H. Zabel 38. Lektion: Schwingungen 1
44. Lektion: Stehende Wellen
15.Schwingungen
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Lernziel
Stehende Wellen entstehen aus der Stehende Wellen entstehen aus der Überlagerung von laufenden Wellen an Überlagerung von laufenden Wellen an
festen oder losen Enden. Die Superposition festen oder losen Enden. Die Superposition von einlaufender und reflektierter Welle von einlaufender und reflektierter Welle
ergibt eine stehende Wellen. ergibt eine stehende Wellen.
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Begriffe:
• Randbedingung: festes und loses Ende
• Stehende Wellen (transversal und longitudinal)
• Diskreter Satz von Wellenlängen
• Eigenfrequenzen
• Intensität von stehenden Wellen
Begriffe
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RandbedingungenBetrachten eine transversale Seilwelle, die auf ein festes und ein loses Ende zuläuft.
Festes Ende: Loses Ende:
0=x 0=xAm losen Ende x=0 ist die Amplitude zeitabhängig.
Am festen Ende x=0 ist die Amplitude für alle Zeiten Null.
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Beobachtungen
Festes Ende:
Amplitude der reflektierten Welle ist invertiert, entsprechend eines Phasensprungs der reflektierten Welle um δ=π bzw. δ=180°.
Loses Ende:
Richtung der Auslenkung bleibt nach Reflexion erhalten, d.h. keine Phasenänderung oder δ =0°.
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Veranschaulichung der Randbedingung durch Überlagerung von realem und virtuellem Puls
real virtuell
Loses Ende
0=x
real virtuell
Festes Ende
0=x
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Stehende Welle mit zwei festen Enden
Stehende Wellen entstehen durch die Überlagerung (Superposition) von zwei gegenläufigen Wellen, die an den festen Enden reflektiert werden. t = T/2
t = T
t = T/10
t = T/4
t = 3T/4
t = 8T/10
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Stehende Wellen
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Stehende Wellen
21λ
=L
22 2λ
=L
23 3λ
=L
24 4λ
=L
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Wellenlängenbedingung für stehende Wellen mit zwei festen Enden
2nnL λ
=Knoten
Bäuche
Oder:
nL
n2
=λ
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Formale Herleitung
Superposition von rechts und links laufender Welle:
( ) ( ) ( )
( ) ( )321321
44 344 2144 344 21
igkeitOrtsabhängigkeitZeitabhäng
ndlinkslaufe und treflektierlaufend rechts
kxty
kxtykxtytxy
sincos2
sinsin,
0
00
×−=
+−−=
ω
ωω
An jedem Ort x variiert die Amplitude zwischen den Maximalwerten:
-2y0sin(kx) und +2y0sin(kx) .
Für die Werte kx =nπ bleibt die Amplitude immer Null (Knoten).
Für die Werte kx =(2n+1)π/2 hat die Amplitude immer den Maximalwert (Bauch).
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Randbedingung für Wellenlängen
Die Randbedingung verlangt, dass Knoten an den festen Enden sind, d.h. für x=0 und x=L muss die Amplitude Null sein.
x=0: sin(kx) = 0 automatisch erfüllt
x=L sin(kL) = 0 nur dann wenn kL = n π
Oder für:
nLnL n
22=⇒= λπ
λπ
Nur Wellenlängen, die diese Bedingung erfüllen, sind erlaubt. Die Randbedingung schliesst ein kontinuierliches Spektrum von Wellenlängen aus. Der Randbedingung erzwingt, dass nur bestimmteWellen, d.h. ein diskreter Satz von Wellenlängen erlaubt ist:
λ = 2L, L, L/2, L/4, .....
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Erlaubte Frequenzen
Wegen vkvfλππω 22 ===
Folgt für die erlaubten Frequenzen aus der Randbedingung:
vLnf
2=
Die erlaubten Frequenzen werden auch Eigenfrequenzen genannt. Sie sind typisch für die gesetzten Randbedingungen.
Auch Elektronen in Atomen unterliegen Randbedingungen, die einen Satz erlaubter Eigenfrequenzen der Elektronen erzeugen. Übergänge zwischen erlaubten Zuständen, gekennzeichnet durch Eigenfrequenzen, erzeugen das atomare Linienspektrum.
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Stimmen von Saiteninstrumenten
Die Geschwindigkeit der transversalen Seilwelle hängt von den elastischen Eigenschaften ab, so dass man erhält:
ρσ
Lnf
2=
Bei Saiteninstrumenten wird über die Spannung σ die Grundfrequenz bestimmt. Um tiefere Töne zu erreichen, wird häufig die Saite mit einem Draht umsponnen, der die Dichte ρ erhöht.
