was ist das Pascalsche Dreieck? Anwendung Erweiterungen Fazit Quellen
Das Pascalsche DreieckMathematisches Proseminar:
Implementierung mathematischer Algorithmen
Laura Heß
09.01.2014
was ist das Pascalsche Dreieck? Anwendung Erweiterungen Fazit Quellen
Gliederung
1 was ist das Pascalsche Dreieck?AllgemeinFolgenMuster
2 AnwendungBinomischer LehrsatzWahrscheinlichkeitsrechnungAbzahlbarkeitAnzahl von Elementen von Polytopen
3 ErweiterungenTrinomial TrianglePascalsche PyramideTrinomialkoeffizientenMultinomialkoeffizientenMatrixexponentialNegative n
4 Fazit5 Quellen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein
Name geht auf Blaise Pascal zuruck
Abhandlungen uber das arithmetische Dreieck 1655
hauptsachlich Wahrscheinlichkeitstheorie
fruhste Darstellung 10. Jahrhundert
[2]
Abbildung : Blaise Pascal, 19.06.1623 - 19.08.1662
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein
[3]
Abbildung : Pascalsches Dreieck
Darstellung der Summe von 2 benachbarten Zahlen(n + 1
k + 1
)=
(n
k
)+
(n
k + 1
)
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein
[4]
Abbildung : Pascalsches Dreieck
grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein- Programmcode Fakultat
l o n g d o u b l e f a k u l t a e t ( l o n g d o u b l e n , i n t ∗ z a e h l e r ){i f ( n==0){(∗ z a e h l e r ) ++;r e t u r n 1 ;}
e l s e i f ( n==1){(∗ z a e h l e r )++;r e t u r n 1 ; }e l s e{(∗ z a e h l e r )++;r e t u r n n∗ f a k u l t a e t ( n−1, z a e h l e r ) ; }}
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein- Programmcode Ausgabe
f o r ( i n t i =0; i<=n ; i ++){f o r ( i n t j =0; j<=i ; j ++){b i n k o e f f=f a k u l t a e t ( i , z e i g e r z a h l )/( f a k u l t a e t ( i−j , z e i g e r z a h l )∗f a k u l t a e t ( j , z e i g e r z a h l ) ) ; cout<<b i n k o e f f <<”” ;}cout<<e n d l ;cout<<e n d l ; }
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein
Abbildung : Anzeige
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein
Entdeckung der Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck:
Z.B. Zeile 6: 1 6 15 20 15 6 1
Mit welcher Zahl multiplizieren, um die nachste zu erhalten?
Beispiel: 15: 6. Zeile, 2. Zahl61 ∗
52 = 15 =
(62
)= 6!
4!∗2! = 6∗52∗1
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Diagonalen
Diagonale rechts-oben nach links unten analog zu links-obennach rechts-unten
1. Diagonale: nur 1(n0
)bzw.
(nn
)2. Diagonale: naturliche Zahlen
(n1
)
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Diagonalen
3. Diagonale: Dreieckszahlen
Summe der Zahlen von 1 bis n
[5]
Abbildung : Dreieckszahlen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Diagonalen
4. Diagonale: Tetraederzahlen
Bildung eines Tetraeders anstatt eines DreiecksFormel
n ∗ (n + 1) ∗ (n + 2)
6
...
n-te Diagonale: n-te figurierte Zahlen
weitere Auffalligkeiten:
Jede Diagonale enthalt die Folge der Partialsummen zu derFolge in der daruberliegenden Diagonalen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen
[6]
Abbildung : Fibonacci-Zahlen
Summen der flachen Diagonalen
bei dem symmetrischen Dreieck lassen sich die Diagonalenmanchmal nicht bis zum Ende durchziehen - unwichtig
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Zeilen
Zeilen:
Zeilensumme 1 der Eintrage ist immer 2n
folgt ausn∑
k=0
(n
k
)= 2n
Aneinanderreihen der Ziffern Zeile 0-4 : 1, 11, 121, 1331,14641
Potenzen von 11 (110, 111,...)
ab Zeile 5: 1 5 10 10 5 1 folgt:
1 + 5 ∗ 10 + 10 ∗ 100 + 10 ∗ 1000 + 5 ∗ 10000 + 1 ∗ 100000 = 115
1man beginnt Zeilennummerierung mit 0
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Zeilen
∑nk=0
(nk
)· xk · y (n−k ) = (x + y)n
folgt beides aus dem Binomischen Lehrsatz mit y=1 und x=1bzw. x=10
Zeilen, die eine Primzahl nach der 1 haben : Alle Elementedurch die Primzahl teilbar
Bildung der 11. Zeile: 11 ∗ 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ .../1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ...11 nicht kurzbar und somit in allen Zahlen vorhanden
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Zeilen
Produkt der Zeilenelemente sn =∏n
k=0
(nk
)=∏n
k=0n!
(n−k)!∗k!
Zeilenverhaltnis: sn+1
sn= (n+1)n
n!
