Diplomarbeit
Ermittlung von Tragreserven
eines Antennenträgers
Stefan Zeising Matr.-Nr. 30015
Sem.-Gr. 00MI
Es ist wichtiger, Fragen stellen zu können,
als auf alles eine Antwort zu wissen.
James Thurber
Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH) Fachbereich Maschinen- und Energietechnik
Studiengang Maschinenbau
Studienrichtung Maschinenbau-Informatik
Ermittlung von Tragreserven eines Antennenträgers
Diplomarbeit Nr. 122/04
von
Stefan Zeising
geb. am 27.08.1980
in Leipzig
Matr.-Nr. 30015
Verantwortlicher Hochschullehrer: Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn
Leipzig, Mai - August 2006
Erklärung
Ich versichere wahrheitsgemäß, die Diplomarbeit selbständig angefertigt,
alle benutzten Hilfsmittel vollständig und genau angegeben und alles
kenntlich gemacht zu haben, was aus Arbeiten anderer unverändert oder
mit Abänderungen entnommen wurde.
Leipzig, den 21.08.2006
Danksagung
Ich danke Herrn Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn für die Betreuung meiner
Diplomarbeit an der Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur
Leipzig.
Der Firma IMC Planungsgesellschaft mbH Leipzig und ihren
Geschäftsführern Herrn Wyrembeck und Herrn Dr. Wagner danke ich für
die Möglichkeit, meine Diplomarbeit in ihrem Hause schreiben zu dürfen.
Ich habe meine Arbeit in einem angenehmen und motivierenden
Arbeitsklima durchführen können. In diesem Zusammenhang möchte ich
auch Herrn Heinrich für die Idee zum Diplom-Thema danken.
Mein besonderer Dank gilt meinem betrieblichen Betreuer Herrn
Dipl.-Ing. (FH) André Blüthner für seine immerwährende Unterstützung
und Motivation, für sein Wohlwollen und seine Hilfestellung auch in
schwierigen Momenten. Jede meiner Fragen fand bei ihm eine Antwort.
Den Mitarbeitern der Hotline der Firma Dlubal GmbH danke ich für die
Beantwortung meiner Fragen und für ihre Ideen zum Thema FEM.
Ich möchte nicht zuletzt auch meiner Familie danken, die mich auf dem
Wege des Studiums begleitet hat und stets für mich da war.
Meiner Claudia sage ich herzlich Dank für ihre konstruktive Hilfe bei
meiner Arbeit, das unermüdliche Korrekturlesen bis fast zur letzten
Minute und ihre ständige Motivation bis zum In-den-Hintern-treten. Ich
danke ihr aber auch für ihre Geduld mit mir und ihre Fähigkeit, mich von
den großen und kleinen Sorgen abzulenken...
...und für ihre Liebe.
Stefan Zeising - 5 - Inhalt
0. Inhalt
0. Inhalt................................................................................ 5
1. Einleitung......................................................................... 7
1.1 Motivation ...............................................................................7
1.2 Aufgabenstellung.....................................................................8
1.3 Aufbau der Arbeit ....................................................................9
2. Kontrolle der Bausubstanz ...............................................11
2.1 Festgestellte Mängel ..............................................................11
2.1.1 Antennenträger......................................................................11
2.1.2 Fundament............................................................................14
2.1.3 Antennenanlagen...................................................................14
2.1.4 Schweißverbindungen............................................................15
2.1.5 Schraubverbindungen und Verankerung ...............................16
2.1.6 Technische Anlagen ...............................................................16
2.1.7 Umbauung ............................................................................17
2.2 Ergebnis................................................................................17
3. Einwirkungen auf Antennenträger....................................18
3.1 Ständige Einwirkungen .........................................................18
3.1.1 Eigenlast ...............................................................................18
3.1.2 Vorspannkraft .......................................................................18
3.2 Veränderliche Einwirkungen..................................................19
3.2.1 Windlast ................................................................................19
3.2.1.1 Windlast nach DIN 4131 (11.91) ............................................20
3.2.1.2 Windlast nach DIN 1055-4 (03.05).........................................25
3.2.1.3 Windbelastung quer zur Windrichtung ..................................32
3.2.1.4 Vergleich DIN 4131 (11.91) – DIN 1055-4 (03.05) ...................38
3.2.2 Verkehrslast ..........................................................................40
3.2.3 Eislast ...................................................................................40
3.2.4 Wärmeeinwirkung..................................................................41
3.2.5 Lasten aus Bauzuständen......................................................42
3.3 Außergewöhliche Einwirkungen.............................................42
Stefan Zeising - 6 - Inhalt 4. Nachweise für Antennenträger .........................................43
4.1 Tragsicherheit .......................................................................43
4.1.1 Schnittgrößenermittlung........................................................43
4.1.2 Spannungsnachweise ............................................................44
4.1.2.1 Normalspannung...................................................................45
4.1.2.2 Schubspannung ....................................................................46
4.1.2.3 Vergleichsspannung ..............................................................47
4.2 Betriebsfestigkeit ...................................................................48
4.3 Gebrauchstauglichkeit...........................................................50
5. Berechnung Flansch +10,08 m .........................................53
5.1 Berechnung nach Petersen ....................................................54
5.1.1 Theoretische Grundlagen.......................................................54
5.1.2 Praktische Berechnung..........................................................56
5.2 Berechnung mit FEM.............................................................66
5.2.1 FEM-Modell ...........................................................................66
5.2.2 Praktische Berechnung..........................................................69
6. Zusammenfassung............................................................78
7. Quellen ............................................................................80
7.1 Literatur................................................................................80
7.2 Normen .................................................................................80
7.3 Software ................................................................................81
8. Verzeichnisse...................................................................82
8.1 Abbildungsverzeichnis ...........................................................82
8.2 Tabellenverzeichnis ...............................................................83
9. Anhang ............................................................................84
9.1 Statik nach DIN 4131 (11.91) ................................................84
9.2 Statik nach DIN 1055-4 (03.05) .............................................84
Stefan Zeising - 7 - Einleitung
1. Einleitung
1.1 Motivation
In Deutschland gibt es inzwischen über 50 Millionen Mobiltelefone, kurz
Handys genannt. Die mobile Kommunikation wird von verschiedenen
Mobilfunkbetreibern sichergestellt. Der Versorgungsbereich der einzelnen
Mobilfunknetze ist in eine Vielzahl von nebeneinander liegenden Funk-
zellen aufgeteilt. Je höher die Anzahl der Funkzellen ist, desto größer ist
die Gesamtzahl der gleichzeitig möglichen Nutzer, da die begrenzte Anzahl
gleicher Sendefrequenzen in einem gewissen Abstand wieder verwendet
werden kann. Außerdem ist aufgrund der kurzen Distanz zur Basisstation
eine geringere Sendeleistung des mobilen Telefons ausreichend.
Die Basisstation bildet das Zentrum einer jeden Funkzelle. Sie ist über
Erdkabel oder Richtfunk mit der zentralen Vermittlungsstelle und somit
mit dem normalen Telefonnetz verbunden. Diese Einrichtung erkennt
durch ein permanent gesendetes Signal, das von einem Mobilfunktelefon
beantwortet wird, den Standort eines jeden Mobilfunkteilnehmers und
übermittelt diese Information an das Mobilfunknetz. Bei Gesprächsbeginn
eines Mobilfunknutzers kontaktiert dessen Mobiltelefon seine Basis-
station, die den Nutzer über die Vermittlungsstelle mit dessen ge-
wünschtem Gesprächspartner verbindet.
Der Kontakt zwischen Basisstation und Mobilfunktelefon wird über
Sektorantennen hergestellt. Aus diesem Grund ist dieser Antennentyp in
Deutschland an fast jedem Antennenträger zu finden.
In städtischen Gebieten ist es völlig ausreichend, Antennenträger auf
Wohn- oder Geschäftshäusern mit einer maximalen Höhe von fünf bis
zehn Metern über der Oberkante des Gebäudes in einem Abstand von
500 Metern zu realisieren. In ländlichen Gegenden jedoch, wo die Zahl der
Mobilfunknutzer pro Quadratkilometer bei weitem nicht so hoch ist wie in
Städten, werden größere Zellen angestrebt. Im Allgemeinen wird von den
Mobilfunkbetreibern dann aufgrund der größeren Reichweite auf bereits
vorhandene höhere Bauwerke zurückgegriffen. Das können Schornsteine,
Stefan Zeising - 8 - Einleitung Windanlagen, Überlandleitungen oder Aussichtstürme sein. Wo dies nicht
möglich ist, muss ein neuer Mast errichtet werden.
Durch die Firma IMC Planungsgesellschaft mbH wurde für den
Mobilfunkbetreiber E-Plus im Jahr 1993 eine Typenreihe von konischen
Stahlrohrmasten in den Ausbauhöhen über der Oberkante des Funda-
ments von 30, 40 und 50 Metern entwickelt. Diese Träger für Mobil-
funkantennen wurden zwischen 1993 und 1996 in einem Umfang von ca.
60 Stück in Mitteldeutschland errichtet.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einem 1994 am Standort Wiedemar
bei Leipzig gebauten Standardstahlrohrmast mit einer Gesamthöhe von 50
Metern.
Durch die Umrüstung auf neue Funktechnik und die Gestattung der
Mitnutzung des Antennenträgers durch einen weiteren Netzbetreiber
ergeben sich neue Belastungen mit einer höheren Auslastung des mit
Stabstatik berechneten Antennenmastes. Zur Gewährleistung der Stand-
sicherheit, Gebrauchstauglichkeit und Dauerfestigkeit ist deshalb eine
neue Bewertung der Tragreserven vonnöten.
Besondere Beachtung verdient dabei eine im Jahr 1998 vorgenommene
Verstärkung des Antennenträgers mit innenliegenden Stahlbauprofilen
HEB 160.
1.2 Aufgabenstellung
Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Anfertigung einer prüffähigen Statik
des 50 Meter-Mastes von E-Plus am Standort Wiedemar bei Leipzig im
Hinblick auf die geplante Nachrüstung durch den Mobilfunkbetreiber
Vodafone D2 unter Berücksichtigung möglicherweise vorhandener Trag-
reserven. Sie ist nach den derzeit gültigen Normen mit den Windlast-
annahmen nach DIN 4131 (11.91): "Lastannahmen für Bauten: Verkehrs-
lasten, Windlasten bei nicht schwingungsanfälligen Bauwerken" zu
erstellen. Dies beinhaltet eine Begehung des Standortes mit der
Stefan Zeising - 9 - Einleitung Einschätzung der prinzipiellen Möglichkeit weiterer Nachrüstungen und
eine Aufnahme eventuell vorhandener Schäden vor Ort.
Zur Vorbereitung der Anwendung der voraussichtlich ab dem 01.01.2007
gültigen Neufassung der DIN 1055-4 (03.05): "Einwirkungen auf
Tragwerke - Windlasten" und den damit verbundenen Änderungen wird
die gleiche Statik mit den neuen Windlastannahmen ausgeführt. Es ist zu
ermitteln, ob sich aus der Neufassung der DIN 1055-4 wesentliche
Änderungen ergeben, die für weitere Bemessungen der Typenreihe von
Standardrohrmasten von grundlegender Bedeutung sein können.
Weiterhin soll in dieser Arbeit eine FEM-Berechnung eines Maststoßes im
Vergleich zur konventionellen Berechnung erstellt werden, um genauere
Aussagen über dessen Auslastung geben zu können.
1.3 Aufbau der Arbeit
Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit erfolgt eine Einleitung in das
Thema Mobilfunk und ein Übersicht über die Aufgabenstellung dieser
Arbeit.
Das zweite Kapitel umfasst die visuelle Überprüfung des Antennenträgers
auf Schäden und beschäftigt sich mit der Erfassung der Gesamtsituation
am Standort vor der Nachrüstung.
Das folgende Kapitel 3 beschreibt die zu treffenden Lastannahmen nach
der bisher gültigen DIN 4131 (11.91) und die zum Teil stark geänderten
Annahmen nach der neuen DIN 1055-4 (03.05). Die sich ergebenden
Differenzen werden diskutiert.
Im vierten Kapitel werden die Nachweise zur Tragfähigkeit,
Betriebsfestigkeit und Gebrauchstauglichkeit vorgestellt.
Stefan Zeising - 10 - Einleitung Die FEM-Berechnung am Beispiel des Flansches am Stoß +10,08 m im
Vergleich zur konventionellen Berechnung bildet das fünfte Kapitel.
Das letzte Kapitel enthält die Diskussion der vorgestellten Ergebnisse und
eine Zusammenfassung der in dieser Arbeit gewonnenen Erkenntnisse.
Im Anhang finden sich die beiden nach DIN 4131 (11.91) und
1055-4 (03.05) erstellten, prüffähigen Statiken.
Stefan Zeising - 11 - Bausubstanz
2. Kontrolle der Bausubstanz
Die Überprüfung der Bausubstanz vor Ort fand am 09.06.2006 statt.
Überprüft auf augenscheinliche Fehler wurden:
- der Antennenträger mit Kopfbühne und Steigweg
- das Fundament
- die Antennenanlagen
- die Schweißverbindungen
- die Schraubverbindungen
- die technischen Anlagen
- die Umbauung
2.1 Festgestellte Mängel
Dieses Kapitel basiert auf dem Protokoll der Begehung des E-Plus-
Standorts Wiedemar bei Leipzig (Zeppelinstraße), zum Zwecke der
Überprüfung der Möglichkeiten zur Mitnutzung durch den
Mobilfunkbetreiber Vodafone D2.
Die einzelnen, nach Planungs- und Realisierungshandbuch /7/ zu
kontrollierenden Punkte sind getrennt nach Art aufgeführt; Mängel und
deren mögliche Ursachen sowie die zu erfolgenden Maßnahmen sind
vermerkt.
