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Windenergieanlagen - aerodynamische Auslegung und...

Date post: 27-Aug-2019
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Windenergieanlagen - aerodynamische Auslegung und numerische Berechnung mittels CFD Bachelorthesis eingereicht von Name: Tom Hammelstein Matrikelnummer: 492891 Anschrift: Rotdornweg 7 Abgabetermin: 28.02.2013 Betreuer Prof. Dr. Frank Kameier Maschinenbau und Verfahrenstechnik Josef-Gockeln-Str. 9 40474 Düsseldorf
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Windenergieanlagen - aerodynamische Auslegung und

numerische Berechnung mittels CFD

Bachelorthesis

eingereicht von

Name: Tom Hammelstein

Matrikelnummer: 492891

Anschrift: Rotdornweg 7

Abgabetermin: 28.02.2013

Betreuer

Prof. Dr. Frank Kameier

Maschinenbau und Verfahrenstechnik

Josef-Gockeln-Str. 9

40474 Düsseldorf

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Windenergieanlagen – aerodynamische Auslegung und numerische Berechnung mittels Ansys CFX

Erklärung Hiermit versichere ich, Tom Hammelstein, die vorliegende Bachelor-Thesis selbständig

verfasst und keine weiteren als die angegebenen Hilfsmittel und Quellen benutzt zu haben.

Dies ist die von der Fachhochschule Düsseldorf zu bewertende Version.

Ort, Datum ________________________ Unterschrift ____________________

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Windenergieanlagen – aerodynamische Auslegung und numerische Berechnung mittels Ansys CFX

Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung ......................................................................................................................................... 7

1.1 Vorwort ................................................................................................................................... 7

1.2 Zielsetzung ............................................................................................................................... 7

2. Windturbine – Theoretische Grundlagen ........................................................................................ 9

2.1 Physik der Windenergie........................................................................................................... 9

2.2 Theorie von Betz .................................................................................................................... 10

2.3 Froude-Rankinesches Theorem ............................................................................................. 12

2.4 Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung .................................................................. 14

2.5 Blattelementmethode ........................................................................................................... 16

3. Strömungssimulation - Computational Fluid Dynamics ................................................................ 24

3.1 Kontinuitätsgleichung ............................................................................................................ 24

3.2 Impulserhaltung (Navier-Stokes-Gleichung) ......................................................................... 26

4. Modellierung ................................................................................................................................. 28

4.1 NACA-Profile .......................................................................................................................... 28

4.2 Geometrieaufbereitung in Inventor ...................................................................................... 29

4.3 Randbedingungen ................................................................................................................. 32

4.4 Simulationsraum ................................................................................................................... 32

4.5 Netzgenerierung .................................................................................................................... 34

5. 2D-Profilumströmung mit dem Programm XFOIL ......................................................................... 37

5.1 XFOIL-Ergebnisse ................................................................................................................... 37

6. Ergebnisse...................................................................................................................................... 39

6.1 Residuenstudie ...................................................................................................................... 40

6.2 Stromröhrenaufweitung nach Betz / Froude-Rankine .......................................................... 43

6.3 Vergleich der Drehmomente ................................................................................................. 49

6.5 Drallbestimmung nach EULER ............................................................................................... 57

6.6 Kräfte am Rotor ..................................................................................................................... 62

6.6 Anlagenkennlinien der Modelle ............................................................................................ 66

6.7 Das Q-Kriterium ..................................................................................................................... 68

7. Zusammenfassung ......................................................................................................................... 70

Literaturverzeichnis ............................................................................................................................... 71

Anhang .................................................................................................................................................. 72

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Nomenklatur

Abkürzungen

2D Zweidimensional

3D Dreidimensional

NACA National Advisory Committee for Aeronautics

SST Shear-Stress-Transport-Modell

XFOIL Programm eines 2D-Panelverfahrens

WEA Windenergieanlage

num Numerisch

analy Analytisch

Lateinische Zeichen

A [m2] Stützstelle, Querschnittsfläche

b [m] Profilbreite

B Stützstelle

ca Auftriebsbeiwert

caxial Geschwindigkeitskomponente in Rotorachsenrichtung

cm Momentenbeiwert

cP, cP Betz Rotorleistungsbeiwert, Rotorleistungsbeiwert nach BETZ

cp Druckbeiwert

cw Widerstandsbeiwert

c1,c2,c3 [m/s] Windgeschw. weit vor, am und weit hinter dem Rotor

c2u [m/s] Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung

d [m] Profildicke

dr [m] Breite eines Kreisringsegments

E [kg m2/s2] Kinetische Energie

[N] Feldkräfte

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, [N] Auftriebskraft, Widerstandskraft

, [N] Tangentialkraft, Normalkraft

, [N] Umfangskraft, Schubkraft

i Laufindex

l [m] Profiltiefe, Länge der Profilsehne

M [Nm] Rotordrehmoment

[kg/s] Massenstrom

N Kreissegmente

n [1/min] Drehzahl

ncrit Critical Amplification Ratio

P [W] Leistung, Abgegebene Generatorleistung

pb [bar] Barometrischer Druck

p-2, p+2 [N/m2] Statischer Druck kurz vor / kurz hinter der Rotorebene

R [m] Radius Rotorspitze, Radius Kreiszylinder

r [m] Radius

rN [m] Nasenradius

Re Reynolds-Zahl

t [s] Zeit

Tu Turbulenzgrad

u [m/s] Umfangsgeschwindigkeit

w [m/s] Relativgeschwindigkeit

x, y, z [m] Ortskoordinate

xc [m] Abszisse der Skelettlinie / Wölbungslinie

xd [m] Rücklage der größten Dicke

xf [m] Rücklage der größtenWölbung

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xo, xu [m] Abszisse der Profiloberseite / Profilunterseite

yc [m] Ordinate der Skelettlinie / Wölbungslinie

yo, yu [m] Ordinate der Profiloberseite / Profilunterseite

Y spezifische Stutzenarbeit

Z Blattanzahl

Griechische Zeichen

αA [°] Aerodynamischer Anstellwinkel

α1, a [°] Anströmwinkel weit vor und am Rotor

β [°] Abströmwinkel

ε Gleitzahl

η [N s/m2] Dynamische Viskosität

λ Schnelllaufzahl

ν [m2/s] Kinematische Viskosität

Kreiszahl

ρ [kg/m3] Dichte

Sonstige

∇ Nabla-Operator

Δ Laplace Operator

Partielle Ableitung nach der Zeit

` Schwankungsgröße

¯ Mittelwert; Parametrisierung

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1. Einleitung

1.1 Vorwort

Die Motivation eine Thesis über regenerative Energien zu schreiben, ist ebenfalls tief mit

meinen ideologischen Werten, einen Lebensraum für die nachkommenden Generationen zu

gewährleisten, gekoppelt. Die eingehende Zerstörung des Klimas durch Verwendung

konventioneller, fossiler Energieträger und die abzusehende Ressourcenknappheit und

damit verbunden zukünftig steigender Preise, muss zwangläufig weltweit zum Umdenken in

der Energiepolitik führen.

In Deutschland wurde durch die Einführung des Erneuerbare Energie Gesetz und Subvention

der Einspeisevergütung von Erneuerbaren Energien ein großer Schritt in Richtung

Klimaschutz und Umweltschutz umgesetzt.

Es wurden in Deutschland im Jahr 2010 rund 17 % der gesamten Energiebereitstellung aus

erneuerbaren Energien bewerkstelligt, was einer Verdreifachung seit 1998 entspricht, wobei

die Windkraft, obwohl es ein schwaches Windjahr war, mit 6 % den höchsten Anteil daran

hatte [1].

1.2 Zielsetzung

Ausgangspunkt der Thesis war das Interesse eine gesamte WEA unter Verwendung von

Ansys CFX dreidimensional numerisch zu untersuchen und anschließend qualitativ und

quantitativ mit der Theorie zu vergleichen. Dafür wurde zuerst die Anwendung der Software

erlernt. Ebenso musste ein Auftriebsläufer in Inventor konstruiert und dieser in Ansys CFX

übertragen werden. Für die numerische Berechnung ist es notwendig, das Modell zu

vernetzen (Flächen die über Knotenpunkte verbunden sind) und sinnvolle Randbedingungen

auf das zu berechnende Strömungsfeld aufzubringen.

Ziele dieser Arbeit waren grundsätzlich, ein geeignetes Modell zu schaffen, welches die

Strömungsverhältnisse einer WEA realitätsnah abzubilden, um Theorien von Betz, Froude-

Rankine, Euler sowie die Blattelementemethode anwenden zu können.

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Bei geeigneter Wahl des strömungsphysikalischen Modells ist es möglich, Aufschlüsse über

Leistungsausbeute, Kräfteverteilung, Strömungsverluste, Akustik und Topologie im Nachlauf

der WEA, zu erhalten.

