Das Lächeln der MathematikerDas Lächeln der Mathematiker
Peter DeuflhardPeter Deuflhard
Konrad-Zuse-Zentrumfür Informationstechnik Berlin
und
Freie Universität BerlinFB Mathematik und Informatik undDFG Forschungszentrum Mathematik für Schlüsseltechnologien
Konrad-Zuse-Zentrumfür Informationstechnik Berlin
und
Freie Universität BerlinFB Mathematik und Informatik undDFG Forschungszentrum Mathematik für Schlüsseltechnologien
Peter Deuflhard (ZIB und FU) 2
Mona Lisa del GiocondaMona Lisa del Gioconda
Leonardo da Vinci (1507)Maler, Mathematiker und
Festungsbauer
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Gesicht vor der OperationGesicht vor der Operation
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Tomographische BildgebungTomographische Bildgebung
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Radon Transformation (1917)Radon Transformation (1917)
zweidimensionale Radon Transformation
Gegeben:
Gesucht:
Johann Radon(*1887 in Decin, †1956 in Wien)
x)xn( dp)x(f ),( pg
),( pg)x(f
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Radonsche UmkehrformelRadonsche Umkehrformel
Inverse der Radon Transformation
x)xn( dp)x(f ),( pg
'
''
1
2
1)(
2dp
dp
d
ppph
),( pg
dpph )(2
1
)yx,(f
Peter Deuflhard (ZIB und FU) 7
AlgorithmenAlgorithmen
Bild mit NN Pixeln (N=1024) 1.000.000
Unbekannte
Hounsfield (1968)50 OperationenRechenzeit: ca. 70 Stunden
aktuelle VerfahrenBracewell / Riddle, 1967Shepp / Logan, 1974 OperationenRechenzeit: ca. 5 Sekunden
4N
3N
2N
Godfrey N. Hounsfield
(Nobelpreis 1979)
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3D-Bildstapel3D-Bildstapel
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3D Operationsplanung3D Operationsplanung
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Weichgewebe / PhysikWeichgewebe / Physik
Spannung direkt proportional zur Verzerrung Spannung direkt proportional zur Verzerrung
klijklij C
Verzerrungstensor Verzerrungstensor
• Gleichgewichtsbedingung• Gleichgewichtsbedingung ijij F,
Verschiebungen Verschiebungen iii xxu '
ijllijij 211
E
+ ...
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Weichgewebe / MathematikWeichgewebe / Mathematik
Partielle Differentialgleichungen(Lamé-Navier, 1821)Partielle Differentialgleichungen(Lamé-Navier, 1821)
z
y
x
u
u
u
zyx 2
2
2
2
2
2
u
z
u
y
u
x
u zyx
udiv
u
u
u
u
div
div
div
divgrad
z
y
x
0divgrad21
1
uu
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3D Patientenmodell3D Patientenmodell
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Kaskade AlgorithmusKaskade Algorithmus
adaptiv
Mehrgitter
adaptiv
Mehrgitter
250.000 Unbekannte
PC: linear 2 min
nichtlinear 8 min
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GesichtsprofilGesichtsprofil
nichtlineare Vorhersage
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MuskelmodellMuskelmodell
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Ein berechnetes LächelnEin berechnetes Lächeln
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Arbeitsgruppe Computer Assisted Surgery (CAS), ZIB
P. Deuflhard, S. Zachow, E. Gladilin, B. Erdmann, H.-Chr. Hege
KooperationH.-F. Zeilhofer, R. Sader
Kantonsspital Basel, Universitätsklinik für Wiederherstellende Chirurgie
Center for Advanced Cranio-Maxillofacial Surgery am Klinikum rechts der Isar, Technische Universität München
Arbeitsgruppe Computer Assisted Surgery (CAS), ZIB
P. Deuflhard, S. Zachow, E. Gladilin, B. Erdmann, H.-Chr. Hege
KooperationH.-F. Zeilhofer, R. Sader
Kantonsspital Basel, Universitätsklinik für Wiederherstellende Chirurgie
Center for Advanced Cranio-Maxillofacial Surgery am Klinikum rechts der Isar, Technische Universität München
Das Lächeln der MathematikerDas Lächeln der Mathematiker
Peter DeuflhardPeter Deuflhard
Konrad-Zuse-Zentrumfür Informationstechnik Berlin
und
Freie Universität BerlinFB Mathematik und Informatik undDFG Forschungszentrum Mathematik für Schlüsseltechnologien
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und
Freie Universität BerlinFB Mathematik und Informatik undDFG Forschungszentrum Mathematik für Schlüsseltechnologien