In einem Wechselstromkreis mit Spule und Kondensator (Schwingkreis)wechselt die Energie periodisch zwischen E-Feld im Kondensator und B-Feld in der Spule.Spule und Kondensator sind geschlossen aufgebaut, so dass die Energie immer zurück in den Stromkreis findet.
Verluste (Erzeugung von Wärme) müssen durch zugeführte Energieausgeglichen werden.
Elektromagnetische Wellen
201
Energie im Magnetfeld der Spule
Energie im elektrischen Feld des Kondensators
Baut man Spule und Kondensator offen, breiten sich die Felder mitLichtgeschwindigkeit im ganzen Raum aus.
Auch das gerade Leiterstück hat eine Induktivität und eine Kapazität.
Es bildet einen „Schwingkreis“ mit einer Resonanzfrequenz.
Eine erzwungene Schwingung auf dem Leiterstück kann durch Zufuhrvon Energie von außen aufrecht erhalten werden.
202
Öffnen von Spule und Kondensator
Dipol
203
+
–– ––
+++
I
+
–– ––
+++
I
4.
1. 2.
3.
BrE
r
Br
Er
204
Bei kleinen Frequenzen bauen sich quasi statische Felder auf.
Ist aber die Frequenz so hoch, dass die Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeitwährend einer Halbwelle der Länge des Dipols entspricht, dann ist mit derzeitlichen Änderung der Felder auch eine räumliche Modulation verbunden.
+
–– ––
+++
Er
Laufzeit währenddes Umpolens
Er??
?
? ?
?
205
Entsprechend beim Magnetfeld.
I
Br
Feldstärken entlang einer Achse senkrecht zum Dipol:(beachte: hier in der Nähe des Dipols)
x
yz
Br
Er
206
Durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes wird ein Wirbel imelektrischen Feld erzeugt und damit die Feldlinien geschlossen.
Auf diese Weise kann das elektrische Feld ohne Anwesenheit von Ladungen weiterexistieren und sich vom Dipol lösen.
tBE∂∂
−=r
rrot vgl. Maxwell-Gleichungen
–
+tB∂∂r
207
Bei der Abstrahlung vom Dipol unterscheidet man zwischen dem Nahfeld und dem Fernfeld.
Nahfeld:Das Nahfeld wird durch die Ladungen und Ströme mitbestimmt.Dieser Beitrag zu den Feldstärken von E und B klingt mit 1/r² bzw. 1/r³ ab.Eine mathematische Formulierung wird hier nicht diskutiert (vgl. Theoretische Physik)
Fernfeld:Im Fernfeld spielen Ladungen und Ströme keine Rolle mehr. Die Felder erzeugen sich durch ihre zeitliche Änderung gegenseitig.
Dieser Beitrag zu den Feldstärken von E und B klingt mit 1/r ab und ist deshalb für große Abstände r dominierend.
0div0
==ερE
r
0div =Br
tEjB∂∂
+=r
rr000rot εμμ
tBE∂∂
−=r
rrot
208
Elektromagnetische Wellen
Wir suchen Lösungen der Maxwellgleichungen im Fernfeld, also für und
Die Maxwellgleichungen lauten dann
Lösungen dieser Gleichungen sind Wellen, bei denen elektrisches Feld undMagnetfeld immer gemeinsam auftreten und deren Richtung und Phase in fester Beziehung zu einander stehen. Beispiele: ebene Wellen, Kugelwellen, linear- bzw. zirkular polarisierte Wellen, etc.Alle Überlagerungen einzelner Wellen sind wieder Lösung der Gleichungen.
