Dr.-Ing. Peter Ulbig
Physikalisch-Technische BundesanstaltFachbereich 3.2: Analytische Messtechnik und Druck
Abschätzung indirekter Einflüsse auf MU am Beispiel Dichtemessung und
Brennwertbestimmung
© PTB, P. Ulbig
Inhalt:
• Direkte und indirekte Einflüsse• Beispiel Dichtemessung• Berücksichtigung indirekter Beiträge• Beispiel Brennwertmessung• Alternative: Varianzanalyse
Abschätzung indirekter Einflüsse auf MU am Beispiel Dichtemessung und Brennwertbestimmung
Direkter Einfluss
z. B. Längenänderung bei Erwärmung
• direkter Einfluss ist korrigierbar
• kann in physikalisches Modell integriert werden
1) Direkte und indirekte Einflüsse
( ) ( )[ ]ooo TTTll −+= α1
indirekter Einfluss
z. B. Längenänderung in einer Klimakammer
• indirekter Einfluss ist nicht korrigierbar
• kann nicht in physikalisches Modell integriert werden
1) Direkte und indirekte Einflüsse
( ) ( )[ ]ooo TTTLL −+= α1?
indirekter Einfluss: Temperaturschwankungen
1) Direkte und indirekte Einflüsse
( )�=N
oo TLL1
( ) ( )oLLu 22 σ=
Modellgleichung ohne Temperatureinfluss
indirekter Einfluss: Temperaturschwankungen
1) Direkte und indirekte Einflüsse
( ) ( )TLTLLN
oo δ+=�1
( ) ( ) ( )TuTLLuLu o
22
22��
���
�
∂∂+=
Modellgleichung mit Temperatureinfluss
( ) ( ) ( ) ( )TuLLuLu oo2222 α+=
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
FA
FG
Auftriebsmessung nach Archimedes
Messung der Differenzkraft mit einer Waage
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
2-Senkkörper-Dichtemessanlageder E.ON Ruhrgas AG
Senkkörper:• gleiche Masse• gleiche Oberfläche• versch. Volumina
Temperatur- undDruckmessung
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
Physikalisch-mathematisches Modell:
RK
RKBKBRGas VV
mmmm−
−+−=ρ
Anzeigen der Waage (Balance) für Ring und Kugel im Gas
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
Physikalisch-mathematisches Modell:
RK
RKBKBRGas VV
mmmm−
−+−=ρ
Anzeigen der Waage für Ring und Kugel im Vakuum
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
Physikalisch-mathematisches Modell:
RK
RKBKBRGas VV
mmmm−
−+−=ρ
Volumina für Ring und Kugel
Druck und Temperatur ???
Ziel: Messung der Gasdichte ρ als f(T,p)
2) Beispiel Dichtemessung
Physikalisch-mathematisches Modell:
RK
RKBKBRGas VV
mmmm−
−+−=ρ
( ) ( ) ( ) ( )pup
TuT
XuX
u 22
22
1
2
2
2���
����
�
∂∂+�
�
���
�
∂∂+��
�
����
�
∂∂=�
=
GasGasN
ii
i
GasGas
ρρρρ
3) Berücksichtigung indirekter Beiträge
indirekter Einfluss
z. B. Längenänderung in einer Klimakammer
• indirekter Einfluss ist nicht korrigierbar
• kann nicht in physikalisches Modell integriert werden
Einfluss systematisch variieren und messen !!!
4) Beispiel Brennwertmessung
( )( )tTTkut
Tcal
cal d
d −+= 0
4) Beispiel Brennwertmessung
Zeit
T0Tmf
Tmi
tmi tmf
Ti(t)
Tf(t)
Tcal(t)
Vorperiode Hauptperiode Nachperiode
∆∆∆∆Tad = Tmf - Tmi - ∆∆∆∆Tex exmimfad TTTT ∆∆∆∆−−−−−−−−====∆∆∆∆
4) Beispiel Brennwertmessung
( ),...,,/ elecgasel.cal.ad,combad,sn f EmTTH ∆∆=
Physikalisch-mathematisches Modell
ariation von tmf (Beginn der Nachperiode)
• Variation der Temperatur-Sensor Position
• Variation der Auswertungsmethode
• Variation der Heizerposition
Indirekte Einflüsse
4) Beispiel Brennwertmessung
Brenner
Wärme-austauscher
Kalibrier-heizung
Pt25 sensor
symmetry plane at x = 0.3
4) Beispiel Brennwertmessung
Zeit
T0Tmf
Tmi
tmi tmf
Ti(t)
Tf(t)
Tcal(t)
Vorperiode Hauptperiode Nachperiode
∆∆∆∆Tad = Tmf - Tmi - ∆∆∆∆Tex exmimfad TTTT ∆∆∆∆−−−−−−−−====∆∆∆∆
Variation der Nachperiodenzeit tmf
4) Beispiel Brennwertmessung
Bild der DT_ad Verhältnisse
Verhältnis (∆∆∆∆T ad(combustion) vs. ∆∆∆∆T ad (el. calibration))
1.0015
1.0020
1.0025
1.0030
1.0035
1.0040
1.0045
1.0050
1.0055
1.0060
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500∆∆∆∆t mf/s
Ver
hältn
is
simult. exp. fit, eq. areas
simult. exp. fit
linearer fit + exp. Transf.