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Höhere Harmonische einer stehenden Welle
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Intensität der stehenden Welle
yuI τ=
Laut 41. Lektion, Folie 8 ist die Intensität der transversalen Welle gegeben durch
Auf die stehende Welle angewandt ergibt sich:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )xktyt
txyu
xktky
kxtyxx
txy
y sinsin2,coscos2
sincos2,
0
0
0
ωω
ωσ
ωσστ
+=∂
∂=
+=
−∂∂
−=∂
∂−=
( ) ( ) ( ) ( ) 0sincossincos4 20 ≡=
tttxkxkkyI ωωωσ
Einsetzen ergibt:
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Intensität der stehenden Welle
Die Intensität, die im zeitlichen Mittel pro Zeitintervall durch eine Querschnittsfläche durchtritt, ist Null. Im zeitlichen Mittel wird keine Energie transportiert. Genauso viel Energie läuft nach links wie nach rechts, so dass die Summe Null ergibt. In der stehende Welle ist selbstverständlich Energie gespeichert, aber wie beim Pendel kann diese Energie nicht vom Ort weg transportiert werden, daher I = 0. Anders ausgedrückt: zwischen τ und uy besteht bei stehenden Wellen eine Phasendifferenz von 90°, bei laufenen Wellen dagegen von 0°. Andererseits können wir ein Instrument hören, d.h. Intensität wird transportiert. Widerspruch wird aufgelöst durch die Tatsache, dass das Instrument von Luft umgeben ist. Damit wird durch Erzeugen von Schallenwellen Energie ausgekoppelt. Die Saitenschwingung ist dann gedämpft und die Phasenverschiebung weicht ab von 90° .
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Stehende Wellen mit einem festen und einem losen Ende
41λ
=L
43 2λ
=L
23 3λ
=L
LAllgemein:
( )12
44
12+
=⇒+=n
LnL nn λλ
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Eigenfrequenzen
( ) ( )ρσ
Ln
Lvnfn 4
124
12 +=
+=
Die Eigenfrequenzen bei einem freien Ende verhalten sich wie:
f1, f2, f3 = 1 : 3 : 5
Im Fall von zwei festen Enden verhalten sich die Eigenfrequenzen wie:
f1, f2, f3 = 1 : 2 : 3
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Longitudinale Wellen:beiseitig offenes Schallrohr
21λ
=L
22 2λ
=L
23 3λ
=L
Oder:
nL
n2
=λ
Randbedingungen sind analog zu der beidseitig eingespannten Saite:
ρκλλ 0
22;2
2p
Ln
Lnvf
nLnL nn
n ===⇒=
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Druckamplitude und Verschiebungsamplitude
Beim Schallrohr sind Druckamplitude und Verschiebungsamplitude 90° aus der Phase. Knoten in der Druckamplitude entspricht Bäuchen in der Verschiebungsamplitude. Teilchen sammeln sich im Knoten der Verschiebungsamplitude an (siehe Kundt‘sches Schallrohr).
Verschiebung Druck
Beim offenen Schallrohr muss an den Enden ein Druckknoten sein, da der Druck der Umgebung entsprechen muss.
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Longitudinale Wellen:ein offenes und ein geschlossenes Ende
41λ
=L
43 2λ
=L
Druckamplitude
Geschlossenes Ende
Offenes Ende( ) ( )
ρκ 0
412
412 p
Ln
Lvnfn
+=
+=
Frequenzbedingung wie bei der einseitig eingespannten Saite:
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MembranschwingungMembranenschwingungen sind zwei-dimensionale transversale Schwingungen mit festem Rand in der Schwingungsebene. Die Randbedingung erzeugt Eigenmoden, genauso wie im ein-dimensionalen Fall. Lösungen sind nicht sinus-Funktionen sondern Besselfunktionen.
Grundschwingung Erste Oberschwingung
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Stehende Wellen auf einer Trommel
Wellen auf einer Trommel
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Rechtwinklige Membrane
Knotenlinien für n=m=1
Knotenlinien für n=m=2
Auslenkung in der z-Richtung (senkrecht zur Blattebene) wird analog zur Dgl. In einer Dimension ausgedrückt:
0,1l
2,0 l
0,0
Die zeitunabhängigen Eigenfunktionen sind in cartesischen Koordinaten:
( ) ( ) ( )2
2
22
2
2
2 ,,1,,,,t
tyxzvy
tyxzx
tyxz
phase ∂∂
=∂
∂+
∂∂
21, sinsin),(
lym
lxnAyxz mn
ππ=
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Stehende Wellen auf einer Gitarre
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Stehende Wellen auf dem Schallkörper einer Geige
Schallbilder Geige
Sichtbar gemacht:
durch Mehl
Laserinterferometer
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Stehende Elektronenwellenfunktionen an Oberflächen: Quantum corral (IBM)
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Zusammenfassung
h Stehende Wellen entstehen durch Überlagerung von einlaufender und reflektierter Welle
h Zeitlich gemittelte Intensität von stehenden Wellen ist Null, genauso wie bei lokalen Schwingungen
h Bei schwingenden Saiten bzw. im Schallrohr wird Intensität ausgekoppelt, was zur Dämpfung führt.
h Randbedingungen erzeugen Eigenfrequenzen, d.h. ein diskretes Spektrum von Frequenzen
h Die Eigenfrequenzen hängen von der konkreten Randbedingung ab, d.h. loses oder festes Ende.
h Bei der transversalen Saitenschwingung ist Spannung und Geschwindigkeit um 90° phasenverschoben.
h Bei der stehenden Schallwelle ist Druckamplitude und Teilchenverschiebung um 90° phasenverschoben.