EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler
8. Vorlesung EP
I. Mechanik
5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen
a) Deformation von Festkörpernb) Hydrostatik, Aerostatikc) Oberflächenspannung und Kapillarität
Versuche:Dehnung eines Drahtes und Hooke sches Gesetz
Hydraulische Presse
Schuss in Styroporzylinder (leer und wassergefüllt)
Kommunizierende Röhren (hydrostatisches Paradoxon)
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Kernkräfte
5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen
Protonen Neutronen
Atomkern Elektronen
Elektrische W.W. (Coulomb W.W.)
Atom Atom Atom
Elektrische W.W. (Coulomb-, v.d. Waals W.W., H-Brückenbindung)
(Gas-)Molekül, Flüssigkeit, Festkörper
…können als Folge der Wechselwirkungzwischen den Bausteinen erklärt werden.
In diesem Schema spielen nur die starke u die elektromagentische Kraft eine Rolle.Die schwache Kraft ist z.B. für Zerfall von Neutronen und Fusion auf der Sonne ver-Antwortlich. Die Schwerkraft wie bekannt für große Objekte.
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thermische Energie klein gegenBindungsenergie
thermische Energie ausreichend zur Verschiebung der Atomegegeneinander
thermische Energiegrößer als Bindungsenergie
Energiebilanz
formbeständignicht formbeständig(falls dünnflüssig); Formbeständig (falls zähflüssig, z.B. Glas)
nicht formbeständigForm
Regelmäßige Struktur (Kristallgitter); geringe Abstandsschwankungeninfolge thermischer Bewegung
Nahordnung; große Schwankungen der Atomabstände um einen Mittelwert r0
Keine OrdnungOrdnung
Stahl7900
H2OCa. 1000
LuftCa. 1,3
Dichte in kg m-3
FestkörperFlüssigkeitGas
Die Wechselwirkungen wiederum hängen wesentlich von der Dichte des Mediums ab
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a) Deformation von Festkörpern
Welche Verformungen werden wir betrachten:
→→→→Dehnung - Stauchung→→→→Scherung – Torsion(=Drillung)
Biegung - Knickung →→→→Kompression
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a) Deformation von Festkörpern
L
LE
A
F ∆⋅=
=σ2m
N
A
F
Dehnung - Stauchung
Hooke’sches Gesetz:
Die Länge L ändert sich beim Anlegen einerKraft F um ∆∆∆∆L, wie bei einer Feder, wobei
E: Elastizitätsmodul (statt Federkonstante)
Man nennt:„mechanische Spannung“
(gleiche Maßeinheit wie Druck)
Zahlenwerte für Elastizitätsmodul (E in 109 Nm-2):
Al: 73 Cu: 125 Fe: 216 Beton: 10
Versuch Hooke sches Gesetz
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Das Hooke’sche Gesetz gilt nur für kleine elastische Verformungen.Spröde Materialien: keine plastische Verformung möglich.Plastische Verformung durch Verschiebung von Atom-Gitterebenen. Jenseits plastischem Bereich „fließen“ manche Stoffe, bis zum Zerreißen
Hooke-Bereich
a) Deformation von Festkörpern
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Scherung und Torsion
A
FS =σ
α⋅=σ Gs
Schubspannung
Kraft greift tangential an. Gegenkraft am Boden.Relevante physikalische Größe:
Führt zu Scherung um Winkel α:G= Schub-, Scher-,
Torsionsmodul
Verdrehen (Torsion) z.B. eines Drahtes läßt sich auf Scherung zurückführen
a) Deformation von Festkörpern
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Kompression (allseitige Stauchung) von Festkörpern:
a) Deformation von Festkörpern
oder: Druck =
(Gleiche Formel ist auch für Flüssigkeiten und Gase gültig)
V
VK
A
F ∆⋅−=
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Knochen: kleine Kristalle (Hydroxylapatit) (50 nm) in elastischer Fasermatrix *Spannbeton: Beton (druckfest, nicht zugfest), kombiniert mit
Stahl (elastisch, zugfest)Kohlefaser- oder glasfaserverstärkte Plastikmaterialien
* Die Evolution hat die Mechanik deformierbarer Medienbestens studiert u angewandt.
Detaillierte Beschreibung von Spannung, Druck im Knochen-gerüst in Kamke/Walcher Kap. 6.3.3)
a) Deformation von Festkörpern
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b) Hydrostatik und Aerostatik– Lehre von ruhenden Flüssigkeiten und Gasen :
fest flüssig gasförmig
•Bindungsenergie ~ kinetische Energie der Teilchen•Keine Scherelastizität (Teilchen gleiten aneinander)•Kaum komprimierbar (fast wie Festkörper)•Starke Kohäsionskräfte (Oberflächenspannung)
b) Hydrostatik, Aerostatik
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Die Oberfläche einer
Flüssigkeit steht immer
senkrecht zu wirkenden
Kräften (hier Wand und
Schwerkraft)
Eine flache Oberfläche ist
energetisch am günstigsten.
b) Hydrostatik, Aerostatik
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Stempeldruck (vernachlässigbare Schwerkraft):
=2A Fläche
FKraft pDruck
m
N
Bar10mN1Pa 1 52 −==
Eine Kraft F drückt senkrecht auf einen
beweglichen Stempel der Fläche A, der
ein Gefäß abschließt
Der Druck breitet sich in alle Richtungen
gleichmäßig aus (isotrop), an allen Stellen
der inkompressiblen Flüssigkeit und an
allen Ausgängen herrscht der
gleiche Druck p = F/A
b) Hydrostatik, Aerostatik
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Versuch: Schuss mit Gewehrkugel durch luft- bzw. wassergefüllten Styroporzylinder. Kompressionsmodul von Luft klein, von Wasser groß.
