Escher-ParkettierungenLehrerfortbildung: Geschichte(n) der Mathematik
Wolfgang PfefferDidaktik der Mathematik - Universität Passau
9. Dezember 2015
Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
Kurzbiographie
Schon früh an Kunst interessiert
Studium der dekorativen Künste
Lebensmittelpunkt im Süden Europa
Inspiration durch regelmäßige Musterund Ornamente der Alhambra
Widmete sich intensiv Parkett-Werken
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Unmögliche Figuren
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Parkettierungen
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Parkettierungen
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Mathematik hinter den Parkettierungen
Die Mathematik kann uns helfen, die Parkett-Bilder besser zu verstehen. Wir wollen ein Parkett imStile von M.C. Escher erstellen. Unsere Ausgangsfigur ist ein Quadrat:
Aufgabe 1
Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein und ergänze den fehlenden Punkt Deigenständig, so dass ein Quadrat entsteht. Welche Koordinaten besitzt dieser?
A (1 | 3) B (5 | 3) C (5 | 7)
Zeichne den Punkt E (2 | 5.5) ein und verbinde das Dreieck ∆ AED. Verschiebe diesesanschließend mit dem Pfeil
−→DC.
Trage drei weitere Punkte F (3 | 6), G (3 | 4.5) und H (4 | 4.5) ein.Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil
−→CB.
Entstanden ist ein neues Vieleck mit demselben Flächeninhalt des Ausgangsquadrats. Mitdieser Figur kannst du ein (symmetrisches) Parkett legen. Male deine entstandene Figurfarbig aus, um es besser zu erkennen. Siehst du vielleicht eine Gestalt darin?
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Aufgabe 1
Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein und ergänze den fehlenden Punkt Deigenständig, so dass ein Quadrat entsteht. Welche Koordinaten besitzt dieser?
A (1 | 3) B (5 | 3) C (5 | 7)
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Aufgabe 1
Zeichne den Punkt E (2 | 5.5) ein und verbinde das Dreieck ∆ AED. Verschiebe diesesanschließend mit dem Pfeil
−→DC.
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Aufgabe 1
Zeichne den Punkt E (2 | 5.5) ein und verbinde das Dreieck ∆ AED. Verschiebe diesesanschließend mit dem Pfeil
−→DC.
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Aufgabe 1
Zeichne den Punkt E (2 | 5.5) ein und verbinde das Dreieck ∆ AED. Verschiebe diesesanschließend mit dem Pfeil
−→DC.
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Aufgabe 1
Zeichne den Punkt E (2 | 5.5) ein und verbinde das Dreieck ∆ AED. Verschiebe diesesanschließend mit dem Pfeil
−→DC.
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Aufgabe 1
Trage drei weitere Punkte F (3 | 6), G (3 | 4.5) und H (4 | 4.5) ein.Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil
−→DC.
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Aufgabe 1
Trage drei weitere Punkte F (3 | 6), G (3 | 4.5) und H (4 | 4.5) ein.Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil
−→DC.
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Aufgabe 1
Trage drei weitere Punkte F (3 | 6), G (3 | 4.5) und H (4 | 4.5) ein.Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil
−→DC.
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Aufgabe 1
Trage drei weitere Punkte F (3 | 6), G (3 | 4.5) und H (4 | 4.5) ein.Verbinde anschließend das Vieleck DFGHC. Verschiebe dies mit dem Pfeil
−→DC.
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Aufgabe 1
Entstanden ist ein neues Vieleck mit demselben Flächeninhalt des Ausgangsquadrats. Mitdieser Figur kannst du ein (symmetrisches) Parkett legen. Male deine entstandene Figurfarbig aus, um es besser zu erkennen. Siehst du vielleicht eine Gestalt darin?
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Aufgabe 1
Entstanden ist ein neues Vieleck mit demselben Flächeninhalt des Ausgangsquadrats. Mitdieser Figur kannst du ein (symmetrisches) Parkett legen. Male deine entstandene Figurfarbig aus, um es besser zu erkennen. Siehst du vielleicht eine Gestalt darin?