linearer fit
4) Beispiel Brennwertmessung
Kalibrier-Heizung (100 %/90 %)
2. Kalibrierheizung (0 %/10 %)
symmetry plane at x = 0.3
4) Beispiel BrennwertmessungVerhältnis (∆∆∆∆T ad(combustion) vs. ∆∆∆∆T ad(el. calibration))
1.0045
1.0050
1.0055
1.0060
1.0065
0 100 200 300 400 500
∆∆∆∆t mf/s
Ver
hältn
is
90/10 %
100 %±1x10-4
4) Beispiel Brennwertmessung
Pt25 sensor (lokal)
Cu-Draht sensor (Oberfläche)
Kalorimetergefäß
4) Beispiel BrennwertmessungVerhältnis (∆∆∆∆T ad(combustion) vs. ∆∆∆∆T ad(el. calibration))
1.0045
1.0050
1.0055
1.0060
1.0065
0 100 200 300 400 500
∆∆∆∆t mf/s
Ver
hältn
is
Cu-Draht sensor
Pt25 sensor±1x10-4
4) Beispiel Brennwertmessung
Zeit
T0Tmf
Tmi
tmi tmf
Ti(t)
Tf(t)
Tcal(t)
Vorperiode Hauptperiode Nachperiode
∆∆∆∆Tad = Tmf - Tmi - ∆∆∆∆Tex exmimfad TTTT ∆∆∆∆−−−−−−−−====∆∆∆∆
Variation der Auswertemethode
4) Beispiel Brennwertmessung
Bild der DT_ad Verhältnisse
Verhältnis (∆∆∆∆T ad(combustion) vs. ∆∆∆∆T ad (el. calibration))
1.0015
1.0020
1.0025
1.0030
1.0035
1.0040
1.0045
1.0050
1.0055
1.0060
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500∆∆∆∆t mf/s
Ver
hältn
is
simult. exp. fit, eq. areas
simult. exp. fit
linearer fit + exp. Transf.
linearer fit
±1.4x10-4
4) Beispiel Brennwertmessung
( ) methods,s,temp.posheat.pos.s,mfiss HHHtXHH ∂+∂+∂+= ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )222
1
2
2
2methods,s,temp.posheat.pos.s,
1N
ii
i
ss HHHXu
XH
Hu ∂+∂+∂+���
����
�
∂∂
=�+
=
( ) 3/22 aHu =is,
a a
P
4) Beispiel Brennwertmessung
Unsicherheitsbeiträge ∆Tad (k=2)
0.038 %
ariation von tmf (Beginn der Nachperiode): 0.030 %
• Variation der Temperatur-Sensor Position: 0.011 %
• Variation der Auswertungsmethode: 0.016 %
• Variation der Heizerposition: 0.011 %
Unsicherheit des Brennwerts: 0.046 %
• Messunsicherheit Massebestimmung: 0.015 %
• Messunsicherheit weitere Größen: 0.022 %
4) Beispiel Brennwertmessung
( ) methods,s,temp.posheat.pos.s,mfiss HHHtXHH ∂+∂+∂+= ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )222
1
2
2
2methods,s,temp.posheat.pos.s,
1N
ii
i
ss HHHXu
XH
Hu ∂+∂+∂+���
����
�
∂∂
=�+
=
Vorgehen entspricht „Synthese von Varianzen“
Gegenteil „Analyse von Varianzen“
oder auch „Zerlegung von Varianzen“
5) Alternative: Varianzanalyse
5) Alternative: Varianzanalyse
Ziel der Varianzanalyse:
Testet für mehr als zwei Gruppen „auf einen Schlag“,ob signifikante Mittelwertsunterschiede vorliegen.
Hypothesen:
Nullhypothese: Mittelwerte unterscheiden sich nichtsignifikant
Alternativhypothese: mind. zwei Mittelwerte unter-scheiden sich signifikant
5) Alternative: Varianzanalyse
Was macht die Varianzanalyse?
Zerlegung der Varianz der Daten in verschiedeneBestandteile, nämlich in die
Varianz innerhalb der einzelnen Gruppen und die
Varianz zwischen den verschiedenen Gruppen, dieauf die unterschiedliche Versuchsdurchführung(„Treatment“) zurückzuführen ist.
5) Alternative: Varianzanalyse
Was macht die Varianzanalyse?
Zerlegung der Varianz der Daten in verschiedeneBestandteile, nämlich in die
Varianz innerhalb der einzelnen Gruppen und die
Varianz zwischen den verschiedenen Gruppen, dieauf die unterschiedliche Versuchsdurchführung(„Treatment“) zurückzuführen ist.