2.1.1 Antennenträger
Beschreibung: Konischer 50 Meter-Stahlrohrmast mit Korrosionsschutz
(verzinkt) und Duplexanstrich; Kopfbühne, Wartungs-
podest, Kabel- und Steigweg. Steigweg ist gesichert mit
Steigschutz Fa. Söll; Blitzschutz über Ringerder.
Stefan Zeising - 12 - Bausubstanz
Abbildung 2.01: Antennenträger - Mangel 1: Flansch + 20,08 m
Mangel 1: An den Flanschen +10,08 m und +20,08 m ist der Anstrich
abgeplatzt.
Ursache: Montage
Maßnahme: Der Korrosionsschutz ist nachzubessern.
Abbildung 2.02: Antennenträger - Mangel 2
Stefan Zeising - 13 - Bausubstanz Mangel 2: Im Bereich der inneren Verstärkung sind Unrundheiten
und Dellen am Mantel festzustellen.
Ursache: Fehler bei Montage der inneren Verstärkung.
Maßnahme: Keine, da keine Gefährdung für die Standsicherheit und
Gebrauchstauglichkeit vorliegt.
Abbildung 2.03: Antennenträger - Mangel 3: Fußflansch
Mangel 3: Rostansatz im Bereich des Fußflansches.
Ursache: Mangelhafter Korrosionsschutz, kein Wasserablauf,
möglicherweise mechanische Einwirkung.
Maßnahme: Bereich beschleifen und Korrosionsschutz nachbessern.
Abbildung 2.04: Theodolit NESTLE Te-1
Stefan Zeising - 14 - Bausubstanz Mangel 4: Schrägstand, Abweichung von der Mittelachse um 0,5° in
Richtung Westen; Messung erfolgte mit Theodolit NESTLE
Te-1 (siehe Abbildung 2.04).
Ursache: Schrägstellung Oberkante Fundament; Montage
Maßnahme: Keine, da keine Gefährdung für die Standsicherheit und
Gebrauchstauglichkeit vorliegt.
sonstige Bemerkungen: keine
2.1.2 Fundament
Beschreibung: Das Fundament unter dem Antennenträger ist 6,50 m ∗
6,50 m ∗ 1,50 m; zusätzliches Aufsatzfundament 2,70 m ∗
2,70 m ∗ 0,80 m; B25, BSt 500/550; Verguss 80 mm.
Abbildung 2.05: Fundament
Mängel: keine
sonstige Bemerkungen: keine
2.1.3 Antennenanlagen
Beschreibung: Folgende Antennen sind installiert:
E-Plus: 6x K734 330 (GSM)
3x K742 212 (UMTS)
Stefan Zeising - 15 - Bausubstanz 1x RiFu 1,2 m
1x RiFu 0,6 m
Folgende Antennen sind geplant:
E-Plus: 1x RiFu 1,2 m
1x RiFu 0,6 m
Vodafone D2: 3x K742 264 (GSM + UMTS)
2x RiFu 0,3 m
Abbildung 2.06: Antennenbelegung Kopfpodest
Mängel: keine
sonstige Bemerkungen: keine
2.1.4 Schweißverbindungen
Beschreibung: Schweißnähte sind im Rohr, an den Rippen des Fuß-
flansches sowie im Bereich der Tür vorhanden.
Stefan Zeising - 16 - Bausubstanz Mängel: keine
sonstige Bemerkungen: keine
2.1.5 Schraubverbindungen und Verankerung
Beschreibung: Flansche: HV-Schrauben M24 10.9
Fuß: Anker M30 5.6
Mängel: keine
sonstige Bemerkungen: keine
2.1.6 Technische Anlagen
Beschreibung: Systemtechnik von E-Plus vorhanden: BTS (Base Trans-
ceiver Section; Basisstation) und Elt-UV (Elektro-Unter-
verteilung) auf einem Fundament 4,75 m ∗ 0,80 m; Nokia
OCO AC (UMTS) auf einem Fundament 1,50 m ∗ 0,80 m.
Systemtechnik von Vodafone D2 geplant: RBS 2106 und
NB 441 auf Rahmen auf Betonplatte 3,80 m ∗ 1,00 m.
Abbildung 2.07: Systemtechnik E-Plus
Stefan Zeising - 17 - Bausubstanz Mängel: keine
sonstige Bemerkungen: keine
2.1.7 Umbauung
Beschreibung: Zaun mit Stacheldraht, Schloss für Systemschlüssel
E-Plus.
Abbildung 2.08: Umbauung
Mängel: keine
sonstige Bemerkungen: keine
2.2 Ergebnis
Bei der Begutachtung des Standortes Wiedemar, Stationsnummer E-Plus:
1453 0004, wurden am 09.06.2006 keine Mängel festgestellt, die die
Tragsicherheit, Betriebsfestigkeit oder Gebrauchstauglichkeit des
Antennenträgers gefährden. Gegen eine Nachrüstung bestehen aus
bautechnischer Sicht keine Einwände.
Die Maßnahmen zur Beseitigung der aufgezeigten, geringfügigen Mängel
sollen in Absprache mit E-Plus im Zuge der Nachrüstung erfolgen.
Stefan Zeising - 18 - Einwirkungen
3. Einwirkungen auf Antennenträger
Für die Berechnung von Antennenträgern aus Stahl sind ständige,
veränderliche und gegebenenfalls außergewöhnliche Einwirkungen zu be-
rücksichtigen.
Nachfolgend werden die einzelnen Einwirkungsarten am Beispiel des zu
untersuchenden Antennenträgers vorgestellt.
Für die praktische Anwendung der hier vorgestellten Berechnungs-
verfahren sei auf die im Anhang befindlichen Statiken nach DIN 4131
(11.91) und nach DIN 1055-4 (03.05) verwiesen.
3.1 Ständige Einwirkungen
Zu den ständigen Einwirkungen gehören Eigenlast und Vorspannkraft.
3.1.1 Eigenlast
Die Eigenlast des Antennenträgers setzt sich zusammen aus dem
Eigengewicht der Stahlkonstruktion und dem Gewicht der Anbauteile wie
Steigleiter, Kabelweg, Antennen und Vorsatzrohre, Kopfbühne und Hilfs-
podest.
3.1.2 Vorspannkraft
Der zu untersuchende Mast besitzt keine Abspannungen und
dementsprechend auch keine aufgebrachte Vorspannkraft. Dieser Lastfall
ist nicht relevant.
Stefan Zeising - 19 - Einwirkungen 3.2 Veränderliche Einwirkungen
Veränderliche Einwirkungen sind Windlast, Verkehrs- und Schneelast,
Eislast, Wärmeeinwirkung und Lasten aus Bauzuständen.
Die Einwirkungen aus Antennenzügen, Energieleitungen und Gegen-
gewichtssystemen sowie Einwirkungen aus wahrscheinlichen Änderungen
der Stützbedingungen haben für den vorliegenden Fall keine Bedeutung.
3.2.1 Windlast
Windlasten sind zeitlich veränderliche Lasten, die das Bauwerk aufgrund
natürlich vorkommender Luftturbulenzen zu Schwingungen anregen. Die
durch die Schwingungen hervorgerufenen Auslenkungen des Mastkopfes
bewegen sich auf einer nahezu elliptischen Bahn. Dabei kann die
Amplitude der Auslenkung sowohl in Windrichtung, als auch senkrecht
dazu liegen. Windlasten werden deshalb entsprechend ihrer Richtung
unterteilt in Windbelastung in Windrichtung sowie Windbelastung quer
zur Windrichtung.
Die zu treffenden Annahmen zur Windbelastung sind in der DIN 1055-4
geregelt. Die aktuell gültige DIN 1055-4 (08.86) wird voraussichtlich ab
dem 01.01.2007 von der DIN 1055-4 (03.05) abgelöst. Alle zur Prüfung
vorgelegten Statiken von Bauwerken, deren Bauanträge nach diesem
Datum gestellt werden, müssen verbindlich nach der neuen Norm
berechnet werden.
In dieser Arbeit sollen die teilweise erheblichen Änderungen durch die
Neufassung der DIN 1055-4 vorgestellt werden.
Die beiden nachfolgenden Abschnitte 3.2.1.1 und 3.2.1.2 befassen sich
getrennt nach DIN-Norm mit der Windbelastung in Windrichtung. Der fast
unveränderte Ablauf zur Berechnung der Windbelastung quer zur
Windrichtung wird einheitlich in Kapitel 3.2.1.3 vorgestellt. Geringfügige
Abweichungen werden dort gesondert angegeben.
Stefan Zeising - 20 - Einwirkungen Die grundlegenden Unterschiede der Windlastansätze nach alter und
neuer DIN werden im Kapitel 3.2.1.4 abgehandelt.
3.2.1.1 Windlast nach DIN 4131 (11.91)
Die zur Zeit gültige Norm für Windlasten DIN 1055-4 (08.86) ist auf nicht
schwingungsanfällige Bauwerke beschränkt. Antennentragwerke aus
Stahl zählen jedoch in der Regel zu den schwingungsanfälligen
Konstruktionen. Für diese Fälle wird in der Norm auf die DIN 4131 (11.91)
verwiesen. Innerhalb dieser DIN sind im Anhang A Regelungen zu den
Windlasten getroffen. Die dort vorgenommenen Vereinfachungen gelten
nur für die in der DIN 4131 (11.91) behandelten Bauformen.
Die Windlast ist von der zeitlich und räumlich veränderlichen Wind-
geschwindigkeit abhängig. Daraus resultiert eine dynamische Wirkung der
Windlast. Statt eine dynamische Berechung durchzuführen, wird in der
Norm eine statische Ersatzlast eingeführt, die durch Multiplikation mit
einem den dynamischen Einfluss berücksichtigenden Faktor (Böen-
reaktionsfaktor Bϕ ) gleich große Werte für die Beanspruchungen erzeugt.
Die statische Ersatzlast wird als eine statisch über einen bestimmten
Zeitraum gemittelte Windlast definiert. Nach DIN 4131 (11.91) bezieht sich
die Windlastermittlung auf das 5-Sekunden-Mittel der maximalen Wind-
beanspruchung.
Die ermittelte Windlast für die Bemessung des Tragwerks muss horizontal
und in der für das Tragwerk am ungünstigsten wirkenden Windrichtung
angesetzt werden.
Die Gleichung für die Ermittlung der resultierenden Windlast W i für einen
Tragwerksabschnitt i lautet:
W i = c fi ∗ q i ∗ A i (3.01)
Dabei ist
c fi der auf den Abschnitt i bezogene aerodynamische Kraftbeiwert;
Stefan Zeising - 21 - Einwirkungen q i der Staudruck in Höhe z i ;
A i die Bezugsfläche im Abschnitt i.
Vereinfachend sind Mittelungen über in der Höhe ausreichend unterteilte
Abschnitte möglich. Bei kreisförmigen Querschnitten darf die resul-
tierende Windlast in Windrichtung im Allgemeinen im Schwerpunkt des
Querschnitts angesetzt werden.
Der aerodynamische Kraftbeiwert c f für einen Abschnitt i beschreibt die
Beziehung zwischen dem Staudruck q und der Windlast W. Er wird wie
folgt berechnet:
c fi = ψ ∗ c i,0f (3.02)
Dabei ist
ψ der Abminderungsfaktor in Abhängigkeit von der Streckung λ und
dem Völligkeitsgrad ϕ ;
c i,0f der Grundkraftbeiwert für die Querschnittsform des Abschnitts i.
Bei Bauwerken mit niedriger Streckung bzw. Schlankheit λ strömt ein
großer Teil der Luft zusätzlich über die Bauwerksspitze. Hier stellt sich ein
dreidimensionaler Strömungszustand ein, der die Windkräfte reduziert.
Für Bauwerke mit großer Schlankheit ergibt sich ψ = 1.
Der Grundkraftbeiwert c 0f ist von der Bauwerksform abhängig. Für kreis-
zylindrische Baukörper wird in der DIN 4131 (11.91) zur Bestimmung von
c 0f in Abhängigkeit von der Reynoldszahl Re und der Rauigkeitstiefe der
Oberfläche k (Ersatzrauigkeit) ein Diagramm zur Verfügung gestellt, in
dem der Wert abgelesen werden kann. Die Ersatzrauigkeit berücksichtigt
eine übliche Oberflächenbeschaffenheit einschließlich Schraubenköpfen
und ähnlichem. Unter der Annahme k = 0,001 m lässt sich c 0f alternativ
auch nach folgender Gleichung berechnen:
c 0f = 0,91 - 0,065 log
0
m
dd (3.03)
Stefan Zeising - 22 - Einwirkungen Dabei ist
d m der maßgebende Außendurchmesser in m;
d 0 der 1 m-Bezugswert.
Für Zwischenwerte von d m ist c 0f linear zu interpolieren. Sind an einem
kreiszylindrischen Schaft Außenanbauten, wie zum Beispiel einzelne
Kabel, Kabelbahnen oder Antennen sowie deren Befestigungen vorhanden,
so ist der Grundkraftbeiwert als Mittelwert für die Anbauten mit c 0f = 1,2
und für den Steigweg mit c 0f = 1,3 anzunehmen.
Für die Mobilfunkantennen stellt der Antennenhersteller die notwendigen
Angaben für die Windbelastung zur Verfügung. Die für den Schaft und die
Außenanbauten getrennt zu ermittelnden Windlasten sind zu addieren.
Die maximale Böengeschwindigkeit und der dazugehörige Staudruck q,
welche in jeder Höhe des Antennentragwerks wirken, bilden eine
Einhüllende, die als Staudruckprofil bezeichnet wird. Der Staudruck
entsteht während eines Sturms zeitlich und räumlich regellos am
Bauwerk. Obwohl dem Staudruck ein Potenzgesetz zugrunde liegt, wird in
der DIN 4131 (11.91) eine Vereinfachung in Form einer linearen
Höhenabhängigkeit getroffen. Für Bauwerkshöhen bis einschließlich 50 m
ergibt sich:
q = 0,75 (1 + 100
h ) ∗ q 0 (3.04)
Dabei ist
h die Bauwerkshöhe über Gelände;
q 0 der Rechenwert des Staudrucks in Geländehöhe.
