Lehrerakademie — November 14, 2016 — 1
Darf man das?Vom Umgang mit divergenten Reihen
richard rascher-friesenhausen
MNU Tagung,15. November 2016
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
InhaltWorum Geht Es?
Mathe Hokuspokus
Darf Man Das?
Konvergenz und Divergenz
Mal Anders Summieren!
Und Nun?
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 2
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Worum Geht Es?
YouTube-Video von numberphile rechnet vor, dass
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = − 112
und ernten jede Menge Kritik dafür:
▷ „This is not an astounding result, it is simply a false one. . . .“
▷ „Are those guys taking drugs?! Amazing!“
▷ „Hmmmm. I don’t understand. . . . :/“
▷ „This sort of mathematical sleigh of hand, smoke and mirrors, pulling a finitenegative rabbit out of an empty positive infinite hat does not impress me;worse yet, it gives legitimate, observable, repeatable mathematic a badname.“
numberphile.com, The New York Times
Worum Geht Es?
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
1 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= ?1 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= 1.51 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= 1.751 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= 1.8751 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= 1.93751 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= 1.968751 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= 1.9843751 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= 1.9921881 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= 1.9999991 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + 132 + 1
64 + 1128 + · · · =
∞∑k=0
12k
= 2
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑
k=0(−1)k = ?1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =
∞∑k=0
(−1)k = 01 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑
k=0(−1)k = 11 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =
∞∑k=0
(−1)k = 01 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑
k=0(−1)k = 11 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =
∞∑k=0
(−1)k = 01 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑
k=0(−1)k = 11 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =
∞∑k=0
(−1)k = 01 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑
k=0(−1)k = ?1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =
∞∑k=0
(−1)k = ?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑
k=0k = ?1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =
∞∑k=0
k = 11 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑
k=0k = 31 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =
∞∑k=0
k = 61 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑
k=0k = 101 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =
∞∑k=0
k = 151 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑
k=0k = 211 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =
∞∑k=0
k = 281 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑
k=0k = ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
50
100
150
200
Wollen unendlich viele Zahlen addieren und schaun, ob und was rauskommt.
a0 + a1 + a2 + · · · + ak + · · · =∞∑
k=0ak = ? ‚Reihe‘
Etwa
Oder
Und
Und viele mehr1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + · · · =
∞∑k=0
(−1)k−1k = ?
1 − 12 + 1
3 − 14 + 1
5 − · · · =∞∑
k=1(−1)k+1 1
k= ln(2)
1 − 13 + 1
5 − 17 + 1
9 − · · · =∞∑
k=0(−1)k 1
2 k + 1 = π
4
Halten fest: Manchmal kommt was raus. Manchmal auch nicht!
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 3
Worum Geht Es?
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Einfaches Aufsummieren teilt die Welt aller Reihen∑
ak auf in
‚konvergent‘ versus ‚divergent‘
∑(12)k
∑(−1)k 1
k ∑(−1)k
∑(−1)k k
∑k
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Mathe Hokuspokus
. . . oder wie in dem YouTube-Video gerechnet wurde.
The New York Times; numberphile.com
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 4
Mathe Hokuspokus
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
G = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·+ G = 0 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · ·
2 G = 1D.h. 2 G = 1 oder G = 1
2 .
Also ∑∞k=0(−1)k = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =HP 1
2
A = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + · · ·+ A = 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − · · ·
2 A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·D.h. 2 A = G = 1
2 oder A = 14 .
Also ∑∞k=1(−1)k+1 k = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · =HP 1
4
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + · · ·+ − A = −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − · · ·
S − A = 4 + 8 + 12 + 16 + · · ·
D.h. S − A = 4 S oder 3 S = −A = −14
oder S = − 112 .
