Vorwort
Günter M. Gramlich
Lineare Algebra
Eine Einführung
ISBN: 978-3-446-43035-8
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8
sowie im Buchhandel.
© Carl Hanser Verlag, München
Vorwort
Vorlesungen zur Linearen Algebra gehoren zu den Pflichtveranstaltungen dermathematischen Grundausbildung von allen Studierenden der ingenieurwis-senschaftlichen, wirtschaftwissenschaftlichen, naturwissenschaftlichen sowieinformations- und kommunikationstechnischen Fachrichtungen an Fachhoch-schulen, Hochschulen und Universitaten.
Das in einem Band erscheinende Arbeits- und Ubungsbuch zur Linearen Al-gebra in der Reihe
”Mathematik-Studienhilfen“ gibt eine knappe, konzen-
trierte Darstellung der wesentlichen Begriffe, Ergebnisse und Methoden undstellt das Einuben und Trainieren dieser anhand zahlreicher Beispiele mitvollstandigen Losungen in den Mittelpunkt. Das Buch eignet sich daher ins-besondere zum Selbststudium und zur Prufungsvorbereitung.
Die zentralen Gleichungen der Linearen Algebra sind lineare Gleichungssys-teme Ax = b und Eigenwertgleichungen Ax = λx. Es ist einfach faszinie-rend, wie viel man uber diese beiden Gleichungen sagen (und lernen) kann.Viele Anwendungen sind diskret und nicht kontinuierlich, digital anstatt ana-log und linearisierbar anstatt unberechenbar und chaotisch. Dann aber sindMatrizen und Vektoren die geeigneten Objekte und die Lineare Algebra dierichtige Sprache; an die Stelle von kontinuierlichen Funktionen treten Vekto-ren.
Unser Buch ist so angelegt, dass es in der vorgegebenen Reihenfolge, ohneAuslassungen, sicher aber mit haufigem Zuruckblattern, bearbeitet werdenkann. Die Satze sind grau unterlegt, durchnummeriert und (fast) jeder Satzmit einem Namen versehen. Eine Definition erkennt man nicht daran, dassdavor Definition steht, sondern daran, dass der zu definierende Begriff fettgedruckt ist. An zahlreichen Beispielen konnen Sie die zentralen Begriffe undMethoden der Linearen Algebra trainieren. Jedes Kapitel beinhaltet Aufga-ben, deren Losungen am Ende abgedruckt sind. Sie finden zwei Sorten vonAufgaben. Zum einen ganz einfache Kastchenaufgaben bzw. Richtig- oderFalsch-Aufgaben, diese dienen zur unmittelbaren Selbstkontrolle und zumanderen die eigentlichen Aufgaben. Bei diesen habe ich mich bemuht, keineunnotigen Tricks einzubauen, sondern Ihnen Erfolgserlebnisse zu ermoglichen.Das Sachwortverzeichnis ist recht ausfuhrlich angelegt, um das Auffinden vonDefinitionen und Erlauterungen beim Zuruckblattern oder bei der spateren
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Arbeit mit dem Buch zu erleichtern. Beweise habe ich nur dann gefuhrt, wennsie wesentlich zum Verstandnis der betrachteten Zusammenhange beitragen.In der Regel werden mathematische Satze jedoch nur formuliert und ihre Be-deutung wird an Beispielen aufgezeigt. Sind Sie an vollstandigen Beweiseninteressiert, so verweise ich Sie auf die angegebene Literatur.
Ich habe mich bemuht, Bezeichnungen konsistent uber das ganze Buch hin-weg zu verwenden. Punkte, Mengen und lineare Abbildungen werden mitgroßen lateinischen Buchstaben A, B, C usw. bezeichnet. Besonders wich-tige Mengen, wie zum Beispiel die reellen Zahlen R werden ebenfalls mitgroßen lateinischen Buchstaben geschrieben, daruber hinaus sind sie abernoch fett gedruckt. Reelle Zahlen sind kleine lateinische a, b, c, . . . odergriechische Buchstaben α, β, γ, usw. Vektoren und Matrizen sind fett undkursiv geschrieben; Vektoren sind kleine (a, b, c usw.) und Matrizen sindgroße lateinische Buchstaben (A, B, C usw.).
