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3. Schwingungen (Oscillation, vibration)
Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig)
mechanische Schwingungen: periodische Bewegung
periodisch = sich wiederholend
Bsp: Pendel, Feder
Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch.
Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik, auf:
- Autofederung
- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht
- EM - Schwingungen Funkwellen
- Schwingungen bei Regelvorgängen
- Gezeiten
- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ...
- . . .
- Wirtschaft (Zinsen, Aktien, so genannter „Schweinezyklus“, ... s.u.)
A
t
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Historischer Verlauf des DAX ab 1960
In den „Boomjahren“(60-ziger und 70-ziger) praktisch konstant, danach steigende Kurse mit
„Schwankungen“
Fragen: - Warum haben die (Zinssatz-) „Schwingungen“ ca. 2000 aufgehört?
- Warum ist der Zinssatz seit ca. 1992 praktisch nur noch fallend?
Auffallend: Keine Schwingung beim DAX Schwingung beim Zinssatz
und umgekehrt
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3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel
Vorkenntnisse : - Kräftezerlegung
- Bewegung von Massepunkten
- Newtonsches Gesetz
- trigonometrische Funktionen
Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen
Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper:
Mathematisches Pendel
Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld
Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel :
Beobachtung: - periodische Bewegung um Ruhelage
- Auslenkwinkel ändert sich
- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da
keine anderen Kräfte von außen wirken
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Mathematisches Pendel
mit relevanten Kräften und Definitionen
JAVA Applet: Fadenpendel
Eigenschaften des Pendels
- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage
- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l
- punktförmige Masse m
- Winkel aus Ruhelage
- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l
- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge
- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft FG = m g
Vorgehen zur Bewegungsgleichung
- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile
- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen
- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende Kraft FRK
in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich
- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel
l
m
s
F = m gG
Ft
FRK
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Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip : F = 0
1) Kraftansatz: Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel
Rückstellende Kraft
Fb = FRK = m g sin
(SW - 1)
Trägheitskraft smFt
(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges)
Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel
s = - l ls
Minuszeichen: entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel
l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel
Trägheitskraft
in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel
lmFt
(SW - 2)
3) Einsetzen
m fällt heraus
Bewegungsgleichung 0singl
(SW - 3)
gesucht : (t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel
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Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von und sin kompliziert
für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus ungefähr (im Bogenmaß)
bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich
kleine Auslenkung sin [] = rad
rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel FRK
Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sin durch , ergibt
Harmonische Schwingungsgleichung
0l
g
(SW - 4)
Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen Auslenkungen
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Als Lösung gesucht :
periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : f~f
Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion
Experimente
Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der
zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel
Sinusfunktion
Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleunigungsmesser) zeigt ebenfalls einen
sinusförmigen Verlauf
Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel) kann
die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 !
also Cosinus, da cos(0) = 1
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Lösungsansatz
für zeitabhängige Winkeländerung (t)
(t) = o cos(ot)
(SW - 5)
mit - o : Anfangsauslenkung
- o : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.)
Schwingungsdauer
2f;
2
f
1T 0
0
Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung:
zuerst ableiten
Geschwindigkeit
ändert periodisch
)tsin( ooo
(SW - 6)
Beschleunigung
2
ooo
2
o )tcos(a
(SW - 6')
Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen!
Einsetzen in (SW - 4) 0l
g2
o l
g2
0
Eigenfrequenz o
der Mathematischen Pendels
l
go
(SW - 7)
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Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da messbar
Schwingungen artverwandt mit Rotation:
- Eine Periode entspricht 2 , hier * T Periodendauer Schwingungsdauer T
- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied
aus SW - 7 folgt damit
Schwingungsdauer
des Mathematischen Pendels bei
kleinen Auslenkungen
g
l2TMP
(SW - 8)
Schwingungsdauer
- proportional zur Wurzel aus Pendellänge
- unabhängig von Masse und Amplitude
Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !!
Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s
t
T = 2
T
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Zusammenfassung (Klausur-relevant)
Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz):
02
0 l
g2
0 ; 0
2T
Lösung: tcos o0
Merkmale idealer harmonischer Schwingungen
- Gleichung 0xx 2
o
- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude - Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) x~FRk
- o beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systems
- o ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems
Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden ebenfalls
mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels Koeffizientenvergleich
erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer
reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.)
Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u.
Hinweis: Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse;
mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem.