Der Basiswert q 0 ist abhängig von der Windlastzone des Gebietes (DIN
4131 (11.91), Bild A.1), in dem sich das Bauwerk befindet. Für die
Norddeutsche Tiefebene gilt die Windlastzone II; damit gilt folgender
Rechenwert für den Staudruck am Standort Wiedemar:
Stefan Zeising - 23 - Einwirkungen
q 0 = 1,05 2mkN
Dieser Wert beruht auf dem 5-Sekunden-Mittel der Windgeschwindigkeit,
die statistisch innerhalb von 50 Jahren nur einmal erreicht oder
überschritten wird. Für den Montagezustand, der maximal 2 Jahre
anhält, darf laut DIN eine Abminderung des Staudrucks mit dem Faktor
0,7 vorgenommen werden.
Die Bezugsfläche A i für den Teilbereich i ergibt sich wie folgt:
A i = ∆ h i ∗ d i (3.05)
Um die tatsächliche dynamische Belastung durch den Wind, folglich die
Schwingungswirkung in Windrichtung, zu erhalten, ist die Windlast W mit
dem Böenreaktionsfaktor Bϕ zu multiplizieren. Es ergibt sich die
Ersatzlast ers W i :
ers W i = Bϕ ∗ c fi ∗ q i ∗ A i (3.06)
Für freistehende Kragsysteme kann folgende Formel verwendet werden:
Bϕ = 0Bϕ ∗ η (3.07)
Dabei ist
0Bϕ der Grundwert des Böenreaktionsfaktors;
η der Größenfaktor.
Es gilt:
η = 1 für h ≤ 50 m (3.08)
0Bϕ = 1 + (0,042 T - 0,0019 T 2 ) ∗ 63,0B−δ (3.09)
Dabei ist
T die Schwingungsdauer der Bauwerksgrundschwingung in s;
Stefan Zeising - 24 - Einwirkungen
Bδ der Rechenwert des logarithmischen Dämpfungsdekrements bei
Böenbelastung, er kann mit Bδ = 0,1 angenommen werden.
Die Schwingungsdauer der Grundschwingung von freistehenden Krag-
systemen wird wie folgt ermittelt:
T = 2π ∑∑
∗∗
∗
iii
i
2ii
)yG( g
)yG( (3.10)
Dabei sind
G i die in den Punkten i zusammengefassten, ständigen Lasten des
Systems;
y i die horizontalen Auslenkungen des Systems in den Punkten i
infolge der horizontal wirkend angenommenen Lasten G i .
g ist die Fallbeschleunigung.
Bei starr eingespannten Kragträgern mit annähernd konstanten
Querschnitten kann die Schwingungsdauer T der Grundschwingung auch
nach folgender Gleichung abgeschätzt werden:
T = i
2F
GG
b1000h
∗ (3.11)
Dabei ist
h F die Höhe des Bauwerks über der Einspannstelle;
b die Bauwerksbreite;
G die Eigenlast des schwingenden Bauwerks einschließlich aller
Anbauten;
G i die Eigenlast der tragenden Konstruktion.
Stefan Zeising - 25 - Einwirkungen 3.2.1.2 Windlast nach DIN 1055-4 (03.05)
Die in diesem Kapitel vorgestellte, neue DIN 1055-4 (03.05) enthält die
komplette Berechnung der Windbelastung in Windrichtung. Sie enthält
keinen Verweis mehr auf die DIN 4131.
Die Gesamtwindkraft F w , die auf ein Bauwerk oder Bauteil einwirkt, wird
wie folgt berechnet:
F w = c f ∗ q(z e ) ∗ A ref (3.12)
Dabei ist
c f der aerodynamische Kraftbeiwert;
q(z e ) der Geschwindigkeitsdruck in der Bezugshöhe z ;e
A ref die Bezugsfläche für den Kraftbeiwert.
Für Baukörper, welche die Bedingung (3.13) erfüllen, kann die Windkraft
vereinfachend abschnittsweise nach Gleichung (3.14) ermittelt werden.
Auf den Körperabschnitt j wirkt dabei die Windkraft F wj .
l > 2 b (3.13)
Dabei ist
l die Bauwerkshöhe;
b die Bauwerksbreite quer zur Windrichtung.
F wj = c fj ∗ q(z ej ) ∗ A j (3.14)
Dabei ist
c fj der aerodynamische Kraftbeiwert im Teilabschnitt j;
q(z ej ) der Geschwindigkeitsdruck in der Höhe der Oberkante des
Abschnitts j über Grund;
A j die Bezugsfläche, auf die der Kraftbeiwert bezogen ist.
Stefan Zeising - 26 - Einwirkungen Die Ermittlung des Kraftbeiwertes c f nach DIN 1055-4 (03.05) erfolgt
identisch zu DIN 4131 (11.91) wie in Kapitel 3.2.1.1 beschrieben. Hier sei
auf die Gleichungen (3.02) und (3.03) verwiesen.
Den Regelungen für den Geschwindigkeitsdruck liegt eine Böenge-
schwindigkeit zu Grunde, die über eine Böendauer von 2 bis 4 s gemittelt
wurde.
Im Gegensatz zur DIN 4131 (11.91) berücksichtigt die Berechnung des
Böengeschwindigkeitsdrucks nach DIN 1055-4 (03.05) neben der
Höhenabhängigkeit auch den Einfluss der Geländerauigkeit und der
Topografie der Umgebung.
Nach Anhang B der DIN 1055-4 (03.05) werden dabei folgende Gelände-
kategorien unterschieden:
Geländekategorie I
Offene See; Seen mit mindestens 5 km freier Fläche in Windrichtung;
glattes, flaches Land ohne Hindernisse
Geländekategorie II
Gelände mit Hecken, einzelnen Gehöften, Häusern oder Bäumen, zum
Beispiel landwirtschaftliches Gebiet
Geländekategorie III
Vorstädte, Industrie- oder Gewerbegebiete; Wälder
Geländekategorie IV
Stadtgebiete, bei denen mindestens 15% der Fläche mit Gebäuden bebaut
sind, deren mittlere Höhe 15 m überschreitet
In der Übergangszone zwischen zwei Geländerauigkeiten nimmt das
Windprofil allmählich die Form an, die der neuen Rauigkeit entspricht. Da
in Deutschland selten große Gebiete mit gleicher Bodenrauigkeit
vorkommen, treten hier überwiegend Mischprofile auf. Als Regelfall sind in
der DIN 1055-4 (03.05) drei Profile des Böengeschwindigkeitsdrucks
angegeben. Das erste gilt für das Binnenland, das zweite für einen 5 km
Stefan Zeising - 27 - Einwirkungen breiten Streifen entlang der Küste und den Inseln der Ostsee, das dritte
auf den Inseln der Nordsee.
Für das Binnenland, einem Mischprofil aus Geländekategorie II und III
gelten folgende Vereinbarungen für den Geschwindigkeitsdruck q ab-
hängig von der Höhe z:
q(z) = 1,5 ∗ q ref für z ≤ 7m (3.15)
q(z) = 1,7 ∗ q ref 37,0
10z
für 7 m < z ≤ 50 m (3.16)
q(z) = 2,1 ∗ q ref 24,0
10z
für 50 m < z ≤ 300 m (3.17)
Dabei ist
z die Bauwerkshöhe
q ref der Geschwindigkeitsdruck der mittleren Referenzgeschwindigkeit
Der Geschwindigkeitsdruck q ref der mittleren Referenzgeschwindigkeit v ref
ist in der Windzonenkarte der DIN 1055-4 (Anhang A, Bild A.1)
angegeben. Für den vorliegenden Fall handelt es sich um die Windzone 2,
die die Norddeutsche Tiefebene umfasst. Folgende Werte können für den
Standort Wiedemar angenommen werden:
q ref = 0,39 2mkN v ref = 25,0
sm
Die Bezugsfläche für den Kraftbeiwert ergibt sich wie folgt:
A ref = l ∗ b (3.18)
Dabei ist
l die Länge des betrachteten Bauwerkabschnitts;
b der Durchmesser.
Stefan Zeising - 28 - Einwirkungen Die statische Ersatzlast F w für die Gesamtwindkraft, die die tatsächliche
dynamische Belastung durch den Wind enthält, also die
Schwingungswirkung in Windrichtung, wird wie folgt ermittelt:
F w = G ∗ c f ∗ q m (z e ) ∗ A ref (3.19)
Dabei ist
G der Böenreaktionsfaktor;
c f der aerodynamische Kraftbeiwert;
q m (z e ) der mittlere Geschwindigkeitsdruck in Höhe z e über Gelände;
z e die effektive Höhe;
A ref die Bezugsfläche für den Kraftbeiwert.
Der mittlere Geschwindigkeitsdruck q m für die Bestimmung der
statischen Ersatzlast F w wird nach Gleichung (3.20) berechnet:
q m = 21 ∗ ρ ∗ v 2
m (3.20)
Dabei ist
ρ die Luftdichte, ρ = 1,25 3mkg ;
v m die mittlere Windgeschwindigkeit.
Die mittlere Windgeschwindigkeit v m ergibt sich nach DIN 1055-4 (03.05),
Tabelle B.3, aus der Verhältnisgleichung (3.21):
ref
m
vv = 0,86 ∗
25,0
10z
(3.21)
Dabei ist
v m die mittlere Windgeschwindigkeit für z = z e ;
v ref die mittlere Referenzgeschwindigkeit nach DIN 1055-4 (Anhang A,
Bild A.1).
Stefan Zeising - 29 - Einwirkungen Die effektive Höhe z e ist nach DIN 1055-4 (03.05), Bild C.1:
z e = 0,6 ∗ h z e ≥ z min (3.22)
Dabei ist
z min die Mindesthöhe nach DIN 1055-4 (03.05), Tabelle B.3; z min = 7 m.
Die Ermittlung des Böenreaktionsfaktors G ist nach DIN 1055-4 (03.05)
wesentlich aufwendiger als nach DIN 4131 (11.91):
G = 1 + 2 ∗ g ∗ I v (z e ) ∗ 2x
20 RQ + (3.23)
Dabei ist
g der Spitzenfaktor;
I v (z e ) die Turbulenzintensität in der effektiven Höhe;
Q 0 der quasi-statische Anteil (Böengrundanteil) der Böenreaktion;
R x der Resonanzanteil der Antwort infolge der Böenreaktion.
Der Spitzenfaktor g ist wie folgt definiert:
g = t) ln(v 2 E ∗∗ + )tln(v 2
0,6
E ∗∗ (3.24)
Dabei ist
v E der Erwartungswert der Frequenz der Böenreaktion nach
Gleichung (3.25);
t der Mittelungszeitraum (t = 600 s) für die Bezugsgeschwindigkeit
v ref .
v E = 2x
20
2x
2x1,
20
2E,0
R Q
R n Q v
+
∗+∗ (3.25)
Stefan Zeising - 30 - Einwirkungen Dabei ist
v 0,E der Erwartungswert der Frequenz der Böenreaktion des Tragwerks
bei Annahme quasi-statischen Tragverhaltens nach Gleichung
(3.26);
n x,1 die erste Eigenfrequenz der Bauwerksschwingung in Wind-
richtung.
v 0,E = ( )( )ei
em
zLzv ∗ 0,615S 11,1
1∗
(3.26)
Dabei ist
v m (z e ) die mittlere Windgeschwindigkeit für z = z e nach Gleichung (3.21);
L i (z e ) das Integrallängenmaß der Längskomponente der Turbulenz in
Richtung des mittleren Windes für z = z e ;
S der Faktor nach Gleichung (3.27).
S = 0,46 ∗ ( ) zLh b
ei+
+ 1,58 ∗ ( ) zL
h b
ei
∗ (3.27)
Dabei ist
h die Bauwerkshöhe.
Die Grundbiegeeigenfrequenz kann abgeschätzt werden nach:
n x,1 = h46 (3.28)
Das Integrallängenmaß der Turbulenz ist wie folgt definiert:
L i (z) = 300 ∗ ε
300
z für z min≤ z ≤ 300 m (3.29)
Dabei ist
ε der Exponent nach DIN 1055-4 (03.05), Tabelle C.1.
Stefan Zeising - 31 - Einwirkungen Für das Mischprofil Binnenland gilt:
ε = 10,0
z 30001
∗ (3.30)
Der quadrierte Böengrundanteil Q 20 wird mit nachstehender Gleichung
ermittelt:
Q 20 =
( )
63,0
ei zLh b9,01
1
+∗+
(3.31)
Der quadrierte Resonanz-Antwortanteil R 2x ist wie folgt definiert:
R 2x =
δ∗π
2
2
∗ R N ∗ R h ∗ R b (3.32)
Dabei ist
δ das logarithmische Dämpfungsdekrement für Schwingungen in
Windrichtung nach DIN 1055-4 (03.05), Anhang F;
R N die dimensionslose spektrale Dichtefunktion der Windge-
schwindigkeit an der Resonanzstelle n = n x,1 .
R ,h R b sind die aerodynamischen Übertragungsfunktionen.
R N = ( )
2v
x,1vx1, nS n
σ
∗ =
( ) 35
x1,
x1,
N 10,2 1
N 6,8
∗+
∗ (3.33)
Dabei ist
N x,1 = ( )
( )em
eix,1
zvzL n ∗
(3.34)
Die aerodynamischen Übertragungsfunktionen R h und R b werden für die
Grundschwingungsform mit gleichsinnigem Vorzeichen (gleichgerichtete
Verformung) angegeben. Sie werden ausgehend von R l wie folgt berechnet:
Stefan Zeising - 32 - Einwirkungen
R l = η1 - 2 2
1η∗
∗ ( )η-2e - 1 für η > 0
R l = 1 für η = 0 (3.35)
Es ist
R h = R l mit η = ( )ei
x1,
zLh N 6,4 ∗∗
(3.36)
R b = R l mit η = ( )ei
x1,
zLb N 6,4 ∗∗
(3.37)
Die so ermittelte statische Ersatzlast für die Gesamtwindkraft F w , welche
die tatsächliche dynamische Belastung durch den Wind enthält, wird über
die Wirklänge L j angesetzt.
