Date post: | 02-Jan-2016 |
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Plenum Mathe 12 Johannes-Kepler-Gymnasium 2010Plenum Mathe 12 Johannes-Kepler-Gymnasium 2010
1
Wir haben gemogelt !
...98
12
2819
56
798
1
27
1)( 12152932 xxxxxf
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2
Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der
Funktion im Intervall von [0; b] ?
Wir wissen:
Funktionsterm
Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; b]
²x ³x
3
³b
4
4b
x
2
²b
Wir vermuten:
4x
5
5b
5x
6
6b
nx
1
1
n
bn
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3
Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit f = xn im Intervall [0; b] beträgt:
Wir „leiten auf“ !
1
1
n
bn
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4
Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von
Potenzfunktionenxxf )( ²)( xxg ²)()( xxxgxf
Stelle x f(x) g(x)
f(x)+g(x)
0 0 0 0
1 1 1 2
2 2 4 6
3 3 9 12
4 4 16 20
5 5 25 30
x x x² x + x²
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5
Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von
Potenzfunktionenxxf )( ²)( xxg ²)()( xxxgxf
Stelle x f(x) g(x)
f(x)+g(x)
0 0 0 0
1 1 1 2
2 2 4 6
3 3 9 12
4 4 16 20
5 5 25 30
x x x² x + x²
b Fläche unter Gf auf [0;b]
Fläche unter Gg auf [0;b]
Fläche unter
Gf+g auf [0;b]
0 0 0 0
1 0,5 0,33 0,83
2 2 2,67 4,67
3 4,5 9 13,5
4 8 21,33 29,33
5 12,5 41,67 54,17
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6
Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von
Potenzfunktionen²)( xxf ³)( xxg ³²)()( xxxgxf
Stelle x f(x) g(x)
f(x)+g(x)
0 0 0 0
1 1 1 2
2 4 8 12
3 9 27 36
4 16 64 80
5 25 125 150
x x² x³ x² + x³
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7
Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von
Potenzfunktionen
Stelle x f(x) g(x)
f(x)+g(x)
0 0 0 0
1 1 1 2
2 4 8 12
3 9 16 25
4 16 32 48
5 25 64 91
x x² x³ x² + x³
b Fläche unter Gf auf [0;b]
Fläche unter Gg auf [0;b]
Fläche unter
Gf+g auf [0;b]
0 0 0 0
1 0,33 0,25 0,58
2 2,67 4 6,67
3 9 20,25 29,25
4 21,33 64 85,33
5 41,67 156,25 197,92
²)( xxf ³)( xxg ³²)()( xxxgxf
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Beobachtung zur Beobachtung zur Summe von PotenzfunktionenSumme von Potenzfunktionen
Wenn man zwei Potenzfunktionen
addiert, addieren sich die Flächeninhalte
zwischen den Graphen und der x-Achse.
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9
Wir betrachten jetztFaktoren vor einer Potenzfunktion
xxf )( xxg 3)(
Stelle x f(x) g(x)
0 0 0
1 1 3
2 2 6
3 3 9
4 4 12
5 5 15
x x 3x
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10
Wir betrachten jetztFaktoren vor einer Potenzfunktion
xxf )( xxg 3)(
Stelle x f(x) g(x)
0 0 0
1 1 3
2 2 6
3 3 9
4 4 12
5 5 15
x x 3x
b Fläche unter Gf auf [0;b]
Fläche unter Gg auf [0;b]
0 0 0
1 0,5 1,5
2 2 6
3 4,5 13,5
4 8 24
5 12,5 37,5
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Beobachtung zum Beobachtung zum Faktor bei PotenzfunktionenFaktor bei Potenzfunktionen
Wenn man eine Potenzfunktion mit einem Faktor multipliziert, wird auch der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse mit dem Faktor
multipliziert.
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Aufgabe:Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit
im Intervall [0; 6] .
3028²9³)( xxxxf
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Null? - Oups!
Was ist hier passiert?
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Exact: 41.48Integral: 41.48
x
y
Das IntegralMan versteht unter dem Integral von a bis b der Funktion f die Summe der orientierten Flächeninhalte .
Beim orientierten Flächeninhalt sind die Flächeninhalte ober-halb der x-Achse mit einem positiven und unterhalb der x-Achse mit einem negativen Vorzeichen versehen.
+A1
+A3
-A2 -A4
b
a
AAAAdxxf )4()3()2()1()(
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Mit dem Rechteck-Verfahren wird also das Integral berechnet!Das Integral stimmt genau dann mit dem Flächeninhalt zwischen dem Graph und der x-Achse überein, wenn der Graph auf dem Intervall nicht unterhalb derx-Achse verläuft.
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PotenzfunktionEs gilt:
b
a
n dxx
a
nb
n dxxdxx00
11
11
n
a
n
b nn
a b
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Wollen wir nun den Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] bestimmen,
3028²9³)( xxxxf
5,4975,2475,24)()(6
3
3
0
dxxfdxxf
so müssen wir die Teilflächen bis zu den Nullstellen bestimmen.
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Drei Fragen/Aufgaben:
1. Was versteht man unter einem Integral?
2. Formuliere eine „Summen- und Faktorregel“ für die Intergralrechnung.
3. Wann stimmt der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse mit dem Integral überein?