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3.2 Übersicht
allgemein:
Schwingungen entsprechen periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen)
Bsp. Pendel: Epot Ekin Epot (trotzdem Kraftansatz verwenden !)
Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente
Schwingungsart Harmonisch Anharmonisch
Mathematische Beschreibung 1 Sinus bzw. Cosinus beliebig
Bsp: Pendel,
LC - Schwingkreis
Rechteck, Ebbe, Flut
Pulsschlag, EKG
Schwingungsart ungedämpft gedämpft
Annahmen ideal mit Verlusten, z.B. Reibung
Bsp Math. Pendel Luftwiderstand, Federpendel
Schwingungsart frei erzwungen
Merkmal - System bleibt sich selbst überlassen
- abklingende Amplitude
- äußere Energiezufuhr
- Resonanz
Bez.: Oszillator Resonator
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3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen
3.3.1 Physikalisches Pendel
wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz M = 0 MRK - MT = 0
Mathematisches Pendel
Physikalisches Pendel
Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt
Mathematisches Pendel mit Drehmomentansatz
1) d’Alembert: M = 0 (da Bewegung auch als Rotation angesehen werden kann, s. o.) 2) Drehmomente bestimmen - Drehmoment JMT
- Satz von Steiner: Ja = Js + mr² (MD - 16) - Distanz Aufhängepunkt – Schwerpunkt: r - singmrFrMRK
Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’
D
r
SWP
FRK
FG
D
SWP
r
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3) Einsetzen
analog zu (SW 1-4) :
0.vgl0J
gmr
0gmrJ
2
o
a
a
2o
Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels
bei kleinen Auslenkungen
²rmJ
gmr
J
gmr
swpa
2
o
(SW - 9)
Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7):
Massepunkt: Js = 0 r
go
Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten
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Zum Weiterlesen und als Beispiel (mechanische) Schwingungen
„besser“ mit dem Kraftansatz zu rechnen.
3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit Energieansatz
Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbedingung v oder h
1/2 mv² + mgh = const. mit - cos1lh
- klein: cos 1 – 1/2 ² h l ² / 2
- s = l und v = l
Vorteile:
- Vorzeichen von v „uninteressant“, da v2
- Ansatz einfacher
Schwingungsgleichung
des Mathematischen Pendels bei kleinen
Auslenkungen aus Energiesatz
const²sl
g²s
(SW - 10)
Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot)
o² so² sin²(ot) + g/l so² cos²(ot) = const
mit o² = g/l
g/l so²[sin²(ot) + cos²(ot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1
Vgl. Kraftansatz: 0xl
gx mit (SW-10)
aus (SW – 10) dt
dconst²s
l
g²s 0ss
l
g2ss2 0s
l
gs
Energieansatz - auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc.
- nicht üblich
- inkompatibel mit LC-Schwingkreis
h
l
nur Epot
kin potE + E
v = 0
kinnur E
maxv = v
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3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungs-
gleichung (hier nur zur Information, Details Mathe 2)
Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0)
- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kinetische Energie)
- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kinetische Energie)
Allgemeine Harmonische
Schwingungsgleichung
0xx 2
o
(SW - 11)
Lösungsansatz : x(t) = c1 cos(ot+) + c2 sin(ot+)
c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen
„Allgemeine“ Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung
Pendel
tsinv
tcosx)t(x o
o
ooo
(SW - 12)
Mit - xo : Anfangsamplitude
- vo : Anfangsgeschwindigkeit
- o : Eigenfrequenz
- : Phase
- Geschwindigkeit x~v
- Beschleunigung xx~v~a 2
o (ungleichmäßig beschleunigte Bewegung)
In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein :
- nur Anfangsauslenkung : vo = 0 (sin0 = 0)
- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0 (cos0 = 1)
- gemischt : vo und xo 0
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Allgemeine Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung (wichtig)
- Gilt „immer“ für ungedämpfte harmonisch schwingende Systeme!
- Ist allgemeiner Fall der „mechanischen“ Lösung SW-12
tBtAtx oo sincos)(
(SW – 12‘)
Mit - A, B : Anfangsamplituden
- o : Eigenfrequenz
- : Phase
Zum Weiterlesen : Komplexe Lösung der Schwingungsgleichung.