Und letztlich ∑∞k=1 k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · =HP − 1
12The New York Times
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Darf Man Das?Zuvor eine historische Bemerkung:
„Divergente Reihen sind eine Erfindung des Teufels, und es ist ein Jammereinen Beweis darauf zu gründen.“
N.H. Abel (Jan.1826)
Grenzwerte G, A und S existieren ja nicht und dann darf man auch nicht sorechnen. Erlaubt nur für konvergente Reihen.
Niels Henrik Abel
Damit lautet die Antwort also:
Nein, darf man nicht. Aber . . .
MacTutor History of Math
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 5
Darf Man Das?
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Aber andere machen das auch!
Leonhard Euler Srinivasa Ramanujan Geofrey Hardy Terence Tao Joseph Polchinski
MacTutor History of Math; Wikipedia.en
Darf Man Das?
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
√4√
−4?
R−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
√4√
−4?
√−4 C
i
2i
Und überhaupt. Aus negativen Zahlen darf man auch keine Quadratwurzel ziehen.√
4 = 2 aber√
−4 = ?
Trotzdem machen Mathematiker das! Sie finden einen neuen, konsistenten, Kontext: Die Menge der ‚komplexen Zahlen‘ Cmit imaginärer Einheit i2 = −1. Darin
√4 = 2 und
√−4 = 2 i
Das bisherige Rechnen bleibt erhalten: R ⊂ C.
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 6
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Konvergenz und Divergenz
Augustine Louis Cauchy
Reihenwert S von∑∞
k=1 ak wird durch Aufaddieren der Summanden (der Reihe nach) ermittelt: ‚Partialsummen‘
sK = a1 + a2 + · · · + aK
Und dann schauen, ob für K → ∞ etwas herauskommt.
Definition: Eine Reihe∑∞
k=1 ak heißt ‚konvergent‘ oder ‚Cauchy-summierbar‘ mit demWert S, wenn die Folge der Partialsummen {sK}K∈N gegen S konvergiert:
sK −→ S für K → ∞.
Dann schreibt man S =∑∞
k=1 ak. Ansonsten heißt∑∞
k=1 ak ‚divergent‘.
Das Aufaddieren der ak kommt dem Wert S schließlich beliebig nahe.
MacTutor History of Math
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Für∑∞
k=012k gilt (‚geometrische Reihe‘)
sK = 1 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + · · · + 12K
= 1 − 1/2K+1
1 − 1/2 = 2 · (1 − 12K+1 ) −→
K→∞2
Also ∞∑k=0
12k
= 2 konvergent
Für∑∞
k=0(−1)k gilt (‚Grandi-Reihe‘)
sK = 1 − 1 + 1 − · · · ± 1 ={
0 für K gerade1 für K ungerade −→
K→∞?
Also ∞∑k=0
(−1)k =? divergent
Für∑∞
k=0 k gilt (‚unsere Reihe‘)
sK = 1 + 2 + 3 + · · · + K = 12 K (K + 1) −→
K→∞∞
Also ∞∑k=0
k = ∞ divergent
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 7
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Augustine Louis Cauchy
konvergent divergent
∑(12)k
∑(−1)k 1
k ∑(−1)k
∑(−1)k k
∑k
MacTutor History of Math
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Noch etwas strenger ist
Definition: Eine Reihe∑∞
k=1 ak heißt ‚absolut-konvergent‘, wenn die Reihe∑∞
k=1 |ak| konvergent ist.
Etwa
1 − 14 + 1
9 − 116 + · · · =
∞∑k=1
(−1)k+1 1k2 = 1
12 π2
ist absolut konvergent, weil auch
1 + 14 + 1
9 + 116 + · · · =
∞∑k=1
1k2 = 1
6 π2.
konvergent.
Satz: Jede absolut-konvergente Reihe ist auch konvergent.
Bew.: Über Cauchy-Konvergenz-Kriterium und Dreiecksungleichung.
