Vorlesung Statistik I Grundlagen sozialwissenschaftlicher Datenanalyse (B.MZS.11: Statistik I) LE 6:...

Vorlesung Statistik I

Grundlagen sozialwissenschaftlicher

Datenanalyse

(B.MZS.11: Statistik I)

• LE 6: Streuungsmaße und weitere Kenngrößen• LE 7: Lineartransformationen (und Zusammenfassungen

von Gruppen)


Streuungsmaße für nominalskalierte Variablen

gültigeKonfession Häudigkeit Prozent Prozentevang. ohne Freikirchen 1169 34.2 34.3evang. Freikirche 89 2.6 2.6Römisch-katholisch 1042 30.5 30.6andere christl. Religion 76 2.2 2.2nicht-christliche Religion 138 4.0 4.1ohne Religionszugehör. 890 26.0 26.2verweigert 10 0.3 --keine Angabe 8 0.2 --Total: 3422 100.0 100.0Gültige Fälle 3404 Fehlende Fälle: 18(Allbuss 2006 Ost-West-gewichtet)

Index qualitativer Variation: K

2k

k 1

KIQV 1 p

K 1

Beispiel: IQV = (1 .3432 .0262 .3062 .0222 .0412 .2622) 6/(61) = 0.861.Bei Gleichverteilung wird Maximum von 1 erreicht.

Absolute Devianz DX bzw. relativen Devianz dX:

K K

kX k k k

k 1 k 1

nD 2 n ln 2 n ln p

n

K

xX k k

k 1

Dd 2 p ln p

n

-2·nk·ln(pk) -2·pk·ln(pk)2501.718 0.73404 649.639 0.189782467.811 0.72471 580.140 0.16794 881.595 0.261922384.151 0.701859465.054 2.78024

K

X k kk 1

Kx

X k kk 1

D 2 n ln p 9465.054

Dd 2 p ln p 2.780

n


Devianz – Nominalskaliertes Streuungsmaß


Beispielaufgaben:

Wie berechnet sich Varianz und die relative Devianz für die Spalte der Datenmatrix ?

K

Y k kk 1

d 2 p ln p 2 1.8867 3.7734


Streuung von ordinalen Variablen

Für ordinale Variablen finden sich in der Literatur bislang keine speziellen Streuungsmaße. Bisweilen wird der Quartilabstand verwendet. Problematisch wegen Verwendung von Abstandsinformationen.Da die Messnievaus hierarchisch geordnet sind, kann auf Streuungsmaß für stets auf Kennwerte für ein niedrigeres Messniveau zurückgegriffen werden, also z.B. auf die Devianz. Aber: u-förmige Verteilungen lassen sich dann nicht erkennen, weil keine Ranginformation genutzt wird.

Alter in Jahren15202530354045505560657075808590

.000

.005

.010

.015

.020

.025

E

mp

iris

che

Dic

hte

Alter in Jahren

Mod

usM

edian

Mitt

elwertrechtsschiefe Verteilung

Schiefe

Hinweise auf die Schiefe (engl.: skewness)• Für unimodale, symmetrische Verteilungen gilt

Modus = Median = Mittelwert,bei mehrgipfligen, symmetrischen Verteilungen gilt:Median = Mittelwert;

• bei einer eindeutig rechtsschiefen Verteilung gilt:Modus < Median < Mittelwert;• bei einer eindeutig linksschiefen Verteilung gilt:

Modus > Median > Mittelwert.


Lerneinheit 6: Streuungsmaße und weitere Kenngrößen

Kennzeichen von Verteilungen ist gerade, dass es unterschiedliche Realisierungen gibt. Streuungsmaße sollen das Ausmaß der Unterschiedlichkeit einer Verteilung erfassen:

0

10

20

30

40

1 2 3 4 5 a a 1 2 3 4 5 a a 1 2 3 4 5

W X Y

Wert nk pk cpk nk pk cpk nk pk

cpk

1 10 0.1 0.1 20 0.2 0.2 40 0.4 0.4

2 20 0.2 0.3 20 0.2 0.4 10 0.1 0.5

3 40 0.4 0.7 20 0.2 0.6 0 0.0 0.5

4 20 0.2 0.9 20 0.2 0.8 10 0.1 0.6

5 10 0.1 1.0 20 0.2 1.0 40 0.4 1.0

100 1.0 100 1.0 100 1.0


Streuungsmaße für metrische Variablen

Spannweite (engl. Range): Abstand (Differenz) zwischen größter und kleinster Realisierung.