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3.3.4 Beispiele Harmonischer Schwingungen (Übung + Klausur)
- Federpendel
Feder anfänglich gedehnt
Kraftansatz: F = 0
1) Fb - Ft = 0 FRK - Ft = 0 2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung
xmFt
3)
0xm
Dx
2o
Feder anfänglich gestaucht
2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x
xmFt , da in -x - Richtung
Rest identisch
Probe: - m : a 0
- D 0 : a 0
JAVA Applet: Federpendel
gilt auch für senkrechte Pendel
0
Ft
xRuhelage
F = FFF RK
0
Ft
xRuhelage
F = FFF RK
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- Torsionspendel
hier gilt nicht v = r ,da nicht konstant
Hier: o =
Herleitung siehe Übungsaufgabe mit : MRK = - D und MT = J folgt :
0J
D
20
- LC – Schwingkreis siehe E- Technik
0ILC
1I
20
UC ebenfalls periodisch! JAVA Applet: Elektromagnetischer Schwingkreis
- Flüssigkeit in U-Rohr
siehe Übungsaufgabe
d' Alembert: FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten)
FT = mges z
Flüssigkeit: mFL = A h
mges = A l , l : Gesamtlänge
mbesch = 2 A z (2, da über- & unterhalb z = 0)
0zl
g2z
2o
Vgl. Mathematisches Pendel l
g2
o
D
J
Ruhelage
LC
UC
I
mbeschl
mges
z
0
Ft
FRK
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3.3.5 Zusammenfassung Mechanik harmonische Schwingungen
(nur Beträge) Translation Rotation
Ansatz
F = 0
M = 0
Variable
Weg x
Winkel
Rücktreibende Komponente
FRK = cT x
MRK = cR
Trägheitskomponente
FT = m x
MT = J
Eigenfrequenz
m
cT2
o
J
cR2
o
Bem.: - Rücktreibende Komponente Auslenkung
- Frequenz unabhängig von Amplitude
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3.4 Gedämpfte Harmonische Schwingungen
Einfluß von Reibung oder anderen Verlusten: Verringerung der Amplitude mit der Zeit
Reibungsphänomene siehe Dynamik
Hier als Einführung (Lösungen DGL siehe Mathe 2),
relevant für Klausur sind die drei Fälle (Skizze, s.u.)
Reibungsarten FR FR proportional Amplitude
Gleitreibung Normalkraft lineare Abnahme, nicht geschlossen lösbar
Viskos xv typ. exponentielle Abnahme (*)
Newton 2v Abnahme, DGL schwer lösbar
(*): viskose Reibung entspricht einem Ohmschen Widerstand in ET!
Bsp: Viskose Reibung
z.B. Luftdämpfung eines Pendels bzw. R in LC-Schwingkreis, d.h. vˆx~FR
d'Alembertscher Ansatz
F = 0
Reibungskraft, siehe Tabelle
Ft + FR + FRK = 0
(SW - 13)
Mechanisches System :
0xxm
bx 2
0
2
mit - b : Reibungskonstante
- m : Masse
Vereinfachung der Lösung mit Abklingkoeffizient : m2
b
0xx2x 2
0
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Lösung dieser DGL (exakte Lösung siehe Mathe 2, hier nur zur Info) hat 3 Fälle:
Name der 3 Fälle Bedingung Schwingung Bemerkung
Schwingfall o > ja Häufigster auftretender Fall
Kriechfall o < nein „Kommt selten vor“
Aperiodischer
Grenzfall
o = nein Anzustrebender Fall wenn bei schwing-
ungsfähigem System keine Schwingung
auftreten soll, z.B. Fahrzeugdämpfung
Beispiel: analoges Drehspulinstrument
Diese Skizze ist relevant:
Bemerkung: Die Schwingungsgleichungen haben quasi unabhängig vom physikalisch-technischen
System immer dieselbe mathematische Form (siehe DGLs Mathe 2)
Versuche : - LC-Schwingkreis
- Pohlsches Drehpendel
Welches Schwingungsverhalten sollte ein Stoßdämpder in einem Auto aufweisen? Zum Weiterlesen: anharmonische Schwingungen, Frequenzverdopplung
z.B. Klirrfaktor im Audiobereich
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3.5 Erzwungene Schwingungen
Prinzip: Äußere Kraft bzw. Energie wirkt auf schwingungsfähiges System Relevant: „Physikalische Effekte“ wie z.B. Skizzen, nicht Formeln. Versuch: Drehpendel
aus „ergänztem“ Kraftansatz ( F = 0) mit externer Kraft
Schwingungsgleichung
für erzwungene Schwingungen
x + 2 x + o2 x = Fext
(SW - 17)
Fext : - Äußere Kraft , Fälle siehe s.u.
