Zentraliibung 77

heute : Wdh. kanonische Quant isierong

neichstes Mal : Sto rungs theorie,

tent rat potential ,. . .

7. Hilbert raum

Ht -- f 147 , lots , . . .

I, 14 's = ( : )

line are Funk tienen f : IH → ¢

f- ( at lost blots ) = af ( 1105ftb f ( 143 )

Schreibweise : f = E fl ,f ( 14 x ) = tf 147

Dual raum : HI #= f e fl

, Egl ,. . .

I

Basis von HI : f le.

>,

less, . . .

I ⇒ 14 7 = ¥ 4*1 eat

Basis von Htt " t ee ,I , Eez I

,. . .

I ⇒ Efl = ¥ fu leks

dual e Basis : E Ei legs=Sij =3 I f 147 = ¥.

fi Hj Eeiej 7 = ¥ fi Yi

↳ sie ht aus wie Skalarprodukt → schreiber Eft = C . - - )

definiere 14 's = EE the leks ← Ethel = ¥ 4¥ teal, EEK I = Eek I

Skalarprodukt : lots . 14 's = €01145 = ¥ 01¥ 4k

E 414 s = ¥ 14×12 Io ⇒ 1114k > It = Veolia

Voll stand igkeits relation : 14K¥ 4k leks ⇒ ceil 4S= Ee Yu Kei lek > = Yi

⇒ 14 > = ¥ teal 4S lek > = ¥ leuxekl 4II

Zusarnmenfassung :

145=1 :/,

← d) = ( ÷ It = c. . . . .

It

Edl 4S =L. . . . I * l ÷ I = C . )

101×41=41 c . . . . I = I

Operator en I : Ht → HI ⇒ A 143=14 't ⇒ A = I :/ , I 145=1 .

'

Il :/ -

- I :L'

off : to It 14 > =L . . . I* I I I :/ =L . . . . 1*1

'= 1.1

'

← Zahl

Worstell on gals Vektoren versa gt bei Ex, p ] = i

2. Axiom eP

,horse

⑦ Zustand wird be schrieber durch 145 ( eigentlich ItIQs )

② klassische Observable n ACH wird ersetzt durch einen hermit escher Operator↳ eigselbsadjungiert

I It ) ( also At = At .

Das Ergebnis einer Messing ist ein Eigen wert von A Itt

= > re ele Eigen wer te, orthogonal e Eigen vektoren

,die IH auf spanners

↳wegen hermitesch

③ Poisson Klammer wird ersetzt durch if - [ kommutator ] ( setzeh -- 71

Hassi sch- s quantenmechanisch

t ai , pj ] - =Sij l Ii ips. ] = ifij

orZeitentwick lung

At = .LA, HI Ai = ? LI ,

I ] Heisenberg sche Gleich ong

Heisenberg Bild : Operator en zeitabhangig , Zostande nicht

Sch - Edinger Bild : anders rum

④ System im 14 >, Erwartongswert einer Mes sung der Observable I

= 41 I let← A > =

=p , µ ,off 14143=7

ivormierungFEAT weg wenn Zostand schon normiert ist-

at Annahme : I hat diskretes Spektrum ,Al n 's =an In >

,Em In > = Smn

↳ Matrix

14 s = En 4N In >, 4h = = n 147

141 A I 4 > = n 4th 4N Eml I In > =¥4m*4n an Em In > = En an 14h12→

an In >

I 4h12 ist Wahrscheinliehkeit,

dass bei einer Mes sung von I am System

145 der Wert an gem essen wird I falls t 4145=2 )↳ sons f skalierte Wsk

= A > =

= 41114 > Ean 14h12=

¥ an

pnorwsktutus

=

¥1141'

En Pn

y

b) Annahme : A hat kontinuierliches Spektrum ,Ila > = at a >

14 s = fda 4cal la >

Vollstoindigkeits relation : fda taxa 1=1

la > = Ida ' la ' Xa ' lat ⇒ Ea' la > = Sla '

- at = Saa ,

4cal = eat 47

1=-414 > = Jdafda ' 4*144 la 't ea.la 's -- fda 146112

yeah, , *

a

< As = - 41114 > = Ida e 41 At la Xa 14 ) = Ida at 41 a > e a 145X I

ala > Idaall Call?

