Dauerbruchfläche: glatte, feine, manchmal blankgescheuerte Zone mit deutlich erkennbaren Rastlinien. Rastlinien entstehen, wenn die Schwingbeanspruchung zeitweilig unterbrochen wird oder nur absinkt, wobei sich die Anrissflächen glätten können.
- Restbruchfläche: Gewaltbruch, spröd oder duktil Bild rechts: Typisches makroskopisches Aussehen einer Schwingbruchfläche; A=Anriss, D=Dauerbruch (oben), G=Gewaltbruch (unten)
Ermüdungsriss (Entstehung)
- Ausbildung von Gleitbändern im Mikrobereich - Austau von Versetzungen an der Oberfläche mit Ausbildung von Gleitbändern in Form von In- und Extrusionen
infolge von Wechselgleitungen. - Entstehung und Ausbreitung von Mikrorissen entlang der Gleitbänder ausgehend von den Intrusionen. - Zyklische Fortpflanzung von Makrorissen über dem Querschnitt senkrecht zur grössten Hauptspannung - Restbruch schliesst sich in Form eines Gewaltbruchs an.
Formelsammlung Dimensionieren I (30 Seiten) Prof. Dr. Paolo Ermanni
Formelsammlung_Dimensionieren_14.doc (20.01.2009) Seite 17 von 18 05.10.2009 / LP, ETH Masching HS2009
Schadensfall (Vorgehen)
- Bestandesaufnahme
- Schadenshypothesen
Entweder ist Tragwiderstand zu gering, oder die Einwirkung zu hoch.
- Fehlerhaftes Material - Lufteinschluss, Materialfehler - Verunreinigung - Herstellungsverfahren - Zugfestigkeit, Härte, Kerbschlagfähigkeit - Korrosion - Wartung / Inspektion - Montagefehler - Auslegung - Sabotage - Kräfte (Betrieb)
- Vermeidung von weiteren Unfällen
Evtl. neue Richtlinien einführen…
Formelsammlung Dimensionieren I (30 Seiten) Prof. Dr. Paolo Ermanni
Formelsammlung_Dimensionieren_14.doc (20.01.2009) Seite 18 von 18 05.10.2009 / LP, ETH Masching HS2009
13) Index
7 7-Schritt-Methode..................................15
A Abminderungsfaktoren..........................12 Achsen .....................................................7 Auslastungsgrad...................................15
B Bauteil-dimensionierung.....................15 Beanspruchung (Notation)....................2 Betriebsfaktor.........................................15 Bruch.....................................................16
C Cosinussatz..............................................1
D Dauerbruch ..........................................16 Deformation...........................................16 Dickwandige Zylinder ...........................13 Druckrohr .............................................13 Duktil ....................................................16 Dünnwandige Träger ...............................9
E Entwicklungsprozess............................15 Ermüdungsbeanspruchung.................15 Ermüdungsriss.....................................16
F Festigkeitsrechnung...............................4 Festigkeitswerte .......................................6 Flächenpressung.......................................8 Flächenträgheitsmoment ........................10 Flächenträgheitsmomente 2. Ordnung .....9
Fliessen..................................................16 Fliessgrenze ...........................................16 Formzahl..................................................4
G Gesamtsicherheitsfaktor.........................15 Gestaltänderungshypothese..................3
H Hertz'sche Pressung...............................8
I Instabilität..............................................16
K Kerbe.......................................................4 Kesselformeln ........................................14 Klebschichtdicke....................................12 Klebverbindungen..................................12 Knickspannung (Euler)............................7 Knickung..................................................7
L Lochleibung............................................8
M Mischbruch ...........................................16 Mises........................................................3 Momenttabelle .......................................10
N Nennspannung........................................3 Normalspannungshypothese.................3
Q Quetschen................................................7
R Rastlinien...............................................16 Restbruchfläche.....................................16 Rotationssymmetrischer Teile................13
S Satz von Steiner.......................................9 Scherung.................................................3 Schlankheit..............................................7 Schubspannungshypothese.......................3 Schwingungen..........................................7 Sicherheitsfaktor..................................15 Spannungshypothese..............................3 Spröd.....................................................16 Streckgrenze...........................................16
T Tetmajer Gerade......................................7 Tragfähigkeit ..........................................4 Trennbruch.............................................16 Tresca.......................................................3 Trichterbruch .........................................16
V Vergelichsspannung...............................4 Versagensarten.....................................16
W Wellen......................................................7 Werkstoffkennwerte ............................16 Werkstofftrennung .................................16 Widerstandsmoment........................3, 10
Z Zahnkraft ................................................2