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 8
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Aber
1 − 12 + 1
3 − 14 + 1
5 − 16 + 1
7 − 18 + · · · =
∞∑k=1
(−1)k+1 1k
= ln(2) konvergent
mit Leibniz-Kriterium und
1 + 12 + 1
3 + 14 + 1
5 + 16 + 1
7 + 18 + · · · =
∞∑k=1
1k
= ∞ divergent
D.h. die alternierende harmonische Reihe ist nicht absolut konvergent.
Definition: Eine konvergente, aber nicht absolut-konvergente, Reihe heißt ‚bedingt konvergent‘.
Die alternierende harmonische Reihe ist bedingt konvergent. Wie auch bspw.∞∑
k=1(−1)k 1√
k= (
√2 − 1) ζ(1
2) = −0.6048986 . . . .
Eine konvergente Reihe benötigt unendlich viele Vorzeichenwechsel, um nicht absolut-konvergent sein zu können. Und dieSummen der positiven und negativen Summanden müssen jeweils divergieren.
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
konvergent divergent
∑(12)k
∑(−1)k 1
k2
∑(−1)k 1
k ∑(−1)k
∑(−1)k k
∑k
∑ 1k
absolut konvergent
bedingt konvergent
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 9
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Mit bedingt konvergenten Reihen kann man schon ein wenig Hokuspokus machen. Mit absolut-konvergenten nicht!
Das Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten nicht mehr: ‚Umordnung‘.
1 − 12 + 1
3 − 14 + 1
5 − 16 + 1
7 − 18 + · · · =
∞∑k=1
(1
2 k − 1 − 12 k
)
=∞∑
k=1(−1)k+1 1
k= ln(2) = 0.693147 . . .
1 − 12 − 1
4 + 13 − 1
6 − 18 + 1
5 − · · · =∞∑
k=1
12 k − 1 − 1
2 (2 k − 1) − 14 k
=∞∑
k=1
12
(1
2 k − 1 − 12 k
)
= 12
∞∑k=1
(1
2 k − 1 − 12 k
)= 1
2 ln(2) = 0.34657 . . .
Dieselben Summanden, aber eine andere Summe.1 + 1
3 − 12 + 1
5 + 17 − 1
4 + 19 + · · · = 3
2 ln(2). Siehe Appendix.
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Allgemeiner gilt der Riemann’sche Umordnungssatz
Satz: Ist∑∞
k=1 ak bedingt konvergent, dann existiert zu jeder Zahl S ∈ R ∪ {−∞, ∞} eine Umordnung σ der Sum-manden, so daß
∑∞k=1 aσ(k) gegen S konvergiert.
Beweisidee:Vorab: Es gibt unendliche viele positive und negative Summanden und ihre jeweiligen Summen divergieren.
Sei S ≥ 0, dann
1. Addiere zunächst soviele positive Summanden, bis Summe erstmals größer S.2. Addiere soviele negative Summanden, bis Summe erstmals kleiner S.3. Wiederhole die Schritte unendlich oft.
Da die einzelnen Summanden absolut gegen Null laufen, konvergiert die Gesamtsumme im ZickZack gegen S.
Für S < 0 vertauschen wir die Schritte 1. und 2.
Soviel zu den konvergenten Reihen. Nun zu den divergenten.
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 10
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Hatten schon divergente Reihen kennengelernt. Diese kommen in zwei Versionen.
1. Entweder, Summe fällt unter/steigt über jeden Wert: ‚bestimmt divergent‘∞∑
k=02k = ∞, denn sK =
K∑k=0
2k = 1 − 2K+1
1 − 2 = 2K+1 − 1 → ∞ für K → ∞
2. Oder Summe weiß nicht wohin: ‚unbestimmt divergent‘∞∑
k=0(−1)k =?, denn sK = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · ± 1 =
{1 K gerade0 K ungerade
konvergent divergent
∑(12)k
∑(−1)k 1
k2
∑(−1)k 1
k ∑(−1)k
∑(−1)k k
∑2k
∑k
∑ 1k
unbestimmt divergent bestimmt divergent
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Luigi Guido Grandi
Drauflos Rechnen mit divergenten Reihen ist Hokuspokus.