Es wird bewusst ein großer Luv-Schnellläufer, also Dreiflügler mit hoher Drehzahl simuliert,

da sich diese Technik wegen geringer Schallemissionen und ruhigem Laufverhalten und in

großtechnischen Anlagen durchgesetzt hat. Außerdem liefern sie, durch ihre niedrigen

Drehmomenten und der hohen Drehzahl, optimale Bedingungen, um Generatoren zu

betreiben und sind wirtschaftlicher als z.B. Vertikalläufer [3]. Außerdem geht der Trend in

Industrieländern zu immer größeren Anlagen, da die Infrastruktur des Stromnetzes

flächendeckend vorhanden ist und der gewonnene Strom einer dezentralen Klein-WEA in

Konkurrenz mit dem aus Großwindenergieanlagen und Großkraftwerken steht. Ebenso

müssen weiterhin Normen hinsichtlich der Betriebssicherheit von Kleinwindenergieanlagen

geschaffen werden.

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2. Windturbine – Theoretische Grundlagen

2.1 Physik der Windenergie

Die Energie, die dem Wind entzogen werden kann, wird als kinetische Energie der Luftmasse

verstanden,

2

12

1cmE

= ,

(2.1)

die in einer bestimmten Zeit die Fläche durchströmt.

1cAdt

dxAm ρρ ==

.

(2.2)

Da dieser Luftmassenstrom selbst noch der Geschwindigkeit proportional ist, ergibt sich für

die Leistung (Energie pro Zeiteinheit):

3

1

2

12

1

2

1cAcmEPWind ρ===

.

(2.3)

Dies ist die theoretisch maximale Leistung, die dem Wind entzogen werden kann, wenn man

davon ausgeht, dass in der Rotorebene eine mittlere axiale Geschwindigkeit von An- und

Abströmung vorliegt. Die entnommene Leistung wächst also mit der Geschwindigkeit in der

dritten Potenz, wobei eine Verdoppelung der Geschwindigkeit eine Verachtfachung der

Leistung bedeutet. Da die Windgeschwindigkeit, durch die Höhenlage des Rotors im

Luftraum, nur bedingt beeinflusst werden kann, muss folglich die durchströmte Fläche

größer werden, um die Energieausbeute weiter zu steigern.

Durch den Rotor wird die kinetische Energie des Windes durch Abbremsen und Umlenkung

(Drall) in mechanische Energie umgewandelt. Stellt sich die Frage, in wie weit der Wind

abgebremst werden kann, ohne die nachkommenden Luftmassen zu beeinflussen, um ein

Optimum an Ausbeute zu erzielen? Ferner stellt sich die Frage, wie groß der Drall stromab

der Windturbine im Sinne der Eulerschen Strömungsmaschinenhauptgleichung ist.

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2.2 Theorie von Betz

Pioniere auf diesem Gebiet waren Betz [2] und Rankine [3], die in ihren Theorien idealisierte

Windkonverter betrachteten, um die maximale Leistungsentnahme zu bestimmen. Dabei

stellten sie fest, dass dies der Fall sei, wenn die ursprüngliche Windgeschwindigkeit hinter

dem Rotor auf ein Drittel abgebremst wird

,

wobei dann in der Rotorebene eine Geschwindigkeit von

23

vorherrscht.

Zusammengefasst beträgt dann die maximale theoretische verlustfreie Leistungsentnahme,

BetzBetz cpcAP3

12

1ρ=

,

(2.4)

wobei der Leistungsbeiwert 16/27 ~ 0,59 beträgt, siehe Abbildung 2.1.

Abbildung 2.1 - Betzkoeffizient cp in Abhängigkeit vom

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Geschwindigkeitsverhältnis vor und nach dem Rotor

Betz nimmt bei seiner Theorie eine homogene Windströmung an, die sich hinter der

Rotorebene verzögert und sich daher aus Kontinuitätsgründen aufweiten muss, siehe

Abbildung 2.2.

Abbildung 2.2 - Windgeschwindigkeitsreduktion mit einhergehender Stromröhrenaufweitung und

Druckverlauf vor und nach dem Rotor einer idealisierten WEA [3]

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332211 AcAcAc ρρρ == .

(2.5)

Die Dichte ist, wegen der geringen Druckänderungen zwischen Ein- und Austritt der

Rotorebene, nahezu konstant.

Die dem Wind entnommene Leistung ist demnach:

)(2

1 2

3

2

1 ccmPE Wind −==•

.

(2.6)

Wie oben schon erwähnt, muss also durch Verzögerung der Luftmassen Leistung

entnommen werden. Dabei wird bei zu starker Verzögerung der Durchsatz zu gering (c3 = 0)

und bei keiner Verzögerung ist die Leistungsentnahme zu gering (c1 = c3).

Zwischen diesen beiden Auslegungen muss es eine optimale Leistungsentnahme geben, bei

dem der Durchsatz

2cAm ρ=•

(2.7)

in der Radebene bekannt ist. c2 ist die mittlere Geschwindigkeit zwischen Rotorein- und

austritt.

Gleichung 2.8 in Gl. 2.7 eingesetzt ergibt:

)(2

1 2

3

2

12 cccAPE Wind −== ρ .

(2.8)

2.3 Froude-Rankinesches Theorem

Aufbauend auf der Arbeit von Rankine bestimmt Froude die Windgeschwindigkeit c2 in

Abhängigkeit von c1 und c3. Dazu wird die Schubkraft F durch den Impulssatz ausgedrückt.

( − ) ( − ) . (2.9)

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Ebenso kann die Energie durch die Bernoulli-Gleichung, jeweils links und rechts von der

Rotorebene, aufgestellt werden.

² + #

$ + %& '(² + #'(

$ + %&) + * +,-.

- ,

(2.10)

/(² + #/(

$ + %&) .² + #.

$ + %& + * +,-.

-( . (2.11)

Die Einheit ist N m / kg ( Energie pro Masse), welche durch Multiplikation von ρ die Form in

Drücken in N/m² = Pa erhält.

Die Strömung sei stationär, inkompressibel und reibungsfrei. Vor und nach der Turbine

wirken keine äußeren Kräfte auf das Fluid ein, also können die Gleichungen 2.11 und 2.12 zu

$ ² + 0 $

)² + 0) und

(2.12)

$ 1² + 01 $

² + 0 . (2.13)

vereinfacht werde.

Die statischen Drücke weit vor und weit hinter der Rotorebene sind gleich dem

barometrischen Umgebungsdruck: 02 0 0. Durch Subtraktion der Gleichung (2.13)

von (2.12) ergibt sich somit:

$ ( − ) 0) − 01 . (2.14)

Die Schubkraft F kann auch über die Differenz des statischen Drucks ausgedrückt werden

(0) − 01) . (2.15)

Setzt man nun Gleichung 2.15 in 2.14 ein und das Ergebnis wiederum in 2.9, erhält man die

Geschwindigkeit c2 gemäß dem Rankine - Froude Theorem

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12(1 + 3)(1 − 3) 2(1 − 3) → 2 (1+.)

2 . (2.16)

Durch Einsetzen von Gleichung 2.16 in Gl. 2.8 erhält man, die aus dem Wind enthaltene

maximale Leistung:

+=

•2

1

3

1

3

1 1*12

2

1

c

c

c

ccAE ρ

.

(2.17)

Der Ausdruck in den eckigen Klammern wird durch den Betzkoeffizient cp ersetzt und besitzt

ein Maximum in einem bestimmten Geschwindigkeitsverhältnis.

2.4 Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung

In Turbinen wird die innere Energie des strömenden Mediums in mechanische

Wellenleistung umgesetzt. Die Wellenleistung setzt sich dabei aus dem Drehmoment und

der Winkelgeschwindigkeit zusammen [6].

5 67 , (2.18)

wobei die Winkelgeschwindigkeit mit

7 28 , (2.19)

definiert ist.

Das Drehmoment bzw. der Drehimpuls ist mit

6 9 (2.20)

zu bestimmen.

Daraus folgt

6 (9: − 9:) . (2.21)

Mit der Winkelgeschwindigkeit

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5 (79: − 79:) , (2.22)

oder anders ausgedrückt

5 (;: − ;:) . (2.23)

Die spezifische Stutzenarbeit Y P/m muss postiv sein, dann gilt für Turbinen

@ ;: − ;: (2.24)

als Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung für eine Turbine.

Da die Umfangsgeschwindigkeiten vor und nach dem Rotor gleich sind u2=u1 und wegen der

drallfreien Anströmung : 0, muss die Abströmgeschwindigkeit cC negativ sein und sich

somit entgegen der Rotation ausbreiten (Abb. 2.3)

@ ;: − ;: . (2.25)

Der Drall der Abströmung ist also immer entgegen der Laufrichtung des Rotors gerichtet.

Geschwindigkeitsdreiecke stellen einen Zusammenhang zwischen dem Absolutsystem und

dem Relativsystem des Rotors dar, wobei die Windgeschwindigkeit c im Absolutsystem

gleich der Anströmgeschwindigkeit w im Relativsystem am Rotor mit dessen

Umfangsgeschwindigkeit u ist.

F + ; . (2.26)

0

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Abbildung 2.3 - Geschwindigkeitsdreieck vor und hinter dem Rotor

Die Geschwindigkeitsdreiecke sind das grundlegende Konzept für die Beschreibung von

Strömungsbedingungen in der Blade-Element-Theory (Blattelementmethode). In ihr werden

der Wind und die Rotation der Flügel als vektorielle Größen betrachtet.

