Die Laplace Verteilung und ihre Anwendungen
Robert Bajons
15.1.2016
R. Bajons Die Laplace-Verteilung
Ubersicht
Die symmetrische Laplace-Verteilung
Die asymmetrische Laplace-Verteilung
Anwendungen
R. Bajons Die Laplace-Verteilung
Die symmetrische Laplace-VerteilungDefinition und Eigenschaften
Definition:
Zufallsvariable X is Laplace-verteilt, wenn sie eine Dichte der Form
f (x , θ, s) =1
2se−|x−θ|
s , −∞ < x <∞
besitzt, mit Lageparameter θ ∈ (−∞,∞) und Skalenparameters > 0.
Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion:
F (x , θ, s) =
{12e− |x−θ|
s x ≤ θ1− 1
2e− |x−θ|
s x > θ
R. Bajons Die Laplace-Verteilung
Definition und Eigenschaften
Dichtefkt der Laplace Verteilung fur θ = 0, si = i , i ∈ {1, ..., 5}
R. Bajons Die Laplace-Verteilung
Definition und Eigenschaften
Erwartungswert und Varianz
E(X ) = θ, ist auch gleich Median und ModalwertVar(X ) = 2s2
Symmetrie
symmetrisch um θ (d.h.: f (θ − x , θ, s) = f (θ + x , θ, s))
charakteristische Funktion
ψX (t) = E[e itX ] = e itθ
1+s2t2
Momenterzeugende Funktion
MX (t) = etθ
1−s2t2
R. Bajons Die Laplace-Verteilung
Darstellungsmoglichkeiten
Laplace-Verteilung kann man auf viele Arten darstellen:Sei X eine standardisierte Laplace-verteilte ZV,d.h. sie hat eine Dichte der Form
f (x , 0, 1) =1
2e−|x |, −∞ < x <∞
dann lasst X sich auf verschiedenste Arten darstellen. (Es gilt
außerdem fur eine nicht standardisierte ZV Yd= sX + θ)
R. Bajons Die Laplace-Verteilung
Darstellungsmoglichkeiten
Einige der wichtigsten Formen sind hier aufgezahlt
Darstellung Variablen
Xd=√
2W ∗ Z Z . . . std normalverteilte ZVW . . . std exp verteilte ZV
Xd= W1 −W2 W1,W2 . . . std exp verteilte ZVs
Xd= log(P1/P2) P1,P2 . . . Pareto (Typ 1) verteilte ZVs
Xd= log(U1/U2) U1,U2 . . . uniform verteilte auf [0, 1]
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Die asymmetrische Laplace-VerteilungDefinition und Eigenschaften
Definition:
Zufallsvariable Y hat ein asymmetrisch Laplace-Verteilung(AL-Verteilung) wenn sie eine char. Funktion der Form
ψ(t) =e itθ
1 + 12σ
2t2 − iµt
besitzt. Dabei sind θ, µ ∈ R und σ ≥ 0.Wir schreiben dann Y ∼ AL(θ, µ, σ)
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Definition und Eigenschaften
Fur σ > 0 kann man die char. Funktion auch so darstellen:
ψ(t) = e iθt(1
1 + i σκ√2t
)(1
1− i σ√2κt
) =e itθ
1 + 12σ
2t2 − i σ√2
( 1κ − κ)t
mit κ > 0 dargestellt als
κ =
√2σ
µ+√
2σ2 + µ2=
√2σ2 + µ2 − µ√
2σ
und
µ =σ√2
(1
κ− κ)
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Definition und Eigenschaften
Benutzt man die 2. Form der char. Fkt., so kann man eine ALZufallsvariable Y darstellen als
Yd= θ + Y1 − Y2,
wobei Y1,Y2 unabhangige exponentialverteilt sind mitErwartungswerten σ√
2κund σκ√
2. Das is also aquivalent zu
Yd= θ +
σ√2
(1
κW1 − κW2),
mit W1,W2 i.i.d standard exponentialverteilten ZVs
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Definition und Eigenschaften
Aus der Darstellung der vorigen Folie ergibt sich die Dichtefunktionals
fθ,κ,σ(x) =
√2
σ
κ
1 + κ2
{exp(−
√2κσ |x − θ|), x ≥ θ
exp(−√2
σκ |x − θ|), x < θ
und fur die Verteilungsfunktion erhalten wir
Fθ,κ,σ(x) =
{1− 1
1+κ2exp(−