Verhaltnis von 2 Zeilenverhaltnissen:sn+1snsn
sn−1
= (sn+1)∗(sn−1)(sn)2
= (n+1n )n
fur n→∞ gegen e
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Muster
Muster:
[7]
Abbildung : Pascalsches Dreieck
modulo p
p=2 : malt alle durch 2 teilbaren Zahlenkastchen aus
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Muster
erzeugtes Muster : Sierpinski-Dreieck
[8]
Abbildung : Sierpinski Dreieck
ahnliche Muster durch anderes p
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Muster
Quadratringe:
[7]
Abbildung : Quadratringe
Produkt aller Zahlen im Ring ergibt eine Quadratzahl
Produkt der schwarzen Quadrate gleich Produkt derOrangenen
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Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein
Programme: Ausrechnen der Werte des Pascalschen Dreiecks
Vergleich der Programme
Berechnung durch BinomialkoeffizientenBerechnung durch Binomialkoeff. und Dreieckszahlen,...Berechnung mithilfe von Summen
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AnwendungenBinomischer Lehrsatz
1. Binomischer Lehrsatz∑nk=0
(nk
)· xk · y (n−k ) = (x + y)n
schnell beliebige Potenzen von Binomen ausmultiplizieren ,z.B. (a + b)3
auch fur (a− b)n
Minuszeichen immer bei ungeraden Potenzen von b
fur große n unbrauchbar
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AnwendungenWahrscheinlichkeitsrechnung
Anwendung in Kombinatorik
zum Beispiel Ziehen ohne Zurucklegen, Lotto(496
)Galtonbrett
zeigt Anzahl der Moglichkeiten , diesen Punkt zu erreichen
[11]
Abbildung : Galtonbrett
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AnwendungenAbzahlbarkeit
Abzahlbarkeit der rationalen Zahlen:
Betrachtung 2. und 3. Diagonale:
rechte Zahl entsteht aus der linken mit Multiplikation von: 1,32 , 2 , 52 , 3, ...
Betrachtung 3. und 4. Diagonale:
rechte Zahl entsteht durch Multiplikation mit: 1, 43 , 53 , 63 , ...
Muster geht nach rechts unten mit 4tel, 5tel, ... weiter
Fortsetzung des Musters schrag nach oben enthalt man allekleiner 1
alle Bruchzahlen sind im Pascalschen Dreieck enthalten
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AnwendungAnzahl von Elementen von Polytopen
z.B. Anzahl von Ecken und Kanten im Dreieck : 3. Zeile: 1 33 1
1 2-dim. Element: sich selbst
3 1-dim. Elemente: Kanten
3 0-dim. Elemente: Ecken
1 : nachster Eckpunkt
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AnwendungAnzahl von Elementen von Polytopen
vom Dreieck zum Tetraeder (4.Zeile) :
3-dim. Elemente: Dreieck: 0, Tetraeder: 1 daraus folgt0 + 1 = 1
2-dim. Elemente: Dreieck: 1, Tetraeder: 3 (neue Flachen)daraus folgt 1 + 3 = 4
1-dim. Elemente: Dreieck: 3, Tetraeder: 3 daraus folgt3 + 3 = 6
0-dim .Elemente: Dreieck: 3, Tetraeder: 1 daraus folgt3 + 1 = 4
letzte 1 hinzufugen fur den nachsten Eckpunkt
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AnwendungenTrinomial Triangle
Trinomial Triangle
Abwandlung des Pascalschen Dreiecks
Summe von drei daruberstehenden Eintragen
kaum mathematische Relevanz
[9]
Abbildung : Trinomial Triangle
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AnwendungenPascalsche Pyramide
Pascalsche Pyramide
dreidimensionale Verallgemeinerung
Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks lassen sich sinngemaßubertragen
Spitze der Pyramide einzelne 1
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AnwendungenPascalsche Pyramide
Bildung der einzelnen Ebenen (der n-ten):
Außenkanten: entsprechen der n-ten Zeile2 des PascalschenDreiecksfullen der m-ten Zeile der Ebene mit den Eintragen aus derm-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks, multipliziert mit den anden Seiten bereits eingetragener Zahl
2Nummerierung beginnt bei 0
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AnwendungenPascalsche Pyramide
Ebenenschnitte der Pyramide
1. Ebene eine 1
2. Ebene:1
1 1
3. Ebene:1
2 21 2 1
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AnwendungenPascalsche Pyramide
4. Ebene:
13 3
3 6 31 3 3 1
analoge Fortsetzung
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ErweiterungenTrinomialkoeffizienten
in Pascalscher Pyramide
zu berechnen durch (i+j+k)!i!j!k! mit i + j + k = n
Bildung der Pyramide darauf zuruckfuhren(i+j+k)!i!j!k! = (i+j+k)!
(i+j)!∗k! ∗(i+j)!i!j!
