WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 1/15
WaCa – Mathematisches Modell
Dmitrij Kopanev20.03.12
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 2/15
WaCa – Mathematisches Modell.
Der Gesamtwiderstand F wird bei einem Schrittraupenwasserfahrzeug mit zwei Schwimmraupen auf folgende Komponenten unterteilt:
Fw – Wasserwiderstand beim eintauchen der SchwimmkorperFWellen – Wellenwiderstand beim Stellen und Aufheben der Schwimmkorper
FWellen = FWellen_down + FWellen_upFReibung – Reibungswiderstand beim Stellen und Aufheben der Schwimmkorper
FWasserReibeung_down = FWasserReibeung_down + FWasserReibeung_downFroll – Rollwiderstand beim Rollen von Schwimmkörper auf Schienen.
Hier ist darauf zu achten, dass die momentan oberen Schwimmkörper nur jeweils eigene Masse Tragen, währen die momentan unteren – das Gewicht des Rumps ohne Schwimmkörper und das Gewicht der Oberen Schwimmkörper. So können daraus zwei Komponenten abgeleitet werden:
Froll_oben – Rollwiderstand beim Rollen von oberen Schwimmkörper auf Schienen.Froll_unten – Rollwiderstand beim Rollen von unteren Schwimmkörper auf Schienen.
Fluft – LuftwiderstandDer Luftwiderstand kann in zwei Komponenten unterteilt werden:Fluft_rumpf – Luftwiderstand des gesammten Rumfs.Fluft_sk – Luftwiderstand von den nach vorne bewegten Schwimmkörpern.
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 3/15
Geometrie
Bild Geometrie-Seite
Bild Geometrie-Front
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 4/15
Geometrie und Gewicht
Achsenabstand der Schwimmraupe 2,00 m
Länge der Tauchkurve 0,40 m
Antriebsradius 0,16 m
Umfang Schienenring 5,00 m
1,60 m
Masse [kg] m 12 kgAnzahl Schwimmkörper bei einer Swimmraupe: 18 Stück
Schrittweite S 0,28 mAnzahl Schwimmkörper gesamt 36 Stück
Anzahl Schwimmkörper im Wasser 12 Stück
Volumen eines Schwimmkörpers im Wasser 0,001043 m³
Radius Schwimmkörper 0,069248 m
Schrittfaktor (muss >= 1 sein) 1,003804
Querschnittsfläche des Schwimmkörpers 0,03 m²
Radius Schwimmkörperrads 0,006925 m
Länge L 2,62 mHöhe der Tauchkurve 0,09 m
Tauchwinkel 0,23 rad
Tauchwinkel 40,83 °
Tauchradius 1,78 m
Schienenringhöhe 0,40 m
Höhe des Schwimmkörpers mit SKWagen 0,16 m
Höhe des Rumpfs H 0,59 mBreite der Rumpfmitte 0,42 m
Breite eines RaupenRumpfs 0,21 m
Breite des Rumpfs B 0,62 mQuerschnittsfläche des Rumpfes 0,27 m²
LAchsen
Ltauch
rantrieb
Uschienen
(ungenau) Uschienen
= 2 PI rantrieb
+ 2 Lachsen
Länge des Schienenringanteils mit Schwimmkörper im Wasser
Lschienen_unten
Lschienen_unten
= LAchsen
– (2 Ltauch
)/2
Nsk1SR
S = Uschienen
/ Nsk1SR
Nsk
NSR
= 2 Nsk1SR
NSKWasser
NSRWasser
= NSR
Lschienen_unten
/ Uschienen
VSK_wasser
VSK_wasser
= (m / NSRwasser
) / rowasser
rSK
rSK
ca. = POTENZ(VSK_wasser
/PI; 1/3)S / (4 r
SK)
AQSK
AQSK
= 2 PI rSK
²rSKRad
rSKRad
= rSK
/10L = L
achsen + 2 r
antrieb + 4 r
SK + 4 r
SKRad
Htauch
Htauch
= 4 rSK
/ 3α
tauchα
tauch = arctan( H
tauch / L
tauch )
αtauch
rtauch rtauch = Ltauch / sin(α tauch)
Hschienenring
Hschienenring
= Htauch
+ 2 rantrieb
- rantrieb
Htauch
/ rtauch
HSK
HSK
= 2 rSK
+ 3 rSKRad
H = Hschienenring
+ HSK
+ 4 rSKRad
Bmitte
BMitte
= 6 rSK
B
raupeB
raupe = 3 r
SK
B = 2 Braupe
+ Bmitte
= 12 rSK
AQRumpf
AQRumpf
= H Braupe
+ 0,6 H Bmitte
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 5/15
Fwd – (Fwasserdruck) Statische Auftriebskraft
Betrachte den Zustand eines unteren Scwimmkörpers in dem Wasser.Die Auftriebskraft ist
FA_SK = mW_SK g = VW_SK rhoW g
wobei mW_SK die Masse des verdrängter Wasservolumens ist.