Das vorliegende Buch habe ich vollstandig in LATEX mit der Hauptklassescrbook des KOMA-Script Pakets erstellt. Die Literaturhinweise wurden mitBibTEXund der Index mit MakeIndex erzeugt. Alle Bilder wurden mithilfevon PSTricks erstellt. Ohne diese schonen Tools ware dies alles viel schwieri-ger gewesen.
Fur jede Anregung, nutzlichen Hinweis oder Verbesserungsvorschlag bin ichdankbar. Sie konnen mich uber Post oder E-Mail [email protected] er-reichen. Auch nachdem das Buch in Druck gegangen ist, wird es weiterleben.So finden Sie auf meiner Homepage www.hs-ulm.de/gramlich eine standigaktualisierte Fehlerliste zu diesem Buch, die .bib-Datei, in der die von mirangegebene Literatur steht und weitere interessante Links zur Linearen Al-gebra.
Ich danke meinem Kollegen Klaus Ressel und meinen (ehemaligen) Stu-denten Karin Lehner, Christian Beck und Stefan Polzer, die durchHinweise auf Druck- oder Denkfehler, oder einfach durch ihr fachliches oderdidaktisches Interesse an diesem Buch und seinem Inhalt, zur Verbesserungdes Textes beigetragen haben. Dank an Herrn Engelmann fur die Aufnahmein diese Reihe, sowie an Frau Fritzsch und an Frau Wulst fur die vielenHinweise zur Gestaltung dieses Buchleins.
In der dritten Auflage habe ich an zahlreichen Stellen Anderungen, Glattungen,Verbesserungen und Erweiterungen vorgenommen.
Ulm, im Sommer 2011 Gunter M. Gramlich
Leseprobe
Günter M. Gramlich
Lineare Algebra
Eine Einführung
ISBN: 978-3-446-43035-8
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sowie im Buchhandel.
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Wir konnen dies auch so sagen: Wir identifizieren (2,1)-Spaltenmatrizen mitVektoren (oder Punkten) aus R2, das heißt die Menge R2 und R2×1 werdenmiteinander identifiziert. Einen Vektor v aus R2 durfen wir daher so
v = (v1, v2) oder so v =
[v1v2
]schreiben. Die erste Schreibweise hat den Vorteil, dass sie aus schreibtechni-schen Grunden platzsparender ist; die zweite, dass sie besser zur Matrizen-rechnung passt, wie wir gleich sehen werden. Damit gilt
R2 = {(v1, v2) | v1, v2 ∈ R} = {[
v1v2
]| v1, v2 ∈ R}.
Alle Uberlegungen gelten analog auch fur Vektoren aus R3. Damit konnenwir Elemente aus R2 (bzw. aus R3) wie folgt interpretieren:
• Als geordnete Zahlenpaare (Tripel).
• Als Punkte der Ebene (des Raumes).
• Als Vektoren in der Ebene (im Raum).
• Als (2, 1)-Spaltenmatrix ((3, 1)-Spaltenmatrix).
2.3 Rechenregeln fur Vektoren in Koordinatendarstellung
Fur Vektoren in der Ebene und im Raum mit einem rechtwinkligen Koordi-natensystem lassen sich nutzliche Rechenregeln aufstellen. Diese Regeln sinddie gleichen wie die in den Satzen 2.1 und 2.2. Geometrische Vektoren sindjetzt Vektoren in Koordinatendarstellung. Zum Beispiel lautet das Kommuta-tivgesetz: Fur beliebige Vektoren u,v in R2 oder in R3 gilt u+v = v+u. Dieanderen Rechenregeln kann man analog den Satzen 2.1 und 2.2 entnehmen.
2.4 Die Lange von Vektoren
Es sei v ein Vektor in der Ebene mit einem rechtwinkligen Koordinatensys-tem. Welche Lange hat der Vektor v? Wir bezeichnen die Lange von v mit|v| und wollen eine Formel zur Berechnung dieser finden.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt |v|2 = v21 + v22 , also ist die Lange vonv durch die Formel |v| =
√v21 + v22 gegeben, siehe Bild 2.12.
2.4 Die Lange von Vektoren 59
60 2 Vektoren in der Ebene und im Raum
!
x
y
v = (v1, v2)
|v|
v1
v2
Bild 2.12: Lange in der Ebene
x
y
z
v = (v1, v2, v3)
v1
v2
v3
|v|
Bild 2.13: Lange im Raum
Satz 2.3 (Lange eines Vektors im R2)Die Lange |v| eines Vektors v ∈ R2 ist
|v| =√
v21 + v22 .