⇒ 14 Call'

ist Wahrscheinlichkeitsdichte

3. Heisenberg - and Schrodinger bild

ddt = FLA .si ] = it III - KAI ← Da

LEsong : I HI = eitet Ico , e-

int,

da

dat = isieititaio ,

e-itit-ieisetjcoygee-isite-isetzel.se

, I ] - o

-ACH A

unitarer Operator : Oct ) = e- int Heisenberg - Bild

⇒ I HI -- Oltl I Col Oltl

,It HI =D

- '

Itt

aist t

e Schrodinger Bild

6

EACH > = = 41A HI 14 s = E'41 Ut Htt lol Oltl 143=14411 Alot 14 HIX

,14415=04114 >

leite DGL her : i d- 14kt s = iddz e- itltlys -

- I e- ititlysjelyltls

dt

H in bei den Bit dern gleich

4.

Well enfonktionen

Orts operator : I ly > = y ly >, ex ,y sflx - yl

Im pols operator : B Iq> =ofIfs , Ep Iq > =f( p - q )

14 > =/ dx I x Xxl 47 =fdx 4Gt Ix >

Iwellenfonktion I Zostand im Ortsraom )

dx 1441'

ist Wahrscheinlichkeit, das Teil chen zwischen x und xtdx zu finders

wie immer : Jdx 144117--4147=7

analog for p

e 410 > =) dxe 41 x' Xx lots = Jdx 4*41 AH

-- Idp e 41 p Xp 1105=1 dp 45*1plIcp )

= xdI = Ext x ⇒ Ex I I 145 = x ex 147 = x 441

T iakg #41 ×

Tortsraum

Orts raum : Ortseigenzostande als Basis

Was ist mit dem Impels ?

✓( at =e

- iap

Behauptung : 0cal Its = txt as lndoktionsbeweis6

Beweis :L I,

B ] - i ⇒ L I,

pin ] = LI , pin"

] B + FML I, f ] = in pin - ^

ToIA : i ( n - 2) pin -2

E Ii viable ,

' Ii?"

rn ] = En tin?"

LI,

pin ] -- ¥

- in?: pn? = aurea ,

1-Iola) -0cal LII

Iical 1×5=0 Call It at 1×5=1 xtalucallx >

Tonite r

⇒ 0cal txt - I + t as → 0cal Ix > = Ix t as

Wahle a = E infinitesimal

✓ cells s =/ xt es = I 7 - ie fl Ix >

⇒ f L × , =

I HE > - I ⇒=

iItt E > - I ⇒

= i ¥ 1×7 so wirkt Fim Ortsraom- i e e

ex I B = - i ddx Ex I ⇒ e x I 514 s = - i ¥ ex 14 > = - i ¥4 L x )-

C Full #

analog : I Ip

s = - i Idf Ips,

e pl Illus = iadp 4 Cpl

B Ips =p Ip > e pl B I 4S =p 4 ( p )

Behaoptong : ex 1ps = IF ein

Bene is : ex IF I 45 = - ¥ ex 14 >,

setze Its = Ip >

=3 ex I f I p > =p Ex I p> = - i ¥ Ex 1ps = > ex 1ps = ceiP×

Ht -

y ) = Ex ly > = EH Idp Ip Xp I y > = CZ Jdp e'

' P' t - Y )

→ZIT the - y )

⇒ 4 I pl -- e pl 4S - Jdxeplx Xxl 4S =) e-

in441

→ Tex Ip # = It I im QQ Tfourier Transformation

wins che for ncichste Woehe an ? Christoph .Mueller 7 @ uni - moenchen.de