Baustatik II – Probeklausur 1 Musterlösung
Baustatik IIMusterlösung Probeklausur 1
Aufgabe 1: Weggrößenverfahren
a) Biegemomentenverlauf über die Knotengleichgewichtsbedingungen
Nullzustand ( φ2 = 0, w2 = 0):
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Baustatik II – Probeklausur 1 Musterlösung
Stab 1:
M i ,10
= 0 M k ,10
=−q⋅l1
2
8=−68,75 kNm
Qi ,10
=−38⋅q⋅l 1 =−41,25kN Qk ,1
0=−
58⋅q⋅l1 =−68,75kN
Stab 2:
M i ,20
=6⋅EI 2
l 22 ⋅w k =−31,5kNm M k ,2
0=
6⋅EI 2
l22 ⋅w k =−31,5 kNm
Qi ,20
=−12⋅EI 2
l 23 ⋅w k = 15,75kN Qk ,2
0=
12⋅EI 2
l 23 ⋅w k =−15,75 kN
N i ,20
= 0 N k ,20
= 0
Knotengleichgewicht:
∑M 0= 0 : K 2
0−(−68,75)−(−31,5)= 0 ⇒ K2
0=−100,25kNm
∑Q 0= 0 : K 1
0−(−68,75)−0 = 0 ⇒ K1
0=−68,75kNm
Einheitszustand 1 (w2 = 1):
Stab 1:
M i ,11
= 0 M k ,11
=3⋅EI 1
l12 ⋅w2 = 0,12 EI 1
Qi ,11
=−3⋅EI 1
l 13 ⋅w2 =−0,024⋅EI 1 Qk ,1
1= 0,024⋅EI 1
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Baustatik II – Probeklausur 1 Musterlösung
Stab 2:
M i ,21
= 0 M k ,21
= 0
Qi ,21
= 0 Qk ,21
= 0
N i ,21
=EA2
l 2
⋅w2 = 0,25⋅EA2 N k ,21
=−EA2
l 2
⋅w2 =−0,25⋅EA2
Knotengleichgewicht:EA2
EI 1
= 9,09
∑Q1= 0 : K 1
1−0,024⋅EI 1−0,25⋅EA2 = 0 ⇒K 1
1=0,024⋅EI 1+0,25⋅9,09⋅EI 1 = 2,297⋅EI 1
∑M 1= 0 : K 2
1−0,12⋅EI 1−0 = 0 ⇒K 2
1= 0,12⋅EI 1
Einheitszustand 2 ( φ2 = 1):
Stab 1:
M i ,12
= 0 M k ,12
=3⋅EI 1
l1
⋅φ2 = 0,6 EI 1
Qi ,12
=−3⋅EI 1
l 12 ⋅φ2 =−0,12⋅EI 1 Qk ,1
2=
3⋅EI 1
l 12 ⋅φ2 = 0,12⋅EI 1
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Baustatik II – Probeklausur 1 Musterlösung
Stab 2:
M i ,22
=4⋅EI 2
l2
⋅φ2 = 1⋅EI 2 M k ,22
=2⋅EI 2
l2
⋅φ2 = 0,5⋅EI 2
Qi ,22
=−6⋅EI 2
l 22 ⋅φ2 =−0,375⋅EI 2 Qk ,2
2=
6⋅EI 2
l 22 ⋅φ2 = 0,375⋅EI 2
N i ,22
= 0 N k ,22
= 0
Knotengleichgewicht:
∑Q 2= 0 : K 1
2−0,12⋅EI 1−0 = 0 ⇒K 1
2=0,12⋅EI 1
∑M 2= 0 : K 2
2−0,6⋅EI 1−EI 2 = 0 ⇒K 2
2= 0,6⋅EI 1+
EI 2
EI 1
⋅EI 1 = 1,236⋅EI 1
Lösung des Gleichungssystems:
EI 1⋅[2,297 0,120,12 1,236]⋅[w2
φ2]= [ 68,75100,25]
D0 = 2,297 EI 1⋅1,236 EI 1−0,122 EI 12= 2,825⋅EI 1
2
D1 = 68,75⋅1,236 EI 1−0,12 EI 1⋅100,25 = 72,945⋅EI 1
D2 = 2,297 EI 1⋅100,25−68,75⋅0,12 EI 1 = 222,024⋅EI 1
w2 =D1
D0
=72,945
2,825 EI 1
=25,82EI 1
φ2 =D2
D0
=222,0242,825 EI 1
=78,59EI 1
Superposition: M end = M 0+w2⋅M
1+φ2⋅M
2
Stab 1:M i ,1 = 0kNm
M k ,1 =−68,75+0,12⋅EI 1⋅25,82EI 1
+0,6⋅EI 1⋅78,59EI 1
=−18,5kNm
Qi ,1 =−41,25−0,024⋅EI 1⋅25,82EI 1
−0,12⋅EI 1⋅78,59EI 1
=−51,3kN ⇒ 51,3 kN
Qk ,1 =−68,75+0,024⋅EI 1⋅25,82EI 1