(n) (1)R x x RW = 5 – 1 = 4 RX = 5 – 1 = 4 RY = 5 – 1 = 4

Quartilabstand (engl. interquartil range): Differenz des dritten vom ersten Quartil:

0.75 0.25IQR Q Q

W X Y

Wert nk pk cpk nk pk cpk nk pk

cpk

1 10 0.1 0.1 20 0.2 0.2 40 0.4 0.4

2 20 0.2 0.3 20 0.2 0.4 10 0.1 0.5

3 40 0.4 0.7 20 0.2 0.6 0 0.0 0.5

4 20 0.2 0.9 20 0.2 0.8 10 0.1 0.6

5 10 0.1 1.0 20 0.2 1.0 40 0.4 1.0

100 1.0 100 1.0 100 1.0

IQRW=2 IQRX=2 IQRY=4

Mittlere Quartilabstand : 0.75 0.25Q QmIQR

2

Durchschnittliche absolute Abweichung (engl. absolute deviation): Mittelwert der vorbezei-chenbereinigten Differenzen aller Realisierungen vom Mittelwert:

n

ii 1

1AD x x

n

ADW=0.8 ADX=1.2 ADY=1.8

Metrische Streuungsmaße

Die Summe der abweichenden Realisierungen – vom Mittelwert – ergibt immer Null!


n

ii 1

1AD x x

n

2

1

( )n

X ii

SS x x

2 2 2 2

1 1

1 1( )

n nX

X i ii i

SSs x x x x

n n n

2X Xs s

1

( ) 0n

ii

x x

Durchschnittliche Abweichung vs.

Standardabweichung

1 2


1,5x

2 2

1 1,5 2 1,50,5

2

(1 1,5) (2 1,5)0,5

2X

AD

s

1 2 3 2x

2 2 2

1 2 2 2 3 20,667

3

(1 2) (2 2) (3 2)0,816

3X

AD

s


W nk pk cpk

1 10 0.1 0.1 2 20 0.2 0.3 3 40 0.4 0.7 4 20 0.2 0.9 5 10 0.1 1.0 100 1.0

pk·wk pk·|wk–3|

0.1 0.2 0.4 0.2 1.2 0.0 0.8 0.2 0.5 0.2 3.0 0.8


Berechnung der durchschnittlichen absoluten Abweichung:

3 3 4 5 6 7 7 8 11

6x

3 6 3 6 4 6 5 6 7 6 7 6 8 6 11 6

918

29

AD

n

ii 1

1AD x x

n

3x

K

K Kk 1

1AD n x x

n

10 1 3 20 2 3 40 3 3 20 4 3 10 5 30.8

100AD

nk·|wk–3|

20

20

0

20

20

=80



Variation oder mittelwertbereinigte Quadratsumme (engl: sum of squares, abgekürzt: SSX): Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert:

n

2

x ii 1

SS x x

W nk pk cpk

1 10 0.1 0.1 2 20 0.2 0.3 3 40 0.4 0.7 4 20 0.2 0.9 5 10 0.1 1.0 100 1.0

pk·wk nk·(wk–3)2

0.1 40 0.4 20 1.2 0 0.8 20 0.5 40 3.0 120

X nk pk cpk

1 20 0.2 0.2 2 20 0.2 0.4 3 20 0.2 0.6 4 20 0.2 0.8 5 20 0.2 1.0 100 1.0

pk·xk nk·(xk–3)2

0.2 80 0.4 20 0.6 0 0.8 20 1.0 80 3.0 200

Y nk pk cpk

1 40 0.4 0.4 2 10 0.1 0.5 3 0 0.0 0.5 4 10 0.1 0.6 5 40 0.4 1.0 100 1.0

pk·yk nk·(yk–3)2

0.4 160 0.2 10 0.0 0 0.4 10 2.0 160 3.0 340

n n2 2 2

X i i ii 1 i 1

n n2 2i i

i 1 i 1

n n2 2 2 2i i

i 1 i 1

SS x x x x 2 x x

x n x 2 x x

x n x 2 x n x x n x

Für die Berechnung werden nur Fallzahl, Summe und Quadratsumme über alle Realisierungen benötigt:


0

10

20

30

40

1 2 3 4 5 a a 1 2 3 4 5 a a 1 2 3 4 5


WSS 120 XSS 200 YSS 340

(Stichproben-) Varianz: die durchschnittliche quadrierte Abweichung vom Mittelwert:

n

22 XX i

i 1

1 SSs x x

n n

2W Ws 1.2 ; s 1.095 2

X xs 2.0 ; s 1.414 2Y Ys 3.4 ; s =1.844

Standardabweichung (engl: standard deviation): positive Quadratwurzel aus der Varianz:

n

22 XX X i

i 1

1 SSs s x x

n n


Berechnung von Variation und Standardabweichung für eine Variable der Datenmatrix