Beispiel 2.6
Welche Lange hat der Vektor v = (4,−3)?Losung : Die Lange des Vektors v ist
|v| =√
42 + (−3)2 =√16 + 9 = 5. !
Nun sei v = (v1, v2, v3) ein Vektor aus dem Raum R3. Durch zweifache An-wendung des Satzes von Pythagoras (siehe Bild 2.13) gilt |v|2 = v21+v22+v23und damit
|v| =√
v21 + v22 + v23 .
Satz 2.4 (Lange eines Vektors im R3)Die Lange |v| eines Vektors v ∈ R3 ist
|v| =√
v21 + v22 + v23 .
2.4 Die Lange von Vektoren 61
Beispiel 2.7
Welche Lange hat der Vektor v = (4,−3, 2) ∈ R3?
Losung : Die Lange des Vektors v ist
|v| =√42 + (−3)2 + 22 =
√16 + 9 + 4 =
√29 ≈ 5.3852. !
Statt Lange sagt man auch Betrag oder Norm. Ein Vektor der Lange 1heißt Einheitsvektor.
Die Vektoren e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1) sind Einheitsvektoren in der EbeneR2 und die Vektoren i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) und k = (0, 0, 1) sind Einheits-vektoren im Raum R3. Aber auch der Vektor v = (1/
√3, 1/√3, 1/√3) ist ein
Einheitsvektor im R3.
Mithilfe der Lange eines Vektors lasst sich die geometrische Frage nach demAbstand zweier Punkte P1 = (x1, y1, z1) und P2 = (x2, y2, z2) im Raum
beantworten. Wir wissen aufgrund obiger Uberlegungen, dass−−−→P1P2 = (x2 −
x1, y2 − y1, z2 − z1) ist, also ist
−−−−→|P1P2| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
der Abstand von P1 zu P2 im Raum. Analog gilt fur zwei Punkte P1 = (x1, y1)und P2 = (x2, y2) in der Ebene R2
−−−−→|P1P2| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Satz 2.5 (Abstand zweier Punkte)Der Abstand zweier Punkte P1 = (x1, y1, z1) und P2 = (x2, y2, z2) im Raumist
−−−−→|P1P2| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.
Analog fur zwei Punkte in der Ebene.
Beispiel 2.8
Berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte P1 = (2,−1,−5) undP2 = (4,−3, 1) im Raum R3.
Losung : Es ist
−−−−→|P1P2| =√
(4− 2)2 + (−3− (−1))2 + (1− (−5))2=√4 + 4 + 36 = 2
√11 ≈ 6.6. !
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7 Eigenwerte und Eigenvektoren
Ist A ∈ Rn×n und x ∈ Rn, so liegen zwar beide Vektoren x und Ax imVektorraum Rn, aber es gibt im Allgemeinen keine geometrische Beziehungzwischen ihnen, siehe Bild 7.1.
x
Ax
Bild 7.1: x und Ax
x
Ax
Bild 7.2: x und Ax parallel
Oftmals existieren jedoch von Null verschiedene Vektoren x, sodass x undAx parallel sind, das heißt, x und Ax sind skalare Vielfache voneinander,siehe Bild 7.2.
Solche Vektoren ergeben sich in naturlicher Weise bei der Untersuchung vonelektrischen Systemen, mechanischen Schwingungen, chemischen Reaktionensowie aus der Genetik, Quantenmechanik, Okonomie und Geometrie. In die-sem Kapitel wollen wir zeigen, wie man diese Vektoren findet. Beachten Sie,dass fur x = o auch Ao = o ist, das heißt, Ao ist ein Vielfaches des Null-vektors. Daher sind wir wirklich nur an solchen Vektoren in Rn interessiert,die nicht gleich dem Nullvektor sind.
Ist λ eine reelle Zahl und x .= o ein Vektor in Rn mit
Ax = λx,
so sagen wir, dass λ ein Eigenwert von A ist und x ein zu λ dazugehorigerEigenvektor. Das Paar (λ,x) heißt Eigenpaar.
