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EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 DDDDüüüünnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faessler

Vektorprodukt auf beiden Seiten, ergibt:

LdM

Der Bewegungszustand eines rotierenden Körperswird durch seinen Drehimpuls L beschrieben.

ändert ein Drehmoment den Drehimpuls, denn

Treten keine äußeren Drehmomente auf (M=0),ist der Gesamtdrehimpuls erhalten (L=const.)

Analog zum Drehmoment nimmt der Drehimpulsmit dem Impuls p und dem Bahnradius r zu.

dtpdFrr

=Entsprechend

b) b) b) b) DrehimpulsDrehimpulsDrehimpulsDrehimpuls

Für Massenpunkt auf Kreisbahn:L=r· p

Für Massenpunkt auf beliebiger Bahn im Raum:

pxrLrrr

dt/pdxrFxrrrrr

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Beispiele zur Drehimpulserhaltung

Kreisel: sowohl Betrag als auch Richtung des Drehimpulses (Achse) bleiben erhalten

Solange keine äußeren Drehmomente wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems (Person + Schwungrad) erhalten (da der Drehimpuls des Rads geändert wird, muss die Person ein inneres Drehmoment ausüben).

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∑ ∫ ⋅=⋅=i

2ii dmRRmI

∑ ×= ii prLrrr

ω⋅= IL

Die ‘Rotationsträgheit’ eines Körpers steigt quadratisch mit dem Abstand der Massenelemente von der Drehachse

Drehimpuls starrer (ausgedehnter) Körper

- Alle Elemente rotieren mit fester Winkelgeschwindigkeit ωωωω- Summation über Massenelemente

Wegen pi=mi· vi=mi · Ri · ω lassen sich die Beiträgeder Massenelemente im Trägheitsmoment zusam-menfassen:

vektoriell: ω⋅=rr

ILVektoren und in Richtung der DrehachseL

ωr

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ω⋅= IL ∑ ⋅=i

ii RmI 2

Beispiele zur Drehimpulserhaltung

Drehimpuls (erhalten) mit Trägheitsmoment

Bremsen der Rotation durch Ausdehnen der Massenverteilung

Rotierende Hantel:

ωωωω1

ωωωω2ωωωω3

ωωωω1 : ωωωω2 : ωωωω3 = (1/1,2) : (1/2,3):1/8

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Beispiele für Trägheitsmomente

Hohlzylinder I = m · R²

Vollzylinder I = (1/2) mR²

Kugel I = (2/5) mR²

m = Gesamtmasse ; Drehung um Zylinderachse bzw. um Achsedurch Mittelpunkt der Kugel.

Steinerscher SatzTrägheitsmoment eines Körpers für beliebige Drehachse A

wobei Ic.m. = Trägheitsmoment für Achse parallel zu A durch Schwerpunkt, a = Abstand zwischen beiden AchsenM = Gesamtmasse des Körpers

IA = Ic.m. + Ma²

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Rotationsenergie (kinetische Energie der Rotationsbewegung)für Massenpunkt:

221

rot,kin )r(mE ω=

Beispiel: Rollende Körper gleicher Masse und gleichen Durchmessers aber unterschiedlicher Massenverteilung auf schiefer Ebene

Zieleinlauf

Trägheitsmoment nimmt vonlinks nach rechts ab, Rotations-energie ebenfalls, deshalb nimmtkinetische Energie der Translationvon links nach rechts zu.

Für Körper mit Trägheitsmoment I :

221

rot,kin IE ω⋅=

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ImpulsDrehimpuls

KraftDrehmoment bzw.

TranslationsenergieRotationsenergie

MasseTrägheitsmoment

BeschleunigungWinkelbeschleunigung

GeschwindigkeitWinkelgeschwindigkeit

Weg Ort oderWinkel φ [rad] 42 xxsrrr −= x

t∆ϕ∆=ω

∆∆=r

t∆ω∆

∆∆

2ii rmI Σ∆= imM Σ∆=

2rot I

E ω= 2kin Mv

1E =

FxrMrrr

α⋅⋅= sinFrM

ω⋅= rrIL vMp

rr ⋅=

Vergleich Drehbewegung - TranslationsbewegungRotation Translation

Dynamische Gleichungen

t)I(

M∆

ω⋅∆=r

)p(F

∆∆=

Mit der „Übersetzungsvorschrift“ v → ω, m → I, p → L , F → Mkönnen alle Gesetze der linearen Bewegungen (Translation) in die Drehwelt übertragen werden, z.B.

Erhaltungssätze für abgeschlossene Systeme

constL i =Σr

constpi =Σr

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Kernkräfte

4. Mechanische Eigenschaften von Stoffen

Protonen Neutronen

Atomkern Elektronen

Elektrische W.W. (Coulomb W.W.)

