8. Drehbewegungen Physik für E-Techniker
8. Drehbewegungen
8.1 Gleichförmige Kreisbewegung8.2 Drehung ausgedehnter Körper8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels8 5 Ki ti h E i d R t ti8.5 Kinetische Energie der Rotation8.6 Berechnung von Trägheitsmomenten8 7 Steiner‘sche Satz8.7 Steiner sche Satz8.8 Das Drehmoment8 9 Drehimpuls8.9 Drehimpuls8.10 Rotierende Bezugssysteme
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8 D ehbe eg ngen8 Drehbewegungen
Drehung der Erde Drehung der ElementarteilchenDrehung der Erde- Tag/Nacht- Großwetterlage
Drehung der Elementarteilchen- magnetische Eigenschaften- Aufbau der Materieg
- Jahreszeiten - Wechselwirkungen
Stabilisierung von- Raketen
Schiffen- Schiffen- Fahrrädern (aber wenig)
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8 1 Gl i hfö i K i b8.1 Gleichförmige KreisbewegungWir hatten: Kreisbewegung einer Punktmasse
>Zentripetalbeschleunigung a = azp erzwingtKreisbahn
Für Betrag gilt:r
Vektoriell gilt:
Allgemein gilt:radiale Beschleunigung
Punktmasse erfährt radiale + tangentiale Beschleunigung
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8.2 Drehung ausgedehnter Körper
Idealisierung starrer Körper
Besteht aus n ( unendlich) Punktmassen, deren gegenseitigeAbstände immer konstant bleiben
Dennoch Problem zur Beschreibung
Für einzelne Punktmasse gilt:
Mögliche, aber unpraktische Beschreibung
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Besser Beschreibung über Drehgrößen (zunächst skalar)g g ( )
Beschreibung über:h k l ( d ) ϕDrehwinkel (in Radiant) ϕ
Man definiertMan definiert Winkelgeschwindigkeit ω
Man definiert Winkelbeschleunigung αg g
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Spezialfälle
1. Winkelgeschwindigkeit ω ist konstant.
2. Winkelbeschleunigung α ist konstant.
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8.3 Beziehung Translation - DrehungTangentialgeschwindigkeit
im Abstand r
Winkelgeschwindigkeit
8.4 Vektornatur des Drehwinkels
Für infinitesimal kleine Drehungen wird Drehung durch g gDrehvektor dϕ beschrieben
Def : dϕ parallel zur DrehachseDef.: dϕ parallel zur Drehachse,Richtung durch Rechte-Hand-Regel
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Es gilt:
Drehsinn DrehsinnDrehsinn
ω
Drehsinn
r
vr
v
Flash Movie
ω
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8.5 Kinetische Energie der Rotation
Wir hattenWir hatten
Ekin über vtan gegeben
Falls Punktmasse im Abstand r
Für n (diskrete)Für n (diskrete) Punktmassen
da starrer Körper
T ä h it t
Für kontinuierliche
(Massen)Trägheitsmoment= Definition
Massenverteilung
Kinetische Energie bei Rotation für ausgedehnte Körper
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g
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8.6 Berechnung von Trägheitsmomenten(nur für symmetrische Körper analytisch berechenbar)
I von 3-dim Körpern wird über Volumenintegral berechnet
Beispiel: Stab konstanter Dichte (1-dim Massenverteilung)
Mit L >> Lz und L >> Lyz y mit Liniendichte λ = m/L
dm = λ dx
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8.7 Steiner‘sche SatzProbleme:
1 Trägheitsmomente sind schwierig zu berechnen1. Trägheitsmomente sind schwierig zu berechnen2. Bei Änderung der Drehachse muss Rechnung
wiederholt werden
Steiner‘sche Satz erlaubt einfache Berechnung von I bezüglichder Achse, die parallel zur Schwerpunktsachse verschoben ist, p p
Is Trägheitsmoment umSchwerpunktsachseSchwerpunktsachse
mges Gesamtmassed Abstand der Drehachsen
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Steinersche Satz:Jede Drehung ist zerlegbar in Translation des Schwerpunktes der g g pGesamtmasse und Drehung der Masse um die Schwerpunktsachse.
= +
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Beweis Steiner‘sche Satz (in zwei Dimensionen)
0
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?
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8.8 Das Drehmoment
Frage: Ursache von Drehungen?Frage: Ursache von Drehungen? Antwort: Ursache ist Kraft !
Aber! Nur Komponente der Kraft F senkrecht r bewirkt Drehung.p g
Def.: Drehmoment
Spezialfall: F senkrecht r Kraft mal Hebelarm
Massenverteilung
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8 9 D hi l8.9 DrehimpulsKraft = Änderung des Impulses L
Def.: Drehmoment
Def.: Drehimpuls L
D h t Ä d
I l k ht
Drehmoment = Änderung des Drehimpulses
System von Punktmassen
Impuls p senkrecht zu r
[Animation]
System von Punktmassen
Drehimpulserhaltung !!
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[Animation]e pu se a tu g !!
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dZunächst 2-dim. Betrachtung
8.10 Rotierende Bezugssysteme
Rotierendes System P kt i P kt PInertialsystem ruhend
Rotierendes Systemω = konstant Punktmasse im Punkt P
Geschwindigkeit der Punktmasse
Beschleunigung der Punktmasse
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Falls x´= y´= 0 gilt :(Masse ruht im rotierenden System)
Inertialbeobachter sieht beschleunigte Bewegung
In 3 Dimensionen gilt:(ohne Beweis)
oder umgeformt:
In rotierenden Bezugssystemen treten zwei Trägheitskräfte aufg y g
Corioliskraft:
Z t if lk ft
FC =
FZentrifugalkraft:
Man kann mit Hilfe einer Messung feststellen, ob man in einem
Fzf =
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Rotierenden Bezugssystem ist
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8.10.1 Zetrifugalkraft
E ibt hi d S h ib iEs gibt verschiedene Schreibweisen für Zentrifugalkraft
Was wird beobachtet? Beispiel rotierende Scheibe:I t ti lb b htIntertialbeobachter: Es wirkt Zentripetalkraft
Rotierender Beoabchter: Es wirkt ZentrifugalkraftEs wirkt Zentrifugalkraft
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8.10.2 Corioliskraft Geschwindigkeit der Masse im rotierenden System
Im rotierenden Bezugssystem wirktCorioliskraft
Merke!Corioliskraft ist unabhängig von r- Corioliskraft ist unabhängig von r
- Corioliskraft tritt nicht auf, falls
W i d b b ht t? B i i l ti d S h ibWas wird beobachtet? Beispiel rotierende Scheibe:
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Inertialbeobachter Rotierende Beobachter
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8.10.3 Erde als rotierendes Bezugssystem
Auf Masse in A auf Erde muss Zentripetalbeschleunigung wirkenZentripetalbeschleunigung wirken
itmit
und Tangential-geschwindigkeit
folgt für λ = 0o
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Messung der Erdrotation mit Foucault`schen Pendel
Prinzip:p
Pendel behält Schwingungsebene bei (Inertialsystem)während sich Erde dreht mit
Pendel
Erde
Äquator
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Für rotierenden Beobachter giltN
V Auf A wirkt ZentrifugalbeschleunigungA
g0D
λ
r
Ä t EbC
mit
Äquator-Ebene
Beschleunigung durch Gravitation g0 wird vermindert
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Geographische B it l
Beschleunigungi / 2Breite l g in m/s2
90o N d l
9,8321Nordpol
0o Äquator
9,7799Äquator
48o 50´(Paris (F))
9,8094( ( ))
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