3.2.1.3 Windbelastung quer zur Windrichtung
Wirbelerregte Schwingungen senkrecht zur Windrichtung treten insbe-
sondere bei Baukörpern mit kreisförmigem Querschnitt auf. Für die
Bemessung ist der Resonanzfall maßgebend, bei dem die Wirbelablöse-
frequenz mit der Eigenfrequenz übereinstimmt.
Im Anhang A der DIN 4131 (11.91) wird zur dynamischen Berechnung
folgende Gleichung für die Erregerkraft p lat angegeben:
p lat = c lat ∗ 2ρ ∗ v 2
crit ∗ d ∗ sin(2 π f t) (3.38)
Dabei ist
c lat der aerodynamische Erregerbeiwert;
ρ die Luftdichte;
v crit die kritische Windgeschwindigkeit;
d der Außendurchmesser des Kreiszylinders im Bereich der Wirbel-
erregung;
f die Eigenfrequenz des Bauwerks.
Stefan Zeising - 33 - Einwirkungen Die Luftdichte ist von der Temperatur und dem Luftdruck abhängig, sie
darf vereinfacht mit ρ = 1,25 kg/m 3 angenommen werden.
Der Außendurchmesser ist bei konischen Bauwerken mit einer
Mantelneigung ≤ 2,5 % in 5/6 der Bauwerkshöhe zu ermitteln.
Die kritische Windgeschwindigkeit v crit , bei der der Resonanzfall eintritt,
kann wie folgt ermittelt werden:
v crit = S
f d ∗ (3.39)
Die gleiche Berechnung, allerdings mit den Formelzeichen nach DIN
1055-4 (03.05), lautet:
v crit = Stn b yi,∗
(3.39a)
Dabei ist
d, b der Außendurchmesser des Kreiszylinders im Bereich der Wirbel-
erregung;
f, n y,i die Eigenfrequenz des Bauwerks;
S, St die Strouhalzahl.
Für jede Durchmesserabstufung ist eine eigene kritische Windge-
schwindigkeit zu berechnen. Dies ist nicht der Fall, wenn die Änderung
der Durchmesser benachbarter Schüsse kleiner als 20 % ist und die
Länge eines Schusses größer ist als der vierfache Durchmesser. Der
Außendurchmesser darf dann mit dem Durchmesser in 5/6 der
Bauwerkshöhe angenommen werden.
Die zu untersuchende Eigenfrequenz des Bauwerks ist abhängig von der
Schlankheit λ des Systems. Für Kragsysteme, deren Schlankheit die
Bedingung nach Gleichung (3.40) erfüllt, ist nur die erste Eigenfrequenz
zu prüfen.
Stefan Zeising - 34 - Einwirkungen
mdh ≤ 60 mit d m =
∑∑
∆
∆∗
i
ii
h
hd (3.40)
Dabei ist
h die Höhe des Bauwerks;
d m der mittlere Durchmesser des Bauwerks;
d i der Durchmesser im Abschnitt i;
h i die Höhe des Abschnitts i.
Die Strouhalzahl wird nach DIN 4131 (11.91) für Kreiszylinder mit S ≈ 0,2
angenommen, nach DIN 1055-4 (03.05) mit St = 0,18.
Für bestimmte kritische Windgeschwindigkeiten kann der Nachweis der
Querschwingung entfallen. Dies gilt für folgende Werte:
Windzone I, II v crit ≥ 30 m/s
Windzone III, IV v crit ≥ 40 m/s
Der Grundwert c 0,lat für den aerodynamischen Erregerbeiwert ist abhängig
von der Reynoldszahl Re und lässt sich aus dem Bild A.10 (DIN 4131
(11.91)) bzw. dem Bild D.2 (DIN 1055-4 (03.05)) ablesen. Für einen Werte-
bereich von 5 ∗ 10 6 ≤ Re ≤ 5 ∗ 10 7 ergibt sich c 0,lat = 0,7.
Die Reynoldszahl Re ist bei der kritischen Windgeschwindigkeit zu
berechnen:
Re (v crit ) = ν
∗ critv b (3.41)
Dabei ist
ν die kinematische Zähigkeit der Luft, ν = 1,5 ∗ 10 5− m 2 s 1− .
Der aerodynamische Erregerbeiwert c lat lässt sich mit Hilfe folgender
Beziehungen ermitteln:
Stefan Zeising - 35 - Einwirkungen
Lj,m
crit
vv ≤ 0,83 c lat = c 0,lat
0,83 ≤ Lj,m
crit
vv ≤ 1,25 c lat =
∗−
Lj,m
crit
vv
4,23 ∗ c 0,lat
1,25 ≤ Lj,m
crit
vv c lat = 0 (3.42)
Dabei ist
v Lj,m die mittlere Windgeschwindigkeit nach Gleichung (3.21), in der
Mitte der Wirklänge L j , die je Jahr mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,02 überschritten wird.
Der Nachweis der Querschwingung entfällt für v crit ≥ 1,25 v Lj,m , da hierbei
für c lat der Wert 0 resultiert.
Die Beanspruchungen infolge wirbelerregter Querschwingungen
resultieren aus den Massenträgheitskräften des in Resonanz erregten
Systems. Im Punkt j errechnen sich die Massenträgheitskräfte F i
senkrecht zur Windrichtung nach folgender Gleichung:
F i (s j ) = M j ∗ (2 π ∗ n y,i ) 2 ∗ Φ y,i (s j ) ∗ max y F (3.43)
Dabei ist
M j die schwingende Masse im Punkt s = s j ;
n y,i die Eigenfrequenz der i-ten Schwingungsform quer zur Wind-
richtung;
Φ y,i (s j ) die normierte Schwingungsform i quer zur Windrichtung als
Verhältnis der Schwingwegamplitude y im Punkt s = s j zur
größten Schwingwegamplitude max y F ;
max y F die größte Schwingwegamplitude;
Stefan Zeising - 36 - Einwirkungen s die Laufkoordinate über die Struktur; für sich vorwiegend
vertikal erstreckende Bauwerke gilt s ≡ z.
Die Schwingwegamplitude y und die größte Schwingwegamplitude max y F
dürfen näherungsweise als Auslenkung des Systems unter der Last der
Trägheitskräfte ermittelt werden.
Bei der kritischen Windgeschwindigkeit v crit tritt die maximale Schwing-
wegamplitude max y F auf:
b
ymax F = K W ∗ K ∗ c lat ∗ 2St1 ∗
Sc1 (3.44)
Dabei ist
b die maßgebende Breite des Querschnitts im Bereich der Wirbel-
erregung;
K W der Wirklängenfaktor;
K der Beiwert der Schwingungsform;
Sc die Scrutonzahl.
Die Scrutonzahl ist ein Massendämpfungsparameter und berechnet sich
wie folgt:
Sc = 2yi,
b
m 2
∗ρ
δ∗∗ (3.45)
Dabei ist
m y,i die äquivalente Masse je Längeneinheit;
δ das logarithmische Dämpfungsdekrement.
Für das logarithmische Dämpfungsdekrement eines geschweißten oder
mit GV-Verbindung geschraubten Rohres ergibt sich nach DIN ein Wert
von δ = 0,015.
Stefan Zeising - 37 - Einwirkungen Die reduzierte Masse je Längeneinheit m y,i wird mit folgender Gleichung
berechnet:
m y,i = ( )
( )∫
∫
Φ
Φ∗
L
0
2i
L
0
2i
ds s
ds s m = ∑∑
ϕ∗∆
ϕ∗
i
2ii
i
2ii
h
m (3.46)
Dabei ist
iΦ , iϕ die bezogene Schwingwegamplitude in der Mitte des Abschnitts i;
m i die schwingende Masse des Abschnitts i;
∆ h i die Länge des Abschnitts i.
Der Wirklängenfaktor K W wird über die Gleichung (3.47) ermittelt:
K W =
( )
( )∫
∑ ∫Φ
Φ=
ly,i
n
1j Ly,i
dss
dssj (3.47)
Dabei ist
n die Anzahl der Bereiche, in denen Wirbelablösung gleichzeitig
auftritt;
L j die Wirklänge;
y,iΦ die normierte Schwingungsform;
l die gesamte abgewickelte Stablänge; für kragarmartige Bauwerke
ist l gleich der Bauwerkshöhe.
Sofern bei Bauwerken nur die Grundschwingungsform (1. Eigen-
schwingung) berücksichtigt werden muss, kann der Wirklängenfaktor K W
näherungsweise wie folgt bestimmt werden:
K W = 3 ∗ λ
bL j ∗
λ
∗+λ
2jj bL
31
bL - 1 (3.48)
Stefan Zeising - 38 - Einwirkungen Dabei ist
λ die Schlankheit des Bauwerks; λ = l/b.
Die Wirklänge L j wird auf den Durchmesser bezogen und ist abhängig von
der größten in ihrem Bereich auftretenden Schwingwegamplitude max y F :
bL j = 6 für
by max F ≤ 0,1
bL j = 4,8 + 12 ∗
by max F für 0,1 <
by max F < 0,6
bL j = 12 für
by max F ≥ 0,6 (3.49)
Für einseitig eingespannte Kragsysteme mit n = 1 ist der Ort der anzu-
setzenden Wirklänge am oberen Ende des Systems.
Für die Berechnung des Beiwertes der Schwingungsform K gilt folgende
Gleichung:
K = ( )
( )∫
∫Φπ
Φ
l
2y,i
ly,i
dss4
dss (3.50)
Für einfache Strukturen, die in der Grundschwingungsform schwingen,
kann nach DIN der Beiwert mit K = 0,13 angenommen werden.
Die Berechnungen für die Wirklänge, den Wirklängenfaktor K W und die
maximale Auslenkung max y F müssen iterativ vorgenommen werden.
3.2.1.4 Vergleich DIN 4131 (11.91) – DIN 1055-4 (03.05)
Die Windbelastung quer zur Windrichtung wird bis auf die abgeänderten
Formelzeichen in der alten und neuen DIN identisch ermittelt.
Stefan Zeising - 39 - Einwirkungen Die wesentlichen Unterschiede in den Annahmen für die Windlasten nach
DIN 4131 (11.91) und DIN 1055-4 (03.05) liegen in der Berechnung des
Böenreaktionsfaktors Bϕ bzw. G und der Beachtung des Einflusses der
Geländerauigkeit und der Topografie der Umgebung nach DIN 1055-4
(03.05).
Der Böenreaktionsfaktor Bϕ nach DIN 4131 (11.91) erfasst lediglich die
Schwingungsdauer der Grundschwingung des Bauwerks. Diese berechnet
sich aus den ständigen Lasten des Systems und dessen Auslenkungen
infolge der horizontal wirkend angenommenen ständigen Lasten.
Die Frequenz und damit die Schwingungsdauer der Grundschwingung
nach DIN 1055-4 (03.05) wird nach einer einfachen Formel abgeschätzt,
die nur auf die Höhe des Bauwerks Bezug nimmt. Der Böenreaktions-
faktor erfasst jedoch diverse weitere Einflüsse, so unter anderem die
Turbulenzintensität, die mittlere Windgeschwindigkeit sowie den
Erwartungswert der Frequenz der Böenreaktion, daneben einige weitere
einheitenlose Faktoren wie den Böengrundanteil und den Resonanz-
Antwortanteil. Die Berechnung wird damit erheblich aufwendiger; für eine
weitere Anwendung lässt sich dieser Rechenweg mit Hilfe des Programms
Excel von Microsoft vereinfachen.
Im Gegensatz zur DIN 4131 (11.91) wird die um den Böenreaktionsfaktor
erhöhte Windkraft nicht am gesamten Mast als Faktor angesetzt, sondern
nur als Ersatzlast über eine bestimmte Wirklänge, ähnlich der Vorgehens-
weise zur Windbelastung quer zur Windrichtung (Querschwingung).
Durch die Erfassung der Bodenrauigkeit nach DIN 1055-4 (03.05) wird ein
zusätzlicher Faktor berücksichtigt. Desweiteren darf der Staudruck nicht
mehr linear über die Höhe wachsend angenommen werden, sondern wird
für jeden Abschnitt einzeln berechnet. Auch hier kann das Programm
Microsoft Excel zur Anwendung kommen. In der Summe der einzelnen
Faktoren Staudruck, aerodynamischer Kraftbeiwert und Querschnitts-
fläche ergibt sich eine über die Höhe verhältnismäßig ungleichförmige
Stefan Zeising - 40 - Einwirkungen Belastung im Vergleich zur trapezförmigen Last nach DIN 4131 (11.91),
welche konstant mit der Höhe abnimmt.
Trotz der unterschiedlichen Ansätze zur Berechnung der Windlasten
ergeben sich im Ergebnis für die DIN 4131 (11.91) und die DIN 1055-4
(03.05) fast identische Lasten und damit annähernd gleiche Werte für die
Auslastung des Mastes. So ist zwar die Windlast nach der neuen DIN
1055-4 (03.05) insgesamt um etwa ein Fünftel geringer, sie wird jedoch im
Vergleich deutlich höher am Mast angesetzt und hat somit einen
verhältnismäßig größeren Einfluss auf das Bauwerk. Im Ergebnis sind
beide Windlastansätze nahezu identisch.
3.2.2 Verkehrslast
Zur Wartung der Antennen und Anlagen ist eine begehbare Kopfbühne
und ein Wartungspodest am Mast vorhanden.