Etwa für die unbestimmt divergente ‚Grandi-Reihe‘∑∞
k=0(−1)k:
G = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · =HP (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0
G = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · =HP 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1
1 − G =HP 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) =HP 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = G ⇒ G =HP 12
Sogar für beliebige p, q ∈ N mit p < q ist
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · = G =HP p
q∈ (0, 1)
‚errechenbar‘ (mit Polynomdivision und Regel von de L’Hospital). Siehe Appendix.
MacTutor History of Math
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 11
Konvergenz und Divergenz
richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016
Oder für die bestimmt divergente geometrische Reihe∑∞
k=0 2k:∞∑
k=02k = S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · ·
= 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + 8 + · · ·) = 1 + 2 S
⇒ S = −1
Hier wird nochmal deutlich:
Bei divergenten Reihen sind die üblichen Rechenregeln der Addition und Multilikation nicht mehr gefahrlos anwendbar.
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Mal Anders Summieren!
Bisher nacheinander aufaddiert, also ‚Partialsummen‘ sK = a1 + a2 + · · · + aK gebildet.∑∞k=1 ak ‚konvergent‘ (‚Cauchy-summierbar‘) mit Wert S, wenn limK→∞ sK = S. Und dann
∑∞k=1 ak = S.
Viele andere ‚Summationsverfahren‘:
Abel, Borel, Cesaro, Euler, Lambert, Ramanujan, . . . .
Definieren jeweils neuen, konsistenten Kontext für Reihenwerte.
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Ernesto Cesaro
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K
sK
0
0.25
0.50
0.75
1
Betrachten jetzt einmal Mittelwerte der Partialsummen.
Definition: Eine Reihe∑∞
k=1 ak heißt ‚Cesaro-summierbar‘ mit Wert S, wenn der Grenz-wert limK→∞
1K (s1+s2+· · ·+sK) = S existiert. Wir schreiben dann
∑∞k=1 ak =C S.
Etwa für∑∞
k=0(−1)k = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =C 12
1K + 1
K∑n=0
sn ={
12 + 1
2 (K+1) für K gerade12 für K ungerade
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Aber∞∑
k=1(−1)k−1 k = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · ·
ist nicht Cesaro-summierbar, denn
sn = 1 − 2 + 3 − · · · ± n ={
k für n = 2 k − 1,−k für n = 2 k.
Hier erkennt man auch die unbestimmte Divergenz der Reihe.Weiter gilt damit
1K
K∑n=1
sn ={ 1
2 + 12 K für K ungerade,
0 für K gerade.
Hat keinen Grenzwert für K → ∞.
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Leider gilt
Satz: Jede bestimmt divergente Reihe ist nicht Cesaro-summierbar.
Damit sind insbesondere∑∞
k=1 k und∑∞
k=11k nicht Cesaro-summierbar.
Dafür gilt aber
Satz: Jede konvergente Reihe ist Cesaro-summierbar mit gleichem Wert.
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Ernesto Cesaro
Erweiterung der konvergenten zu ‚Cesaro-summierbaren‘ Reihen.
konvergent divergent
∑(12)k
∑(−1)k 1
k ∑(−1)k
∑(−1)k k
∑2k
∑k
∑1k
Cesaro summierbar
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Niels Henrik Abel
Betrachten jetzt einmal Potenzreihen.
Definition: Eine Reihe∑∞
k=0 ak heißt ‚Abel-summierbar‘ mit Wert S, wenn f(x) =∑∞k=0 ak xk für |x| < 1 konvergiert und limx→1− f(x) = S existiert. Wir schreiben
dann∑∞
k=0 ak =A S.