Für einen zum Teil sich im Wasser befindenden kugelförmigen Schwimmköeper gilt für das verdrängte Wasservolumen VW_SK das Volumen einer Kugelkalotte mit Höhe h und Kugelradius r: VW_SK = Pi h²/3 * (3r - h)
Wenn der kugelförmiger Schwimmköeper sich zu 2/3 des Diameters im Wasser befindet, gilt mit h = 4/3 rSK: VW_SK = Pi (4/3 rSK)²/3 * (3rSK - 4/3 rSK) = Pi rSK³ * 16/27 * 5/3 = Pi rSK³ * 80/81
Näherung: Von einem zu 2/3 der Höhe im Wasser stehenden kugelförmigen Schwimmkörper verdrängte Wasservolumen ist
VW_SK = Pi rSK³ * 80/81 = ca Pi rSK³
Auf jeden unteren Schwimmkörper wirkt somit eine AuftriebskraftFA_SK = Pi rSK³ rhoW g
Bei NSK_R Schwimmkörper einer Schrittrauperaupe sind ca. (N - 2)/2 Schwimmkörper im Wasser. Bei einem Schrittraupenwasserfahrzeug mit zwei Schrittraupen mit gesamt Anzahl der Schwimmkörper NSK_2R sind NSK_2R_unten = (NSK_2R - 4)/2 Schwimmkörper im Wasser.
Anzahl vom unteren Schwimmkörper bei einem Schrittraupenwasserfahrzeug mit zwei Schrittraupen ist
NSK_2R_unten = (NSK_2R - 4)/2
Die gesamte Auftriebskraft auf das Fahrzeugs ist dann FA_Fahrzeug = FA_SK (NSK_2R - 4)/2 = Pi rSK³ rhoW g (NSK_2R - 4)/2
Die zulässige Gesamtgewicht des Fahrzeugs:
mFahrzeug_max = Pi rSK³ rhoW (NSK_2R - 4)/2
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 6/15
Fw – Wasserwiderstand beim Stellen und Aufheben der Schwimmkorper
FWellen – Wellenwiderstand beim Stellen und Aufheben der Schwimmkorper FWellen = FWellen_down + FWellen_up
FReibung – Reibungswiderstand beim Stellen und Aufheben der SchwimmkorperFWasserReibeung_down = FWasserReibeung_down + FWasserReibeung_down
Research:• Suche nach FEM Wasser ergab spontan keine Ergebnisse.• Suche nach passenden Formeln ergab Information nur zur Berechnung der Reibung einer
Kugel im Wasser.
Modell – Aufheben von Schwimmkörper:
Im Bild ist die Auftauchbewegung des Schwimmkörpers einer Schwimmraupe am Heck des Fahrzeugs im Koordinatensystem des Rumpfs dargestellt. Betrachtet wird die Zeitspanne von t0 – Anfang der Auftauchens des Schwimmkörpers, bis dem Zeitpunkt t1 – der Schwimmkörper ist vollständig über der Wasserlinie.
Der Winkel AK und der Radius r AK beschreiben die gestrichelt markierte Autauchkurve der Schwimmkörper.
Bewegt sich der Fahrzeug mit Geschwindigkeit vR, so ist die horizontale und vertikale Geschwindigkeit der auftauchenden Schwimmkörper:
in Koordinaten des Rumpfes:vSKx = cos( SK t ) vR rAK / (rAK - hSK)vSKy = sin( SK t ) vR rAK / (rAK - hSK)
und in Koordinaten des Wassers:vSKx = cos( SK t ) vR rAK / (rAK – hSK) - vRvSKy = sin( SK t ) vR rAK / (rAK - hSK)
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 7/15
Näherung:Geschwindigkeit der Schwimmkörper gegenüber dem Wasserbei 0 < αSK(t ) < αAK , αAK = π /6 und rAK >> hSK kann wie folgt genähert werden:
vSKx = cos( αSK (t ) ) vR rAK / (rAK – hSK) - vR = vR - vR = 0
vSKy = sin( αSK (t ) ) vR rAK / (rAK – hSK) = sin( αSK (t ) ) vR
Das heißt, dass die Schwimmkörper nahezu vertikal nach oben aus dem Wasser gehoben werden.