Für die Bemessung von Bühnen und Podesten ist eine gleichmäßig
verteilte Verkehrslast von 2 kN/m 2 anzunehmen, welche die Schnee- und
Eislast einschließt. Alternativ kann an ungünstiger Stelle eine Einzellast
von 3 kN angesetzt werden, wenn diese ungünstiger wirkt als die
vorgenannte Flächenlast. Für den Nachweis eines Tragwerks mit mehr als
zwei Anbauteilen (Bühnen, Podeste) braucht jedes Außenpodest nur mit
1 kN/m 2 belastet zu werden.
Zur Bemessung eines Geländers wird eine Linienlast von 0,5 kN/m 2
angenommen, die horizontal nach außen oder innen wirkend am
Geländerholm angreift.
Die Tragfähigkeit von Leitern ist durch die Annahme einer Vertikallast an
ungünstiger Stelle von 1,5 kN nachzuweisen.
3.2.3 Eislast
Die Eislast wird nach DIN 1055-5 (07.05) bestimmt. Ähnlich wie in der
DIN 1055-4 (03.05) ist Deutschland hierfür in verschiedene Zonen
Stefan Zeising - 41 - Einwirkungen eingeteilt, in denen unterschiedlich große Eisansätze zu bemessen sind;
die Norddeutsche Tiefebene gehört zur Zone 2.
Für die Art der Vereisung sind zwei Klassen definiert. Die Vereisungs-
klasse G geht von einer allseitigen Ummantelung mit Klareis (gefrierende
Nebellagen) oder Glatteis (gefrierender Regen) aus, die durch die Dicke t
der Eisschicht charakterisiert ist. Die Vereisungsklasse G1 hat einen
allseitigen Eisansatz von t = 1 cm und G2 entsprechend t = 2 cm.
In der Vereisungsklasse R führt die vorherrschende Windrichtung
während der Vereisung des Bauwerks zum Aufbau einer einseitigen, gegen
den Wind anwachsenden, kompakten Raueisfahne. Diese ist durch das
Gewicht des an einem dünnen Stab angelagerten Eises definiert. Für
Stäbe mit einem Querschnitt größer als 300 mm wird zur Berechnung ein
Querschnitt von 300 mm angenommen. In der Vereisungsklasse R1 wird
mit einem Eisgewicht von 0,005 kN/m gerechnet, in der Klasse R2 mit
einem Gewicht von 0,009 kN/m.
Gemäß DIN 1055-4 (03.05) kann in der Lastkombination der Wind bei
Vereisung auf 75% abgemindert werden. Die Eislast ist bei einem Mast
jedoch nicht ausreichend, um diese Abminderung aufzuwiegen. Daher ist
die Eislast im Allgemeinen für Antennenträger nicht relevant.
3.2.4 Wärmeeinwirkung
Als gleichmäßige Temperaturänderung sind Schwankungen von ± 35 K
gegenüber einer Aufstelltemperatur von +10°C anzunehmen.
Sofern seitens des Auftraggebers keine anderen Angaben gemacht werden,
kann ein linear veränderlicher Temperaturunterschied von 15 K über den
Tragwerksquerschnitt angenommen werden. Es ist dann ein Staudruck
von q = 0,3 kN/m 2 als gleichmäßig verteilte, statische Last anzusetzen.
Stefan Zeising - 42 - Einwirkungen 3.2.5 Lasten aus Bauzuständen
Lasten aus Bauzuständen, zum Beispiel aus Montageabspannungen oder
Hebezeugen sind im Allgemeinen zu berücksichtigen, für den vorliegenden
Fall jedoch nicht von Bedeutung.
3.3 Außergewöhliche Einwirkungen
Als außergewöhnliche Einwirkungen gelten Ersatzlasten für Erdbeben
oder Absturzlasten.
Die Ersatzlasten für Erdbebeneinwirkungen werden nach DIN 4149
bestimmt. Bedingt durch den Aufbau der Erdkruste aus kontinentalen
Platten treten auf der Erdoberfläche an verschiedenen Orten unterschied-
liche Erdbebenzonen auf. Charakteristische Größe für eine Erdbebenzone
ist der Regelwert a 0 , welcher der zu erwartenden Beschleunigung
entspricht. Weiterhin ist die Bauwerksklasse für die Ermittlung der
Erdbebenersatzlast von Bedeutung.
Aufgrund der langgestreckten und schmalen Struktur des zu
bemessenden Antennenträgers ist dieser Lastfall nicht relevant, da die
Schwingungseinwirkung durch Wind deutlich größer ist als die zu
erwartende Schwingung durch Erdbeben.
Für Antennenträger muss grundsätzlich eine Absturzlast berücksichtigt
werden. Es ist eine Vertikallast von V = 7,5 kN an den Steigleitern der
Tragkonstruktion anzusetzen, die für die Montage und Wartung vor-
gesehen sind. Da die Konstruktion aber vorrangig auf Biegung
beansprucht wird, kann die Absturzlast im Allgemeinen problemlos
aufgenommen werden und ein gesonderter Nachweis somit entfallen. In
den Planungshandbüchern der Mobilfunkbetreiber können besondere
Festlegungen getroffen werden, was die Größe und Neigung sowie den Ort
dieser außergewöhnlichen Einwirkung betrifft.
Stefan Zeising - 43 - Nachweise
4. Nachweise für Antennenträger
Für den zu bemessenden Rohrmast sind Nachweise für folgende Punkte
von Bedeutung:
- Tragsicherheit
- Betriebsfestigkeit
- Gebrauchstauglichkeit
Der Nachweis des Biegeknickens nach DIN 18800-2 (11.90) ist für den
vorliegenden Fall nicht relevant.
4.1 Tragsicherheit
4.1.1 Schnittgrößenermittlung
Der Nachweis der Tragsicherheit ist nach DIN 4131 (11.91) und DIN
18800-1 (11.90) zu führen. Aus den in Kapitel 3 ermittelten Belastungen
sind die Schnittgrößen zu bestimmen. Nach DIN 18800-1 (11.90) ergeben
sich folgende Einwirkungskombinationen:
- Grundkombination
- außergewöhnliche Kombination
Es wird von der nachfolgend beschriebenen Grundkombination
ausgegangen: Die ständige Einwirkung des Eigengewichts wird mit dem
Teilsicherheitsbeiwert Fγ = 1,35 vervielfacht, die veränderlichen Ein-
wirkungen mit Fγ = 1,5. Veränderliche Einwrkungen sind nach Kapitel 3,
soweit vorhanden, Wind-, Verkehrs- und Eislasten, Lasten aus
Wärmeeinwirkung und Bauzuständen.
In die außergewöhnliche Lastkombination können alle Belastungen
einschließlich der außergewöhnlichen Einwirkungen wie Absturzlasten
Stefan Zeising - 44 - Nachweise und Lasten aus Erdbeben mit dem Faktor Fγ = 1,0 eingehen. Im
vorliegenden Fall ist diese Kombination nicht relevant, da keine
wesentlichen, außergewöhnlichen Einwirkungen vorliegen.
Die Schnittgrößen werden im Allgemeinen nach der Elastizitätstheorie
II. Ordnung berechnet, also am verformten Tragwerk.
Da der Nachweis der Tragsicherheit nach dem Verfahren Elastisch-
Plastisch für Antennentragwerke nicht zulässig ist, dürfen die
Grenzschnittgrößen bei Antennentragwerken mit Rohrquerschnitten um
10 % erhöht werden. So wird für die Tragfähigkeit die Ausnutzung der
Plastifizierung berücksichtigt. Der Nachweis der Tragsicherheit wird
immer nach dem Verfahren Elastisch-Elastisch nach DIN 18800-1 (11.90)
geführt. Bei diesem Verfahren ist nachzuweisen, dass sich das System in
einem stabilen Gleichgewichtszustand befindet und die Beanspruchungen
den Bemessungswert der Streckgrenze in keinem Querschnitt über-
schreiten. Desweiteren sind die Grenzwerte für das Verhältnis von
Durchmesser d zu Materialstärke t (grenz d/t nach DIN 18800-1 (11.90),
Tabelle 14) zu belegen und eine ausreichende Beulsicherheit nach DIN
18800-3 bzw. DIN 18800-4 zu gewährleisten.
Der Nachweis der Tragsicherheit wird von dem Programm STAHL, einem
Teilprogramm von RSTAB, geführt. Die dafür verwendeten theoretischen
Grundlagen werden in den folgenden Kapiteln vorgestellt.
4.1.2 Spannungsnachweise
Die Nachweisführung umfasst folgende Punkte:
- Nachweis der Normalspannung
- Nachweis der Schubspannung
- Vergleichsspannungsnachweis
Stefan Zeising - 45 - Nachweise 4.1.2.1 Normalspannung
Die Berechnung der Normalspannung erfolgt auf Grundlage des Lineari-
tätsgesetzes. Es ergibt sich für die Normalspannung σ eines dünn-
wandigen Kreisquerschnitts folgende Formel:
σ = y I
Mz
IM
AN zy ∗−∗+ (4.01)
Dabei ist
N die Normalkraft;
A die Querschnittsfläche;
I das Flächenmoment 2. Ordnung.
M y , M z sind die Biegemomente um die y- bzw. die z-Achse.
Dabei hat ein Kreisquerschnitt folgende Fläche A:
A = ( )22 dD 4
−∗π (4.02)
und das Flächenmoment I:
I = ( )44 dD 64
−∗π (4.03)
Dabei ist
D der Außendurchmesser;
d der Innendurchmesser.
Die Grenznormalspannung d,Rσ , die zum Führen des Normalspannungs-
nachweises notwendig ist, berechnet sich nach der Gleichung:
d,Rσ = f d,y = M
k,yfγ
(4.04)
Dabei ist
f d,y der Bemessungswert für die Streckgrenze;
f k,y die Streckgrenze;
Stefan Zeising - 46 - Nachweise
Mγ der Teilsicherheitsbeiwert; nach DIN 18800-1 ist Mγ = 1,1.
Der Nachweis der Normalspannung ist mit folgender Bedingung zu
führen:
d,Rσ
σ ≤ 1 (4.05)
4.1.2.2 Schubspannung
Bei einem dünnwandigen Querschnitt wirken die Schubspannungen in
Umfangrichtung, da aufgrund der geringen Plattensteifigkeit radial keine
Spannungen übertragen werden können. Zur Berechnung der Schub-
spannung τ eines Kreisquerschnitts gilt folgende Gleichung:
τ = rz
AV
- ry
AV
WM
v
y
v
z
T
x ∗∗+ (4.06)
Dabei ist
W T das elastische Widerstandsmoment nach Gleichung (4.07);
A v die Querschnittsfläche nach Gleichung (4.08);
r der Radius des Kreisringquerschnitts.
V y , V z sind die Querkräfte in y- bzw. in z-Richtung.
W T = 2 ∗ A ∗ t = 2 ∗ t ∗ π ∗ r 2 (4.07)
Dabei ist
t die Wanddicke.
A v = t ∗ π ∗ r (4.08)
Aus Symmetriegründen ist die Schubspannung in der z-Achse gleich Null
und in der y-Achse maximal.
Stefan Zeising - 47 - Nachweise Die für den Nachweis der Schubspannung d,Rτ benötigte Grenzschub-
spannung wird nach Gleichung (4.09) berechnet:
d,Rτ = 3
f d,y (4.09)
Der Nachweis der Schubspannung ist mit folgender Bedingung zu führen:
d,Rττ ≤ 1 (4.10)
4.1.2.3 Vergleichsspannung
In den Festigkeitsnachweisen treten kombinierte Spannungszustände auf.
Im Stahlbau kommen zwar im Allgemeinen nur dünnwandige Profile zum
Einsatz, wodurch meist ein ebener Spannungszustand vorliegt; allerdings
tritt bei Beanspruchung quer zur Blechdicke ein räumlicher Spannungs-
zustand auf. Deshalb ist es nötig, einen Vergleichsspannungsnachweis zu
führen. Die Formel zur Berechnung der Vergleichsspannung v,wσ für
Kreisquerschnitte lautet wie folgt:
v,wσ = 23 τ+σ (4.11)
Der Nachweis der Vergleichsspannung ist mit der nachfolgenden
Bedingung zu führen:
d,R
v
σσ ≤ 1 (4.12)
In Ausnahmefällen darf die Vergleichsspannung die Grenzspannung um
10 % übersteigen. Dafür müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
z IM
AN
y
y ∗+ ≤ 0,8 d,Rσ (4.13)
y IM
AN
z
z ∗+ ≤ 0,8 d,Rσ (4.14)
Stefan Zeising - 48 - Nachweise 4.2 Betriebsfestigkeit
Für den Nachweis der Betriebsfestigkeit ist die Anzahl der Spannungs-
wechsel, die durch die wirbelerregte Querschwingung hervorgerufen
werden, für die jeweils kritische Windgeschwindigkeit zu ermitteln. Die
Anzahl der Spannungswechsel N ist proportional zur Lebensdauer des
Bauwerks. Nach DIN 4131 (11.91) wird generell von einer Lebensdauer
von 50 Jahren ausgegangen; es gilt folgende Gleichung:
N = 10 9 ∗ f ∗ 2
0
crit
vv
∗
2
0
crit
vv
e
−
(4.15)
Dabei ist
f die Eigenfrequenz des Bauwerks;
v crit die kritische Windgeschwindigkeit;
v 0 der Bezugswert der Windgeschwindigkeit; vereinfachend gilt für
die Windzone II v 0 = 5 m/s.
Für die Berechnung der Spannungsschwingspiele nach DIN 1055-4
(03.05) kann eine spezielle Lebensdauer eingesetzt werden. Dazu wird
folgende Gleichung verwendet:
N = 6,3 ∗ 10 7 ∗ T ∗ n y,i ∗ 0ε ∗ 2
0
i,crit
vv
∗
2
0
i,crit
vv
e
−
(4.16)
Dabei ist
T die Entwurfslebensdauer in Jahren;
n y,i die Eigenfrequenz des Bauwerks;
0ε der Bandbreitenfaktor der Wirbelresonanz; er kann nach DIN zu
0ε = 0,3 angesetzt werden;
v crit die kritische Windgeschwindigkeit der i-ten Querschwingungsform;
v 0 siehe Gleichung (4.17).