0=ρ0=jr
0div =Er
0div =Br
tEB∂∂
=r
r00rot εμ
tBE∂∂
−=r
rrot
209
Wellen im Allgemeinen
Schwingungen sind periodisch in der Zeit.Wellen sind periodisch in Zeit und Ort.
x
A
Schwingung eines Punktes(periodisch in der Zeit)
Momentane Auslenkung
(periodisch im Ort)t1
t2
t3
t4
Ansatz für eine periodische Funktion in Ort und Zeit (eindimensional)
Für festen Ort x periodische Schwingung: Schwingungsdauer T = 2π/ωFür festen Zeitpunkt t periodisch im Ort: Wellenlänge λ = 2π/kk ist die Wellenzahl (Zahl der Wellenzüge pro Meter mal 2π)
Die Welle läuft in positive x-Richtung. Bewegung eines Punktes mit bestimmter Phase (z.B. Amplitude A=0):
immer, wenn
also
)sin(),( 0 xktAtxA −= ω
)sin(0),( 0 xktAtxA −== ω
0=− xktω
xkt =ω
vkt
x==⇒
ω Phasengeschwindigkeit der Welle
210
211
Ebene Wellen:
Die einfachste Lösung der Maxwellgleichungen ohne Ladung und Strom ist eine linear polarisierte, ebene Welle mit Ausbreitung in x-Richtung:
)sin(),,,(
0),,,(0),,,(0),,,(
)sin(),,,(0),,,(
0
0
xktBtzyxB
tzyxBtzyxBtzyxE
xktEtzyxEtzyxE
z
y
x
z
y
x
−=
===
−==
ω
ω
x
yz B
r
Er
(beachte im Vergleich zu Seite 205: hier im Fernfeld)
tE
zB
yB xyz
∂∂
=∂
∂−
∂∂
00εμ
tB
zE
yE xyz
∂∂
−=∂
∂−
∂∂
tB
xE
zE yzx
∂
∂−=
∂∂
−∂∂
tB
yE
xE zxy
∂∂
−=∂∂
−∂∂
tE
xB
zB yzx
∂
∂=
∂∂
−∂∂
00εμ
tE
yB
xB zxy
∂∂
=∂∂
−∂
∂00εμ
0=∂∂
+∂
∂+
∂∂
zE
yE
xE zyx
0=∂∂
+∂
∂+
∂∂
zB
yB
xB zyx
Überprüfung ob Lösung der Maxwellgleichungen durch Einsetzen:
000 =−
)cos()cos( 00 xktBxktEk −−=−− ωωω
)cos()cos( 0000 xktExktBk −=− ωωεμω
0000 =++
0000 =++
000 =−
000 =−
212
000 =−
212b
Wenn E und B nicht senkrecht aufeinander stehen und phasenverschoben sind:
)sin(),,,(
)sin(),,,(0),,,(0),,,(
)sin(),,,(0),,,(
0
0
0
ϕω
ϕω
ω
+−=
+−===
−==
xktBtzyxB
xktBtzyxBtzyxBtzyxE
xktEtzyxEtzyxE
zz
yy
x
z
y
x
folgt aus den Maxwellgleichungen, dass B0y = 0 und ϕ=0 sein muss.
tE
zB
yB xyz
∂∂
=∂
∂−
∂∂
00εμ
tB
zE
yE xyz
∂∂
−=∂
∂−
∂∂
tB
xE
zE yzx
∂
∂−=
∂∂
−∂∂
tB
yE
xE zxy
∂∂
−=∂∂
−∂∂
tE
xB
zB yzx
∂
∂=
∂∂
−∂∂
00εμ
tE
yB
xB zxy
∂∂
=∂∂
−∂
∂00εμ
0=∂∂
+∂
∂+
∂∂
zE
yE
xE zyx
0=∂∂
+∂
∂+
∂∂
zB
yB
xB zyx
Überprüfung ob Lösung der Maxwellgleichungen durch Einsetzen:
000 =−
)cos()cos( 00 ϕωωω +−−=−− xktBxktEk z
)cos()cos( 0000 xktExktBk −=+− ωωεμϕω
0000 =++
0000 =++
)cos(00 0 ϕωω +−−=− xktB y
000 =−
212c
00)cos(0 =−+−− ϕω xktBk
Für die Parameter E0,B0,k und ω ergeben sich also die Bedingungen:
Es folgt durch Auflösen nach k und Gleichsetzen:
Einsetzen in die erste Gleichung liefert:
Der Quotient ω/k ist immer die Phasengeschwindigkeit der Welle.Also erhalten wir für die Lichtgeschwindigkeit:
00 BEk ω=
0000 EBk ωεμ=
0020
20
0
000
0
0 εμωεμω=⇒==
EB
BEk
EB
000
0 1εμ
ω==
BE
k
00
1εμ
=c
213
214
Unsere Welle ist Lösung der Maxwellgleichungen, weil
1. E und B senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung stehen(transversale Welle)
2. E und B senkrecht aufeinander stehen
3. die Amplituden von E und B-Feld sich verhalten wie
4. E und B-Feld in Phase zueinander sind
5. die Frequenz sich zur Wellenzahl verhält wie
(nicht alles wurde hier vorgerechnet)
000
0 εμ=EB
00
1εμ
ω=
k
215
Polarisation
Die Polarisation einer Welle ist durch die Richtung der elektrischen Feldstärkedefiniert.