Bei kleinen Winkel ( SK t < /6 ) ist sin( SK t ) = t vR / rAK .
Die vertikale Aufhebe-Geschwindigkeit eines Schwimmkörpers zum Zeitpunkt t1, wenn die untere Seite des Schwimmkörpers die Wasserlinie berührt, ist:
vSKy = t (vR /rAK ) vR = t (v²R /rAK )
Die Schwimmkörper werden mit der Beschleunigung:
aSKy= v²R /rAK
vertikal aus dem Wasser gehoben.
Die statischer Auftriebskraft bei Nullbeschleinigung ist
Fauftrieb = Vwasser * rowasser * g
Doch wenn ein Schwimmkörper mit der Beschleunigung aSKy aus dem Wasser gehoben wird, reduziert sich die Kraft FSKy auf:
FSKy(t) = Fauftrieb(t) - FSKyWellen(t) = Vwasser(t) * rowasser * (g - aSKy)
Diese Kraft ist positiv bei g > aSKy d.h. bei v Rg r AK .
Dabei ist die Verlustkraft, die für die Wellenbildung sorgt:
FSKyWellen(t) = Vwasser(t) * rowasser * aSKy
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 8/15
Aus Formel für FSKy(t) folgt, dass biem Auftauchen eines Schwimmkörpers, eine Anteil der ursprunglichen Potentiellen energie in die kinetische Energie des Wassers, also in dieWellenbildung übergeht. Dieser Anteil ist proportional zu dem Faktor aSKy/g:
ESKupWellen = ESKpot * aSKy/g
ESKpot ist dabei die potentielle Energie des verdrängten Wasser bei Zeitpunkt t0.Für einen kugelförmigen Schwimmkörper, der zu 2/3 der Höhe in das Wasser eingetaucht ist ist diese Energigie ca:
ESKpot = pi r4 g njuw * 0,12
Die durchschnittliche Verlustleistung für Wellen beim Aufheben der Schwimmkörper aus dem Wasser PupWellen hängt von der Verlustleistung für Wellen eines Schwimmkörpers ESKupWellen, der Geschwindigkeit des Fahrzeugs v, der Schrittweite S (= Abstand der Schwimmkörper zueinander) und der Anzahl der Schwimmraupen NSR ab:
PupWellen = ESKupWellen * v/S * NSR
Die entsprechende durchschnittliche Wiederstandskraft ist
FupWellen = PupWellen / v
Anahme:Beim Stellen der Schwimmkörper ins Wasser bilden sich genau so viele Wellen, wie beim Aufheben.
PdownWellen = PupWellen
PWellen = PupWellen + PdownWellen= 2 * PupWellen
Die gesamte Verlustleistung für Wellen ist:
PWellen = 2 * ESKupWellen * v/S * NSR
Die entsprechende durchschnittliche Wiederstandskraft ist
FupWellen = PWellen / v
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 9/15
Fwasserreibung – Reibungskraft
(vernachlässigbar)
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 10/15
Froll – Rollwiderstand beim Rollen von Schwimmkörper auf Schienen.
Hier ist darauf zu achten, dass die momentan oberen Schwimmkörper nur jeweils eigene Masse Tragen, währen die momentan unteren – das Gewicht des Rumps ohne Schwimmkörper und das Gewicht der Oberen Schwimmkörper. So können daraus zwei Komponenten abgeleitet werden:
Froll_oben – Rollwiderstand beim Rollen von oberen Schwimmkörper auf Schienen.Froll_unten – Rollwiderstand beim Rollen von unteren Schwimmkörper auf Schienen.
Aus Literetur: http://de.wikipedia.org/wiki/Rollwiderstand
Berechnung:
mR : Masse des Rumpfs ohne SchwimmkörpermSK : Masse eines SchwimmkörpersNSK : Anzahl von Schwimmkörpern gesamtr': Raduis eines Eisenbahnradscr': Rollwiderstandskoeffizient eines EisenbahnradsrRSK: Raduis eines Rads des Schwimmkörper
Bem: Die Berechnung des Rollwiderstandes ist von Anzahl der Räder unabhängig.