Fext Zeitverhalten Bsp. Pendel
Kurzzeitig, einmalig
(‚Schlag’)
„Anschub“- Anfangsbedingung
Danach gedämpfte
Schwingungen
z.B. Stimmgabel, Börsencrash
Permanent
Dauernde Auslenkung
Schwingungsdauer T =
z.B. Festklemmen
Periodisch
bzw. „beliebig“
Wichtigster Fall
Anregung mit Eigenfrequenz
das ist Resonanz
Praxis: Mit einem ‚Schlag’ und Messung von Schwingfrequenz und Amplitude erhält man alles
Systeminformationen wie o und
t
Fext
t
Fext
t
Fext
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3.5.1 Viskos gedämpfte Schwingungen mit äußerer Anregung Versuch : Drehpendel, LC-Schwingkreis JAVA Applet: Erzwungene Schwingungen (Resonanz) Details siehe Mathe 2 – DGL
Wichtige Kenngröße: Äußere Anregefrequenz und Eigenfrequenz des schwingungsfähigen
Systems. Stimmen beide in etwa überein, steigt die Amplitude der Schwingung stark an.
„Schwingungen mit Anregung - das haben Sie als Kind auf der Schaukel intuitiv geschafft!“
Falls die Dämpfung 0 steigt die Amplitude , dies nennt man 'Resonanzkatastrophe'
Klausurrelevant: Skizze, Beschreibung Resonanz
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Resonanzen - vermeiden, da Materialzerstörung (s.u.)
- erwünscht z.B. Funkempfänger (LC-Schwingkreis)
Messtechnik : Bestimmung der Resonanzfrequenz
Beispiel Schiffsantrieb:
Video Tacoma - Bridge
Praktische Anwendung des LC – Schwingkreises
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Übungsblatt Schwingungen
1. Weisen Sie nach, dass beim Mathematischen Pendel die Lösung des Kraftansatzes
(vereinfacht s = so sin(wot) ) auch die Lösung des Energieansatzes (s'² + o
² s² = const) ist.
2. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für ein Torsionspendel (siehe Vorlesung)
auf und geben Sie die Eigenfrequenz an. Welche messtechnische Bedeutung hat ein
Torsionspendel?
3. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für eine Flüssigkeit in einem U-Rohr
(siehe Vorlesung) auf. Wie groß ist die Eigenfrequenz?
4. Wie groß ist die Schwingungsdauer einer langen Stange (Dicke vernachlässigen), die an einem
Ende aufgehängt ist (harmonisch, ohne Reibung)? Vergleichen Sie dies mit einem
Mathematischen Pendel. Lsg: 2/3 eines gleichlangen M. P.
5. Ein Seil der Länge l und der Masse m liegt so auf einem Tisch, dass der längere Teil
hinunterhängt. Nach dem Loslassen soll das Seil reibungsfrei über die Tischkante gleiten.
Stellen Sie die Bewegungsgleichung und vergleichen Sie diese "einmalige" Bewegung mit
einer Harmonischen Schwingung.
6. Ein waagrecht liegender Harmonischer Federoszillator der Masse 1kg (Masse incl. Feder,
Ansatz: waagrechtes Federpendel) und D = 100N/m befindet sich in seiner Ruhelage. Er wird
von einer Kugel (10g) durchschlagen, die mit 500m/s auftrifft und mit 250m/s austritt.
Berechnen Sie die Schwingungsamplitude nach dem Durchschlag des Geschosses
(reibungsfrei). 25 cm
7. Ein unten mit Blei gefülltes Reagenzglas (Gesamtgewicht m) schwimmt senkrecht im Wasser.
Zeigen Sie, dass das Reagenzglas harmonische Schwingungen (ohne Reibung) durchführt,
wenn es etwas ins Wasser gedrückt und dann losgelassen wird.
8. Ein Federpendel besitzt zum Zeitpunkt t=0 eine Auslenkung von 5cm, die Geschwindigkeit
10cm/s und die Beschleunigung -20cm/s². Wie groß ist die Amplitude und die Kreisfrequenz
der Schwingung? 7,07 cm 2 1/s