Ist die Richtung von E zeitunabhängig und folglich auch ortsunabhängigspricht man von linearer PolarisationBeispiel Polarisation in y-Richtung:
Dreht sich der E-Feld Vektor in der (y,z)-Ebene als Funktion von der Zeitbleibt die Welle trotzdem transversal und man spricht von einer zirkular polarisierten Welle. (Auch der B-Vektor dreht sich entsprechend)
Eine Überlagerung von linear und zirkular polarisierten Wellen ergibts.g. elliptisch polarisierte Wellen.
x
yz B
r
Er
216
Wellengleichung
Alle Wellen (z.B. Wasserwellen) erfüllen eine Differentialgleichung der Form
2
22
2
2
xAv
tA
∂∂
=∂∂
)cos( xkttA
−=∂∂ ωω
denn:
)sin(22
2
xkttA
−−=∂∂ ωω
)cos( xktkxA
−−=∂∂ ω
)sin(22
2
xktkxA
−−=∂∂ ω
2
2
2
2
2
2
xA
ktA
∂∂
=∂∂
⇒ω
2
22
kv ω
=Mit der Phasengeschwindigkeit
217
Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwellgleichungen
Wendet man den Operator rot auf beiden Seiten der Gleichung
an, erhält man
Mit der Beziehung
ergibt sich
tEB∂∂
=r
r00rot εμ
tBE∂∂
−=r
rrot
Btt
BEr
rr
rotrotrotrot∂∂
−=∂∂
−=
Et
Err
2
2
00rotrot∂∂
−= εμ
218
Es gilt die allgemeine mathematische Identität
Mit dem Laplaceoperator Δ
Da keine Ladungen vorhanden sind und somit ist, folgt
Wir erhalten also
und damit die Wellengleichung für den E-Feld Vektor:
0div =Er
EEErrr
Δ−= )div(gradrotrot
EErr
Δ−=rotrot
Et
EErrr
2
2
00rotrot∂∂
−=Δ−= εμ
2
2
00 tEE
∂∂
=Δr
rεμ
219
In Komponenten geschrieben bedeutet dies:
Aus der Wellengleichung liest man einfach ab, dass die Phasen-geschwindigkeit und damit die Lichtgeschwindigkeit gegeben ist durch(Wurzel aus dem Vorfaktor)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
2
2
2
2
2
2
002
2 1zE
yE
xE
tE xxxx
εμ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
2
2
2
2
002
2 1zE
yE
xE
tE yyyy
εμ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
2
2
2
2
2
2
002
2 1zE
yE
xE
tE zzzz
εμ
00
1εμ
=c
220
Für das Magnetfeld kann ganz analog auch eine Wellengleichung hergeleitet werden:
Beide Gleichungen liefern selbstverständlich die gleiche Lichtgeschwindigkeit
Aber in den Wellengleichungen ist nicht mehr die Kopplung zwischen E und B enthalten. Deshalb sind die wichtigen Zusammenhänge
1. E und B stehen senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung
2. E und B stehen senkrecht aufeinander
3. die Amplituden von E und B-Feld sich verhalten wie
4. E und B-Feld sind in Phase zueinander
Nur aus den Maxwellgleichungen herzuleiten, aber nicht aus den einfacheren Wellengleichungen.