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Anwendung: Hydraulische Presse
Hebelgesetz der Hydrostatik: Links Verschiebung um den
Weg ∆s1 ���� Volumen ∆V1 = A1 ∆s1
Rechts ∆s2 ���� ∆V2 = A2 ∆s2
Links Arbeit W1 = F1� ∆s1 = F1� ∆V1 / A1
Rechts W2 = F2�∆ s2 = F2� ∆V2 / A2
Es gilt W1 = W2
weil ∆V1 = ∆V2 (Inkompressibilität)
und weil F1/A1 = F2/A2
Damit ist Energieerhaltung gewährleistet.
b) Hydrostatik, Aerostatik
Versuch Hydraulische Presse
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Druckmessung und alte (gebräuchliche) Einheiten:
Flüssigkeitsmanometer (Schweredruck, siehe nächste Seite)
1 Atmosphäre = 10 m Wassersäule= 760 mm Quecksilber (Hg) Säule (= 760 Torr)
1Atm = 1013 mbar = 1013 hPa = 760 Torr 1Torr = 133.3 mbar = 1mm Hg
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Schweredruck :
= Gewichtskraft pro Fläche A der über der Fläche
stehenden Substanz ( für Flächen in beliebiger
Höhe der Flüssigkeit, nicht nur am Boden)
Schweredruck steigt bei inkompressiblerFlüssigkeit, für die die Dichte ρ nicht vom Druck abhängt, linear mit Tiefe h
hgA
gV
A
mgp ⋅⋅=⋅⋅== ρρ
Aus F = m · g= ρ·V·g folgt:
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Hydrostatisches Paradoxon:
Der Schweredruck (ρρρρ g h) hängt NUR von der Tiefe und der Dichte ab,
NICHT von der Form eines Gefäßes
Konstante Wasserhöhe in
kommunizierende Röhren
Der Schweredruck verschiedener Substanzenaddiert sich. Beispiel Luftatmosphäre + Wasser:
Versuch
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Auftrieb = Differenz der Kräfte FA= (F2-F1) = ρF� g� A� h →
Man kann auch für kompliziertere Formen zeigen: Die Auftriebskraft entspricht
der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip)
Auftrieb (Herleitung unter Annahme einer einfachen Form des Körpers K):
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Auftrieb und Schwimmen:
Ein schwimmender Körper taucht soweit in eine Flüssigkeit ein, bis der Auftrieb (entspr. der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit) seiner Gewichtskraft entspricht
VK
Ve ρρρρK VK = ρρρρFl Ve
↑ Fauf= mFl · g = ρFl · Ve · g ↓FG = mk · g = ρk · g · Vk
FAuf = FG →
(Ve = A · h = eingetauchtes Volumen = Volumen der verdrängten Flüssigkeit)
h
, weil die Gewichtskraft größer als der maximal erreichbare Auftrieb ist.
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Auftrieb: Das Hintergrundmedium kann auch Luft sein:
Gleichgewicht der Waage in Luft (links)
Nach Evakuieren ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht
Der voluminösere Körper (Ball) sinkt ab, da er an Luft den
größeren Auftrieb erfahren hat
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Luftdruck = Schweredruck der Atmosphäreläßt sich wie der Schweredruck von Flüssigkeiten verstehen, mit demUnterschied, daß Gase komprimierbar sind – deshalb ist die Dichte hier druckabhängig.
Höhe h
h2
h1
F2
A
F1
∆h
Luftsäule (Fläche A, Höhe ∆∆∆∆h = h2-h1Gewichtskraft∆F = F1-F2 = M � g = ρLuft� A�∆h� g∆p = - ∆F / A = - ρ � g � ∆h(Minuszeichen, weil h von unten nach oben gemessen und der Druck von oben abnimmt.)
Boden (Meereshöhe)
Für ideale Gase gilt die Zustandsgleichung (Boyle-Mariotte-Gleichung,s. III Wärmelehre): p � V = const. → p/ρ = const.: (bei fester Temperaturund Molzahl)
Herleitung der barometrischen Höhenformel für Interessierte:
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,hg.)const/p(p ∆⋅⋅−=∆ ,h.const
g
p
p ∆⋅−=∆ →⋅−= p.const
g
dh
dp
H/h0 epp −⋅= mit H = g/const.
= p0/(g� ρ0) = 7930mDie barometrische Höhenformel
Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe über Meeresspiegel
Einsetzen von ρ=p/const. in die Gleichung für ∆p :
Ende der Herleitung.