Stefan Zeising - 49 - Nachweise Der Wert v 0 kann näherungsweise berechnet werden mit:
v 0 = 5
v Lj,m (4.17)
Dabei ist
v Lj,m die mittlere Windgeschwindigkeit nach DIN 1055-4 (03.05), Tabelle
B.3, am Ort der Mitte der Wirklänge.
Für den Nachweis der Betriebsfestigkeit wird auf DIN 4132 (02.81) und
DIN 4133 (11.91) verwiesen. Die Bedingung des Nachweises lautet:
Rσ∆σ∆ ≤ 1 (4.18)
Dabei ist
σ∆ die einwirkende Spannungsschwingbreite;
Rσ∆ die Betriebsfestigkeit.
Nach DIN 4133 (11.91) gelten folgende Gleichungen zur Berechnung der
Spannungsschwingbreite σ∆ :
σ∆ = min σ + max σ (4.19)
min σ/max σ = AN ±
WM (4.20)
Dabei ist
N die Normalkraft;
A die Querschnittsfläche;
M das Biegemoment;
W das elastische Widerstandsmoment.
Für N ≤ 5 ∗ 10 5 gilt:
Rσ∆ = Aσ∆ ∗ m1
A
NN
(4.21)
Stefan Zeising - 50 - Nachweise Dabei ist
Aσ∆ die Bezugsgröße der Betriebsfestigkeit entsprechend der Kerbfall-
klasse;
N A die Anzahl der Spannungswechsel für die Bezugsgröße der
Betriebsfestigkeit Aσ∆ ; nach DIN wird N A = 2 ∗ 10 6 angesetzt;
N Anzahl der Spannungsschwingspiele;
m der Neigungsfaktor der σ∆ -N-Linie: m = 3.
Für N > 5 ∗ 10 5 gilt:
Rσ∆ = Aσ∆ (4.22)
Die Bezugsgröße der Betriebsfestigkeit Aσ∆ wird anhand von
Konstruktionsdetails nach dem Kerbfallkatalog in der DIN 4132 (02.81)
bestimmt. Für das vorliegende System ist der Kerbfall K2 von Bedeutung.
Weitere Kerbfälle können auftreten, diese liegen aber nicht im Bereich der
maximalen Beanspruchung durch Schwingungen und können ver-
nachlässigt werden.
Die Einhaltung der Kriterien für die Betriebsfestigkeit ist im Allgemeinen
für Antennenträger unproblematisch.
4.3 Gebrauchstauglichkeit
Für die Bemessung von Antennenträgern ist meist die Gebrauchstauglich-
keit das maßgebende Kriterium, da die Mobilfunkanbieter hier sehr hohe
Anforderungen stellen. Zur Aufrechterhaltung des Funkbetriebes gelten
vor allem für Richtfunkantennen sehr enge Begrenzungen für die
Verdrehungen. Dies ist jedoch auch stark vom jeweiligen Standort
abhängig. So können unterschiedliche Vorgaben von Bedeutung sein.
Prinzipiell gilt: Je näher die von den Richtfunkantennen zu erreichende
Gegenstelle liegt, um so größer sind die zulässigen Verdrehungen. Genaue
Stefan Zeising - 51 - Nachweise Werte lassen sich aber oft nur in Abstimmung mit dem Richtfunkplaner
des jeweiligen Anbieters finden.
In den Planungshandbüchern der Mobilfunkbetreiber /7, 8/ sind folgende
Werte für die maximalen Verdrehungen angegeben:
Tabelle 4.01: Zulässige Verdrehungen für Antennenträger, allgemeingültig
zulässige Verdrehungen der Antennenträger für Anbieter
Sektorantennen Richtfunkantennen
E-Plus ± 2,0° alle Durchmesser
± 1,0°
Vodafone D2 ± 2,0° Ø ≤ 0,3 m: ± 1,25°
Ø = 0,6 m: ± 0,80°
Ø > 0,6 m: ± 0,50°
Folgende Werte für die maximalen Verdrehungen wurden von den
Richtfunkplanern von E-Plus und Vodafone D2 für den Standort
Wiedemar vorgegeben:
Tabelle 4.02: Zulässige Verdrehungen für Antennenträger, Standort Wiedemar
zulässige Verdrehungen der Antennenträger für Anbieter
Sektorantennen Richtfunkantennen
E-Plus ± 1,2° Ø 0,6 m: ± 0,8°
Ø 1,2 m: ± 1,0°
Vodafone D2 ± 1,2° Ø 0,6 m: ± 0,43°
Zur Berechnung der maximalen Verdrehungen wird der Lastfall Wind
1,0-fach herangezogen.
Durch die unterschiedlichen Windlastansätze nach DIN 4131 (11.91) und
DIN 1055-4 (03.05) ergeben sich nach der ab dem 01.01.2007 gültigen
Norm für den Antennenträger am Standort Wiedemar größere Ver-
Stefan Zeising - 52 - Nachweise drehungen. Dadurch wird die Einhaltung der in Tabelle 4.02 genannten
Werte für die maximal zulässigen Verdrehungen erschwert.
Weitere Lasterhöhungen können damit nicht mehr abgefangen werden;
das bedeutet, dass für zusätzliche Nachrüstungen nach den bereits ge-
planten die Einhaltung der Gebrauchstauglichkeit nicht mehr gewähr-
leistet ist.
Stefan Zeising - 53 - Berechnung Flansch
5. Berechnung Flansch +10,08 m
Der 50 Meter-Rohrmast am Standort Wiedemar ist für die Einhaltung
einer maximalen Länge für den Transport in insgesamt vier Schüsse
unterteilt. Die einzelnen Schüsse werden bei der Montage über
außenliegende Ringflansche mit vorgespannten, hochfesten Schrauben
verbunden. Die Ringflansche werden in der Werkstatt an den Mantel
angeschweißt, dadurch erhält das Rohr bereits hier die gewünschte Form-
stabilität für den Transport und die Montage.
Für den Nachweis der Schrauben und des Flansches an sich gibt es in der
Literatur verschiedene Modelle. Exemplarisch soll hier die Vorgehensweise
nach Petersen /1/ und eine Berechnung mit Hilfe der Finiten Elemente
Methode (FEM) vorgestellt werden.
Als Beispiel wurde der Flansch +10,08 m gewählt, da dieser die größte
Auslastung vermuten lässt.
Abbildung 5.01: Flansch +10,08 m
Stefan Zeising - 54 - Berechnung Flansch 5.1 Berechnung nach Petersen
In diesem Kapitel soll die elasto-statische Theorie des L-Modells nach
Petersen (siehe Abbildung 5.02) vorgestellt und angewendet werden.
Abbildung 5.02: L-Modell nach Petersen
Die Ringflasche der Dicke t sind mit dem Rohr der Dicke s über Kehlnähte
verschweißt. Die beiden Flansche werden über vorgespannte Schrauben
verbunden. Dadurch ensteht ein Druckkörper, der in der Abbildung 5.02
angedeutet ist. Die Spannung im Rohr wird durch die Kraft Z dargestellt.
5.1.1 Theoretische Grundlagen
Die Belastung der Schrauben des Flansches resultiert aus der Spannung,
die im Rohr anliegt. Dabei ist die Zugkraft F in der Schraube zu ermitteln,
die nicht größer sein darf als die maximal zulässige Grenzzugkraft N d,R .
Im Ausgangszustand ist die Schraube mit der Vorspannkraft F V
vorgespannt. Abbildung 5.03 zeigt die modellmäßige Idealisierung des
Flansches.
Stefan Zeising - 55 - Berechnung Flansch
Abbildung 5.03: Flansch-Idealisierung nach Petersen
Die Anbindung des Stirnblechs (Flansch mit der Dicke t) an das Zugblech
(Rohrmantel mit der Dicke s) wird durch eine Drehfeder mit der
Federkonstante K und die Klemmwirkung der Schraube durch eine
Verschiebungsfeder mit der Federkonstante C ersetzt. Letztere setzt sich
in Form einer Parallelschaltung aus der Feder der Schraube (C S ) und der
Feder des unter Druck stehenden Klemmkörpers (C D ) zusammen:
C = C S + C D (5.01)
Es wird unterstellt, dass sich die Bleche gegenseitig am Rand abstützen;
hierbei tritt die Randkraft R auf.
Die Kraft F in der Feder bewirkt eine Erhöhung der Schraubenkraft F VS
gegenüber der Vorspannkraft F V und eine Reduzierung der Klemmkraft
F VD in der Kontaktfuge:
F VS' = F V + pF (5.02)
F VD' = F V - qF (5.03)
Dabei berechnen sich die Verteilungszahlen p und q wie folgt:
p = CCS (5.04)
Stefan Zeising - 56 - Berechnung Flansch
q = C
CD (5.05)
5.1.2 Praktische Berechnung
Folgende Werte werden für die Berechnung verwendet:
Abbildung 5.04: Flansch mit Parametern
Schrauben: M24 10.9 1,0 F V
s = 8 mm Dicke des Rohres
r i = 865 mm mittlerer Radius des Rohres (Mantelmittellinie)
r K = 911 mm Radius des Schraubenkranzes
d L = 26 mm Lochdurchmesser
A S = 452 mm 2 Querschnitt Schraube
F V = 220 kN Vorspannkraft nach DIN 18800-7
Stefan Zeising - 57 - Berechnung Flansch n = 72 Anzahl der Schrauben
t = 40 mm Dicke des Flansches
a = 35 mm Abstand Außenkante Flansch – Schraubenmitte
b = 46 mm Abstand Schraubenmitte – Mantelmittellinie
E = 21.000 kN/cm 2 Elastizitätsmodul Stahl
dσ = 9,41 kN/cm 2 maximale Zugspannung im Rohr
Der Abstand der Schrauben im Flansch berechnet sich nach folgender
Gleichung:
c = n
r 2 K∗π (5.06)
c = 72
mm 119 2 ∗π
c = 79,5 mm
Die in der Mantelmittellinie gedachte Kraft pro Schraube Z S ergibt sich
nach Gleichung (5.07) aus der Umrechnung der maximalen Zugspannung
im Rohr auf einen Sektor des Flansches:
Z S = dσ ∗ c ∗ s (5.07)
Z S = 9,41 2cmkN ∗ 7,95 cm ∗ 0,8 cm
Z S = 59,85 kN
Durch die Umrechnung auf den Schraubenkranz ergibt sich die Kraft Z
pro Schraube:
Z = Z S ∗ K
i
rr (5.08)
Z = 59,85 kN ∗ mm 911mm 865
Stefan Zeising - 58 - Berechnung Flansch Z = 56,83 kN
Für den Flansch erhält man das Produkt aus Elastizitätsmodul E und
Flächenmoment 2. Grades I durch nachstehende Formel:
EI = E ∗ 12
b h 3∗ = E ∗ 12
t c 3∗ (5.09)
EI = 21.000 2cmkN ∗
12cm) (4,0 cm 95,7 3∗
EI = 8,90 ∗ 10 5 kNcm 2
Die Drehfederkonstante K berechnet sich über folgende Gleichung:
K = s r 50,8
s c E
i
3
∗∗
∗∗ (5.10)
K = cm 0,8 cm 86,5 50,8
cm) (0,8 cm 7,95 cmkN 1.0002 3
2
∗∗
∗∗
K = 1209 kNcm
Als Druckfeder wird der Flansch mit Unterlegscheiben (Ø 44) angesehen:
D = 44 mm Außendurchmesser Scheibe
d = 25 mm Innendurchmesser Scheibe
s S = 4 mm Dicke Scheibe
l = 80 mm Klemmlänge ohne Scheiben; l = 2 ∗ t
l S = 88 mm Klemmlänge mit Scheiben; l S = 2 ∗ (t + s S )
EA 1D = E ∗ 4π
−
+ 2
2
d10lD (5.11)
EA 1D = 21.000 2cmkN ∗
4π ( )
−
+ 2
2
cm 2,5 10
cm 0,8cm 4,4
EA 1D = 3,43 ∗ 10 5 kN
Stefan Zeising - 59 - Berechnung Flansch
EA 2D = E ∗ 4π ( )22 dD − (5.12)
EA 2D = 21.000 2cmkN ∗
4π ( ) ( )[ ]22 cm 2,5 cm 4,4 −
EA 2D = 2,16 ∗ 10 5 kN
Mit EA 1D und EA 2D ergeben sich die Teilfederkonstanten C 1D und C 2D wie
folgt:
C 1D = l
EA 1D (5.13)
C 1D = cm 0,8
kN 10 43,3 5∗
C 1D = 4,29 ∗ 10 4 cmkN
C 2D = S
2D
sEA (5.14)
C 2D = cm 4,0
kN 10 ,162 5∗
C 1D = 5,40 ∗ 10 5 cmkN
Damit ist die Gesamtfederkonstante C D für die Druckfeder:
C D =
2D1D C12
C1
1
∗+ (5.15)
C D =
cmkN 10 40,5
2
cmkN 10 29,4
11
54 ∗+
∗
C D = 3,70 ∗ 10 4 cmkN
Stefan Zeising - 60 - Berechnung Flansch Die Federkonstante C S für die Zugfeder (Schraube) berechnet sich nach:
C S = S
S
lEA (5.16)
C S = cm 8,8
cm 4,52 cmkN 000.21 2
2 ∗
C S = 1,08 ∗ 10 4 cmkN
Die Federkonstante C ermittelt sich nach Gleichung (5.01) aus der
Summe der beiden Einzel-Federkonstanten für die Druck- und die Zug-
feder:
C = C S + C D
C = 1,08 ∗ 10 4 cmkN + 3,70 ∗ 10 4
cmkN
C = 4,78 ∗ 10 4 cmkN
Die Verteilungszahlen p und q berechnen sich nach den Gleichungen
(5.04) und (5.05):
p = CCS
p =
cmkN 10 ,784
cmkN 10 08,1
4
4
∗
∗
p = 0,226
q = C
CD
Stefan Zeising - 61 - Berechnung Flansch
q =
cmkN 10 ,784
cmkN 10 ,703
4
4
∗
∗
q = 0,774
Für die Berechnung der Kraft F sind die einheitenlosen Parameter α , β ,
γ , δ und ε zu bestimmen:
γ = ba (5.17)
γ = mm 46mm 35
γ = 0,761
δ = EI
ab C 2 2∗∗ (5.18)
δ = ( )
25
2 4
Ncmk 10 8,90
cm 6,4 cm 3,5 cmkN10 ,784 2
∗
∗∗∗∗
δ = 7,96
ε = EI
b K ∗ (5.19)
ε = 25 kNcm 10 8,90cm 4,6 kNcm 1209
∗∗
ε = 6,25 ∗ 10 3−
β = EI
b Z 2∗ = EIb2
∗ Z (5.20)
β = ( )25
2
kNcm 10 8,90cm 4,6
∗ ∗ Z
Stefan Zeising - 62 - Berechnung Flansch β = 2,38 ∗ 10 5− kN 1− ∗ Z
α = β∗δ∗γ∗
γ
+ε
++
δ∗
γ∗
γ
+ε
++ε
+
3
1 1 1
3
1 1 1 21
(5.21)
mit 1 + ε1 +
3γ = 1 + 3-10 25,6
1∗
+ 3761,0 = 161,3
α = Z kN 10 2,38 7,96 ,7610 3,161 1
,967 ,7610 3,161 10 ,256
1 21
1-5--3
∗∗∗∗∗+
∗
∗+
∗+
α = 5,49 ∗ 10 5− kN 1− ∗ Z
Damit ist die Kraft F in der Schraube:
F = α ∗ 2bEI (5.22)
F = 5,49 ∗ 10 5− kN 1− ∗ Z ∗ ( )2
25
cm 6,4kNcm 10 90,8 ∗
F = 2,309 ∗ Z
Über das Hebelgesetz nach den Abbildung 5.03 und 5.04 ergibt sich für F
in einer einfachen Abschätzung:
Z ∗ (a + b) - F ∗ a = 0 (5.23)
F = a
b a + ∗ Z
F = mm 35
mm 46 mm 53 + ∗ Z
F = 2,314 ∗ Z
Stefan Zeising - 63 - Berechnung Flansch Der Unterschied des abgeschätzten Wertes gegenüber dem die Biege-
steifigkeit des Mantels erfassenden Wert ist sehr gering. Mit dem ver-
einfachten Ansatz über das Hebelgesetz nach Gleichung (5.23) ergibt sich
eine nur minimal größere Belastung für die Schrauben; dieser Ansatz ist
somit gut geeignet, die Berechnung zu verkürzen.
