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Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff
Universität Passau
SS 2012
10. Zur Bildung von Zyklen
Empfohlene Lektüre:
Chiang, A. (1984), Fundamental Methods of Mathematical Economics, S. 576-596.
Spahn, H.-P. (2009), Geldpolitik. Finanzmärkte, neue Makroökonomie und zinspolitische Strategien, S. 214-216.
• Eine Zentralbank wird die Steuerung des Zinsniveaus mit dem Ziel einer Stabilisierung von Inflation und Produktionslücke durchführen. • Dabei steht sie vor dem Problem, dass ihr heutiger Instrumenteneinsatz erst in der Zukunft wirken wird. Sie muss daher die Wirkungsverzögerungen ihrer Aktionen berücksichtigen. • Sie sieht sich dabei zum einen konfrontiert mit den Konjunkturzyklen, auf die sie reagieren muss. • Zum anderen ist sie in der Gefahr, selbst diese Zyklen zu erzeugen. Dies resultiert insbesondere dann, wenn sie mit ihrem Instrumenteneinsatz den richtigen Zeitpunkt verpasst.
0 3 6 9 12
4
8
12
16
20
6 16 8
7 2
7 3
7 4
7 5
8 0
8 58 9
A rbeitslosenquote (% )
Die Relevanz von Zyklen zeigt sich für Großbritannien in den Jahren 1961-1989.
Die Philips-Kurve für Deutschland 1965 – 1999 (alte Bundesländer)
Arbeitslosenquote
Infl
atio
nsra
te
Quelle: Jan-Egbert Sturm, Konstanz 2004
• Solche Zyklen können insbesondere dann entstehen, wenn der Realzins nicht unmittelbar auf die Güternach-frage wirkt, sondern mit einer zeitlichen Verzögerung.• Im Keynesianischen Konsensmodell gilt dann:
• Wird die Taylorregel der Periode -1 in die IS-Kurve eingesetzt, so folgt:
' ; ', , 0 P I P Ir r y r0 1 1 0 1; , 0. y b b r b b
1 1, 0 y
0 1 1 1 1' (2 ') I Py b b r b y
• Gemäß Inflationsfunktion gilt:
• Wird dies in (2‘) eingesetzt, so folgt:
• In Standardnotation „schieben“ wir die Gleichung eine Perioden nach vorne:
1 11 sowie
y y
1 10 1 1 1'
I Pb b r b
1 0 1 1 1 1 1' I Pb b r b b
1 1 1 1 0 11 ' P I Pb b b b r
2 1 1 1 0 11 ' P I Pb b b b r
Hierzu bestimmen wir eine partikuläre Lösung, P , welche durch die langfristige Gleichgewichtslösung bestimmt ist: t+2= t+1 = t = P .
Die partikuläre Lösung bildet zusammen mit der Lösung des homogenen Teils der Differenzengleichung die gesamte Lösung. Für den homogenen Teil, c, gilt:
1 1 0 11 ' P P P I P Pb b b b r
0 1
1
'
P
I
b b r
b
2 1 1 11 0P I Pb b
Wir vermuten, dass ein exponentieller Term der Form Act als Lösung für den homogenen Teil für t in Frage kommt. Dies impliziert
t+1 = Act+1 und
t+2 = Act+2
Wird dies eingesetzt, so folgt: 2 1
1 11 0t t tP I PAc b Ac b Ac
21 11 0P I Pc b c b
a1 a2
Dies wird die „charakteristische Gleichung“ genannt. Sie hat zwei charakteristische Wurzeln:
Es gibt somit zwei voneinander unabhängige Lösungen. Beide sind Bestandteil der allgemeinen Lösung der Differenzengleichung, jeweils mit einer Konstanten multipliziert. Einsetzen erbringt:
21 241
1 2
-a a ac , c =
2
2
1 1 11 1 4P P I P
1 2
b b bc , c =
2
Falls c1c2<0 sind Wurzeln mit umgekehrten Vorzeichen vorhanden. In diesem Fall resultiert eine alternierende Entwicklung. Dies gilt bei 0I P
• Ebenfalls eine alternierende Bewegung ergibt sich bei c1<0 und c2<0.
• Gilt hingegen und , so sind beide Wurzeln positiv und es liegt eine monotone Entwicklung vor. • Ist eine Wurzel größer als 1, so ergibt sich eine divergente Entwicklung. • Falls , steht unter der Wurzel ein negativer Term. In diesem Fall muss die Lösung komplex sein.
2
1 14 1I P Pb b
I P 11 0Pb
Die beiden Lösungen lassen sich dann so schreiben:
c1,c2=h±vi ,
mit dem Realteil: h=-a1/2
und dem imaginären Teil:
Die Lösung, c=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t, ist nicht leicht zu
interpretieren. Sie kann aber in trigonometrische
Funktionen transformiert werden:
(h±vi)t=Rt(cost±i.sint).
Hierbei gilt
sowie
und
2 2 2 21 2 1 2( 4 ) / 4R= h v a a a a
1 2cos 2h R a a
21 2sin 1 4v R a a
22 14 2v= a a
Aus c=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t wird dann:
c=A1Rt(cost + i.sint)+A2Rt(cost - i.sint)
=Rt(A3cost +A4.sint); A3=A1+A2; A4=(A1-A2)i
Die Werte der Konstanten A3 und A4 lassen sich jeweils
aus den Anfangswerten bestimmen.
Beispiel: t+2+1/4.t = 5.
Offensichtlich ergeben sich komplexe Wurzeln. Es gilt h=0; v=1/2 sowie R=1/2. Daraus folgt cos =0 und sin =1, was jeweils bei =/2 erfüllt ist. Da ferner P=4, folgt:
t= (1/2)t .(A5cos(/2.t) +A6.sin(/2.t))+4.
Es liegt Konvergenz vor, falls:
• Dies impliziert, dass bei einer zu hohen Inflationspräferenz Zyklenbildung entstehen kann. Im extremen Fall kann diese sogar divergent sein. • Bei einer hohen Beschäftigungspräferenz könnte ebenfalls Divergenz auftreten, allerdings ohne Zyklenbildung, sondern mit einer alternierenden Entwicklung.• Das Modellverhalten kann auch mit Hilfe einer Excel-Tabelle ermittelt werden.
2 11
11I P I PR a b
b
Es ergibt sich insgesamt die folgende Übersicht für alternative Werte der Beschäftigungspräferenz und Inflationspräferenz bei b1=1, =0,4
I
P
0,625 1 2 3
1
2
Divergente Zyklen
Kovergente Zyklen
Kovergente,
alternierende
Entwicklung
Divergente,
alternierende
Entwicklung
4
Kovergente,
monotone
Entwicklung