2.5 Blattelementmethode

Im Gegensatz zu Widerstandsläufer sind die modernen Auftriebsläufer von der Ausbeute her

wesentlich effizienter und erreichen mit cp = 0,50 annähernd den idealen Betzschen

Leistungsbeiwert. Dies hängt zum einen damit zusammen, dass auf die Tragflügelprofile

durch Anströmung des Körpers nicht nur eine Widerstandskraft W in Richtung der

Anströmung sondern auch eine senkrecht zu ihr gerichtete Auftriebskraft A resultiert [3].

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GHIIIIJ Auftriebskraft GKIIIIJ Tangentialkraft

GLIIIIIJ Widerstandskraft αBau Bauwinkel

GMIIIIJ Schubkraft α Anströmwinkel

GNIIIIJ Umfangskraft αA Aerodynamischer Anstellwinkel

Abbildung 2.4 - Auftriebs- und Widerstandskraft in Abhängigkeit vom Anstellwinkel [7]

F O( + ;). (2.27)

Ist die Anströmgeschwindigkeit bestimmt, lässt sich auch die Reynolds-Zahl wie folgt

ermitteln:

QR F ∗ TU . (2.28)

Die Reynolds-Zahl ist eine wichtige dimensionslose Ähnlichkeitsgröße der Fluidmechanik und

charakterisiert die Strömungsform in Abhängigkeit von der Reibung des Fluid. Die kritische

Reynolds-Zahl ist eine Kenngröße, die den Umschlag von laminarer zur turbulenten

Strömung in der Grenzschicht angibt. Bei den großen Auftriebsläufern liegen die kritischen

Reynolds-Zahlen im Bereich von 0,5 105 bis 5 105. Bedingt durch die höhere Reynolds-Zahl

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erfolgt hier der Übergang von der laminaren zur turbulenten Grenzschicht entweder ohne

Ablösung oder innerhalb einer laminaren Ablöseblase. Die Grenzschicht sollte in jedem Fall

größtenteils anliegend sein [9].

Praktisch sämtliche technisch eingesetzten Profile werden kritisch betrieben. Die

Flügelprofile sind Gegenstand der Forschung und ihre charakteristischen Kurven geben

dimensionslosen Auftriebsbeiwert cV und Widerstandsbeiwerte cW über dem Anstellwinkel

αA an (Abb. 2.5).

Abbildung 2.5 - Charakteristik eines Tragflügels in Abhängigkeit vom Anstellwinkel [3]

Wird das Profil vom Flügel variiert, so entstehen unterschiedliche Kurven, die im Windkanal

empirisch oder aber durch Simulationen näherungsweise ermittelt werden können. Welches

Profil nun optimal ist, hängt von dem Einsatzgebiet des Flügels ab. In der Regel werden die

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herrschenden Druckbedingungen am Tragflügel und damit auch der Auftrieb über gemittelte

Werte berechnet. Der sogenannte drag/lift-Coefficient oder auch Gleitzahl genannt, stellt

das reziproke Verhältnis aus Widerstandsbeiwert und Auftriebsbeiwert in Abhängigkeit vom

aerodynamischen Anstellwinkel dar.

X (Y)(Y)

(2.29)

Die dimensionslosen Auftriebsbeiwerte cV und Widerstandsbeiwerte cW für die analytische

Auswertung werden in dieser Arbeit mit XFOIL bestimmt, siehe Kapitel 5.

Die Auftriebskraft an einem bestimmten Flügelschnitt wird aus der Tragflügeltheorie

bestimmt:

IIIIJ 2FT+9Z(Y), (2.30)

IIIIIJ 2FT+9\(Y), (2.31)

IIIJ IIIIJ],(Y) ↔ IIIIIJ,_8(Y). (2.32)

Nicht nur die Auftriebskraft beeinflusst die Schubkraft, auch die Widerstandskraft muss man

einfließen lassen. Da beide Kräfte in die gleiche Richtung weisen, werden diese dann addiert.

IIIJ IIIIJ],(Y) + IIIIIJ,_8(Y). (2.33)

Die Umfangskraft wird ähnlich ermittelt,

:IIIJ \IIIIJ],(Y) ↔ IIIIJ,_8(Y), (2.34)

mit dem Unterschied, dass die Widerstandskraft entgegen der Umfangskraft gerichtet ist.

:IIIJ IIIIJ,_8(Y) −\IIIIJ],(Y). (2.35)

6(9) :IIIJ9 . (2.36)

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Die Kräfte und Momente am gesamten Rotor ergeben sich dann aus der Summe der

einzelnen Kräfte aller Flügelschnitte, siehe Abb. 2.6:

`+(9)a

, (2.37)

b`+(9)a

, (2.38)

6 b`+(9)a

9, (2.39)

5 67 . (2.40)

Abbildung 2.6 - Luftkräfte am Flügelschnitt [3]

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Abbildung 2.7 zeigt die gesamten Geschwindigkeitsdreiecke an einem Tragflügelsegment.

Das Geschwindigkeitsdreieck (rote Linien), bestehend aus c und u, aus denen sich w und

α bestimmen lassen, liegt weit vor dem Rotor. Das blau-farbige Dreieck ist folglich hinter

dem Rotor und wird unter der Annahme einer axialen Geschwindigkeitsverzögerung von 2/3

gebildet. Die grüne gestrichelte Linie bildet das fiktive Strömungsdreieck in der Rotorebene,

wobei sich die relative Anströmgeschwindigkeit aus

F F],(Y − Y). (2.41)

bestimmen lässt.

Aus den gegebenen Geschwindigkeitsvektoren unter Bildung eines rechtwinkligen Dreiecks

lässt sich nun der Anströmwinkel vor dem Rotor, aus

de8Y : , (2.42)

berechnen. Aus den theoretischen Anströmwinkeln vor dem Rotor resultiert der

Anströmwinkel nach Betz in der Rotorebene.

Y Y . (2.43)

Durch die in der Rotorebene entstehende Verzögerung verringert sich die Geschwindigkeit

c1,axial , folglich wird der resultierende Anströmwinkel α ebenfalls kleiner. Betz ging davon

aus, dass die Strömung von der Geschwindigkeit c1 weit vor dem Rad auf c3,axial hinter der

Rotorebene verzögert wird, ohne eine axiale Richtungsänderung einzubeziehen. Schmitz

jedoch berücksichtigt auch die Drallkomponente Δu in Umfangsrichtung in der

Umfangsebene und stromab des Rotors. Diese entsteht durch die Umlenkung der Strömung

aufgrund der Geometrie und ist in der Strömungsmaschinentheorie für den Arbeitsumsatz

verantwortlich. Nach Schmitz sind aber nur 50% davon nutzbar, so dass die Drallkomponente

Δu zu fC (Nomenklatur Schmitz) oder zu cC/2 (Nomenklatur Strömungsmaschinenbauer)

wird. Der Drall einer WEA ist immer entgegen der Umfangsgeschwindigkeit u gerichtet, siehe

Abbildung 2.7.

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Abbildung 2.7 – Geschwindigkeitsdreiecke von Schmitz und Betz [3]

Mit Änderung der Windgeschwindigkeit und der daraus resultierenden Nenndrehzahl bilden

sich neue Geschwindigkeitsdreiecke. Abbildung 2.8 veranschaulicht die Strömungs-

verhältnisse vor dem Rotor an den einzelnen Profilen im Rotorblattquerschnitt in einem

Betriebspunkt, die für die Auslegung einer Anlage relevant sind.

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Abbildung 2.8 - Geschwindigkeitsdreiecke vor dem Rotor im jeweiligen Profilschnitt

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3. Strömungssimulation - Computational Fluid Dynamics

Durch die wachsenden Speicherkapazitäten und Rechnerleistungen ist es möglich,

zunehmend komplexere Strömungsprobleme unter vertretbarem Aufwand, akzeptabler Zeit

und ausreichender Genauigkeit und Sicherheit zu lösen. Die CFD wird dadurch eine immer

wichtigere Ergänzung der experimentellen Strömungsmechanik. Numerische Verfahren sind

Methoden und Algorithmen zum näherungsweisen Lösen von Modellgleichungen mittels

einfacher arithmetischer Operationen an diskreten Stellen des Lösungsgebietes, das in

Gitterstrukturen, in sog. finite Elemente aufgeteilt wird. Die mathematischen Näherungen

(Approximationen) sind durch physikalische Erhaltungsbedingungen geprägt und dienen zur

Simulation. In der Strömungslehre werden dazu vier Grundgleichungen verwendet [9]:

• die Bilanzgleichung für die Masse (Kontinuitätsgleichung): die zeitliche

Änderung der Masse eines materiellen Volumens ist null.

• die Bilanzgleichung für den Impuls (Navier-Stokes-Gleichung): die zeitliche

Änderung des Impulses eines materiellen Volumens ist gleich der am Volumen

angreifenden äußeren Kraft.

• die Bilanzgleichung für den Drehimpuls (Drehimpulssatz): die zeitliche

Änderung des Drehimpulses eines materiellen Volumens ist gleich dem am

Volumen angreifenden Drehmoment.

• die Bilanzgleichung für die Energie (Energiesatz): die zeitliche Änderung der

inneren und der kinetischen Energie eines materiellen Volumens ist gleich der

von außen angreifenden Leistung (unter Vernachlässigung von Strahlung und

innerer Dissipation). Die Energiebilanz ist relevant für kompressible

Strömungen, die im Rahmen der vorliegenden Arbeit nicht betrachtet werden

müssen.