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Aufgabe 2 - Eigene Parkettierungsformen
Aufgabe 2Trage das Quadrat aus Aufgabe 1 erneut in ein neues Koordinatensystem ein. Verändere die Seiten[AD] und [DC], indem du neue Punkte innerhalb des Quadrates setzt und diese mit denAusgangspunkten verbindest. Achte dabei darauf, dass die zu verschiebenden Flächen sich nichtüberschneiden dürfen. Orientiere dich an der oberen Aufgabe und besprich dich gegebenenfalls mitdeinem Banknachbarn.
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Aufgabe 3 - Suche nach Ausgangsfigur
Aufgabe 3Um die Ausgangsfigur eines Escher-Parketts zu finden, musst du die Punkte markieren, in denensich mindestens drei Figuren berühren. Anschließend verbindest du diese Punkte zu einem n-Eck.Was ist es für eine Ausgangsfigur? Überlege dir, wie und was hier verschoben wurde!
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Aufgabe 3 - Suche nach Ausgangsfigur
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Aufgabe 3 - Suche nach Ausgangsfigur
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Aufgabe 3 - Suche nach Ausgangsfigur
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Aufgabe 3 - Suche nach Ausgangsfigur
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Aufgabe 4 - Suche nach Ausgangsfigur
Aufgabe 3Um welche Ausgangsfigur handelt es sich bei diesem Escher-Parkett?
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Aufgabe 4 - Suche nach Ausgangsfigur
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Aufgabe 4 - Suche nach Ausgangsfigur
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Knauthiger Pythagoras
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Eugen Jost
Kurzbiographie
1950 in Zürich geboren
Lehramtsstudium sowie Weiterbildungin den Bereichen Keramik undDrucktechniken
seine Bilder sind teilweise klar nachmathematischen Regeln konstruiert
teilweise etwas freier, aber dennochmit mathematischen Inhalten undRätseln
Wanderausstellung: „Alles ist Zahl“
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Wanderausstellung: Alles ist Zahl
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Wanderausstellung: Alles ist Zahl
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Wanderausstellung: Alles ist Zahl
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Knauthiger Pythagoras
Aufgabe 1
Wie ist das Bild aufgebaut, wie kommt das Muster zustande?
Wie verwendet Eugen Jost die Farben?
Warum sind einige Teilflächen zueinander kongruent?
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Knauthiger Pythagoras
Aufgabe 2
Zähle die verschiedenen kongruenten Teilflächen der drei farbigen Quadrate und vergleichesie anschließend miteinander. Kannst du eine Besonderheit entdecken?
Wie war nochmal die Flächeninhaltsformel für das Quadrat? A = .
Stelle eine Vermutung zur Beziehung der Flächeninhalte der Quadrate her. Glaubst du, dieseBeziehung besteht immer oder müssen besondere Voraussetzungen bestehen? Wenn ja,welche?
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Knauthiger Pythagoras
Bildaufbau:
Das Bild hat eine quadratische Form
Diese ist wiederum in neun kleinere Quadrate zerlegt worden
Schräge Linien laufen in vier verschiedenen Richtungen übe das Bild und erzeugen dabei einsternförmiges Muster
Den entstandenen Achtstern nennt man auch Knauthsche-Figur: Konstruiere diese!
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Knauthiger Pythagoras
Kongruente Dreiecke:
Die Teilflächen A und B ergeben sich durch Überschneidung der oben genanntenrechtwinkligen kongruenten Dreiecke.
Diese stimmen in der anliegenden Seite überein
Außerdem sind die Winkel in der oberen und unteren Ecke gleich groß, da diese auch diewinkelgleichen Ecken der bereits gezeigten kongruenten großen Dreiecke sind
Der Kongruenzsatz WSW liefert folglich, dass sie deckungsgleich sind
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