+0,12⋅EI 1⋅78,59EI 1
=−58,7 kN
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Baustatik II – Probeklausur 1 Musterlösung
Stab 2:M i ,2 =M k ,1 =−18,5kNm (biegesteife Ecke)
M k ,2 =−31,5+0+0,5⋅EI 2⋅78,59EI 1
=−6,5kNm
Qi ,2 = 15,75+0−0,375⋅EI 2⋅78,59EI 1
=−3kN ⇒ 3 kN
Qk ,2 =−15,75+0+0,375⋅EI 2⋅78,59EI 1
= 3kN
Biegemomentenverlauf:
b) Querkraftverlauf
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Baustatik II – Probeklausur 1 Musterlösung
Aufgabe 2: Weggrößenverfahren
a) Stabendmomente, Stabendquerkräfte und N in Stab 3 mittels direkter Steifigkeitsmethode
Inzidenztabelle:
El.\D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
[1] 1 2 3 4 5 6
[2] 1 2 3 4 5 6
[3] 1 2 3 4
[cM] 1 2
Di 0 0 0 0 D5 D6 D7 0 0 D10 0 0 0
⇒ D red = [D5 D6] 2-fach geometrisch unbestimmt
Stabendkraftgrößen:Stab 1:
N i = 0kN N k = 0 kN
Qi =−58⋅q⋅l 1 =−62,5 kN Qk =−
38⋅q⋅l1 =−37,5kN
M i =q⋅l 1
2
8= 50 kNm M k = 0 kNm
⇒ s⃗ 0[1]
= [0 −62,5 50 0 −37,5 0]
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Baustatik II – Probeklausur 1 Musterlösung
Stab 2:N i = 0kN N k = 0 kN
Qi =32⋅EI 2
l 2
⋅αT⋅ΔT
h= 15 kN Qk =−
32⋅EI 2
l 2
⋅αT⋅ΔT
h=−15 kN
M i = 0kNm M k =−32⋅EI 2⋅
αT⋅ΔT
h=−45kNm
⇒ s⃗ 0[2]
= [0 15 0 0 −15 −45]
Stab 3:
⇒ s⃗ 0[3]
= [0 0 0 0 0 0]
Gesamtlastvektor:
F⃗ E = [0 62,5 −50 0 22,5 0 0 0 15 45 0 0 0]
F⃗ K = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
F⃗ ges = F⃗ E+ F⃗ K = F⃗ E
⇒ F⃗ ges,red = [22,5 45]
Gesamtsteifigkeitsmatrix:
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K red = [ K5 5 K 5 10
K10 5 K 10 10]
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EI C = EI 1 = 20000 kN /m² ⇒ EI 2 = 1,25⋅EI C cM = 0,75⋅EIC EA= 10⋅EI C
s3 = sin(α)= 0,8
c3 = cos(α) = 0,8
K 5 5 = K 5 5[1 ]
+K 2 2[2]
+K 2 2[3]
=3⋅EI 1
l 13 +
3⋅EI 2
l 23 +s3
2⋅EA3
l3= 1,466⋅EI C
K 5 10 = K10 5 = K 2 6[2 ]
=−3⋅EI 2
l22 =−0,4167⋅EIC
K10 10 = K6 62
+K 1 1[cM ]
=3⋅EI 2
l 2
+cM = 2⋅EIC
⇒ K red = [ 1,466 −0,4167−0,4167 2 ]⋅EIC
Lösung des Gleichungssystems:
K red⋅D⃗ red = F⃗ red
EI C⋅[ 1,466 −0,4167−0,4167 2 ]⋅[ D5
D10]= [22,5
45 ]
D̃ 0 = 1,466EI C⋅2EIC−(−0,4167)2EIC2= 2,758⋅EI C
2
D̃ 1 = 22,5⋅2EIC−(−0,4167)EIC⋅45 = 63,752⋅EIC
D̃ 2 = 1,466 EIC⋅45−22,5⋅(−0,4167)EI C = 75,346⋅EI C
D5 =D̃ 1
D̃ 0
=63,75⋅EI C2,758⋅EI C
2 =23,115EIC
≈ 1,156mm
D10 =D̃ 2
D̃ 0
=75,346⋅EI C2,758⋅EI C
2 =27,32EI C
≈ 1,366mrad
Schnittgrößenbestimmung:
[1] : d⃗ lok[1 ] = d⃗ gl