3.1 Kontinuitätsgleichung

Nach dem Massenerhaltungssatz müssen in jeder Stromröhre folgende Bedingungen

herrschen:

Kontinuitätsgleichung - Massenbilanz

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(3.1)

(3.2)

In diesem Fall handelt es sich um eine eindimensionale kompressible Kontinuitätsgleichung,

da die Bedingungen aus Abbildung 3.1 gelten.

Abbildung 3.1 - Einteilung von Strömungsmaschinen [8]

Wenn die Dichte g]8,d ist, lässt die Gleichung sich zu

(3.3)

vereinfachen.

Die Kontinuitätsgleichung für mehrdimensionale inkompressible und instationäre

Strömungen gestaltet sich schwieriger.

Dazu betrachten wir einen Raum, indem das einströmende Volumen hijk gleich groß dem

ausströmenden Volumen h:- ist, also

hijk − h:- 0. (3.4)

Dabei ist das einströmende Volumen in X-Achsenrichtung

l +d+m+& , (3.5)

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gleich dem ausströmenden Volumen

l n l +o+d+m+&. (3.6)

, wobei

n l . (3.7)

die Änderung der Geschwindigkeit in x-Achsenrichtung ist.

Die Differenz der beiden lautet dann

n l +o+m+&+d 0. (3.8)

Dies lässt sich nun auf die y und z-Achse übertragen und lautet in differentieller Form:

pnpq +

prps + pt

pu 0 oder in vektorieller Schreibweise +_U ] .

3.2 Impulserhaltung (Navier-Stokes-Gleichung)

Impuls wird durch drei Wege transportiert: Durch Konvektion, Diffusion und zusätzlich über

Druck. Die Diffusion- und der Druckterm sind in den Spannungen enthalten. Die

Schubspannungen haben nur diffusive Anteile (Reibung). Die Normalspannungen haben

einen Druckanteil und einen Diffusionsanteil (Reibungs- bzw. Viskositätsanteil).

Die diffusiven Flüsse sind die Spannungen mit negativen Vorzeichen. Das negative

Vorzeichen ist selbstverständlich, weil der diffusive Impulsfluss in die Richtung stattfindet, in

der der Impuls (Geschwindigkeit, Druck) abnimmt, d.h. die Gradienten von der

Geschwindigkeit bzw. des Druckes negativ sind.

Der Impuls ist eine vektorielle Größe, d.h. er hat eine Richtung. Deshalb müssen

Impulsbilanzen in allen Koordinatenrichtungen erstellt werden. Auf die Herleitung der

Gleichung wird an dieser Stelle verzichtet. Die NS-Gleichung in vektorieller Form lautet:

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vv − w0 + xy. (3.9)

η Dynamische Viskosität ∇ Nabla-Operator

Feldkräfte Δ Laplace-Operstor

Dabei beschreibt der erste Term die Impulsänderung in drei Koordinatenrichtungen, da der

Geschwindigkeitsvektor drei Geschwindigkeitskomponenten l, z, in Abhängigkeit der

Zeit beschreibt. Er beinhaltet eine konvektive Beschleunigung %9e+w, die eine

Geschwindigkeitsänderung von Ort zu Ort beschreibt und eine lokale Beschleunigung , die

zeitabhängig ist. Der zweite Term drückt die dreidimensionalen Feldkräfte. Die letzten

beiden Terme beschreiben die Oberflächenkräfte/Spannungen, die sich aufgrund von Druck-

und Zähigkeitskräften einstellen. Ist der Reibungsterm xy vernachlässigbar, geht die NS in

die Euler-Gleichung über.

Wird die NS durch die Dichte dividiert, lautet die Gleichung:

| + | l~ j −

$ # l| + | l~². (3.10)

Dabei wird die kinematische Viskosität ν aus dem Verhältnis zwischen dynamischer

Viskosität η und der Dichte ρ gebildet. Setzt man die Indizes _ o;8+ o, m, & ein, so

erhält man die NS in x-Koordinatenrichtung. Analog lässt sich die Gleichung ebenfalls für die

y, z-Richtung aufstellen. Die Schwerkraft wird dabei häufig in technischen Strömungen

vernachlässigt.Zur Berechnung dreidimensionaler inkompressibler Strömungen wird die NS mit der

Kontinuitätsgleichung kombiniert, wobei die NS aus drei Gleichungen (für die x, y, z-

Koordinate) besteht. Es stehen also vier Gleichungen zur Verfügung, mit denen die vier

Unbekannten (Geschwindigkeit in x, y, z-Richtung und der Druck) näherungsweise berechnet

werden können, wenn die Randbedingungen am Ein- und Austritt bekannt sind. Bei

transienten Simulationen sind außer den Randbedingungen noch Anfangs- bzw.

Startbedingungen von Nöten

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4. Modellierung

4.1 NACA-Profile

Für die Beschreibung der Profilgeometrie werden in dieser Arbeit, die in Abbildung 4.1

dargestellten Bezeichnungen nach Erich Hau [7] verwendet. Die Profilkoordinaten der Kontur

in Tabellenform wurden aus Profilgenerator von Jens Trapp und Robert Zores entnommen

[5]. Die NACA Profile sind mit mehrstelligen Kennziffern beschrieben, die Hinweise auf die

Profilgeometrie geben.

l Profiltiefe, Länge der Profilsehne yc Ordinate der Skelettlinie

x0 Abszisse der Profiloberseite (Saugseite) yo Ordinate der Profiloberseite

xc Abszisse der Skelettlinie yu Ordinate der Profilunterseite

xu Abszisse der Profilunterseite (Druckseite) d größte Profildicke

xd Rücklage der größten Dicke d f Wölbung

xf Rücklage der Wölbung f m Wölbungsmaß m =f/l

θ Steigungswinkel der Skelettlinie t Dickenverhältnis t=d/l

rN Nasenradius

Abbildung 4.1 – Profilgeometrie mit Berechnungsparametern

Die NACA-Profile mit vier Ziffern (4-digit) lassen sich wie folgt beschreiben:

1. Ziffer: Maximale Wölbung der Profiltiefe [%]

2. Ziffer: Wölbungsrücklage in Zehntel der Tiefe

3./4. Ziffer: Maximale Dicke in Prozent der Tiefe

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Bspw. besitzt das Profil im Blattspitzenbereich des Rotors NACA4415 die Eigenschaften:

- 4% Wölbung bei 40% der Tiefe mit einer

- maximalen Dicke von 12% der Tiefe,

- wobei die Dickenrücklage für alle vierziffrigen Profile bei 30% liegt.

Eine Übersicht der verwendeten Profile für die Geometrie des Rotors.

Profil αBau [°] Länge [m] R [m]

NACA 4415 0 0,72 27

NACA 4420 2 1,51 17

NACA 4425 4 1,97 12

NACA 4450 8 2,92 5

Tabelle 4.1 – Übersicht der verwendeten Profile und deren Eigenschaften

4.2 Geometrieaufbereitung in Inventor

Die Modellbildung des Flügelprofils erfolgte mit Autodesk Inventor 2011. Bei der

Konstruktion muss auf einige Schritte in der Modellbildung eingegangen werden, die enorme

Wichtigkeit zur Durchführung der Simulation in Ansys CFD beitragen. Die verwendeten

NACA-Profile 4415, 4420, 4425 und 4450 wurden als 2D-Koordinatenpunkte aus den

Profilkatalogen von Eppler entnommen und in eine Excel-Tabelle übertragen. Diese wird in

Inventor in eine 2D-Skizze importiert und mit Splines innerhalb der Skizze in Inventor

miteinander verbunden, um die Profilkontur zu generieren. Die Approximation an die

eigentliche Profilkontur ist dabei von großer Bedeutung, denn sie muss krümmungsstetig

sein, um Druck- und Geschwindigkeitssprünge entlang der Profilkontur in der numerischen

Berechnung zu vermeiden. Des Weiteren wurde darauf geachtet, dass die Profilhinterkante

nicht in einem zu spitzen Winkel zuläuft. Ansys CFD produziert Fehler bei der automatischen

Erstellung der Netze, wenn ein Winkel innerhalb einer Geometrie zu spitz zuläuft. Um den

Fehler zu vermeiden, wurde der letzte Punkt an der Abströmkante entfernt und eine Gerade

zwischen Profilunter- und Profiloberseite gezogen (Abbildung 4.2).

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Abbildung 4.2 - Abgeschnittene Profilhinterkante des NACA Profils

Die Profilnasen der verwendeten Profile liegen dabei radial in einer Flucht, siehe Abbildung

4.3. Mit der Funktion Erhebung entstehen nun die Flächen des Rotors. Dabei dürfen die

Oberflächen nicht zu grob gestaltet sein. Mit der automatischen Erstellung werden die

Koordinatenpunkte beliebig radial zwischen den einzelnen Profilen verbunden, was zu einer

unebenen Rotoroberfläche führt.

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Abbildung 4.3 - Anordnung der einzelnen Profile im Rotorblatt

In Inventor kann die Erhebung manuell bearbeitet werden, was eine genauere Verbindung

der Koordinatenpunkte innerhalb der Skizzen zulässt, siehe Abbildung 4.4.