2n

in n n2 i 12 2 2

X i i ii 1 i 1 i 1

x

SS x x x n x xn

29

ini 12

ii 1

2

n2 2

X ii 1

2

SS x n x

x

xn

50530251

930251 9 56.111 58587.111

Alter2

(X2)

4225230426014761

missing27041444774427041764

505Summe

56.111valid

Summe

n 9

30251

3361.222

Alter(X)

65485169

missing5238885242

Fallnr.IS

1943196019571939

missing19561970192019561966

Die Variation berechnet sich aus diesen Summen nach:

Für die Beispieldaten ergibt sich:

2X X Xs s : s 212.7654321 14.586 im Beispiel

X X

X

V s / x

V 14.58648 / 56.11111 0.2600 26.0%im Beispiel :

2 XX X

SS 58587.111s : s 212.7654321

n 9 im Beispiel


Rechenschema für Häufigkeitstabellen

n K K

2K

k kKk 12

kk 1

2 2 2 2X i k k

i 1 k 1k

k 1k kSS x x n x x n x n x

n x

n xn

K2 2 2 XX k k

k

2KK2

k kk kk 1k 1

21

1 SSs n x x

n xn x

n nn n

W nk pk cpk

1 10 0.1 0.1 2 20 0.2 0.3 3 40 0.4 0.7 4 20 0.2 0.9 5 10 0.1 1.0 100 1.0

nk·wk nk·(wk)2

10 10 40 80120 360 80 320 50 250 300 1020

2

W

300SS 1020 120

100

22W 2

1020 300 120s 1.2

100 100 100

2X XSS n s

K K2 2 2

2K K2

kX k k k k k kk

kk 1 1 kk 11

p x ps p x x x xp x

pk·wk pk·(wk)2

0.10 0.10 0.40 0.80 1.20 3.60 0 80 3.20 0.50 2.50 3.00 10.20

WSS 100 1.2 120

2 2Ws 10.20 3 1.2



2X Xx

X

s SSsV

x x n x

Variationskoeffizient: Quotient der Standardabweichung geteilt durch das arithmetisches Mittel:

W W

1.095s 1.095 ; w 3 V 0.365 36.5%

3 X X

1.414s 1.414 ; x 3 V 0.471 47.1%

3

Y Y

1.844s 1.844 ; y 3 V 0.615 61.5%

3

Welches Streuungsmaßes sollte verwendet werden?- Spannweite: empfindlich gegenüber Ausreißer und sehr wenig Informationsgehalt- Quartilabstand: robust gegenüber Ausreißern, aber wenig Informationsgehalt- Variation und abgeleitete Maße: empfindlich gegenüber Ausreißern aber großer Informations-

gehalt Mit Ausnahme explorativer Statistik, wo auch der Quartilabstand genutzt wird (z.B. in Box-

Plots), werden vor allem die Variation bzw. abgeleitete Kennwerte verwendet.

x x 2

1p x k s X x k s 1

k

Für die Verwendung von Varianz bzw. Standardabweichung spricht auch die Tschebyscheffsche Ungleichung: Für alle Verteilungen gilt, dass im Abstand von k Standardabweichungen vom Mittelwert mindestens 11/k2 aller Realisierungen liegen:


Momente

Zur Kennzeichnung von Verteilungen können auch höhere Momente verwendet werden:Das k-te (Roh-) Moment ist der Durchschnittswert über alle mit k potenzierten Realisierungen einer Verteilung:

n/ kk i

i 1

1k-tes Rohmoment m x

n

Werden vor der Potenzierung die Differenzen vom ersten Moment berechnet, ergeben sich die zentralen Momente:

n k/

k i 1i 1

1k-tes zentrales Moment m x m

n

Schiefekoeffizient:

n3

i3i 1

33X

2

1x x

mns m

Steilheit (relativ zur Normalverteilung):

n4

i4i 1

2 222X

1x x

mnKurtosis 3 3

ms


Lerneinheit 7:Lineartransformationen und Zusammenfassungen von Gruppen

Lineartransformation: Y = a + b·X

Lineare Gleichungen lassen sich in einem Koordinatensystem als Graden einzeich-nen.Die Konstante a gibt dabei den Wert von Y an, wenn X=0. Grafisch ist das der Schnittpunkt der Geraden mit der senk-rechten Y-Achse. Das Gewicht b gibt die Steigung der Ge-raden an. Immer, wenn der Wert von X um +1 Einheit ansteigt, verändert sich der Wert von Y um b Einheiten.

