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Wurzeln aus komplexen Zahlen - math-grain.de · PDF fileWurzeln aus komplexen Zahlen Das...

Date post: 06-Feb-2018
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Wurzeln aus komplexen Zahlen 1-E Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
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Page 1: Wurzeln aus komplexen Zahlen - math-grain.de · PDF fileWurzeln aus komplexen Zahlen Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allge-meinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform

Wurzeln aus komplexen Zahlen

1-E Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Wurzeln aus komplexen ZahlenWurzeln aus komplexen Zahlen

Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allge-meinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarformgegeben ist.

Unter der n-ten Wurzel einer komplexen Zahl z verstehtman diejenige Zahl W, deren n-te Potenz gleich z ist.

1-1 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Zwischen den Wurzelbegriff in Bereichen der reellen und derkomplexen Zahlen gibt es einen sehr wichtigen Unterschied:

● Die n-te Wurzel einer reellen Zahl ist eindeutig bestimmt. Sie existiert nur für nichtnegative Radikanden und ist selbst nichtnegativ.

● Jede komplexe Zahl W, für die die Gleichung

gilt, ist eine n-te Wurzel von z. Insgesamt existieren für jedeZahl z genau n Wurzel, d.h., die komplexe Wurzel ist nichteindeutig.

n z = W , W n = z

Wurzeln aus komplexen ZahlenWurzeln aus komplexen Zahlen

1-2 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Definition:

Für komplexe Zahl z

ist die n-te Wurzel gegeben durch

z = r ( cos φ + i sin φ ) = r ei φ = r ei (φ0 + 2 k π)

W k = (n√ z)k = (r e

i (φ0 + 2 k π))1n

=n√ r e

i (φ0

n+ 2 k π

n )=

k = 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1

Wurzeln aus komplexen ZahlenWurzeln aus komplexen Zahlen

=n√r [cos (φ0

n+ 2 k π

n ) + i sin (φ0

n+ 2 k π

n ) ]

1-3 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Wurzelziehen: Wurzelziehen: Aufgaben 1, 2Aufgaben 1, 2

Berechnen Sie folgende Wurzeln, und geben Sie dieErgebnisse in arithmetischer Form an:

Aufgabe 1: a ) 1 , b ) 3 1 , c )

4 1 , d ) 6 1

Aufgabe 2: a ) 4 16 , b )

6 16

2-A Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1Lösung 1

1 : 1 = 1 i 0 , x = 1, y = 0

r = ∣ z ∣ = x2 y2 = 12 02 = 1

sin 0 = y

x2 y2= 0

1 = e i 2 k

φ = φ0 + 2 k π = 0 + 2 k π = 2 k π

2-1a Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Abb. L-1a: Graphische Darstellung der 2. Wurzeln aus 1, die beiden Lösungen der Gleichung z² = 1 sind reell

1 = 112 = ei 2 k

12 = ei k k = 0, 1

k = 0 : W 0 = e i⋅0⋅ = cos 0 i sin 0 = 1

k = 1 : W 1 = e i⋅1⋅ = cos i sin = −1

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1aLösung 1a

2-1b Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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3 1 = 113 = ei 2 k

13 = e

i2 k3

k = 0, 1, 2

k = 0 : W 0 = e i⋅0⋅ = cos 0 i sin 0 = 1

k = 1 : W 1 = ei

23

= cos 2

3 i sin 2

3 = − 1

2 3

2i

k = 2 : W 2 = ei

43

= cos 4

3 i sin 4

3 = − 1

2− 3

2i

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1bLösung 1b

n = 3, n − 1 = 2

2-2a Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Abb. L-1b: Graphische Darstellung der 3. Wurzeln aus 1, die erste Lösung der Gleichung z³ = 1 ist reell, die zwei anderen konjugiert komplex zueinander

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1bLösung 1b

2-2b Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Wurzelziehen: Lösung 1b

2-2c Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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4 1 = 114 = e

ik2

k = 0, 1, 2, 3

k = 0 : W 0 = e i⋅0⋅ = cos 0 i sin 0 = 1

k = 1 : W 1 = ei2 = cos 2 i sin 2 = 0 i = i

k = 3 : W 3 = ei

32

= cos 3

2 i sin 3

2 = 0 − i = − i

k = 2 : W 2 = e i = cos i sin = −1

Reelle Lösungen:

Imaginäre Lösungen:

W 0 , W 2

W 1 , W 3

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1cLösung 1c

2-3a Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Abb. L-1c: Graphische Darstellung der 4. Wurzeln aus 1

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1cLösung 1c

2-3b Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

Page 13: Wurzeln aus komplexen Zahlen - math-grain.de · PDF fileWurzeln aus komplexen Zahlen Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allge-meinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1cLösung 1c

2-3c Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

Page 14: Wurzeln aus komplexen Zahlen - math-grain.de · PDF fileWurzeln aus komplexen Zahlen Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allge-meinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform

6 1 = 116 = e

ik3

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

k = 0 : W 0 = e i⋅0⋅ = cos 0 i sin 0 = 1

k = 1 : W 1 = ei3 = cos 3 i sin 3 = 1

2 3

2i = 1 3 i

2

k = 4 : W 4 = ei

43

= cos 4

3 i sin 4

3 = − 1

2− 3

2i = −

1 3 i 2

k = 3 : W 3 = e i = cos i sin = −1

k = 2 : W 2 = ei

23

= cos 2

3 i sin 2

3 = − 1

2 3

2i = −1 3 i

2

k = 5 : W 5 = ei

53

= cos 5

3 i sin 5

3 = 1

2− 3

2i = 1 − 3 i

2

Reelle Lösungen:

Konjugiert komplexe Lösungen:

W 0 , W 3

W 2 , W 4 ; W 1 , W 5

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1dLösung 1d

2-4a Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

Page 15: Wurzeln aus komplexen Zahlen - math-grain.de · PDF fileWurzeln aus komplexen Zahlen Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allge-meinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform

Abb. L-1d-1: Graphische Darstellung der 6. Wurzeln aus 1

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1dLösung 1d

2-4b Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

Page 16: Wurzeln aus komplexen Zahlen - math-grain.de · PDF fileWurzeln aus komplexen Zahlen Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allge-meinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform

Abb. L-1d-2: Graphische Darstellung der 6. Wurzeln aus 1

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 1dLösung 1d

2-4c Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

Page 17: Wurzeln aus komplexen Zahlen - math-grain.de · PDF fileWurzeln aus komplexen Zahlen Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allge-meinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform

4 16 = 1614 = 2 e

ik2

k = 0, 1, 2, 3

k = 0 : W 0 = 2 e i⋅0⋅ = cos 0 i sin 0 = 2

k = 1 : W 1 = ei2 = 2 cos 2 i sin 2 = 2 0 i = 2 i

k = 3 : W 3 = 2 ei

32

= 2 cos 3

2 i sin 3

2 = 2 0 − i = −2 i

k = 2 : W 2 = 2 e i = 2 cos i sin = −2

Reelle Lösungen:

Imaginäre Lösungen:

W 0 , W 2

W 1 , W 3

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 2aLösung 2a

3-1a Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

Page 18: Wurzeln aus komplexen Zahlen - math-grain.de · PDF fileWurzeln aus komplexen Zahlen Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allge-meinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform

Abb. L-2a: Graphische Darstellung der 4. Wurzeln aus 16

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 2aLösung 2a

3-1b Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

Page 19: Wurzeln aus komplexen Zahlen - math-grain.de · PDF fileWurzeln aus komplexen Zahlen Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allge-meinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform

6 16 = 1616 ⋅ e

ik3

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

k = 0 : W 0 =6 16

k = 1 : W 1 =6 16 ⋅ 1 3 i

2

k = 4 : W 4 = −6 16 ⋅

1 3 i 2

k = 3 : W 3 = −6 16

k = 2 : W 2 =6 16 ⋅−1 3 i

2

k = 5 : W 5 =6 16 ⋅ 1 − 3 i

2

Reelle Lösungen:

Konjugiert komplexe Lösungen:

W 0 , W 3

W 2 , W 4 ; W 1 , W 5

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 2bLösung 2b

3-2a Ma 1 – Lubov Vassilevskaya

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Abb. L-2b: Graphische Darstellung der 6. Wurzeln aus 16

Wurzelziehen: Wurzelziehen: Lösung 2bLösung 2b

3-2b Ma 1 – Lubov Vassilevskaya


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