Abbildung 4.4 - Radiale Verknüpfung der Profile mit Splines

Ebenso sollte man möglichst viele Splines in radialer Richtung einbauen, um eine homogene

Oberflächen zu schaffen. Durch die Tatsache, dass lediglich ein 120° Ausschnitt

(Drittelschnitt des gesamten Rotors) simuliert wurde, um die Rechenzeit und –aufwand zu

verkürzen, wurde die Nabe mit Flansch für die Rotorblätter stark vereinfacht und es wurde

auf eine Pitchregelung verzichtet, genauso wie auf eine Gondel (Maschinenraum für

Getriebe / Generator).

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4.3 Randbedingungen

In der Simulation ist das Shear Stress Transport-Modell verwendet worden. Dabei

kombiniert das SST-Modell die Turbulenzmodelle k-ω-Modell und k-ε-Modell. Das k-ω-

Modell wird in wandnähe und das k-ε-Modell im Bereich der Hauptströmung verwendet

[11]. Auf die Transportgleichungen des SST-Modells wird hier nicht eingegangen und sei auf

das CFX-Handbuch verwiesen.

4.4 Simulationsraum

Der Simulationsraum (Abb. 4.5) ist ein 120° Kreisausschnitt über eine definierte Länge vor

und hinter dem Rotor. Dieser Raum wurde in drei Teile unterteilt. Der erste Teil wird in den

Simulationen nur für stationäre Strömungen verwendet und bildet den Raum vor der WEA,

indem die drallfreie Anströmung erfolgt. Dabei werden dem Inlet (durchströmte Fläche am

Eintritt des Raumes) drei Windgeschwindigkeiten (5m/s, 10m/s und 12m/s als

Betriebspunktvariation) aufgeprägt. Der zweite Teil ist der Rotationsraum, indem das zu

untersuchende Modell je nach Betriebspunkt mit unterschiedlichen Drehzahlen rotiert. Der

Rotor wird als Wand (Wall – umströmtes Volumen) definiert, der um die z-Achse rotiert.

Abbildung 4.5 - Schematischer Aufbau des Simulationsraumes

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Die Rotoroberfläche ist als hydraulisch glatt definiert. Das Rotorblatt ist dabei in y-

Achsenrichtung ausgerichtet und dreht in x-Achsen Richtung mit der Winkelgeschwindigkeit

Ω, siehe Abbildung 4.6

Abbildung 4.6 - Schematische Darstellung der WEA im Zusammenhang mit dem Kartesischen

Koordinatensystem

Der Abstand von Blattflügelspitze bis zum äußeren Rand des Simulationsraumes soll

mindestens das zweieinhalb-fache des Rotorradius betragen und der Nachlauf in etwa das

fünffache [10]. Der Nachlauf der WEA bildet den dritten Teil. Dabei sind die stationären

Räume 100 Meter lang, der instationäre Berechnungsraum wurde verkleinert auf 75 Meter

mit einem Radius von 100m, um Elemente einzusparen. Der Rotor hat dabei einen Abstand

von 114 Metern zum Inlet (Eintritt) bzw. 161 Meter bis zum Outlet (Austritt).

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4.5 Netzgenerierung

Die Netzgenerierung ermöglicht das Modell in viele verschiedene einzelne Elemente zu

unterteilen (Finite Elemente). Man unterscheidet die Elemente in ihrer Geometrie: bei der

Verwendung von Hexaedern, also Würfel oder Quader, spricht man von strukturierten

Netzen; bei Tetraedern (Pyramiden) hingegen wird das Netz als unstrukturiert bezeichnet.

Die Größe, Anzahl sowie die Form dieser einzelnen Elemente haben großen Einfluss auf die

Genauigkeit der Ergebnisse. Es muss ein Kompromiss zwischen ausreichender Simulations-

genauigkeit und Rechenaufwand gewählt werden. Um wandnahe Effekte wie die

Grenzschichtströmung abbilden zu können, müssen umströmte Körper mit einer

Prismenschicht, einer Verfeinerung des Netzes hin zu Wänden, belegt werden. Es wurde

zwar versucht, ein fein strukturiertes Hexadernetz mit Prismenschicht in ICEM zu erstellen,

jedoch ist durch die Verwindung der Profile und gleichzeitige Verjüngung des Rotors eine

strukturierte Vernetzung nicht ohne erheblichen Zeitaufwand möglich gewesen. Lediglich die

stationären Bereiche bestehen aus Hexaedern und wurden mittels Verfeinerungsfunktion

orthogonal angeordnet. Im rotierenden Bereich wurde auf den Vernetzungsalgorithmus von

Ansys zurückgegriffen. Der Rotationsraum wurde mit einem flexiblen Tetraedernetz

umgesetzt und wird mit abnehmendem Abstand zum Profil immer feiner, wobei die

Elementgröße auf der Fläche des Rotors nur noch 80/40mm (Modell I/ Modell II) beträgt.

Modell I (λ=7,92)

Domain Knoten Elemente Volumen [m³]

Stat. Bereich I 155907 147750 20943,95

Stat. Bereich II 155958 147950 20943,95

Rot. Bereich 353795 2012212 15707,96

Gesamt 665660 2307912 57595,86

Tabelle 4.2 - Netzstatistik von Modell I

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Modell II (λ=7,07)

Domain Knoten Elemente Volumen [m³]

Stat. Bereich I 270351 262500 20943,95

Stat. Bereich II 270351 147950 20943,95

Rot. Bereich 621107 3570675 15707,96

Gesamt 1161809 4095675 57595,86

Tabelle 4.3 - Netzstatistik von Modell II

Beim Übergang vom Hexaeder- zum Tetraedernetz in z-Achsenrichtung liegen die

Knotenpunkte nicht übereinander und es muss interpoliert werden (Abbildung 4.8), weshalb

Ansys dort spezielle Schnittstellen, das Generalised Grid Interface, verlangt. Das Generalised

Grid Interface (GGI) erlaubt das beliebige Zusammenfügen von beliebigen Teilgittern. Weder

die Knotenverteilung noch die Gitterstruktur müssen an der gemeinsamen Schnittfläche

übereinstimmen. Durch das Generalised Grid Interface wird die Netzgenerierung einfacher

und schneller. Das gesamte Rechengebiet kann in einfachere Teilgebiete zerlegt werden, die

separat mit der jeweils optimalen Topologie vernetzt werden können [10].

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Abbildung 4.7 - Schematische Darstellung des Simulationsraumes, Modell I

Die Frozen Rotor Methode ist ebenfalls ein stationäres Modell. Im Gegensatz zum Stage

Interface findet hier aber keine Umfangsmittelung der Strömungsgrößen statt, sondern nur

ein Wechsel in das jeweilige Bezugssystem. Das Frozen Rotor Interface kommt dann zum

Einsatz, wenn die Variation der Strömung in Umfangsrichtung sehr stark ist[10].

Abbildung 4.8 – Verwendung des GGI-Interface bei verschiedener Netzstruktur [Ansys]

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5. 2D-Profilumströmung mit dem Programm XFOIL

Das Programm XFOIL wurde am Massachusetts Institute of Technology (MIT) von Mark Drela

[4] in Fortran entwickelt und steht unter der GNU General Public License (GPL) zur freien

Verfügung. Es verwendet ein 2D-Panelverfahren zur Berechnung von Auftriebsbeiwert ,

Widerstandsbeiwert und Momentenbeiwert eines gegebenen Profils bei

subsonischen Strömungsgeschwindigkeiten (Ma<1). XFOIL verwendet standardmäßig den

Wert 8aj = 9, was laut XFOIL USER GUIDE dem Turbulenzgrad eines durchschnittlichen

Windkanals entspricht. Größere Werte von 8aj bedeuten weniger Turbulenz, kleinere

dagegen einen höheren Turbulenzgrad. Bei der Simulation mit XFOIL kann über den als

critical amplification ratio bezeichneten Parameter 8aj Einfluss auf den Turbulenzgrad

genommen werden.

5.1 XFOIL-Ergebnisse

Um die Beiwerte zu ermitteln, muss die Anströmgeschwindigkeit F in der Rotorebene aus

dem Kapitel 2.7 in jedem Profilschnitt bekannt sein. Ebenso muss die jeweilige Reynolds-Zahl

mit der Länge des Profils bei gegebenen Stoffdaten des Mediums ermittelt werden.

Der aerodynamische Anstellwinkel ist die Differenz aus dem Anströmwinkel in der

Rotorebene und dem Bauwinkel des Profils im Modell.

Y Y(9) − YZ:(9). (2.18)

Die Beiwerte werden benötigt, um die vorherrschenden Kräfte aus der Tragflügeltheorie am

Rotorblatt herzuleiten, siehe Abbildung 5.1.

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Abbildung 5.1 – Druckverlaufplot des NACA 4415 Profils aus XFOIL

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6. Ergebnisse

Bei den 3D-Simulationen werden zunächst die Residuen untersucht, um zu schauen, ob die

Lösung ausreichend konvergiert ist. Wenn dies der Fall ist, wird die Simulation auf eine

mögliche Verletzung der Kontinuitätsgleichung überprüft und der Einfluss des

Profilkoeffizienten auf das Rotordrehmoment und den axialen Geschwindigkeiten im

Fernbereich untersucht. Nach diesen Parameterstudien werden die Strömungsverhältnisse

in der Meridianansicht mittels Stromlinienverläufen entlang der Blattoberfläche visualisiert.

