Die Disquisitiones Arithmeticae

von Karl Friedrich Gauss

Quelle: Goldstein, The Shaping of Arithmetics 2007

Ein Vortrag von: Christine Kottmann Lukasz DworzeckiSteffen Winkler

Vortragsteil 1:

Die Herausbildung der Zahlentheorie als Kerngebiet der reinen Mathematik

Inhalt:

•Einleitung und der Weg bis zur Veröffentlichung

•Der Inhalt der Disquisitionen

•Die frühen Jahre

•Der Siegeszug

•Der Umgang verschiedener Mathematiker mit den Disquisitionen

•Fazit

•Ein abschließendes Wort

A Book in Search of Discipline

Einleitung:

Dank der Veröffentlichung der Disquisitiones Arithmeticae (im Folgenden als „D.A.“ bezeichnet) von Carl Friedrich Gauss, im Jahre 1801, wurde der Bereich der Zahlentheorie zu einem eigenständigen Gebiet der Mathematik.

Die D.A. umfassen 665 Seiten, 355 Artikel und 7 Kapitel

Der Weg bis zur Veröffentlichung:

Einige Stichpunkte:

1792 : Empirische Untersuchungen zu arithmetischen Fragen1796: Zahlentheoretische Abhandlung1797: Verbesserung der Ursprungsversion 1798: Der Druck des Buches beginnt 1801: Veröffentlichung der D.A.

Zum Inhalt der Disquisitionen: Eine Kapitelübersicht

Kapitel 1: Einführung eines neuen Begriffs und einer Notation, die, neben ihrer elementaren Natur, die Anwendung der Zahlentheorie verändert hat:

„Zwei Zahlen b und c nennt man kongruent bezüglich einer Zahl a, wenn a die Differenz von b und c bemisst, sonst inkongruent. Man nennt b und c dann Restklasse voneinander, sonst Nicht-Restklasse.“

Zum Vergleich:Man nennt zwei Zahlen kongruent bezüglich eines Moduls (eine weitere Zahl), wenn sie bei Division durch den Modul denselben Rest haben. (Quelle: Wikipedia.de)

Kapitel 2:Behandelt verschiedene Theorien zum Bereich der ganzen Zahlen, unter anderem eine bisher einzigartige Methode der Primzahlzerlegung von ganzen Zahlen.

Kapitel 3:Beschäftigung mit geometrischen Inhalten, Diskussion der Periode von a mod p (mit p prim und p teilt nicht a), Diskussion des Theorems von Fermat.

Kapitel 4:Beinhaltet die systematische Entwicklung einer Theorie von quadratischen Restklassen.

Kapitel 5:Kapitelüberschrift: „Formen und unbestimmte Gleichungen vom Grad 2“

in Binär- und Ternärdarstellung (Zur Basis 2 bzw. 3)

Zweite Hälfte Kapitel 5:Festlegung eines Algorithmus zum Finden eines passenden Repräsentanten, für jede Klasse von quadratischen Formen, von einer gegebenen Determinante.Dadurch: Vermeidung der Arbeit mit den unendlichen Klassen (Gauss hat nie mit dem uns bekannten Z/pZ gearbeitet).

dieses Kapitel umfasst mehr als die Hälfte des Buches

Kapitel 6:Anwendungen, die das Rechnen in den Vordergrund stellen.Partialbruchzerlegung, Entwicklung von Dezimalen, quadratische Kongruenzen.

Kapitel 7: (Der vielleicht berühmteste Teil)Bedingungen der Konstruierbarkeit von regelmäßigen Polygonen mit Lineal und Zirkel und Vorstellung der Gauss‘schen Summenformel.

Die Frage nach dem Zusammenhang:

Wo ist der Zusammenhang zwischen Kapitel 7 und Den restlichen sechs Kapiteln?

Im ursprünglichen Skript (vor der Überarbeitung im Jahr 1797) gab es noch ein zusätzliches, aber unvollständiges Kapitel 8 über höhere Kongruenzen

Die frühen Jahre der Disquisitionen:

• Fanden zunächst kaum Beachtung in Deutschland, wohl aber in Frankreich

• Zahlentheorie wird eher als Ergänzung der Mathematik gesehen

• Langsamer Start auch in England, dort aber bis 1830 stetig weiter verbreitet

Zwei Standpunkte waren typisch für die erste Lesergeneration der D.A.:

1)Wenn die Mathematiker überhaupt in die Themen involviert waren, die Gauss hier anspricht, dann beanspruchten diese nur einen sehr kleinen Platz zwischen allen anderen Forschungsbereichen.

