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Signale und Systeme II
Modellierung Elektrischer Schaltkreise
Prof. Dr. François E. Cellier
Institut für Computational Science
ETH Zürich
29. Juni 2006
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Signale und Systeme II
Elektrische Schaltungen I• Diese Vorlesung diskutiert die mathematische
Modellierung einfacher elektrischer linearer Schaltungen.
• Die Modellierung führt zunächst immer auf ein System impliziter Algebrodifferentialgleichungen, das dann durch horizontales sowie vertikales Sortieren auf einen Satz expliziter Algebro- differentialgleichungen zurückgeführt werden kann.
• Durch Elimination der algebraischen Variablen kann sodann eine Zustandsraumdarstellung gewonnen werden.
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Signale und Systeme II
Inhaltsverzeichnis
• Die Komponenten und ihre Modelle• Die Netzwerktopologie und ihre Gleichungen• Ein Beispiel• Horizontales Sortieren• Vertikales Sortieren• Algebraische Schleifen• Strukturdiagramme • Zustandsraumdarstellung• Umformung in die Zustandsraumdarstellung
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Signale und Systeme II
Lineare Netzwerkkomponenten I
• Widerstände
• Kapazitäten
• Induktivitäten
Riva vb
u
Civa vb
u
Liva vb
u
u = va – vb
u = R·i
u = va – vb
i = C· dudt
u = va – vb
u = L· didt
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Signale und Systeme II
Lineare Netzwerkkomponenten II
• Spannungsquellen
• Stromquellen
• Erde
U0 = vb – va
U0 = f(t)
I 0I
va vb
u
0 u = vb – va
I0 = f(t)
V0
V0 V0
-V0 = 0
U 0
iva vb
U0
|
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Signale und Systeme II
Schaltungstopologie
• Knoten
• Maschen
va = vb = vc
ia + ib + ic = 0va vb
ia ib
ic
vc
va vb
vc
uab
ubcucauab + ubc + uca = 0
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Signale und Systeme II
Regeln für Gleichungssysteme I
• Die Komponenten- und Topologiegleichungen enthalten eine gewisse Redundanz.
• So können z.B. sämtliche Potentialvariablen (vi) ohne weiteres eliminiert werden.
• Die Stromknotengleichung für den Erdknoten ist redundant und wird nicht benötigt.
• Die Maschengleichungen werden nur benötigt, falls die Potentialvariablen eliminiert werden. Andernfalls sind die Maschengleichungen redundant.
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Signale und Systeme II
Regeln für Gleichungssysteme II
• Falls die Potentialvariablen eliminiert werden, definiert jede Netzwerkkomponente zwei Variablen: den Strom (i) durch das Element und die Spannung (u) über dem Element.
• Somit werden zwei Gleichungen benötigt, um diese Variablen zu ermitteln.
• Eine der Gleichungen ist die konstituierende Gleichung des Elements selbst, die andere stammt von der Topologie.
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Signale und Systeme II
Ein Beispiel IKomponentengleichungen:
U0 = f(t) iC = C· duC/dt
u1 = R1· i1uL = L· diL/dt
u2 = R2· i2
Knotengleichungen:
i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC
Maschengleichungen:
U0 = u1 + uC uL = u1 + u2
uC = u2
Das Netzwerk enthält 5 Komponenten
Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten
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Signale und Systeme II
Regeln für horizontales Sortieren I• Die Zeit t darf als bekannt angenommen werden.
• Die Zustandsvariablen (Variablen, die in abgeleiteter Form vorkommen) dürfen als bekannt angenommen werden.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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Signale und Systeme II
Regeln für horizontales Sortieren II
• Gleichungen, die nur eine Unbekannte enthalten, müssen nach dieser aufgelöst werden.
• Die so ermittelten Variablen sind nun bekannt.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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Signale und Systeme II
Regeln für horizontales Sortieren III
• Variablen, die nur in einer Gleichung auftreten, müssen aus dieser ermittelt werden.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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Signale und Systeme II
Regeln für horizontales Sortieren IV
• Alle Regeln können rekursiv angewandt werden.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
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Signale und Systeme II
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
Der Algorithmus wird fortgesetzt, bis jede Gleichung genau eine Variable definiert, die daraus ermittelt wird.