Froll_oben = cr' * (NSK/2 * mSK * g ) * ( rRSK: / r')
Froll_unten = cr' * ((mR + NSK/2 * mSK) * g ) * ( rRSK: / r')
http://de.wikipedia.org/wiki/Rollwiderstand
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 11/15
Fluft – Luftwiderstand
Der Luftwiderstand kann in zwei Komponenten unterteilt werden:Fluft_rumpf – Luftwiderstand des gesammten Rumfs.Fluft_sk – Luftwiderstand von den nach vorne bewegten Schwimmkörpern.
Aus Literetur: http://de.wikipedia.org/wiki/Strömungswiderstand
Laminare StrömungBei laminarer Strömung wird der Strömungswiderstand nur durch die innere Reibung des Mediums verursacht. Ist η die dynamische Viskosität des Mediums, so gilt für kugelförmige Körper vom Radius r das Stokessche Gesetz
Die Widerstandskraft FW ist proportional zum Produkt aus cW-Wert und Bezugsfläche welches als Widerstandsfläche bezeichnet wird. Man erhält die Strömungswiderstandkraft aus
Der Faktor: 1/2 * rho * v² wird als Staudruck bezeichnet.
Aus Typische cW-Werte ():
Berechnung:rhoLuft : Luftdichte bei 10° ist 1,25 kg/m³ (http://de.wikipedia.org/wiki/Luftdichte)AR : Querschnittsfläche des Rumpfs ohne SchwimmkorpercW_R: Wert für RumpfASK : Querschnittsfläche des SchwimmkörperscW_SK: Wert für SchwimmkörperNSK : Anzahl von Schwimmkörpern gesamt
FLuft_R = cW_R * AR * 1/2 * rhoLuft * v²
FLuft_SK = (2 + 0,3*(NSK-2)/2) * cW * AR * 1/2 * rhoLuft * (2*v)²
Bem.: Besser wäre die oberen Schwimmkorper abzudechen. Dann kann FLuft_R als der Luftwiderstand dem gesamtem Rumpf und FLuft_SK als der Luftwiderstand des "Zuges" im Tunnel mit Geschwindigkeit v betrachtet werden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Luftdichtehttp://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungswiderstand
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 12/15
Vergleiche nach nötiger Leistung:(Berechnung nach "WaCa_Berechnung_19" vom März 2012)
Maaße Maaße WaCa Einsparrung Kraftstoff
Classic Yacht: Gewicht: 55 t Geschw.: 10 Kn
Länge: 28 mBreite: 6,9m
112 kW(153 PS)
Länge: 50,61 mBreite: 9,43mHöhe: 7,17m
17,2 kW -84,00%
Fischerboot: Gewicht: 60 t.Geschw.: 10 Kn.
Länge: 39,3 mBreite: 9,5 m
368 kW(500 PS)
Länge: 52,72mBreite: 9,65mHöhe: 7,21m
18,5 kW -95,00%
Speed Yacht:Gewicht: 20 t.Geschw.: 40 Kn.
Länge: 20,5 mBreite: 5,9 m
2.206 kW(2 x 1.500 PS)
Länge: 34,67 mBreite: 7,50mHöhe: 6,30m
206,4 kW -90,00%
Vergleiche nach möglicher Geschwindigkeit:(Berechnung nach "WaCa_Berechnung_19" vom März 2012)
Maaße Geschw. Maaße WaCa Geschw.Classic Yacht: Gewicht: 55 tLeistung: 112 kW (153 PS)
Länge: 28 mBreite: 6,9m
10 Kn Länge: 50,61 mBreite: 9,43mHöhe: 7,17m
26,2 Kn +160%
Fischerboot: Gewicht: 60 t.Leistung: 368 kW(500 PS)
Länge: 39,3 mBreite: 9,5 m
10 Kn. Länge: 52,72mBreite: 9,65mHöhe: 7,21m
39,9 Kn +300%
Speed Yacht:Gewicht: 20 t.Leistung: 2.206 kW(2 x 1.500 PS)
Länge: 20,5 mBreite: 5,9 m
40 Kn. Länge: 34,67 mBreite: 7,50mHöhe: 6,30m
89,5 Kn +110%
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 13/15
Beispiel Energieverteilung bei 40 Knoten:
Beispiel Energieverteilung bei 10 Knoten:
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 14/15
WaCa – Mathematisches Modell, Dmitrij Kopanev, 20.03.12 15/15
Strategie
Laminare Strömung