Für Z = 56,83 kN werden die Kräfte in der Zugfeder (Schraube) und
Druckfeder (Flansch) berechnet:
für Z = 0: F VS = F VD = F V = 220 kN
für Z = 56,83 kN: F = 2,31 ∗ Z
F = 2,31 ∗ 56,83 kN
F = 131,3 kN
Im Vergleich zu der Grenzzugkraft von N d,R = 256,7 kN ergibt sich der
Nachweis für die Beanspruchbarkeit der Schraubenverbindung auf Zug
nach Gleichung (5.24):
d,RN
F ≤ 1 (5.24)
d,RN
F = kN 256,7kN 3,131 = 0,51 < 1
Damit ist der Nachweis für die verwendeten Schrauben erbracht.
Nach Gleichung (5.02) ergibt sich für die erhöhte Schraubenkraft F VS' :
F VS' = F V + pF
F VS' = 220 kN + 0,226 ∗ 131,3 kN
F VS' = 249,7 kN
Wenn die reduzierte Klemmkraft F VD' nach Gleichung (5.04) größer als 0
ist, so kann eine klaffende Fuge ausgeschlossen werden:
Stefan Zeising - 64 - Berechnung Flansch F VD' = F V - qF
F VD' = 220 kN - 0,774 ∗ 131,3 kN
F VD' = 118,4 kN > 0
Die kritische Zugkraft F krit in der Schraube, unter der die Verbindung
klafft, ergibt sich mit dem folgenden Ansatz:
F VD' = 0
Nach Gleichung (5.03) folgt:
F V - qF = 0
Damit ist
F krit = qFV
F krit = 0,774
kN 220
F krit = 284,2 kN
Die kritische Zugkraft im Rohr Z krit berechnet sich aus dem Verhältnis
von F zu Z nach Gleichung (5.22):
Z krit = 309,2
Fkrit
Z krit = 2,309
kN 2,284
Z krit = 123,1 kN
Gegenüber dieser Kraft wird (im Gebrauchszustand) eine Sicherheit von
123,1 kN / 58,63 kN = 2,10 eingehalten.
Stefan Zeising - 65 - Berechnung Flansch Für den Nachweis des Flansches wird die maximale Spannung dσ im
Flansch als Quotient aus dem Biegemoment M F und dem Widerstands-
moment W F berechnet:
M F = ( ) γ∗βα - bEI (5.25)
M F = ( )-3-325
10 1,35 - 10 3,12cm 6,4
kNcm 10 ,908∗∗
∗ ∗ 0,761
M F = 260,6 kNcm
W F = 6h b 2∗ = ( )
6t d - c 2
L ∗ (5.26)
W F = ( ) ( )6
cm 4 cm 2,6 - cm 95,7 2∗
W F = 14,27 cm 3
dσ = F
F
WM (5.27)
dσ = 3cm27,14kNcm 6,260
dσ = 18,26 2cmkN
Mit einer für Stahl zulässigen Spannung von d,Rσ = 21,82 kN/cm 2 ergibt
sich das Nachweiskriterium für den Flansch:
d,R
d
σσ ≤ 1 (5.28)
d,R
d
σσ =
2
2
cmkN 21,82
cmkN 26,18
= 0,84 < 1
Stefan Zeising - 66 - Berechnung Flansch Der Nachweis für die Beanspruchbarkeit des Flansches ist damit erfolgt.
5.2 Berechnung mit FEM
Die theoretischen Grundlagen für die Finite Elemente Methode (FEM)
wurden bereits in den 1940er Jahren geschaffen. Die FEM ist eine sehr
rechenintensive Methode der Schnittgrößenermittlung. Lange Zeit waren
dazu spezielle Hochleistungsrechner notwendig, die nur in großen Firmen
zu finden waren. Die rasante Entwicklung der Computertechnik in den
letzen 20 Jahren ermöglicht jetzt auch den Einsatz der FEM im
Ingenieurbüro.
Bei der FEM wird ein Bauteil in kleine Teilsysteme (finite Elemente)
zerlegt. Für jedes Element werden Gleichgewichtsbeziehungen aufgestellt.
Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit sehr vielen
Unbekannten, dessen Lösung nur durch die moderne Rechentechnik
erreicht werden kann. Je feiner die Maschenweite des FE-Netzes, desto
genauer werden die Ergebnisse. Jedoch steigen die damit erforderliche
Rechenzeit und die zu bewältigende Datenmenge enorm an. Für jeden
weiteren Knoten des Modells sind zusätzliche Gleichungen zu lösen.
Trotz des aufwändigen Berechnungsverfahrens handelt es sich bei der
FEM um ein Näherungsverfahren, dessen Ergebnisse immer kritisch auf
Plausibilität überprüft werden müssen.
5.2.1 FEM-Modell
Zur Berechnung des Flansches +10,08 m nach der FEM wird mit Hilfe des
Programms RFEM 2.0 ein Modell erstellt, welches die Strukturdaten der
Wirklichkeit idealisiert abbildet.
Aus dem Rohr wird jenes Stück herausgeschnitten, welches den zu
betrachtenden Flansch enthält. Dieser Teil des Antennenträgers, be-
stehend aus dem oberem und dem unteren Flansch sowie den beiden
jeweils anschließenden Teilen des Rohres, wird nun zur Modellierung in
kleine Volumenelemente unterteilt. Die beiden Flansche bestehen dabei
Stefan Zeising - 67 - Berechnung Flansch aus jeweils 72 identischen Abschnitten, die an den Bohrungen für die
Schrauben getrennt sind. An diese Einzelteile wird innen, in Richtung der
gedachten Rohrmittellinie, das Rohr anmodelliert, aus berechnungs-
technischen Gründen jeweils ein Teilstück bis zur Ober- bzw. Unterkante
des Flansches und ein zweiter Teil, der sich über den Flansch hinaus
anschließt. Die Länge des Rohres wurde mit insgesamt 100 mm sehr kurz
gewählt, um die Rechenzeit für das Modell zu verringern.
Die Kontaktfläche zwischen den beiden Flanschen wird über ein
zusätzliches Volumenelement realisiert, welches parallel zu den Flanschen
je eine Fläche besitzt. Beide Flächen werden über die Kontaktoption bei
der Erstellung des Volumens mit dem Programm RFEM verbunden. Diese
Verbindung fällt bei Zugbelastung aus.
Die Abbildung 5.05 zeigt das erstellte Grundelement aus insgesamt 7
Volumenelementen.
Abbildung 5.05: FEM-Modell Grundelement
Stefan Zeising - 68 - Berechnung Flansch Zur Abbildung der Schrauben M24 wird entlang der Mittellinie der
Bohrung (Ø 26 mm) auf einer Seite des Grundelements ein Stab einge-
führt. Dieser hat die Eigenschaft eines Rundstahls mit einem Durch-
messer von 24 mm. So wird ein Randabstand zum Flansch von 1 mm
eingehalten. Zur Herstellung des Kontakts wird jeweils über und unter
den Stab eine Fläche modelliert, welche die Öffnung der Bohrung abdeckt.
Durch Rotation des Grundelements um die Z-Achse erhält man das
komplette Anschlussdetail, wie in Abbildung 5.06 dargestellt.
Abbildung 5.06: FEM-Modell Flansch
Das erstellte Modell hat folgende Strukturdaten:
Tabelle 5.01: Strukturdaten Modell Flansch
Objekte Anzahl
Knoten 3.600
Linien 4.104
Flächen 2.900
Volumina 504
Stäbe 72
Stefan Zeising - 69 - Berechnung Flansch Als letzten Schritt der Struktureingabe wurden die Kräfte auf das Modell
aufgebracht. Dazu wurde die Berechnung der maßgebenden Schnittkräfte
mit dem Programm STAHL nach DIN 4131 (11.91) herangezogen. Aus den
maximalen Spannungen im Querschnitt DUENQ 1740 (siehe Statik nach
DIN 4131 (11.91) im Anhang 1) konnten die aufzubringenden Linienlasten
ermittelt werden. Aus den maximalen Spannungen von -9,41 kN/cm 2
(Druck) und +8,77 kN/cm 2 (Zug) ergibt sich auf den Rohrquerschnitt
gesehen eine Linienlast mit den Maxima von 756,3 kN/m entgegen der Z-
Achse an der Stelle y = 0 bzw. 704,9 kN/m in Richtung der Z-Achse an
der Stelle y = -180°. Die Zwischenwerte für die einzelnen Elemente wurden
aus den berechneten Werten für y von 0°, 45° und 90° interpoliert.
5.2.2 Praktische Berechnung
Für die Berechnung nach der FEM müssen im Modell die finiten Elemente
erstellt werden. Durch die Generierung des FE-Netzes mit einer angestreb-
ten Länge der finiten Elemente von 10 mm ergibt sich das in Abbildung
5.07 gezeigte Bild.
Abbildung 5.07: FEM-Modell: Finite Elemente, Flansch
Eine detailiertere Darstellung enthält die Abbildung 5.08.
Stefan Zeising - 70 - Berechnung Flansch
Abbildung 5.08: FEM-Modell: Finite Elemente, Grundelement
Die Strukturdaten des FE-Netzes für das komplette Modell sind in der
Tabelle 5.02 zusammengestellt. Bei den 1D-Objekten handelt es sich um
die modellierten Schrauben in Form von Stabelementen.
Tabelle 5.02: Strukturdaten FE-Netz
Objekte Anzahl
Knoten 71.164
1D-Objekte 72
2D-Objekte 72.149
3D-Objekte 75.807
Gleichungen 426.984
Eine durchaus genauere Untersuchung kann durch eine Unterteilung in
finite Elemente mit der angestrebten Länge von 5 mm ermöglicht werden,
wobei das Rohr dabei in Querrichtung, also entlang der gedachten Mantel-
mittellinie, in zwei Elemente unterteilt wird. Jedoch ergeben sich hier-
Stefan Zeising - 71 - Berechnung Flansch durch etwa 2,6 Millionen zu berechnende Gleichungen, für die die
momentan vorhandene Rechenkapazität noch nicht ausreichend ist.
Zum Nachweis der Beanspruchbarkeit der Schrauben in der Verbindung
der Flansche wird die vom Programm RFEM berechnete Normalspannung
in den modellierten Rundstäben untersucht (siehe Abbildung 5.09).
Abbildung 5.09: Maximale Normalspannung in den Stäben
Das Verhältnis der ermittelten maximalen Normalspannung N = 120,6 kN
zur zulässigen Grenzzugkraft N d,R = 256,7 kN nach Gleichung (5.24) ist:
d,RN
N = kN 256,7kN 6,120 = 0,47 < 1
Die Beanspruchbarkeit der Schraubenverbindung ist damit gewährleistet.
Im Vergleich zur Berechnung nach Petersen (N = 131,3 kN; siehe Ab-
schnitt 5.1.2) ist die berechnete maximale Normalkraft um etwa 8 %
geringer. Beide Werte liegen im sicheren Bereich.