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Signale und Systeme II
Regeln für horizontales Sortieren V
• Das horizontale Sortieren kann nun mittels symbolischer Formelmanipulation durchgeführt werden.
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
iC = C· duC/dt
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + iC
U0 = u1 + uC
uC = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
i1 = u1 /R1
i2 = u2 /R2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
i0 = i1 + iL
iC = i1 - i2
u1 = U0 - uC
u2 = uC
uL = u1 + u2
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Signale und Systeme II
Regeln für vertikales Sortieren
• Die Gleichungen sind unterdessen Zuweisungen. Sie können so sortiert werden, dass keine Variable verwendet wird, bevor sie definiert wurde.
U0 = f(t)
i1 = u1 /R1
i2 = u2 /R2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
i0 = i1 + iL
iC = i1 - i2
u1 = U0 - uC
u2 = uC
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = U0 - uC
i1 = u1 /R1
i0 = i1 + iL
u2 = uC
i2 = u2 /R2
iC = i1 - i2
uL = u1 + u2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
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Signale und Systeme II
Regeln für Gleichungssysteme III• Alternativ kann sowohl mit den Spannungen wie auch mit
den Potentialvariablen gearbeitet werden.• In diesem Fall müssen zusätzliche Gleichungen für die
Knotenpotentiale gefunden werden. Dabei handelt es sich um die Potentialgleichungen der Komponenten sowie um die Potentialgleichungen der Knoten. Diese Gleichungen sind im vorher gezeigten Verfahren ignoriert worden.
• Die Maschengleichungen sind in diesem Falle redundant und können ignoriert werden.
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Signale und Systeme II
Ein Beispiel II
v1
v2
v0
Das Netzwerk enthält 5 Komponenten und 3 Knoten.
Wir benötigen 13 Gleichungen in 13 Unbekannten.
Komponentengleichungen:
U0 = f(t) U0 = v1 – v0
u1 = R1· i1 u1 = v1 – v2
u2 = R2· i2 u2 = v2 – v0
iC = C· duC/dt uC = v2 – v0
uL = L· diL/dt uL = v1 – v0
v0 = 0
Knotengleichungen:
i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC
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Signale und Systeme II
Sortieren• Das Sortieren geht gleich vor sich wie beim vorherigen
Algorithmus.• Der Sortieralgorithmus ist bereits rein informatisch
abstrakt und hat nichts mehr mit dem elektrischen Schaltkreis zu tun.
• Somit kann die Modellierungsaufgabe in zwei Teil-aufgaben zerlegt werden:
1. Abbildung der physikalischen Topologie auf ein differential- algebraisches Gleichungssystem.
2. Umformung des Gleichungssystems in eine ausführbare Programmstruktur.
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Signale und Systeme II
Algebraische Schleifen und Strukturelle Singularitäten
• Der bisher aufgezeigte Sortieralgorithmus funktioniert nicht immer so reibungslos, wie dies in den bisher gezeigten Beispielen den Anschein machte.
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Signale und Systeme II
Algebraische Schleifen: Ein BeispielKomponentengleichungen:
U0 = f(t) u3 = R3· i3
u1 = R1· i1uL = L· diL/dt
u2 = R2· i2
Knotengleichungen:
i0 = i1 + iLi1 = i2 + i3
Maschengleichungen:
U0 = u1 + u3 uL = u1 + u2
u3 = u2
Das Netzwerk enthält 5 Komponenten
Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten
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Signale und Systeme II
Horizontales Sortieren IU0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
1. U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
2.
3. 4. U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
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Signale und Systeme II
Horizontales Sortieren II
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
i1 = i2 + i3
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
Eine solche Situation deutet immer auf das Vorhandensein algebraischer Schleifen hin.
Bei den sechs noch a-kausalen Gleichungen (d.h. den Gleichungen ohne rote Variable) enthält jede Gleichung mindestens zwei Unbe-kannte, und jede Unbekannte taucht in mindestens zwei Gleichungen auf.
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Signale und Systeme II
Algebraische Schleifen I1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. 2.
3. 4.
Wir wählen eine Variable in einer Gleichung, z.B. Variable i1 in Gleichung 4. Wir nehmen diese Variable nun als bekannt an und fahren fort wie bis anhin.