2
2
00 tBB
∂∂
=Δr
rεμ
000
0 εμ=EB
221
Ebene Wellen in beliebiger Richtung
Wenn eine ebene Welle nicht einfach entlang einer Koordinatenachse läuft,kann dies mathematisch durch den Wellenzahlvektor ausgedrückt werden:
Der Wellenzahlvektor zeigt in Richtungder Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Das Skalarprodukt sorgt dafür, dassdie Flächen gleicher Phase senkrechtauf der Ausbreitungsrichtung stehen.
Der Vektor zeigt in Richtung der Polarisation.
Für das B-Feld ergibt sich aus den Maxwellgleichungen:(wird hier nicht hergeleitet)
kr
x
z
kr
)sin(),( 0 rktEtrE rrrrr⋅−= ω
Blau: Flächen gleicher Phase
0Er
)(1 EkBrrr
×=ω
222
Energiedichte einer Welle
Wellen transportieren Energie in Form von Feldenergie im E- und B-Feld.Die Energiedichte im E-Feld ist:
Die Energiedichte im B-Feld ist:
Die Stärke von E-Feld und B-Feld stehen bei elektromagnetischen Wellen in fester Beziehung zueinander
Es folgt für die gesamte Energiedichte:
202
1 EwE ε=
2
0
121 BwB μ
=
cEB 1
00 == εμ
20
200
0
20
121
21 EEEw εεμ
με =+=
223
Intensität einer Welle
In den Wellenbergen wo E-Feld und B-Feld maximal ist findet man die meisteFeldenergie. In einer Knotenfläche ist die Energiedichte Null.
Die Welle breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit c aus. Durch die Fläche A tritt also pro Zeit Δt die Energie W
Mit der mittleren Energiedichte
A
tc Δ
200
0 21d1 Etw
Tw
T
ε== ∫2002
1 EtAcW εΔ=
wtAcwVW Δ==
224
Als Intensität bezeichnet man die Energie, die pro Zeit und Fläche durch die Fläche hindurchtritt. Wir erhalten:
Einheit der Intensität ist Watt pro Quadratmeter 1 W/m².
Beispiel:Die Intensität der Sonne beträgt 970 W/m² an der Erdoberfläche. Im zeitlichen Mittel herrschen im Licht also elektrische Feldstärken von
gleichzeitig sind Magnetfelder vorhanden mit
200
2002
1
21 Ec
tAEtAcI ε
ε=
ΔΔ
=
mV8562
00 ==
εcIE
T108.21 600
−⋅== Ec
B
225
Poynting Vektor
Man definiert einen Vektor, der Stärke und Richtung des Energiestromsangibt.
Der Betrag des Poynting Vektors ist gleich der Intensität, denn
Für eine ebene elektromagnetische Welle stehen E-Feld und B-Feldsenkrecht auf dem Wellenzahlvektor k. Deshalb zeigt in diesem Falleder Poynting Vektor in die Richtung von k.
BEcSrrr
×= 20ε
IEcBEcS === 20
20 εε
r
226
Kugelwellen
Wellen, die radial von einem Punkt ausgehen und in jeder Richtung die gleiche Amplitude haben werden mathematisch durch die Funktion
beschrieben. (Kein Skalarprodukt, da k immer in Richtung von r zeigt d.h. Ausbreitung in radialer Richtung)
Begründung für die Radiusabhängigkeit 1/r:Der Energiestrom ist unabhängig vom Abstand und die Fläche nimmtquadratisch mit dem Abstand zu.Also nimmt die Intensität wie 1/r² mit dem Anstand ab.Da die Intensität proportional zum Quadrat der Amplitude ist, nimmt dieFeldstärke wie 1/r ab.