√2κσ |x − θ|), x ≥ θ
κ2
1+κ2exp(−
√2
σκ |x − θ|), x < θ
Fur κ = 1 erhaltet man die Dichte- und Verteilungsfunktion dersymmetrischen Laplace-Verteilung
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Definition und Eigenschaften
Erwartungswert und Varianz
Mittlere absolute Abweichung
E(|Y − E(Y )|) = 2σκ(1+κ2
e(κ2−1)
Standardabweichung√Var(Y ) = σ
√1+κ4√2κ
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Definition und Eigenschaften
Variationskoeffizient√
Var(Y )
|(Y )| =√
σ2
µ2+ 1 =
√1/κ2+κ2
1/κ−κ
Schiefe
γ1 = E(|Y−E(Y )|)3(E(|Y−E(Y )|)2)3/2 = 2 1/κ2+κ3
(1/κ2+κ2)3/2
Wolbung/Exzess
γ2 = E(|Y−E(Y )|)4(Var(Y ))2
− 3 = 6− 12(1/κ2+κ2)2
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Darstellungsmoglichkeiten
wir betrachten wieder einige Darstellungsweisen (X ∼ AL(0, µ, 1))
Darstellung Variablen
Xd= 1√
2( 1κW1 − κW2) W1,W2 . . . std. exp.-verteilte ZVs
Xd= µW +
√WZ Z . . . std normalverteilte ZV
W . . . exp verteilte ZV
Xd= 1√
2log(P
1/k1 /Pk
2 ) P1,P2 . . . Pareto verteilte ZVs
Xd= 1√
2log(Uκ
1 /U1/κ2 ) U1,U2 . . . uniform verteilte auf [0, 1]
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Zinsraten
Beispiel:
Anderung der Zinsrate auf 30-jahrige Treasury Bonds(amerikanische Staatsanleihen)
Problem: Finden eines passenden Modells anhand gesammelterDaten
empirische Verteilung zu “spitzig” und “fat-tailed” furNormalverteilung
→ Vergleich mit AL Modell:Das Modell erfasst die ungewohnlichen Eigenschaften am besten
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Zinsraten
Betrachtete Daten: Zinsraten auf 30-jahrige Treasury Bonds imZeitraum von 1977-1993Yt = log( it
it−1) . . . logarithmische Anderungen (it ist Zinsrate eines
TB am letzten Tag des Monats t)Annahme: Yj sind i.i.d Beobachtungen von einer AL Verteilung→ Beobachteten Daten jetzt mit einem AL-Modell vergleichen:Dazu braucht man Parameter µ und σ. Diese Parameter kann mandann mit der Maximum-Likelihood Methode schatzen.
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Zinsraten
Vergleich verschiedener aus den Schatzern erhaltenen Parametermit den empirischen Werten:
Parameter Theoretische Werte Empirische Werte
Erwartungs-/Mittelwert -0.001018163 -0.001018163
Varianz 0.001733809 0.001372467
Mittlere Abweichung 0.02944785 0.02945773
Mittl. Abw. / Std. Abw. 0.7072175 0.7582487
Schiefe -0.07334177 -0.2274964
Wolbung 3.003586 3.599207
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Wechselkursanderungen
Anderung der Wechselkurse von verschieden Wahrungen
Beispiel
Wechselkurs von Deutscher Mark in US Dollar (DM/US) undJapanischem Yen in US Dollar (Y/US)
empirische Verteilung wieder sehr ‘spitzig’ und ‘fat-tailed’
→ AL-Modell approximiert die ungewohnlichen Eigenschaftenwieder am Besten
R. Bajons Die Laplace-Verteilung
betrachtet wird ein Datenset der Wechselkurse (DM/US), (Y/US)vom 1.1.80 bis 12.7.90wir betrachten wieder die logarithmischen Anderungen desWechselkurses aber dies von einem Tag auf den anderen( itundit+1
sind die Tageskurse Die Parameter µ und σ konnen wieder mittelsMaximum-Likelihood-Methode geschatzt werden.
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