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Signale und Systeme II
Algebraische Schleifen II
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2i2 i1 u1
u3i3u2 U0
4.
4.
1.
2.
3.
5.
6.
Algebraische Schleifen
Strukturdiagramm
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Signale und Systeme II
Auflösen algebraischer Schleifen I
1. u1 = R1· i1
2. u2 = R2· i2
3. u3 = R3· i3
4. i1 = i2 + i3
5. U0 = u1 + u3
6. u3 = u2
1. u1 = R1· i1
2. i2 = u2 / R2
3. i3 = u3 / R3
4. i1 = i2 + i3
5. u3 = U0 - u1
6. u2 = u3
i1 = i2 + i3
= u2 / R2 + u3 / R3
= u3 / R2 + u3 / R3
= ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · u3
= ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - u1 )
= ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - R1· i1 )
i1 =R2 + R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
· U0
Gleichung 4. wird durch die neue Gleichung ersetzt.
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Signale und Systeme II
Auflösen algebraischer Schleifen II
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
i1 =R2 + R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
· U0
Die algebraischen Schleifen sind jetzt aufgelöst, und es kann mit dem Sortieralgorithmus in der üblichen Weise fortgefahren werden.
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Signale und Systeme II
Horizontales Sortieren III
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
i1 =R2 + R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
· U0
U0 = f(t)
u1 = R1· i1
u2 = R2· i2
u3 = R3· i3
uL = L· diL/dt
i0 = i1 + iL
U0 = u1 + u3
u3 = u2
uL = u1 + u2
i1 =R2 + R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
· U0
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Signale und Systeme II
Mehrere gekoppelte Schleifen
1. a = b + 12. b = 3·f3. c = b + d4. d = h5. e = a6. f = e + g7. g = 2·c8. h = g
4.
6.
1.
2.
3.
5.
c d
hg
b
f
a
e
3.
6.
7.
8.
1. a = b + 12. b = 3·f3. c = b + d4. d = h5. e = a6. f = e + g7. g = 2·c8. h = g
1. a = b + 12. b = 3·f3. c = b + d4. d = h5. e = a6. f = e + g7. g = 2·c8. h = g
c = b + d= 3·f + h= 3·f + g= 3·f + 2·c
f = e + g= a + 2·c= b + 2·c + 1= 3·f + 2·c + 1
c + 3·f = 02·c + 2·f = -1 c = - 0.75
f = + 0.25
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Signale und Systeme II
Zustandsraumdarstellung
• Lineare Systeme:
• Nichtlineare Systeme:
dxdt = A · x + B · u
y = C · x + D · u
x(t0) = x0;
dxdt = f(x,u,t)
y = g(x,u,t)
; x(t0) = x0
x n
u m
y p
x = Zustandsvektor
u = Eingangsgrössenvektor
y = Ausgangsgrössenvektor
n = Anzahl Zustandsvariabeln
m = Anzahl Eingangsgrössen
p = Anzahl Ausgangsgrössen
A n n
B n m
C p n
D p m
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Signale und Systeme II
Umwandlung in Zustandsform IU0 = f(t)
u1 = U0 - uC
i1 = u1 /R1
i0 = i1 + iL
u2 = uC
i2 = u2 /R2
iC = i1 - i2
uL = u1 + u2
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
duC/dt = iC /C
= (i1 - i2 ) /C
= i1 /C - i2 /C
= u1 /(R1 · C) – u2 /(R2 · C)
= (U0 - uC) /(R1 · C) – uC /(R2 · C)
diL/dt = uL /L
= (u1 + u2) /L
= u1 /L + u2 /L
= (U0 - uC) /L + uC /L
= U0 /L
Für jede Gleichung, welche eine Zustandsableitung definiert, sub- stituieren wir die Variabeln auf der rechten Seite ihrer Definitions- gleichungen, bis die Zustands- ableitungen nur noch von Zustands- variabeln und Eingangsgrössen abhängig sind.
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Signale und Systeme II
Umwandlung in Zustandsform IIx1 = uC
x2 = iL
u = U0
y = uC
Wir setzen:
x1 = -
R1 · C
R2 · C
[ ] x1 R1 · C u
x2 = 1
Lu
y = x1
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Signale und Systeme II
Ein Beispiel IV