)sin(),( 0 rktrEtrE −= ωr
22
20
02 44 r
rEcrI
tWconstP πεπ ⋅=⋅=Δ
==
227
Impuls einer elektromagnetischen Welle
Eine Welle transportiert auch Impuls und kann dadurch eine Kraft ausüben.Die Impulsdichte g für eine ebene Welle ist gegeben durch (hier ohne Herleitung)
Der Betrag von g ist folglich
Aus der Mechanik ist bekannt, dass eine Kraft gleich der Impulsänderung pro Zeit ist (bzw. Impulsübertrag pro Zeiteinheit).
Eine schwarze Fläche absorbiert die Intensität I und erhält dabei pro Zeiteinheit den Impulsübertrag
Sc
grr
2
1=
Ic
g 2
1=
tp
tpF
ΔΔ
≈=rrr
dd
Ic
g 2
1=
228
Auf die Fläche wird dadurch die Kraft
ausgeübt. Besser berechnet man die Kraft pro Fläche
Und erhält so den Strahlungsdruck durch eine elektromagnetische Welle.
Bei der Reflexion einer Welle ist der Strahlungsdruck doppelt so groß, weil die Impulsänderung doppelt so groß ist.
Beispiel: Im Sonnenlicht erfährt eine schwarze Fläche den Strahlungsdruck:
Acgt
tAcgtVg
tpF r
rrrr=
ΔΔ
=Δ
=ΔΔ
=
cIgc
AF
==
26-
8 mN102.3 Pa2.3
m/s103W970
==== μcI
AF
229
Beispiel: Lichtmühle
Bei einer Lichtmühle sind die Seiten eines Flügelrades auf der einen Seite schwarz und auf der anderen Seite reflektierend.
Auf die reflektierende Seite wird der doppelteStrahlungsdruck ausgeübt. Dadurch dreht sich das Rad im Licht.
Ein anderer Effekt ist aber bei den kommerziellen Lichtmühlen größer:An der wärmeren, schwarzen Seite werden Luftmoleküle erwärmt undverlassen die Seite mit höherer Geschwindigkeit als die ankommenden.Dieser Impulsübertrag (Rückstoß) ist größer als der Strahlungsdruck und lässt das Rad andersherum drehen.Ist der Luftdruck im Glaskolben sehr klein, lässt sich auch der Strahlungsdruck beobachten.
230
Beispiel: Strahlungsdruck auf Nanoteilchen im Sonnenlicht
Teilchen in unserem Sonnensystem erfahren die Gravitationskraft der Sonneund den Strahlungsdruck des Sonnenlichtes.
Für eine schwarze Kugel mit Dichte ρ und Radius r gilt im Abstand R von der Sonne:
Das Verhältnis aus Gravitationskraft und Kraft durch Strahlungsdruck hängtnur von der Dichte und dem Radius der Teilchen ab, aber nicht vom Abstand zur Sonne
2
3220
2
3
2 kgNm106.5
34
Rr
Rrm
RmmF s
sg
ρρπγγ ⋅=−=−=
2
217
202 N103.3
Rr
cRIr
cIAFs ⋅=== π
rFF
s
g ρkgm1700
2
=
231
Bei einer Dichte von 1000 Kg/m³ (Wasser) ergibt sich
Für Teilchen mit r < 588 nm ist der Strahlungsdruck in unserem Sonnensystem größer als die Gravitation der Sonne. Sie werden aus dem Sonnensystem „herausgepustet“. Ein Teilchen mit r = 100 nm fliegt in 6 Tagen von der Sonne zur Erde und in einem halben Jahr zum Pluto. (Lösung erfordert längere Rechnung)
Strahlungsdruck auf Staub im Kometenschweif
rFF
s
g
m1107.1 6⋅=
232
Stehende elektromagnetische Wellen
Bei der Reflexion an einer Metalloberfläche werden im Metall Ströme erzeugtund Ladungen verschoben, so dass kein E-Feld parallel zur Metalloberflächevorhanden ist.