Atom Atom Atom

Elektrische W.W. (Coulomb-, v.d. Waals W.W., H-Brückenbindung)

(Gas-)Molekül, Flüssigkeit, Festkörper

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thermische Energie klein gegenBindungsenergie

thermische Energie ausreichend zur Verschiebung der Atomegegeneinander

thermische Energiegrößer als Bindungsenergie

Energiebilanz

formbeständignicht formbeständig(falls dünnflüssig); Formbeständig (falls zähflüssig, z.B. Glas)

nicht formbeständigForm

Regelmäßige Struktur (Kristallgitter); geringe Abstandsschwankungeninfolge thermischer Bewegung

Nahordnung; große Schwankungen der Atomabstände um einen Mittelwert r0

Keine OrdnungOrdnung

Stahl7900

H2OCa. 1000

LuftCa. 1,3

Dichte in kg m-3

FestkörperFlüssigkeitGas

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a) Deformation von Festkörpern

Verformungen:

Dehnung - StauchungScherung - TorsionBiegung - Knickung

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a) Deformation von Festkörpern

LDL

LAEF ∆⋅=∆⋅⋅=

=∆⋅=2m

LEσ

Dehnung - Stauchung

Hooke’sches Gesetz: F = D . x

Die Länge L ändert sich beim Anlegen einerKraft F um ∆∆∆∆L, wobei

E: Elastizitätsmodul (statt Federkonstante)

Man nennt:

„mechanische Spannung“

Zahlenwerte für Elastizitätsmodul (E in 109 Nm-2): (groß = steif)

Al: 73 Cu: 125 Fe: 216 Beton: 10

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Das Hooke’sche Gesetz gilt nur fürkleine,elastische Verformungen

Über den elastischen Bereich hinausbeginnen manche Stoffe zu fließen, biszum Zerreißen

Spröde Materialien:keine plastische Verformung möglich

Plastische (=bleibende) Verformung:Durch Gleiten längs bestimmter Gitterebenen

Das wird energetischmöglich, indemVersetzungenwandern:

Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Hooke

a) Deformation von Festkörpern

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Scherung und Torsion

FS =σ

Gs /σα =

Schubspannung

Kraft greift tangential an.Relevante physikalische Größe:

Führt zur Scherung um den Winkel: G= Schub-, Scher-,Torsionsmodul

Verdrehen (Torsion) z.B. einesDrahtes läßt sich auf Scherung zurückführenKompression vonFestkörpern:

a) Deformation von Festkörpern

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Biegung und Knickung:

Bei Druckbelastung längs eines Objektes (Knochen, Balken) weichtdas Objekt aus, bis es bricht. Hier ist die Knickspannung proportionalzu E (Elastizitätsmodul)

Jenseits des elastischen Bereichs:Verformung bis zum Knicken des Balkens

außen: Zugkräfteinnen: Druckgestrichelt: “neutrale Zone”,

ändert Länge nicht

a) Deformation von Festkörpern

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Knochen: kleine Kristalle (50 nm) in elastischer FasermatrixSpannbeton: Beton (druckfest, nicht zugfest), kombiniert mit

Stahl (elastisch, zugfest)Kohlefaser- oder glasfaserverstärkte Plastikmaterialien

Detaillierte Beschreibung von Spannung, Druck im Knochengerüst in Kamke/Walcher(Kap. 6.3.3)

a) Deformation von Festkörpern

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Hydrostatik – Lehre von ruhenden Flüssigkeiten:

fest flüssig gasförmig

•Bindungsenergie ~ kinetische Energie der Teilchen•Keine Scherelastizität (Teilchen gleiten aneinander)•Kaum komprimierbar (fast wie Festkörper)•Starke Kohäsionskräfte (Oberflächenspannung)

b) b) b) b) HydrostatikHydrostatikHydrostatikHydrostatik, , , , AerostatikAerostatikAerostatikAerostatik

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Hydrostatik – Lehre von ruhenden Flüssigkeiten:

Die Oberfläche einer Flüssigkeit steht immer senkrecht zu wirkenden Kräften (hier Wand und Schwerkraft)

Eine flache Oberfläche ist energetisch am günstigsten, eine Flüssigkeit zerfließt

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Stempeldruck (vernachlässigbare Schwerkraft):

=2A Fläche

FKraft pDruck

Bar10mN1Pa 1 52 −==

Eine Kraft F drückt senkrecht auf einen beweglichen Stempel der Fläche A, der ein Gefäß abschließt

Der Druck breitet sich in alle Richtungengleichmäßig aus (isotrop), an allen Stellender inkompressiblen Flüssigkeit und anallen Ausgängen herrscht dergleiche Druck p = F/A

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Anwendung: Hydraulische Presse

Hebelgesetz der Hydrostatik: Betrachten wir eine Verschiebung um den Weg s1 (entspricht Flüssigkeitsvolu-men V1), wodurch der Kolben rechts um s2 angehoben wird. Dann wird linksdie Arbeit F1· s1 = F1· V1 / A1 geleistet.Sie ist gleich der am rechten Kolbengeleisteten ArbeitF2· s2 = F2· V2 / A2 , weil V1 = V2 (Inkom-pressibilität) und weil F1/A1 = F2/A2

Damit ist Energieerhaltunggewährleistet.