[1] = [0 0 0 023,115EI C
D6][2] : d⃗ lok
[2 ]= d⃗ gl
[ 2]= [0 23,115
EI CD7 0 0
27,32EI C ]
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Baustatik II – Probeklausur 1 Musterlösung
[3] : d⃗ lok[3]
= T FWST
⋅d⃗ gl[3]
= [0,6 −0,8 0 00,8 0,6 0 00 0 0,6 −0,80 0 0,8 0,6
]⋅[0
23,115/EIC00
]= [−18,49/EI C13,87/EIC
00
]s⃗ = K lok⋅d⃗ lok+ s⃗ 0, lok
[1] : s⃗ [1]= K GEIIa⋅d⃗ lok
[1 ]+ s⃗ 0, lok
[1]= [
0−3⋅EIC / l1
3⋅23,115/EIC
3⋅EI C / l 12⋅23,115/EIC
03⋅EI C /l 1
3⋅23,115/EIC
0]+[
0−62,5
500
−37,50
] = [0
−63,5854,33
0−36,42
0] ⇒ [
063,58
−54,330
−36,420
]
[2] : s⃗ [2]= K GEIIb⋅d⃗ lok
[2 ]+ s⃗ 0, lok
[2]= [
03⋅EI 2/ l 2
3⋅23,115/EI C − 3⋅EI 2 /l 2
2⋅27,32/EI C
00
−3⋅EI 2/ l 23⋅23,115/EIC + 3⋅EI 2/ l 2
2⋅27,32/EI C
−3⋅EI 2/ l 22⋅23,115/EIC + 3⋅EI 2/ l 2⋅27,32/EI C
]+[0
1500
−15−45
]= [
06,83
00
−6,83−20,48
] ⇒ [0
−6,8300
−6,83−20,48
]
[3] : s⃗ [3]= K FWS⋅d⃗ lok
[3]+ s⃗ 0, lok
[3]= [
0EA3/ l 3⋅(−18,49)/EI C
0−EA3/ l 3⋅(−18,49)/EIC
]= [−36,98
036,98
0] ⇒ [
36,980
36,980
]
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b) Biegemomentenverlauf und Querkraftverlauf
Biegemomentenverlauf
Querkraftverlauf
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Aufgabe 3: Einflusslinien
a) EL-Mi
Polplan:
Einflusslinie:
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η3 =a⋅ba+b
=0,5⋅1,5
2= 0,375
η4 =−4⋅η3
0,5=−3
η2 =−η3 =−0,375
η1
1=−
η2
1,5⇒ η1 =
0,3751,5
= 0,25
Auswertung:
Streckenlast q:
M i =12⋅0,25⋅q⋅1+
12⋅(−0,375)⋅q⋅1,5+
12⋅(−0,375)⋅q⋅1,5 =−0,4375⋅q =−13,125kNm
Einzellast F:M i = η4⋅F =−3⋅F =−150 kNm
b) EL-Qi
Polplan:
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Einflusslinie:
η3
1,5=−
16
⇒ η3 =−1,56
=−0,25
η4 = 1−∣η3∣= 1−0,25 = 0,75
η2 =−η3 = 0,25
η1 =−η2
1,5=−
16
Auswertung:
Streckenlast q:
Qi =12⋅(−1
6 )⋅q⋅1+2⋅12⋅0,25⋅q⋅1,5 = 0,2916̄⋅q = 8,748 kN
Einzellast F:Qi = 0 kN
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c) EL-C
Polplan:
Einflusslinie:
η3 = 1η4
6=
η3
3⇒ η4 = 2⋅η3 = 2
−η2
1,5=
η3
3⇒ η2 =
η3⋅(−1,5)
3=−0,5
η1 =−η2
1,5=
13
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Baustatik II – Probeklausur 1 Musterlösung
Normierung, da 45° Winkel:
⇒ a =√22
η3 = η3⋅a =√22
η4 = √2
η2 =−√24
=−√ 224 =−
1
√23=−
12⋅√2
η1 =−23⋅η2 =
13⋅√2
Auswertung:
Streckenlast q:
C =12⋅( 1
3⋅√2)⋅q⋅1+2⋅12⋅(− 1
2⋅√2)⋅q⋅1,5 =−0,412⋅q =−12,37 kN
Einzellast F:
C = η4⋅F = √2⋅F = 70,71kN
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