Bei vollständiger Reflexion überlagern sich die einfallende
und die reflektierte Welle:
E
)sin(),,,(
)sin(),,,(
0
0
xktBtzyxB
xktEtzyxE
z
y
−=
−=
ω
ω
x
)sin(),,,(
)sin(),,,(
xktBtzyxB
xktEtzyxE
rz
ry
+=
+=
ω
ω
233
Wählt man das Koordinatensystem so, dass x=0 an die Metalloberfläche liegt,muss für alle Zeiten gelten
Für ergibt sich
das die geforderte Bedingung für alle Zeiten erfüllt.Aus den Maxwellgleichungen ergibt sich für das B-Feld der reflektierten Welle: Man erhält also insgesamt:
Und mit den Additionstheoremen:
0)sin()sin(0 =++− xktExktE r ωω
0BBr =
0)sin()cos(2)sin()sin( 000 =−=+−− xktExktExktE ωωω0EEr −=
)sin()sin(),,,(
)sin()sin(),,,(
00
00
xktBxktBtzyxB
xktExktEtzyxE
z
y
++−=
+−−=
ωω
ωω
)cos()sin(2),,,(
)sin()cos(2),,,(
0
0
xktBtzyxB
xktEtzyxE
z
y
ω
ω
=
−=
234
Zeitabhängigkeit und Ortsabhängigkeit stehen nun in verschiedenen Faktoren.Dadurch schreitet die Welle nicht voran, sondern es gibt Orte an denenDie Amplitude immer Null ist (Schwingungsknoten) und andere,an denen die Amplitude maximal mit der Zeit variiert (Schwingungsbäuche).→ Stehende WelleDie Knoten des E-Feldes sind um 90° phasenverschoben zu den Knoten desB-Feldes. Zeitlich wechseln sich Maximum von E-Feld und B-Feld ab.
x
Ery
z
x
Br
yz
Zeitliche und räumliche Phasenverschiebung um T/4 und λ/4
λ/4
t = 0
t = T/4
235
Vor einer ebenen Metalloberfläche (Spiegel) bildet sich eine stehende Welle aus.
Es gibt Knotenflächen parallel zum Spiegel in denen das E-Feld oder B-Feldimmer Null ist.
Die Feldenergie des E-Feldes wird während einer 1/4 Schwingung in Feldenergie des B-Feldes umgewandelt. Analogie zur mechanischen Schwingung, bei der potentielle in kinetische Energie umgewandelt wird.
Die gesamte Feldenergie bleibt in der stehenden Welle erhalten.
236
Hohlraumresonator
Zwischen zwei gegenüberliegenden Spiegeln kann eine stehende Welle eingesperrt sein.
Da jetzt das E-Feld auf beiden Seiten am Spiegel gleich Null sein muss,passen nur noch bestimmte Wellenlängen dazwischen.Es muss die Bedingung gelten
x
Er
x
Br
t = 0
t = T/4
yz
yz
Ln =2λ
Wärmestrahlung
Eine Fläche, die bei allen Frequenzen Wärmestrahlung vollständig absorbiert und damit auch maximal abstrahlt bezeichnet man als schwarzen Strahler.
Übliche Realisierung als schwarzer Hohlraum mit Austrittsloch.
Der s.g. Hohlraumresonator eignet sich besonders für die Berechnung des Spektrums der emittierten Strahlung.
Die Erklärung der Wärmestrahlung durch Planck (1900) war die Geburtsstundeder Quantenmechanik.
20°C 800°C
237
Elektromagnetische Wellen (Infrarot, Licht, ..) werden durch die thermische Energie angeregt.Bei hohen Temperaturen (>700°C) steht genügend Energie zur Verfügung,um merklich im sichtbaren Bereich zu emittieren (Rotglut).Je heißer die Oberfläche wird, umso gelber – weißer – blauer wird das Licht.
Frage: 1. Wieviel Licht wird bei einer bestimmten Frequenz emittiert2. Wieviel Lichtenergie wird insgesamt abgestrahlt.
Betrachtung der Wellen in dem Hohlraumresonator:Ausbildung stehender elektromagnetischer Wellen
je kürzer die Wellenlänge umso höher die FrequenzFarbe des Lichtes ändert sich von rot über gelb, grün nach blau 238
Es sind auch solche stehenden Wellen möglich:
Die Wellenzahl in x-, y- und z-Richtung ist:
Die Wellenzahlvektoren für alle möglichen stehenden Wellensind rechts schematisch eingetragen.