Ebenso wird der Drall, der sich entgegen der Umfangsgeschwindigkeit ausbreitet, quantitativ

erfasst, um eine Leistungsabschätzung nach der Eulerschen Strömungshauptmaschinen-

gleichung durchführen zu können. Anschließend werden die analytischen Auftriebs- und

Widerstandskräfte einzelner Teilflächen des Rotors in Schub- und Umfangskraft überführt

und den vorherrschenden Kräften im Modell gegenübergestellt.

Abschließend werden die theoretischen Leistungsberechnungen von Betz, Schmitz und Euler

mit den ermittelten mechanischen Leistungen aus der Simulation verglichen.

Die Modelle sind wie schon erwähnt nicht transient simuliert worden und deshalb sind

Strömungsgrößen nur ortsabhängig und nicht zeitabhängig. Man könnte es mit einer

Momentaufnahme der Fluidteilchen in einem Strömungsfeld erklären, indem die Strömung

durch Stromlinien, eine Raumkurve, welche die Geschwindigkeitsvektoren berührt, darstellt.

Die transiente Berechnung, gekennzeichnet durch die zeitliche Ableitung, brach schon nach

wenigen Iterationen ab. Der Solver gab den Hinweis, keine Überlappung (permit no

intersection) zwischen den Schnittstellen (Interfaces) der rotierenden Domain und der

Stationären zu zulassen. Leider führte auch diese Option zu keinem Ergebnis und die

Simulation brach erneut ab.

Hier nochmal eine Übersicht der Modelle:

Modellname c1 [m/s] n [1/min] λ Netzelemente

Modell I 5/10/12 12,5/25/30 7,92 ~2,3 106

Modell II 5/10/12 14/28/33,6 7,07 ~4,1 106

Tabelle 6.1 – Übersicht der Modellparameter

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Die verwendeten Stoffdaten von Luft, die für die Simulation verwendet wurden, sind im

Anhang aufgeführt. Für die Auswertung wurden die Geschwindigkeiten bezogen auf das

kartesische Koordinatensystem mit dem Turbomaschinentool in Zylinderkoordinaten

(o, m, & − , 9, &) übertragen.

Um die Fülle an Daten der numerischen Berechnung besser auswerten zu können, werden

Stützstellen verwendet, siehe Abbildung 6.1.

Abbildung 6.1 – Einführung von Stützstellen zur Auswertung der Ergebnisse

Die Orte A und B liegen dabei in den stationären Teilen des Raums, wobei A mit 100 Metern

weit vor dem Rotor liegt und B 150 Meter dahinter. Die Orte 1 und 2 liegen in der

rotierenden Domain nahe der Rotorebene, 3 Meter davor und 2 Meter dahinter.

6.1 Residuenstudie

Die Residuen bilden die Veränderung der Ergebnisse eines Iterationsschritts zum Vorherigen

ab. Dabei stammen die Residuen U-Mom, V-Mom und W-Mom aus der Impulsgleichung in x,

y und z-Richtung, während P-Mass der Kontinuitätsgleichung entspricht.

Graphisch werden diese dann über die Anzahl der Iterationsschritte aufgetragen. Die

iterative Rechenoperation kann durch Erreichen eines bestimmten Residuum

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(Konvergenzkriterium) oder durch die vorgegebene Anzahl an Iterationsschritten beendet

werden. Bei dem Modell I wurde ein Konvergenzkriterium von 1e-6 eingestellt und maximal

tausend Iterationsschritte durchgeführt. Modell II wurden nur noch 800 Iterationen

durchgeführt, da die Residuen einen relativ konstanten Verlauf hatten.

Abbildung 6.2 - Residuen von Modell I - =10m/s, λ=7,92

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Abbildung 6.3 - Residuen vom Modell II - =10m/s, λ=7,02

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6.2 Stromröhrenaufweitung nach Betz / Froude-Rankine

Um die Verletzung der Massenerhaltung zu überprüfen, wurde der Volumenstrom am Inlet

(Kreisfläche am Eintritt), mit denen am Entrainment (Mantelfläche) und am Opening

(Kreisfläche am Austritt) verglichen, siehe Abbildung 6.4. Nach dem Kontinuitätsprinzip muss

ijk − ( :-,ika + :-,#k) 0 (6.1)

ergeben.

Der prozentuale Fehler lag dabei unter 0,01 % und ist vernachlässigbar.

Abbildung 6.4 – Schematischer Aufbau zur Prüfung der Massenerhaltung

Eine andere Möglichkeit zur Überprüfung der Massenerhaltung kann über die Stromröhre

geschehen. Dabei werden an den zwei Orten (A, B) die arithmetischen Mittel der

Geschwindigkeiten ZljZ über den Querschnitt der Stromröhre gebildet

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ZljZ 1`ZljZ,j

j.

(6.2)

Mit der mittleren Geschwindigkeit und der Querschnittsfläche an den Orten A und B lassen

sich wieder die Massenströme bestimmen, wobei

ZljZ, − ZljZ, 0, (6.3)

sein muss.

Die Prüfung der Massenerhaltung durch die Stromröhre ergab einen prozentualen Fehler

von etwa 1% und ist ebenfalls vernachlässigbar.

Wie in Kapitel 2 erwähnt, wird die Windgeschwindigkeit c1 auf c3 abgebremst. Umgekehrt

proportional zur Strömungsgeschwindigkeit nimmt die Querschnittsfläche der Stromröhre

von AA nach AB zu (Abbildung 6.5).

Abbildung 6.5 – Aufweitung der Stromröhre, die schwarze Linie stellt die Position des Rotors dar,

λ=7,92

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Da die Konstruktion des Rotors nicht auf der Betzschen Optimalauslegung beruht, wird die

erwartete axiale Geschwindigkeitsverzögerung weit hinter dem Rotor von zwei Drittel nicht

erreicht.

Tabelle 6.2 – Parameter der Stromröhrenaufweitung, Modell I

Abbildung 6.6 - Stromlinienplot der Absolutgeschwindigkeit– Aufweitung der Stromröhre, Modell

=10m/s, λ=7,92

In Abbildung 6.7 ist die Strömungsverzögerung in Richtung der Rotorachse quantitativ

erfasst worden. Weit vor dem Rotor ist die Geschwindigkeit noch auf dem Niveau der

c1 [m/s] [m²] c3 [m/s] [m²] [/, /, 5 2290 3,1 3696 22902 22513

10 2290 6,1 3696 11451 11288

12 2290 7,3 3696 27483 27018

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eingestellten Strömungsgeschwindigkeit, nimmt aber infolge der Stauung zum Rotor hin ab.

Der Geschwindigkeitsanstieg unmittelbar hinter dem Rotor entsteht, wenn die Strömung die

Stauung durch den Rotor überwunden hat und drallbehaftet fortgetragen wird.

Abbildung 6.7 – Änderung der axialen Absolutgeschwindigkeit in z-Koordinatenrichtung

Vergleicht man die Aufweitung der Stromröhre mit der axialen Strömungsgeschwindigkeit,

wird die Proportionalität durch die Massenerhaltung deutlich. An dieser Stelle sei erwähnt,

dass die axialen Geschwindigkeiten aus Abbildung 6.7 und 6.8 immer auf die gleiche

Querschnittfläche bezogen worden sind.

Das Modell II mit der Schnelllaufzahl 7,07 weist, entgegen der Erwartungen, einen ganz

anderen axialen Geschwindigkeitsverlauf auf (Abbildung 6.8). Anscheinend hat bei diesem

Modell die Übergabe der Geschwindigkeitskomponenten von der rotierenden Domain in die

Stationäre nicht funktioniert, wobei das gleiche Interface (GGI) wie in Modell I verwendet

wurde. Der rotierende Bereich ist davon jedoch nicht betroffen.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275

c_axial [m/s]

Z [m]

Axiale Absolutgeschwindigkeit - λ=7,92

c1=10 m/s c1=5 m/s c1=12 m/s Rotor

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Abbildung 6.8 – Änderung der axialen Absolutgeschwindigkeit in z-Koordinatenrichtung

Abbildung 6.9 bildet die axiale Geschwindigkeitsverteilung über den Radius ab. Die axiale

Geschwindigkeit wurde dabei auf den Ringflächen, die aus zwei konzentrischen Kreisen mit

dem Abstand dr = 1 m besteht, gemittelt. Weit vor dem Rotor (A) ist die Geschwindigkeit

konstant. Am Rotoreintritt (1) wird die Strömung durch die Nabe gestaut und erfährt eine

Verzögerung. Im Bereich des Rotors von Profil NACA4450 bis NACA4415 ist die Schwankung

jedoch wieder relativ gering. Am Rotoraustritt (2) entsteht durch die Kante an der

Nabenrückseite eine Ablösung mit einer Totzone, in der eine Rückströmung stattfindet.