2)Die Mathematiker, die sich detailierter mit dem Thema auseinander setzten, nahmen selbst nur eine Randposition in der mathematischen Gesellschaft ein.

Legendre:

One would have wished to enrich this Essay with a greater number of the excellent materials which compose the work of Gauss: But the methods of this author are so specific to him that one could not have, without extensive detours and without reducing oneself to the simple role of a translator, benefit from his other discoveries.

Der Siegeszug:In den 1820ern wurde das Interesse für die D.A. inDeutschland endlich größer. Das lässt sich durch zwei zusammenhängendeHauptfaktoren erklären: • Der kulturelle Aspekt: (Erneuerung der deutschen Mathematik im Zuge der Folgen

des Krieges gegen Napoléon)

• Der mathematische Aspekt: Die Gründung der Berliner Universität (19.05 .1789)

Zitat von Abel (1825): „Die jungen Mathematiker in Berlin und, wir ich höre, in ganz Deutschland, beten Gauss nahezu an; er ist der Inbegriff aller mathematischen Excellenz“.

Weitere Wegbereiter:

•Die Akzeptanz der komplexen Zahlen und Gauss’ Publikation biquadratischer Restklassen

•die Integration der Fourieranalyse in die Zahlentheorie

•die Theorie von den elliptischen Funktionen

Der Sommer 1845:In Berlin werden von Eisenstein zwei Vorlesungenangeboten, die, zusammengenommen, eine Einführung derarithmetisch algebraischen Analysis darstellten:

„Die Integralrechung als Quelle der transzendenten Funktionen“

und

„Erläuterungen der D.A. von K.F. Gauss mit speziellen Untersuchungen über die Kreisteilung“

Hierauf folgte nach und nach die Trennung der reinenAnalysis von der arithmetischen Analysis.

Nach der Hälfte des Jahrhunderts würde diese Verselbständigung der analytischen Techniken von ihren algebraischen Wurzeln, ebenso wie der Wunsch die Analysis aus zahlentheoretischen Beweisen zu eliminieren, dazu beitragen, dass arithmetische und algebraische Analysis auseinander gerissen werden.

Der Impuls für die weit reichenden Entwicklungen kam letztendlich durch eine fünfseitige Notiz von Jacobi im Jahr 1839. Diese beinhaltete nur wenige Beweise und beschäftigte sich mit den komplexen Primzahlen. In dieser Abhandelung stellte er einige sehr spezielle und vor Allem unbewiesene Thesen auf.

Der Umgang verschiedener Mathematiker mit den Disquisitionen:

Hermite:

Benutzte die französische Übersetzung von 1843.Drang sehr tief in die Theorie der Invarianten ein und förderte die Sichtweise der allgemeinen komplexen Funktionen als bedeutendes Thema.

Kummer:

Beschäftigte sich ab den 1830er Jahren zunächst mit verschiedenen Differentialgleichungen und Reihen, bis er sich schließlich der Zahlentheorie zuwand.

Beschäftigung mit dem Bereich bis 1860er

Eisenstein und Kronecker:

Studium der komplexen Multiplikation elliptischer Funktionen mit der dritten und vierten Einheitswurzel

1835 Kronecker-Weber-Theorem (direkte Anwendung von Kummers Artikel)

Allgemein zu den Mathematikern, die sich mit den D.A. beschäftigt haben:Alle Akteure, die an den genannten Forschungen beteiligt waren, sind durch ein enges Kommunikationsnetzwerk miteinander verbunden. Motto: „Die Einheit innerhalb des spezifischen Gebietes erfordert das Streben der Mathematiker, die daran Arbeiten nach einer Einheit.“

Fazit:

In der Mitte des 18 Jahrhunderts hatten die D.A. in zahlreichen Gebieten mathematischer Forschung ihre Abdrücke hinterlassen: Arithmetik, Gleichungstheorie und alle Gebiete, in denen Determinanten und Substitutionen gebraucht werden.

Gauss stellte in seiner Arbeit heraus, was Zahlentheorie ist und sein sollte: Die Beschäftigung mit Kongruenzen und Formeln mit ganzzahligen Koeffizienten.

Dank ihm erhielt das Gebiet der Zahlentheorie die Möglichkeit, als eigenständige, akademische Disziplin Beachtung zu finden.