Etwa für∑∞
k=0(−1)k = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =A 12
f(x) = 1 − x + x2 − x3 + · · · =∞∑
k=0(−x)k = 1
1 + xund f(1) = 1
2
Und für∑∞
k=0(−1)k (k + 1) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · =A 14
f(x) = 1 − 2 x + 3 x2 − 4 x3 + · · · =∞∑
n=0(k + 1) (−x)k =
( ∞∑n=0
(−x)k
)2
= 1(1 + x)2 und f(1) = 1
4
Aus der unendlichen Summation wird eine Funktionsauswertung.
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Leider gilt immer noch
Satz: Jede bestimmt divergente Reihe ist nicht Abel-summierbar.
Damit sind insbesondere∑∞
k=1 k und∑∞
k=11k nicht Abel-summierbar.
Dafür gilt aber
Satz: Jede Cesaro-summierbare Reihe ist Abel-summierbar mit gleichem Wert.
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Niels Henrik Abel
Und noch mehr Erweiterung zu ‚Abel-summierbaren‘ Reihen.
konvergent divergent
∑(12)k
∑(−1)k 1
k ∑(−1)k
∑(−1)k k
∑2k
∑k
∑1k
Cesaro summierbar Abel summierbar
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Leonhard Euler
Definition: Eine Reihe∑∞
k=0 ak heißt ‚Euler-summierbar‘ mit Wert S, wenn f(x) =∑∞k=0 ak xk für |x| < ε konvergiert und f(1) = S existiert. Wir schreiben dann∑∞k=0 ak =E S.
Konvergenzbereich der Potenzreihe muß nicht mehr ganz (−1, 1) enthalten.Funktion muß nur stetig erweiterbar bis x = 1 sein.
Etwa für∑∞
k=0 2k = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + · · · =E −1
f(x) =∞∑
k=02k xk =
∞∑k=0
(2 x)k = 11 − 2 x
∀|x| <12 und f(1) = −1
Unsere Reihe∑∞
k=1 k = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · noch nicht dabei, deshalb . . .
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−3 −2 −1 0 1 2 3
i
2i
−i
−2i
Re(s) > 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
i
2i
−i
−2i
C \ {1}
Nochmal anders Argumentieren. Mit der ‚Riemann-Zeta-Funktion‘
ζ(s) =∞∑
k=1
1ks
= 1 + 2−s + 3−s + 4−s + · · · für s ∈ C mit Re(s) > 1.
Formal giltζ(−1) = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =
∞∑k=1
k
Aber s = −1 liegt nicht im Definitionsbereich. ζ besitzt analytische Fortsetzung
ζ(s) = 11 − 21−s
∞∑n=0
12n+1
n∑k=0
(−1)k(n
k
)(k + 1)−s für s ∈ C \ {1}.
Hier gilt tatsächlich
ζ(−1) = − 112 =ζ 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =
∞∑k=1
k
Damit dann auch
1 + 22 + 32 + 42 + · · · =ζ 0 = ζ(−2) oder 1 + 1 + 1 + 1 + · · · =ζ −12 = ζ(0)
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Nochmal ganz anders Argumentieren. Mit ‚regularisierter Summierung‘.
Aus
S =∞∑
k=1k
wird mit ‚Regulator‘ R(ε) = exp(−ε k) für ε ≥ 0
S(ε) =∞∑
k=1k e−ε k
Offensichtlich S = S(0). Weniger offensichtlich
S(ε) =∞∑
k=1k e−ε k = eε
(eε − 1)2 = 1ε2 − 1
12 + O(ε2)
Dann für ε → 0 und unter Missachtung der Unendlichkeit in 1/ε2
S(0) = − 112 =R 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =
∞∑k=1
k
So machen es die Physiker in der String-Theorie.