Die Frequenz (Farbe) der Welleist proportional zum Betrag vomWellenzahlvektor.
Lnk xx
π2=
kx
ky
kc r
πν
2=
Lnk yy
π2=
Lnk zz
π2=
239
kx
kyAlle k-Vektoren zu einem Frequenzintervall ν bis ν+dν liegen in einer Kugelschale.
Die Anzahl der k-Vektoren in der Kugelschalesteigt quadratisch mit dem Radius, d.h.quadratisch mit der Frequenz.
Im thermischen Gleichgewicht wird auf jede stehende Welle im Mittel gleich viel Energie verteilt kBT.Jede Welle stellt einen Freiheitsgrad (des Lichtfeldes) dar.
Die in dem Frequenzintervall ν bis ν+dν gespeicherte Energiedichte steigt also quadratisch mit der Frequenz an.
νπνννρ d8d)( 3
2
Tkc B= Rayleigh – Jeans Gesetz
240
Dieses aus der klassischen Physik hergeleitete Gesetz würde zur s.g.Ultraviolettkatastrophe führen: die Intensität würde mit zunehmender Frequenz (... blau, violett, ultraviolett ...) ins unendliche ansteigen.
Ein bis dahin unbekanntes Phänomen verhindert die Anregung der Wellen mit hoher Frequenz.
Planck führte das Energiequant ein und leitete daraus das richtigeSpektrum eines schwarzen Strahlers her.
Jede Welle kann Energie nur in festen Portionen d.h. Quanten aufnehmen,die Photonen. Die Energie eines Quants ist proportional zur Frequenz:
h: Plank‘sches Wirkungsquantum h = 6.626 10-34 Js
νhE =
241
Bei hohen Frequenzen ist die Energie eines Energiequants (Photon) hoch und damit wird die thermische Anregung sehr unwahrscheinlich.
EE
n
EE
n
große Frequenz (ultraviolett)kleine Frequenz (rot)
Die mittlere, in einer stehenden Welle gespeicherte Energie ist:
1−=
Tkh
Be
hE νν
1νh2νh
(Ergibt sich nach kurzer Rechnung)
242
Die Energiedichte im Hohlraum ist Anzahl der stehenden Wellen imFrequenzintervall multipliziert mit der mittleren Energie darin
Die emittierte Strahlungsleistung in dem Frequenzintervall hat bis auf einenVorfaktor die gleiche Form.
Bei kleinen Frequenzen ist dieses Gesetz gut genährt durch das Rayleigh-Jeans Gesetz.
Bei hohen Frequenzen nimmt dieEnergiedichte exponentiell mit derFrequenz ab.
ννπνννρ ν d1
8d)( 3
2
−
=Tk
h
Be
hc Planck‘sches Strahlungsgesetz
1014 Hz
6000 K
5000 K
4000 K
3000 K
243
Emissionsmaximum:
Das Maximum der emittierten Strahlung verschiebt sich mit steigenderTemperatur zu höheren Frequenzen (ins Blaue).Berechnet man das Maximum der Kurve aus dem Planck‘schen Gesetzerhält man das Wien‘sche Verschiebungsgesetz.
Das Maximum verschiebt sich proportional zur Temperatur.
TKHz10
max 1088.5 ⋅=ν
1014 Hz
6000 K
5000 K
4000 K
3000 K
Verschiebung
244
Gesamtemission des schwarzen Strahlers:
Mit steigender Temperatur nimmt die Fläche unter der Kurve im Planck‘schen Strahlungsgesetz stark zu. Integriert man über alle Frequenzen erhält man:
Die insgesamt abgestrahlte Leistung nimmt mit 4. Potenz der Temperatur zu.
Stefan-Boltzmann Gesetz
1014 Hz
6000 K
1014 Hz
3000 K
245
48421067.5 T
AP
KmW−⋅=