Eintrag aus der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks * an derSeite eingetragener Faktor
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ErweiterungenMultinomialkoeffizienten
Verallgemeinerung der Binomialkoffizienten( nk1,...,kr
)= n!
k1!∗...∗kr !Multinomialsatz (Verallgemeinerung des BinomischenLehrsatzes)(x1 + ... + xr )n =
∑k1+...+kr=n
( nk1,...,kr
)∗ xk1 1∗... ∗ xkr r
Anzahl der Moglichkeiten n Objekte in r Schachteln zu legen
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ErweiterungenMultinomialkoeffizienten
Beispiel: Wie viele Moglichkeiten gibt es, die 32 Karten einesSkartspiels zu je 10 Karten auf 3 Spieler und 2 Restkarten zuverteilen?
Objekte: n=32;Schachtel1=Schachtel2=Schachtel3=10;Schachtel4=2( 3210,10,10,2
)= 32!
10!·10!·10!·2!
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ErweiterungenMatrixexponential
Matrixexponential der Matrix mit Eintragen der naturlichenZahlen unter der Hauptdiagonalen
[10]
Abbildung : Matrixexponential
enthalt Matrix mit Pascalschem Dreieck
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Erweiterungennegative n
1. Moglichkeit: negative Zeilennummer
Schritt 1: ganz normal hinschreibenm=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 ...
n=0 1 0 0 0 0 0 ...n=1 1 1 0 0 0 0 ...n=2 1 2 1 0 0 0 ...n=3 1 3 3 1 0 0 ...n=4 1 4 6 4 1 0 ...
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Erweiterungennegative n
Schritt 2:m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 ...
n=-4 1n=-3 1n=-2 1n=-1 1n=0 1 0 0 0 0 0 ...n=1 1 1 0 0 0 0 ...n=2 1 2 1 0 0 0 ...
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Erweiterungennegative n
Schritt 3: Regel:(nm
)=(n−1m−1
)+(n−1
m
)umstellen:
(n−1m
)=(nm
)−(n−1m−1
)m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5...
n=-4 1 -4 10 -20 35 -56 ...n=-3 1 -3 6 -10 15 -21 ...n=-2 1 -2 3 -4 5 -6 ...n=-1 1 -1 1 -1 1 -1 ...n=0 1 0 0 0 0 0 ...n=1 1 1 0 0 0 0 ...n=2 1 2 1 0 0 0 ...
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Erweiterungennegative Zeilen und Spalten
Moglichkeit fur negative Zeilen und Spalten mitMatrixexponential
[10]
Abbildung : Erweiterung
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Fazit
sehr einfache Bildung
erstaunlich, was man alles darin finden kann
viele Folgen, Muster, Abzahlbarkeit,Wahrscheinlichkeitsrechnung und Geometrie
gibt bei Verallgemeinerungen noch viele Zusammenhange zuentdecken
z.B. Pascalsches Dreieck und Sierpinski Dreieck
Verallgemeinerung Pascalsche Pyramide und SierpinskiPyramide
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Fragen?
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[1] Hans Magnus Enzensberger. Der Zahlenteufel. dtv.Deutscher Taschenbuch Verlag, 01.11.1999,Munchen, 1999.
[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
[3] http://www.automatisierungstechnik-koeln.
de/ma/pascal_dreieck.gif
[4] http:
//gfs.khmeyberg.de/0809/0809Kurs12Ma1e/
0809UnterrichtMathematik12MA1eStochastik.
html
[5] http:
//de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahlen
[6] http://www.michael-holzapfel.de/themen/
pascaldreieck/pascal9.gif
[7] http://www.serlo.org/uploads/1563.png
was ist das Pascalsche Dreieck? Anwendung Erweiterungen Fazit Quellen
[8] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:
Sierpinski-Trigon-7.svg
[9] http:
//de.wikipedia.org/wiki/Trinomial_Triangle
[10] http:
//en.wikipedia.org/wiki/Pascals_Triangle
[11] http://www.google.de/imgres?sa=X&rlz=
1C1OPRA_enDE570DE570&espvd=210&es_sm=
93&biw=1280&bih=699&tbm=isch&tbnid=
xUtvkTVrWhnEqM%3A&imgrefurl=http%3A%2F%
2Fde.wikibooks.org%2Fwiki%2FZufall&docid=
NXEm7lxxljjY1M&imgurl=http%3A%2F%2Fupload.
wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%
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2726&page=1&start=0&ndsp=21&ved=
0CI4BEK0DMBE
[12] http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_
Dreieck
[13] http:
//www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=
s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CC8QFjAA&url=
http%3A%2F%2Fwww.mathematik.tu-dortmund.
de%2Fieem%2Fcms%2Fmedia%2FBzMU%2FBzMU2010%
2FBzMU10_BICKER_Ursula_Pascal-dreieck.
pdf&ei=VI7FUsaWOc3BtAbMnIHYDA&usg=
AFQjCNESEOVXt45M-quDegJVCLv41kmW4g&bvm=bv.
58187178,d.Yms, Ursula Bicker, Produktives Ubenund Argumentieren mit dem Pascalschen-Dreieck