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Und Nun?Unbedingt den Kontext beachten! Euler sagt dazu:
„Ich glaube, dass jede Reihe einen bestimmten Wert haben müsse. Um aberallen Schwierigkeiten, welche dagegen gemacht worden, zu begegenen, sosollte dieser Wert nicht mit dem Namen der Summe belegt werden, weilman diesem Wort gemeiniglich einen solchen Begriff verknüpfen pflegt,als wenn die Summe durch eine wirkliche Summierung herausgebrachtwürde: . . .“
G.H.Hardy: Divergent Series, p.15
Leonhard EulerWenn wir addieren, dann
1 + 2 + 3 + 4 + · · · =∞∑
k=0k = ∞. 1 + 2 + 3 + 4 + · · · ̸= − 1
12
Aber wir haben in anderen Kontext gesehen
1 + 2 + 3 + 4 + · · · =HP − 112 , 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =ζ − 1
12 , 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =R − 112
Damit scheint − 112 ein vernünftiger, endlicher Wert zu sein, wenn man denn einen für die divergente Reihe
∑k finden
muss. Z.B. in der String-Theorie.
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AppendixEine Sammlung weiterer Folien.
Appendix
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Leonhard Euler(1768):
Remarques sur un beau rapport entre les series des puissance tant directes que reciproques, S. 85
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 19
Appendix
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Srinivasa Alyangar Ramanujan(1919):
First Notebook, Chapter 8, p.3
Appendix
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Godfrey Harold Hardy(1949):
Divergent Series, p.6
Lehrerakademie — November 14, 2016 — 20
Appendix
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Terence Tao(2010):
The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, ...
Appendix
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Joseph Polchinski(2005):
String Theory, p.22
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Appendix
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◁Oder nochmal alternierende harmonische Reihe
1 − 12 + 1
3 − 14 + 1
5 − 16 + 1
7 − 18 + · · · = ln(2)
+12 − 1
4 + 16 − 1
8 + · · · = 12 ln(2)
1 + 13 − 1
2 + 15 + 1
7 − 14 + · · · = 3
2 ln(2)
Noch eine andere Umordnung mit noch einem anderem Summenwert.
Appendix
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◁FÃ1/4r p, q ∈ N mit p < q gilt zum einen
f(x) = 1 − xp
1 − xq= (1 − xp) ·
∞∑k=0
(xq)k = (1 − xp) · (1 + xq + x2 q + x3 q + · · ·)
= 1 − xp + xq − xq+p + x2 q − x2 q+p + · · ·
Speziell fÃ1/4r x = 1 erhalten wir den Ausdruck
f(1) = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · = G
Formal ist f(1) ein unbestimmter Ausdruck der Form
limx→1
1 − xp
1 − xq= ‚00 ‘
Mit der Regel von de L’Hospital ergibt sich
f(1) = limx→1
1 − xp
1 − xq= lim
x→1
−p xp−1
−q xq−1 = p
q= G.
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Appendix
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Noch mehr HokusPokus nach L. Euler:
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · = G = 12
Dann berachte
S = 1 + 1 + 1 + · · · = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 12
+ 0 + 2 + 0 + 2 + · · · = 2 S
Also
S = 2 S + 12 ⇔ S = −1
2Oder
∞∑k=0
1 = −12
Appendix
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Noch etwas allgemeiner
Definition: Ein Summationsverfahren V heià t ‚linear‘, wenn∑ak =V S ⇒
∑α ak =V α S
∑ak =V S und
∑bk =V T ⇒
∑(ak + bk) =V S + T
a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + · · · =V S ⇒ a1 + a2 + a3 + a4 + · · · =V S − a0
Definition: Es heià t ‚regulà r‘, wenn dieselben Werte fÃ1/4r konvergente Reihen herauskommen. Und ‚total regulà r‘,wenn dies auch fÃ1/4r bestimmt divergente Reihen gilt.
Cesaro und Abel bilden lineare und total regulà re Summationsverfahren.
Deshalb ist unsere Reihe∑∞
k=1 k auch nicht dabei!