Durch die konvexe Geometrie der Nabe am Rotoreintritt erfährt die Strömung eine

Beschleunigung, die ihr Maximum kurz vor dem NACA4450 erreicht. Danach stellt sich

erneut ein relativ konstanter Wert über den gesamten Rotor ein. Weit hinter dem Rotor (B)

nimmt die Geschwindigkeit mit zunehmendem Radius zu.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275

c_axial [m/s]

Z [m]

Axiale Absolutgeschwindigkeit - λ=7,07

c1=10 m/s c1=5 m/s c1=12 m/s Rotor

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Abbildung 6.9 – Änderung der axialen Absolutgeschwindigkeit über den Radius an den vier

Stützstellen

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

c_axial [m/s]

r [m]

Axiale Absolutgeschwindigkeit, c=10m/s, λ=7,92

A B 1 2 Nabe

NACA4450 NACA4425 NACA4420 NACA4415

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6.3 Vergleich der Drehmomente

Das Modell I wurde mit drei verschiedenen Windgeschwindigkeiten und Drehzahlen und

unterschiedlichen Blattneigungswinkeln simuliert. Dabei ist das höchste Drehmoment bei

einem Blattneigungswinkel von 0°, ausgehend von der Lage des Profils NACA 4415 im

Blattspitzenbereich, ermittelt worden. Die übrigen simulierten Neigungswinkel wirken sich

dagegen negativ auf die Aerodynamik des Rotors bei gegebener Nenndrehzahl aus, siehe

Abbildung 6.10. Der negative Anstellwinkel bedeutet, dass die Profilnase in Windrichtung

geneigt ist, positive Anstellwinkel entsprechend umgekehrt.

Abbildung 6.10 - Drehmoment in Abhängigkeit vom Anstellwinkel

Bei dem Modell II, mit fast doppelt so vielen Elementen, ist das ermittelte Drehmoment

wesentlich höher und zeigt gute Übereinstimmungen mit den analytischen Werten aus der

Blattelemententheorie, siehe Tabelle 6.11.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Dre

hm

om

en

t [

Nm

]

Anstellwinkel [°]

Drehmoment bei verschiedenen Anstellwinkeln

Modell I - 5 m/s

Modell I - 10 m/s

Modell I - 12 m/s

Modell II - 5 m/s

Modell II - 10 m/s

Modell II - 12 m/s

Poly. (Modell I - 5 m/s)

Poly. (Modell I - 10 m/s)

Poly. (Modell I - 12 m/s)

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Modell [m/s] HH [Nm] N [Nm]

Modell I ,

5 49184 37717

10 207738 151875

12 301666 225588

Modell II ,

5 42178 52080

10 210945 203143

12 283914 302400

Tabelle 6.3 – Vergleich - Analytisches und numerisches Drehmoment

Anscheinend hat die schlechte Diskretisierung in der rotierenden Domain zur Verfälschung

der numerischen Werte bei Modell I geführt (Abb. 6.12).

Abbildung 6.11 – Beispiel eines Vergleichs zwischen guter und schlechter Diskretisierung der

Knotenpunkte

0 50 100 150 200 250 300-5

0

5

10

15

20

25

x[m]

c[m

/s]

schlechte Diskretissierung

verbesserte Diskretisierung

Spline "schlechte Diskr."

Spline "verbesserte Diskr."

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Beim Vergleich der Plots (Abbildung 6.13 und Abbildung 6.15) im selben Rotorschnitt wird

deutlich, dass die grobe Netzstruktur massiven Einfluss auf die Rundung der Profilnase hat,

denn bei Modell I ist diese deutlich eckiger. Durch die Unstetigkeit der Krümmung können

Druck- und Geschwindigkeitssprünge entlang des Profils entstehen. Ebenso berücksichtigt

die Tragflügeltheorie keine radialen Strömungsvorgänge, die natürlich real sowie in der

Simulation vorhanden sind.

Die hohen Unterschiede der Drehmomente zwischen den beiden Modellen können aber

nicht mit der Schnelllaufzahl zusammenhängen, denn das erste Modell wurde mit

unterschiedlichen Anstellwinkeln simuliert.

Abbildung 6.12 – Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell II - NACA 4420 mit r = 17 m,

HN = 2°

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Abbildung 6.13 – Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell II - NACA 4420 mit r = 17 m,

HN = 2°

Die Abbildungen 6.14 – 6.21 zeigen die Relativgeschwindigkeiten in Form von Stromlinien

und Vektoren auf einer Ebene im Profil NACA 4420 bei unterschiedlichen Anstellwinkeln von

Modell I. Dabei wird ersichtlich, dass sich die maximale Relativgeschwindigkeit, mit

abnehmenden Anstellwinkeln, von der Profilnase saugseitig in Richtung der Hinterkante

verschiebt. Die Auftriebskraft ist dadurch größtenteils nicht mehr, wie gewünscht in

Umfangsrichtung vorhanden, sondern in weist in Richtung der Rotationsachse. Zudem

verringert sich die Strömungsgeschwindigkeit auf der Saugseite, durch den abnehmenden

Anstellwinkel.

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Abbildung 6.14 – Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m,

HN = 2°

Abbildung 6.15 – Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m,

HN = 2°

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Abbildung 6.16 – Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m,

HN = 4°

Abbildung 6.17 – Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m,

HN = 4°

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Abbildung 6.18 – Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m,

HN = 6°

Abbildung 6.19 – Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m,

HN = 6°

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Abbildung 6.20 – Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m,

HN = 10°

Abbildung 6.21 – Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m, HN

= 10°

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6.5 Drallbestimmung nach EULER

Wie in Kapitel 2.4 erwähnt, lässt sich die Leistung einer axialen Turbine auch durch die

Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung bestimmen. Die Anwendung der Gleichung

setzt jedoch eine schaufelkongruente Strömung voraus. Die absolute Geschwindigkeits-

komponente in Umfangsrichtung, die für den Drall verantwortlich ist, wurde über

Ringflächen (dr=1 Meter) gemittelt. Weit vor dem Rotor (A) ist die Strömung drallfrei. Am

Rotoreintritt (1) schwankt die Geschwindigkeit um den Nullpunkt, ist aber vernachlässigbar

klein und wird ebenfalls als drallfrei angenommen. Der Drall am Rotoraustritt (2) ist nun

entscheidend für die Leistungsbestimmung nach EULER.

Abbildung 6.22 – Änderung der Absolutgeschwindigkeit in Umfangsrichtung

Schaut man sich den Kurvenverlauf des Dralls direkt hinter dem Rotor an, lässt dieser sich ab

einem Radius von 6 Metern am ehesten mit einem Potentialwirbel vergleichen, bei dem die

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

c2u [m/s]

r [m]

Absolutgeschwindigkeit in Umfangsrichtung , c=10m/s, λ=7,92

A B 1 2 Nabe

NACA4450 NACA4425 NACA4420 NACA4415

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Strömungsgeschwindigkeit in Umfangsrichtung mit zunehmendem Radius abnimmt, siehe

Abbildung 6.23/6.24.

Abbildung 6.23 – Potentialwirbel nach Hameln-Oseen [11]

Abbildung 6.24 – Stromlinienplot der Absolutgeschwindigkeit zur Darstellung des Dralls

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Um eine mögliche Verletzung der Betz-Theorie zu überprüfen, wurde die spezifische Arbeit

Y, unter Verwendung der Annahme, dass die axiale Geschwindigkeitskomponente sich auf

ein Drittel der Ausgangsgeschwindigkeit hinter dem Rotor verzögert, bestimmt. Für die

vorliegende Anlage ergeben sich gemäß dieses Vorgehens folgende Werte:

n 28 1/min

n_sec 0,467 1/s

rho 1,185 kg/m^3

D 54 m

c_Wind 10 m/s

P_Wind 1,357 MW

P_Betz 0,801 MW

m_pkt_ein 27139 Kg/s

m_pkt_aus 9046 Kg/s

m_pkt_mittel 18093 kg/s

Y_Betz,

P=m_pkt_mittel*Y 44,25

m²/s²

Tabelle 6.4 – Anlagenparameter zur Ermittlung von Y_Betz

Der Massenstrom kann aus dem arithmetischen Mittel zwischen Rotoreintritt und –austritt

gebildet werden.

ijk 9. (6.4)

:- 9 13 . (6.5)

18` j

k

j

(6.6)

Die spezifische Arbeit kann nun durch Umformung der Euler Gleichung berechnet werden.

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@ 5 .

(6.7)

Um den Drall über den Radius bestimmen zu können, muss die spezifische Arbeit über die

Fläche gemittelt werden.

@ 1@(9) +. (6.8)

@ 1 @(9)

¡¡+9+.

(6.9)

@ 2 @(9)

¡¡+9.

(6.10)

Dividiert man die Summe der mittlere spezifische Arbeit Y¢£¤u durch die gesamte

Rotorfläche erhält man wieder Y¢£¤u .

Unter der Annahme, dass die mittlere spezifische Arbeit über den Radius konstant bleibt,

kann man den Drall c2u bestimmen.

:(9) @; . (6.11)

In der Nähe der Nabe ergeben sich unrealistisch hohe Werte für die Drallkomponente c2u,

die größer sind als die Umfangsgeschwindigkeit des Rotors, so daß der Verlauf erst ab einem

Radius von etwa 3 Metern interpretierbar ist.