Für den Nachweis der Beanspruchbarkeit der Flansche sind die berech-
neten Spannungen xσ , yσ und zσ sowie die Vergleichsspannung Vσ von
Stefan Zeising - 72 - Berechnung Flansch Bedeutung; die maximalen Spannungen wurden vom Programm RFEM
ermittelt und sind in den Abbildungen 5.10 bis 5.13 dargestellt.
Abbildung 5.10: Spannung in x-Richtung
Abbildung 5.11: Spannung in y-Richtung
Stefan Zeising - 73 - Berechnung Flansch
Abbildung 5.12: Spannung in z-Richtung
Abbildung 5.13: Vergleichsspannung
Ein genaueres Bild lässt sich durch die Darstellung eines Grundelements
finden, welches in den Abbildungen 5.14 und 5.15 zu sehen ist.
Stefan Zeising - 74 - Berechnung Flansch Das gewählte Element ist das am stärksten beanspruchte Grundelement
im Flansch an der Stelle y = 0 unter der maximalen Druckbelastung.
Abbildung 5.14: Spannung in
z-Richtung im Grundelement
Abbildung 5.15: Vergleichs-
spannung im Grundelement
Aufgrund der Einleitung der Lasten direkt am Rohr liegen im oberen bzw.
unteren Teilbereich die maximalen Spannungen. Weitere Spannungs-
spitzen ergeben sich durch die Modellierung der Kontaktflächen für die
Rundstäbe als Schraubenersatz. Diese leiten die Kraft direkt an die
Begrenzungslinie in den Flansch. Realistisch wird die Kraft jedoch über
den Schraubenkopf bzw. die Mutter über eine größere Fläche verteilt.
Die für den Flansch maßgebenden Spannungen lassen sich über eine
Flächenbetrachtung mit RFEM abschätzen. Die maximalen Spannungen
im bereinigten Volumenelement ergeben sich so mit dσ = 17,45 kN/cm 2 .
Der Vergleich zur zulässigen Spannung d,Rσ erfolgt nach Gleichung (5.28):
Stefan Zeising - 75 - Berechnung Flansch
d,R
d
σσ =
2
2
cmkN 21,82
cmkN 45,17
= 0,80 < 1
Der Nachweis für die Beanspruchbarkeit des Flansches infolge der
maximalen Normalpannungen ist damit erbracht.
Der Wert für die maximale Spannung aus der FEM-Berechnung ist etwa
4 % geringer als der Wert aus der Berechnung nach Petersen
( dσ = 18,26 kN/cm 2 ; siehe Abschnitt 5.1.2).
Die Schubspannungen xyτ , xzτ und yzτ wurden ermittelt und in den
folgenden Abbildungen 5.16 bis 5.18 dargestellt.
Abbildung 5.16: Schubspannung in der xy-Ebene
Stefan Zeising - 76 - Berechnung Flansch
Abbildung 5.17: Schubspannung in der xz-Ebene
Abbildung 5.18: Schubspannung in der yz-Ebene
Die maßgebende maximale Schubspannung im Flansch ist
dτ = 0,86 kN/cm 2 . Der Vergleich zur zulässigen Schubspannung
d,Rτ = 12,60 kN/cm 2 erfolgt nach Gleichung (4.10):
Stefan Zeising - 77 - Berechnung Flansch
d,R
d
ττ =
2
2
cmkN 12,33
cmkN ,860
= 0,07 < 1
Die mit der Methode der finite Elemente berechneten maximalen
Schubspannungen liegen deutlich unter den zulässigen Schub-
spannungen nach DIN 18800-1.
Das Ergebnis für die maßgebende maximale Schubspannung aus der
Berechnung nach der FEM liegt etwa 5 % unter dem vom Programm
STAHL ermittelten Wert von 0,91 kN/cm 2 .
Stefan Zeising - 78 - Zusammenfassung
6. Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wurden am Beispiel des 50 Meter-Mastes des
Mobilfunkbetreibers E-Plus am Standort Wiedemar bei Leipzig die
Auswirkungen durch die Neufassung der DIN 1055-4 untersucht.
Dazu wurden im Rahmen eines Literaturstudiums die Herangehensweisen
zur Ermittlung der Belastungen eines Antennenträgers vorgestellt. Die
unterschiedlichen Erfassungen der böenerregten Schwingungen in
Windrichtung wurden thematisiert. Erstmals zu berücksichtigen sind
unter anderem der Einfluss der Geländerauigkeit und der Topografie der
Umgebung. Deutlich aufwendiger ist die Berechnung des Böenreaktions-
faktors G im Vergleich zur Berechnung des gleichen Faktors Bϕ nach DIN
4131 (11.91) gestaltet.
Bei der Erstellung der prüffähigen Statik für die Nachrüstung durch den
Mitnutzer Vodafone D2 wurde der Antennenträger nach der derzeit
gültigen Windlastnorm DIN 4131 (11.91) bemessen und auf Tragreserven
hin geprüft. Dazu wurde der Standort bei einer Begehung auf Mängel
untersucht. Es konnten keine Mängel festgestellt werden, die die Trag-
sicherheit, Betriebsfestigkeit oder Gebrauchstauglichkeit des Antennen-
trägers gefährden.
Im Vergleich zur Statik nach DIN 4131 (11.91) wurde eine zweite Statik
nach der voraussichtlich ab dem 01.01.2007 gültigen, neuen DIN 1055-4
(03.05) angefertigt, um wesentliche Änderungen für die praktische
Bemessung herauszuarbeiten. Es zeigte sich, das die Windlast nach der
neuen DIN 1055-4 (03.05) insgesamt um etwa 18 % geringer ausfällt. Je-
doch verschiebt sich die Verteilung im Vergleich zur Berechnung nach
DIN 4131 (11.91) in Richtung Bauwerksspitze und hat somit einen
stärkeren Einfluss auf den Mast. Es ergeben sich um bis zu 8 % größere
Verdrehungen und damit eine höhere Auslastung für den maßgebenden
Nachweis der Gebrauchstauglichkeit.
Stefan Zeising - 79 - Zusammenfassung Die von E-Plus geforderte Richtfunksteifigkeit unter Berücksichtigung der
Zusatzbelastung infolge der geplanten Nachrüstung von Vodafone D2 und
der bereits vorhandenen Verstärkung des Mastes mit innenliegenden HEB
160 wird gewährleistet. Eine weitere Nachrüstung von Antennen kann
jedoch nicht empfohlen werden.
In dieser Arbeit wurde gezeigt, dass die Bemessung nach der neuen
DIN 1055-3 (03.05) lediglich geringfügige Änderungen im Vergleich zur
DIN 4131 (11.91) aufweist. Die für E-Plus entwickelte Typenreihe von
Standardrohrmasten hat ohne die Anbringung weiterer Lasten aus-
reichende Reserven für die Einhaltung der Bedingungen für die
Gebrauchstauglichkeit.
Neben der Untersuchung der Neufassung der DIN 1055-4 wurden
zusätzlich für den Flanschstoß +10,08 m mit Hilfe der Finiten Elemente
Methode (FEM) die maximalen Belastungen im Vergleich zur konventio-
nellen Berechnung ermittelt.
Die mit Hilfe des Modells der Finiten Elemente gefundenen maximalen
Beanspruchungen für die Flansche und die Schrauben liegen um etwa
5 % unter den Werten aus der konventionellen Berechnung nach
Petersen. Somit ist die herkömmliche Bemessung ausreichend sicher.
Eine genauere Untersuchung mit einer angestrebten Länge der finiten
Elemente von 5 mm, einem deutlich größeren Rohrabschnitt und
zusätzlichen Netzverdichtungen im Bereich der Schraubenbohrungen ist
jedoch wünschenswert.
Stefan Zeising - 80 - Quellen
7. Quellen
7.1 Literatur
/1/ Petersen, Christian: Stahlbau: Grundlagen der Berechnung und
baulichen Ausbildung von Stahlbauten, 3. Aufl., Braunschweig,
Wiesbaden: Vieweg 1993
/2/ Wagenknecht, Gerd: Stahlbau-Praxis Band 1: Tragwerksplanung -
Grundlagen, 1. Aufl., Berlin: Bauwerk 2002
/3/ Kahlmeyer, Eduard: Stahlbau nach DIN 18800 (11.90):
Bemessung und Konstruktion; Träger, Stützen, Verbindungen, 2.
Aufl., Düsseldorf: Werner 1996
/4/ Wanke, Joachim: Stahlrohrkonstruktionen, 1. Aufl., Wien:
Springer-Verlag 1966
/5/ Klöhn, Carsten: Skript zur Vorlesung "FEM I", HTWK Leipzig, 2002
/6/ Hilfe zum Programm RFEM 2, Ing.-Software Dlubal GmbH, 2000
/7/ E-Plus, Planungs- und Realisierungshandbuch 2005
/8/ Vodafone D2, Technische Dokumentation 2004
/9/ www.kathrein.de, 2006
7.2 Normen
/11/ DIN 1055-4 (08.86): Lastannahmen für Bauten: Verkehrslasten,
Windlasten bei nicht schwingungsanfälligen Bauwerken,
Deutsches Institut für Normung, August 1986
/12/ DIN 1055-4 (03.05): Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 4: Wind-
lasten, Deutsches Institut für Normung, März 2005
/13/ DIN 1055-5 (06.05): Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 5: Schnee-
und Eislasten, Deutsches Institut für Normung, Juli 2005
/14/ DIN 1055-7 (11.02): Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 7:
Temperatureinwirkungen, Deutsches Institut für Normung,
November 2002
Stefan Zeising - 81 - Quellen /15/ DIN 1055-100 (03.01): Einwirkungen auf Tragwerke - Teil 100:
Grundlagen der Tragwerksplanung, Sicherheitskonzept und
Bemessungsregeln, Deutsches Institut für Normung, März 2002
/16/ DIN 4131 (11.91): Antennentragwerke aus Stahl, Deutsches
Institut für Normung, November 1991
/17/ DIN 4132 (02.81): Kranbahnen/Stahltragwerke - Grundsätze für
Berechnung, bauliche Durchbildung und Ausführung, Deutsches
Institut für Normung, Februar 1981
/18/ DIN 4133 (11.91): Schornsteine aus Stahl, Deutsches Institut für
Normung, November 1991
/19/ DIN 18800-1 (11.90): Stahlbauten - Bemessung und Konstruktion,
Deutsches Institut für Normung, November 1990
7.3 Software
[1] RSTAB 5.14.581, © 2000 Ing.-Software Dlubal GmbH
[2] RFEM 2.01.645, © 2000 Ing.-Software Dlubal GmbH
[3] AutoCAD 2004, © 1982-2002 Autodesk, Inc.
[4] Microsoft Word 2000 SR-1, © 1983-1999 Microsoft Corporation
[5] Microsoft Excel 2000, © 1985-1999 Microsoft Corporation
[6] Adobe Acrobat 5.0.5, © 1987-2001 Adobe Systems Incorporated
Stefan Zeising - 82 - Verzeichnisse
8. Verzeichnisse
8.1 Abbildungsverzeichnis
Abbildung 0.01: Antennenträger Standort Wiedemar ...........................Titel
Abbildung 2.01: Antennenträger - Mangel 1: Flansch + 20,08 m ............12
Abbildung 2.02: Antennenträger - Mangel 2 ...........................................12
Abbildung 2.03: Antennenträger - Mangel 3: Fußflansch ........................13
Abbildung 2.04: Theodolit NESTLE Te-1 .................................................13
Abbildung 2.05: Fundament ...................................................................14
Abbildung 2.06: Antennenbelegung Kopfpodest ......................................15
Abbildung 2.07: Systemtechnik E-Plus ...................................................16
Abbildung 2.08: Umbauung ...................................................................17
Abbildung 5.01: Flansch +10,08 m ........................................................53
Abbildung 5.02: L-Modell nach Petersen ................................................54
Abbildung 5.03: Flansch-Idealisierung nach Petersen .............................55
Abbildung 5.04: Flansch mit Parametern ...............................................56
Abbildung 5.05: FEM-Modell Grundelement ...........................................67
Abbildung 5.06: FEM-Modell Flansch .....................................................68
Abbildung 5.07: FEM-Modell: Finite Elemente , Flansch .........................69
Abbildung 5.08: FEM-Modell: Finite Elemente, Grundelement ................70
Abbildung 5.09: Maximale Normalspannung in den Stäben ....................71
Abbildung 5.10: Spannung in x-Richtung ..............................................72
Abbildung 5.11: Spannung in y-Richtung ..............................................72
Abbildung 5.12: Spannung in z-Richtung ..............................................73
Abbildung 5.13: Vergleichsspannung .....................................................73
Abbildung 5.14: Spannung in z-Richtung im Grundelement ..................74
Abbildung 5.15: Vergleichsspannung im Grundelement ........................74
Abbildung 5.16: Schubspannung in der xy-Ebene ..................................75
Abbildung 5.17: Schubspannung in der xz-Ebene ..................................76
Abbildung 5.18: Schubspannung in der yz-Ebene ..................................76
Stefan Zeising - 83 - Verzeichnisse 8.2 Tabellenverzeichnis
Tabelle 4.01: Zulässige Verdrehungen für Antennenträger,
allgemeingültig ..................................................................51
Tabelle 4.02: Zulässige Verdrehungen für Antennenträger,
Standort Wiedemar ...........................................................51
Tabelle 5.01: Strukturdaten Modell Flansch ...........................................68
Tabelle 5.02: Strukturdaten FE-Netz ......................................................70
Stefan Zeising - 84 - Anhang
9. Anhang
Die im Anhang aufgeführten Statiken sind nach den Vorgaben der
Mobilfunkbetreiber als prüffähige Statiken erstellt und entsprechen nicht
den Konventionen für eine Diplomarbeit.
9.1 Statik nach DIN 4131 (11.91)
Anhang 1 der Diplomarbeit enthält die Statik nach DIN 4131 (11.91).
9.2 Statik nach DIN 1055-4 (03.05)
Anhang 2 der Diplomarbeit enthält die Statik nach DIN 1055-4 (03.05).