173
Beispiel 7.1
Zeigen Sie, dass der Vektor x = (1, 1) ein Eigenvektor zum Eigenwertλ = 2 der folgenden Matrix ist:[
1 1−2 4
].
Losung : Es gilt
Ax =
[1 1−2 4
] [11
]=
[22
]= 2x,
das heißt, x = (1, 1) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert λ = 2. !
Eigenwerte und -vektoren konnen im R2 und R3 geometrisch interpretiertwerden. Ist x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, also Ax = λx, sofuhrt die Multiplikation von x mit A zu einer Streckung oder Stauchung vonx, wobei fur negatives λ noch eine Richtungsumkehrung dazukommt, sieheBild 7.3.
0 ≤ λ ≤ 1 λ ≥ 1 −1 ≤ λ ≤ 0 λ ≤ −1
x λx x
x
λx x λx
λx
Bild 7.3: x und λx
Wenn der Vektor x .= o Eigenvektor zur MatrixA ist, dann sind die Vektorenx und Ax linear abhangig.
Die EinheitsmatrixE (der Ordnung n) hat nur den Eigenwert λ = 1 und jederVektor x .= o ist Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1, denn es ist Ex = 1 · x.Ist (λ,x) ein Eigenpaar zur Matrix A, dann gilt A2x = A(Ax) = Aλx =λAx = λ2x und allgemein fur k = 0, 1, 2, . . .
Akx = λkx.
Ist also (λ,x) ein Eigenpaar von A, dann ist (λk,x) ein Eigenpaar von Ak
fur k = 0, 1, 2, . . .
174 7 Eigenwerte und Eigenvektoren
7.1 Wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren?
Hierzu schreiben wir die Gleichung Ax = λx als
Ax = λEnx oder aquivalent (λEn −A)x = o.
Damit λ ein Eigenwert von A ist, muss diese Vektorgleichung bzw. dieseshomogene lineare Gleichungssystem eine nicht triviale Losung besitzen. NachSatz 6.9 ist dies genau dann der Fall, wenn
Det(λEn −A) = 0.
Diese Gleichung heißt charakteristische Gleichung von A; ihre Losungensind die Eigenwerte von A. Berechnet man Det(λEn−A) = 0, so ergibt sichein Polynom in λ, das als charakteristisches Polynom von A bezeichnetwird. Das charakteristische Polynom einer Matrix aus Rn×n hat den Gradn und den fuhrenden Koeffizienten 1. Demzufolge hat das charakteristischePolynom einer (n, n)-Matrix die Form
λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0.
Da die charakteristische Gleichung
λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0 = 0
nach dem Fundamentalsatz der Algebra hochstens n verschiedene Losungenhat, besitzt eine (n, n)-Matrix hochstens n Eigenwerte.
Beispiel 7.2
Gegeben sei die Matrix
A =
[1 1−2 4
].
Berechnen Sie die Eigenwerte und die dazugehorigen Eigenvektoren.
Losung : Wir suchen alle reelle Zahlen λ und alle Vektoren x = (x1, x2), dieder Gleichung[
1 1−2 4
] [x1
x2
]= λ
[x1
x2
]genugen. Ausgeschrieben erhalten wir
x1 + x2 = λx1
−2x1 + 4x2 = λx2
7.1 Wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren? 175
bzw.
(λ− 1)x1 − x2 = 0
2x1 + (λ− 4)x2 = 0.
Dies ist ein homogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen undzwei Gleichungen, das nur dann eine nicht triviale Losung hat, wenn dieDeterminante der Koeffizientenmatrix Null ist, also
Det
[λ− 1 −12 λ− 4
]= 0.
Dies bedeutet
λ2 − 5λ+ 6 = 0
bzw. faktorisiert
(λ− 3)(λ− 2) = 0,
also sind
λ1 = 2 und λ2 = 3
die Eigenwerte der Matrix A.
Um nun alle Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ1 = 2 zu finden, setzenwir 2 fur λ in die Vektorgleichung[
1 1−2 4
] [x1
x2
]= λ
[x1
x2
]ein und erhalten[
1 1−2 4
] [x1
x2
]= 2
[x1
x2
],
bzw.
x1 − x2 = 0
2x1 − 2x2 = 0.
Alle Losungen dieses homogenen linearen Systems sind durch
x1 = x2
x2 = jede reelle Zahl t