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Abbildung 6.25 – Analytische Drallbestimmung mittels Betz Theorie, Annahme spezifische Arbeit

ist konstant

Vergleicht man den Kurvenverlauf des analytisch ermittelten Dralls (Abb. 6.25) mit dem Drall

aus der numerischen Berechnung (Abbildung 6.22, an Stelle 2), erkennt man, dass diese sich

ab einem Radius > 6 Meter ähneln. Jedoch ist die ermittelte mittlere spezifische Arbeit aus

der numerischen Berechnung höher. Dies könnte mit einer abgelösten Profilströmung in der

Simulation zusammenhängen, die eine höhere Umlenkung ergibt, als die Theorie von Betz

zulässt. Es kann somit davon ausgegangen werden, dass die Strömung in der Simulation

nicht schaufelkongruent und die Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung nicht

anwendbar ist.

Um Ablösungen generell abbilden zu können, muss das Profil von einer Prismenschicht

umgeben sein und eine hohe Diskretisierung vorhanden sein. Um die Fluktuation der

Ablösung zu visualisieren, bedarf es einer transienten Berechnung der Modelle.

Betriebspunkt ¥¦§¨ ¥N¦©ª«¬

c1 = 10 m/s, λ = 7,92 44,3 71,3

Tabelle 6.5 – Vergleich der spezifischen Arbeit nach Euler

y = 15,091x-1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 5 10 15 20 25 30

c2u [m/s]

r [m]

c_2u

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6.6 Kräfte am Rotor

Im Kapitel 2.5 werden die Auftriebs- und Widerstandskräfte am Rotor in Schub- und

Umfangskraft überführt. Um einen Vergleich mit den numerischen Werte herstellen zu

können, muss das Rotorblatt im Modell erst unterteilt und an den Teilflächen die Schub- und

Umfangskraft ermittelt werden (Abbildung 6.26).

Abbildung 6.26 – Teilflächen zur Ermittlung der Schub- und Umfangskräfte der Modelle

Für die analytische Bestimmung der Kräfte am Rotorblatt wurden die Beiwerte aus der 2D -

Simulation mit XFOIL (Kapitel 5) in die Blattelemententheorie miteinbezogen und die Länge

sowie die Beiwerte des Profils linear über den Radius interpoliert.

Ebenso wurden Verluste miteinbezogen, um möglichst realistische Werte zu erhalten. Die

Verluste, die miteinfließen, sind die Profilverluste

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x­a®¯j 1 − 329Q°± ,

(6.12)

die durch den Profilwiderstand resultieren. Ebenfalls wird der Tip-Verlust für eine

Auslegungsschnelllaufzahl ° 2 mit

xj# 1 − 1,84b° ,

(6.13)

bestimmt. Durch die Umströmung der Blattspitze von der Druckseite zur Saugseite, nimmt

der Auftrieb an dieser Stelle ab (Abb. 6.27) und es bildet sich ein aufweitender Wirbel, der

mit der Strömung davon getragen wird.

Abbildung 6.27 – Schematische Darstellung des Tip –Verlusts [Gasch]

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Abbildung 6.28 –Vektorplot der Relativgeschwindigkeit an der Blattspitze

Abbildung 6.29 – Tip-Verlust an der Blattspitze, infolge des Druckunterschieds

Abbildungen 6.30 und 6.31 stellen die numerischen und die analytisch aus der

Tragflügeltheorie ermittelte Schubkräfte gegenüber. Das Modell II stimmt nahezu mit den

ermittelten Werten aus der Tragflügeltheorie überein. Bei Modell I hingegen könnte wieder

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die schlechte Diskretisierung ein Grund für die hohe Abweichung sein. Im Naben- und

Blattspitzenbereich sind aber generell bei beiden Modellen Abweichungen zu verzeichnen.

Abbildung 6.30 – Vergleich der Schubkräfte ab einem Radius > 5 Meter

Abbildung 6.31 – Vergleich der Schubkräfte ab einem Radius > 5 Meter

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

N

r/R

Schubkraft (λ=7,92/c_wind=10m/s)

Fs analytisch Fs numerisch Fs analytisch - verlustbehaftet

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

N

r/R

Schubkraft (λ=7,07/c_wind=10m/s)

Fs analytisch Fs numerisch Fs analytisch - verlustbehaftet

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Die Gesamtschubkräfte am Rotor in tabellarischer Form:

Modell [m/s] GM,HH [N] GM,N [N]

Modell I ,

5 31158 30025

10 130174 120233

12 190006 170644

Modell II ,

5 28536 27207

10 118849 113814

12 172151 164279

Tabelle 6.6 – Vergleich der Gesamtschubkräfte am Rotor

6.6 Anlagenkennlinien der Modelle

Abbildung 6. stellt die Leistung der numerisch berechneten Modelle mit der Leistung gemäß

der Theorie von Betz gegenüber. Obwohl bei Modell I bessere Gleitzahlen an den jeweiligen

Profilschnitten mit XFOIL ermittelt wurden, weist Modell II eine bessere Leistungsausbeute

auf. Dies bestärkt wieder die Annahme, dass die Netzstruktur erheblichen Einfluss auf die

Ergebnisse hat.

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Abbildung 6.32 – Vergleich der Leistung nach der Theorie von Betz mit den Modellen

Aus den ermittelten numerischen Leistungen, können nun die Leistungsbeiwerte der

Modelle bestimmt werden.

c1 Leistung

[MW]

Leistung Wind

[MW]

Leistungsbeiwert

cp_Modell

Modell I

5 [m/s] 0,055 0,170 0,326

10 [m/s] 0,445 1,356 0,328

12 [m/s] 0,779 2,343 0,333

Modell II

5 [m/s] 0,068 0,170 0,400

10 [m/s] 0,532 1,356 0,392

12 [m/s] 0,950 2,343 0,406

Tabelle 6.7 – Vergleich von Leistung und Leistungsbeiwerte

0100200300400500600700800900

100011001200130014001500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Leistung [kW]

c_Wind [m/s]

Anlagenkennlinien der Modelle

P_Betz P_Mech Modell I P_Mech Modell II

Poly. (P_Mech Modell I) Poly. (P_Mech Modell II)

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6.7 Das Q-Kriterium

Das Q-Kriterium (Wirbelidentifikation) beschreibt die Stärke des Wirbels, indem die

Scherrate S und die WirbelstärkeΩ in folgender Beziehung stehen:

µ 12(Ω − ) 0

(6.14)

Überwiegt die Wirbelstärke der Scherung, dann ist Q > 0. Das Q-Kriterium wird verwendet,

um mögliche Ablösungen darstellen zu können.

Abbildung 6.33 – Q-Kriterium von 0,0014 druckseitig

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Abbildung 6.34 – Q-Kriterium von 0,0014 saugseitig

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7. Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wurde sowohl eine Windenergieanlage vom Durchmesser 54 m

aerodynamisch dimensioniert, konstruiert als auch unter aerodynamischen Gesichtspunkten

simuliert. Festigkeitsbetrachtungen erfolgten keine.

Qualitativ wurden Strömungsgrößen ermittelt, die mit der Theorie von Betz

(Anströmgeschwindigkeit wird abgebremst) und Rankine-Froude (Stromröhre weitet sich

auf, da in der Rotorebene eine mittlere Geschwindigkeit aus An- und Abströmung gilt)

übereinstimmen. Quantitativ können die Berechnungsergebnisse allerdings nur grob

bewertet werden, da es sich bei der Windturbine um eine fiktive Maschine handelt, zu der

keine Messdaten vorliegen.

Die Maschine wurde zwar als rotationssymmetrischer Drittelschnitt ökonomisch mit

periodischen Randbedingungen in Umfangsrichtung simuliert, dennoch war die

Netzauflösung mit Netzschrittweiten von bis zu 2,5 m erheblich zu grob, um Detailanalysen

zu ermöglichen. Weder Strömungsablösung an einzelnen Profilschnitten noch

aerodynamische Verluste können aufgrund des erheblich zu groben Netzes zuverlässig

bewertet werden. Dennoch zeigen die Ergebnisse ein prinzipiell richtiges Vorgehen, das

ohne weiteres mit einem erheblich höheren Rechenaufwand zu realistischen Ergebnissen

führen würde. Vermutlich muss das Gitter um einen Faktor 10 bis 100 verfeinert werden, so

dass mit Rechenzeiten von einigen Tagen eventuell sogar mehreren Wochen, statt wie im

Rahmen der vorliegenden Studie von einigen Stunden zu rechnen ist.

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Literaturverzeichnis

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Erneubaren Energien an der Deckung des Strombedarfs in 2010. Berlin.

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Anhang

Stoffdaten der Luft

Temperatur 25°

Dichte 1,185 kg m-³

Kin. Viskosität 1,5452 10-5 m2 s--1

Umgebungsdruck 1 Bar

Ermittlung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte mit XFOIL

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Plots

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Schubkraft (λ=7,07/c1=12m/s)

Fs analytisch Fs numerisch Fs analytisch - verlustbehaftet

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Schubkraft (λ=7,07/c_wind=5m/s)

Fs analytisch Fs numerisch Fs analytisch - verlustbehaftet

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Schubkraft (λ=7,07/c_wind=5m/s)

Fs analytisch Fs numerisch Fs analytisch - verlustbehaftet

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Schubkraft (λ=7,07/c1=12m/s)

Fs analytisch Fs numerisch Fs analytisch - verlustbehaftet


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