4) Beispiel BrennwertmessungVerhältnis (∆∆∆∆T ad(combustion) vs. ∆∆∆∆T ad(el. calibration))
1.0045
1.0050
1.0055
1.0060
1.0065
0 100 200 300 400 500
∆∆∆∆t mf/s
Ver
hältn
is
90/10 %
100 %±1x10-4
4) Beispiel Brennwertmessung
inter(zwischenGruppen)
intra(innerhalbGruppen)
gesamt
Quelle der Variabilität
df (inter)
df (intra)
df (total)
Freiheitsgrade
SS(inter)
SS(intra)
SS(total)
Sum of Squares
MS(inter)
MS(intra)
MeanSquare
F
Varianz-verhältnis
F(aus Tabelle)
Wahrschein-lichkeit
Überprüfung der Nullhypothese (Schema)
Signifikant unter-schiedlich, wennF > F (Tabelle),
dann Nullhypothesenicht erfüllt!
4) Beispiel Brennwertmessung
k Gruppen
Ni Daten proGruppe
N Datengesamt
Quelle der Variabilität
k-1
(N-1) – (k-1)
N-1
Freiheitsgrade
F(dfinter,dfintra)(aus Tabelle)
Wahrschein-lichkeit
Überprüfung der Nullhypothese (Schema)
SS(inter) / df(inter)
SS(intra) / df(intra)
MeanSquare
MS(inter) / MS(intra)
Varianz-verhältnis
Signifikant unter-schiedlich, wennF > F (Tabelle)
Sum of Squares
N
N
iiN
ii
2
1
1
2
��
���
�
−�
� =
=
XX
SS(total) - SS (inter)
NN
N
iik
j i
N
ii
i2
1
1
2
1��
���
�
−���
����
��
��
=
=
=XX
4) Beispiel Brennwertmessung
4) Beispiel BrennwertmessungVerhältnis (∆∆∆∆T ad(combustion) vs. ∆∆∆∆T ad(el. calibration))
1.0045
1.0050
1.0055
1.0060
1.0065
0 100 200 300 400 500
∆∆∆∆t mf/s
Ver
hältn
is
90/10 %
100 %±1x10-4
4) Beispiel Brennwertmessung
3,1E-052,9E-05σ1,005271,00537Mittelwert
1,005301,005404
1,005281,005383
1,005251,005372
1,005231,005331
10090/10
Heizungsart:
4) Beispiel Brennwertmessung
��
=
=���
����
�k
j i
N
ii
N
i
1
2
1
X
Heizungsart:90/10 100
1 1,00532 1,005232 1,00537 1,005253 1,00538 1,005284 1,00540 1,00530
Gruppensumme 4,0215 4,0211=> Quadrat 16,1722 16,1689=> durch N_i 4,0431 4,0422=> Summe 8,0853
4) Beispiel Brennwertmessung
�=
N
i
2i
1
X
Heizungsart:90/10 100
1 1,00532 1,005232 1,00537 1,005253 1,00538 1,005284 1,00540 1,00530
Quadrate 1,01067 1,010491,01077 1,010531,01079 1,010591,01083 1,01063
Summe: 8,08529
4) Beispiel Brennwertmessung
N
N
ii
2
1
��
���
��
=
X
Heizungsart:90/10 100
1 1,00532 1,005232 1,00537 1,005253 1,00538 1,005284 1,00540 1,00530
Summe X_i 8,04253=> Quadrat 64,68229=> durch N 8,0852861
4) Beispiel Brennwertmessung
N
N
ii
2
1
��
���
��
=
X�=
N
i
2i
1
X
Varianz über alle Messwerte:
-
-8,0852861275 8,0852861001
= 2,739e-8
4) Beispiel Brennwertmessung
N
N
ii
2
1
��
���
��
=
X
Varianz über alle Durchführungsarten:
-
- 8,0852861001= 2,101e-8
��
=
=���
����
�k
j i
N
ii
N
i
1
2
1
X
8,0852861211
4) Beispiel Brennwertmessung
2 Gruppen
4 Daten proGruppe
8 Datengesamt
Quelle der Variabilität
2-1=1
(8-1) – (2-1)=6
8-1=7
Freiheitsgrade
F(1,6,0,05)= 5,99
Wahrschein-lichkeit
Überprüfung der Nullhypothese (Schema)
2,101e-8
0,106e-8
MeanSquare
19,78
Varianz-verhältnis
Signifikant unter-schiedlich, da F > F (Tabelle)
Sum of Squares
0,638e-8
2,101e-8
2,739e-8
4) Beispiel Brennwertmessung
5) Alternative: Varianzanalyse
5) Alternative: Varianzanalyse
5) Alternative: Varianzanalyse
A B
a b a b
1...N 1...N 1...N 1...N
µ1 µ2 µ3 µ4
temperature sensorposition
electric heaterposition
variation of tmf
Danke für die
Aufmerksamkeit !!!