24. Die Exponentialfunktion
...6
x
2
xx1...
!3
x
!2
x
!1
x
!0
x
!n
x)xexp(
323210
0n
n
Exponentialfunktion, Logarithmus, Potenz
Reihe:
Folge:
Die Funktionalgleichung lautet:
][ ...n
x
3
n
n
x
2
n
nx
1
n1)
nx
1()xexp(3
3
2
2
n
n
n)()()(limlim
ex1.ex2 = ex1+x2
exp(x) ex exp(1) e D =
ex1.ex2 = n=0
∞ xn
1
n! .
m=0
∞ xm
2
m! = k=0
∞ n+m=k
xn
1 xm2
n! m!
= k=0
∞ n=0
k
xn
1 xk-n2
n! (k-n)!
= k=0
∞ 1k!
n=0
k
k!
n! (k-n)! xn1 xk-n
2
= k=0
∞ 1k!
n=0
k
(kn) xn
1 xk-n2
= k=0
∞ 1k! (x1+x2) k = ex1+x2
0e
xx
n
xlim
exp(-x) = 1
exp(x) Bew.: 1= exp(0) = exp(x-x) = exp(x).exp(-x)
exp(x) ist streng monoton wachsend mit W = (0,∞).
Bew.: ex > 1 für x > 0. ex+x = ex ex > ex . e0 = 1. e-x= 1/ex.
exp(x) wächst stärker als jede Potenz von x:
Bew.: ex = k=0
∞ xk
k! > xn+1
(n+1)! xn
exp(x) < (n+1)!
x 0 für x
Irrationalität von e = 10! +
11! +
12! +
13! + ... = 2,71828...
e = n=0
∞
1n! =
10! +
11! +
12! +
13! + ...
Sei e = mk mit m,k . k ≥ 2, da e nicht ganzzahlig ist.
Summiert man bis zum k-ten Glied, so bleibt der Rest
R = e - n=0
k
1n!
= mk - (
10! +
11! + ... +
1k! ) =
1(k+1)! +
1(k+2)! +
1(k+3)! + ...
Nach der linken Seite muß k!R gelten, nach der rechten Seite:
k!R = 1
k+1 + 1
(k+1)(k+2) + 1
(k+1)(k+2)(k+3) + ... < 1
k+1 + 1
(k+1)2 + 1
(k+1)3 + ...
= 1
k+1 1
1 - 1
k+1
= 1k < 1
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt natürlicher Logarithmus oder logarithmus naturalis.
lnx ist streng monoton wachsend, D = (0, ) und W = .
elnx = x für x (0, ) ln ex = x für x
ln(1) = 0 exp(ln(1)) = 1 = exp(0)
ln(e) = 1 exp(ln(e)) = e = exp(1)
ln(1/x) = - ln(x) exp(ln(1/x)) = 1/x = 1
exp(ln(x)) = exp(-ln(x))
ln(x1.x2) = ln(x1) + ln(x2) eln(x1x2) = x1x2 = elnx1.elnx2 = elnx1+lnx2
ln(xa) = a.ln(x) ln(xa) = ln(x.x...x) = ln(x) + ln(x) + ... + ln(x) = a.ln(x)
0x
xlnn
xlim
0xexp
x
xexp
xlnexpn
xn
xlimlim
1x
1ex
0xlim
1
1xxln
lim1x
(ea)b = eab aber für a.b ≠ ab gilt eab ≠ e(ab)
Bew.: ln((ea)b) = b.ln(ea) = b.a.ln(e) = a.b = ln(eab) ln(e(ab)) = ab.ln(e) = ab ≠ a.b = ln(eab)
ln(x) wächst schwächer als jede Potenz von x:
Grenzwerte: ln(x)x-1 =
ln(x)exp(ln(x))-1 =
yey - 1 und y 0 für x 1
xx eedxd
Ableitung der Exponentialfunktion
n n-1 n-1 nx x
n=0 n=1 n=1 n=0
d d x x x xe e
dx dx
nn! n! (n -1)! n!
x1
dx)xln(d
exp(x) ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft und exp(0) = 1
Bew.: ( f(x)exp(x) )´ =
f´(x)exp(x) - f(x)exp(x)exp2(x) =
f´(x) - f(x)exp(x) = 0 da f´= f.
f(x)
exp(x) = const.
Ableitung der Logarithmusfunktion
dln(x)dx =
1dexp(ln(x))
dln(x)
= 1
exp(ln(x)) = 1x für 0 < x <
alnaadxd xx
Die allgemeine Potenz ax mit der positiven Basis a ( 1) und dem Exponenten x kann mit Hilfe von a = elna auf die Exponentialfunktion zurückgeführt werden.
ax = (elna)x = ex lna
Damit findet man nach der Kettenregel
(ax)´ = ddx ex lna =
dex lna
dxlna dxlna
dx = ex lna lna = ax lna
Die Umkehrfunktion ist der Logarithmus zur Basis a, loga.
alogax = x = logaax (logax nur für positive x definiert)
alnx
1xlog
dxd
.a
Der Logarithmus gibt an, mit welchem Exponenten man die positive Basis a potenzieren muß, um die Zahl x zu erhalten.
ay = x logax = y
Briggssche Logarithmen: 10y = x lgx = y
1 = logaa = loga(blogba) = logba.logab (wenn ay = b, dann a = b1/y)
logax = loga(blogbx) = logbx.logab = loga b.logb x
lnx = ln10.lgx sowie lgx = lge.lnx
Die Ableitung des Logarithmus zur Basis a:
dlogax
dx = dlnx/lna
dx = 1
x.lna = logae
x
Man berechne die Zahl e als Grenzwert einer Folge und einer Reihe jeweils auf 4 Kommastellen genau.
Welches ist die größte Zahl, die man im Zehnersystem mit drei Ziffern schreiben kann (Exponentialschreibweise!), und wieviel Stellen besitzt sie? 1 + [99lg9]
Logarithmisch ableiten: xx
x3e4xsin4x
Wotans Ring Draupnir
t/s Anzahl
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80 Protonen im Weltall
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80 Protonen im Weltall
43 min 1000! übertroffen
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80 Protonen im Weltall
43 min 1000! übertroffen
? 999
t/s Anzahl
10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)
11 Sterne in der Milchstraße
14 Bakterien im menschlichen Darm
20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2
22 Sterne im Weltall
34 Bakterien in den Erdmeeren
38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1
59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen
80 Protonen im Weltall
43 min 1000! übertroffen
11 a 263 d 999