-3-2-10123456789

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y = 2 +1·X

-3-2-10123456789

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y = 4 +1·X

-3-2-10123456789

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Y = 4 +0.5·X

Y = 2 –1·X

yi = a + b·xi für i = 1,2,...,n

n n n n n

i i i ii 1 i 1 i 1 i 1 i 1

1 1 1 1 1 by y a b x a b x n a x a b x

n n n n n n

n n n n

2 22 22 2Y i i i i X

i 1 i 1 i 1 i 1

SS y y a b x a b x b x x b x x b SS

2

2 2 2 2 2 2Y XY X Y Y X X

SS b SSs b s und s s b s b s

n n

Lineartransformationen

Y = a+b*X

• Intervallskalenniveau => Y = a+b*X

• Ratioskalenniveau => Y = b*X

Intervallskalenniveau

Beispiel a) Islamischer (Mond)Kalender

33 33622 2009 622 1430

32 32H C

Intervallskalenniveau

Beispiel b) TemperaturIst es in Rom doppelt so warm wie in Göttingen?

32 1,8F C

28 14 14

28 in 32 1,8 28 82,4

14 in 32 1,8 14 57,2

82,4 57,2 25,2

C C C

Rom F

Göttingen F

F F F

Ratioskalenniveau

Beispiel a) Zoll in cm

1" 2,54

2" 5,08

24" 60,96

cm

cm

cm

Y b X

Ratioskalenniveau

Beispiel b) Währung

Hat Gabi doppelt soviel Geld wie Peter?

1000€

500€

1000€ 45,095 45095

500€ 45,095 22547,5

Gabi

Klaus

Rub Rub

Rub Rub

1€ 45,095Rub


Als Beispiel soll Mittelwert, Variation und Varianz des Alters aus den enstprechenden Kennwerten des Geburtsjahrs berechnet werden.

Geburts- jahr(X)

1943196019571939

missing19561970192019561966

Geburts- jahr2

(X2)

3775249385160038298943759721missing38259363880900368640038259363865156

Alter(Y)

65485169

missing5238885242

17567

1951.889

Summe

Summe

9

34290747

3910083

2X

2X

X

x 17567 / 9 1951.889

SS 34290747 17567 / 9 1914.8889

s 1914.8889 / 9 212.7654

s 212.7654 14.586

LineartransformationY = 2008 +(–1)·X

Alter2

(Y2)

4225230426014761

missing27041444774427041764

505Summe

56.111Summe

9

30251

3361.222

2Y

2Y

Y

y 505 / 9 56.111

SS 30251 505 / 9 1914.8889

s 1914.8889 / 9 212.7654

s 212.7654 14.586

y a b x

2008 1 1951.889

56.111

2Y X

2

X

SS b SS

1 SS

1914.8889

2 2 2Y X

2

s b s

1 212.7654

Y Xs b s

1 14.586

Lineartransformationen


Standardisierung

Standardisierung: Mittelwert ist 0 und Varianz ist 1. Standardisierten Realisierungen bisweilen auch als Z-Werte bezeichnet werden und die standar-disierende Transformation als Z-Transformation:

2Z Z Z

X X X X X

x 1 x 1 X xZ a b X mit a und b : Z X z 0 ; SS n ; s 1 ; s 1

s s s s s

Alter2

(X2)

4225230426014761

missing27041444774427041764

505Summe

56.111Summe

9

30251

3361.222

Xx 56.111 ; s 14.586

Alter(X)

65485169

missing5238885242

Y X 56.111

Y

8.889–8.111–5.11112.889missing–4.111

–18.11131.889–4.111

–14.111

Y2

79.01265.79026.123

166.123missing16.901

328.0121016.901

16.901199.123

0.001

0.000

1914.886

212.765

Y

Y

y 0 ; SS 1914.886

s 14.586

Y2

19.85910.83012.22622.378missing12.7106.787

36.39912.7108.291

34.622

3.847

142.190

15.7998

Y

2Y Y

y 3.847 ; SS 9

s 1 ; s 1

Y

4.4563.2913.4974.731

missing3.5652.6056.0333.5652.879

Y X /14.586 Z X 56.111 /14.586

Z

0.609–0.556–0.3500.884

missing–0.282–1.2422.186

–0.282–0.967

Z2

0.3710.3090.1230.781

missing0.0801.5434.7790.0800.935

0.000

0.000

9.001

1.000

Y

2Y Y

x 0 ; SS 9.00

s 1 ; s 1


Beispielaufgaben zu Lineartransformationen

Der Mittelwert einer Verteilung beträgt 45, die Varianz 81. Wie muss die Verteilung transfor-miert werden, um sie zu standardisieren?

X

X x X 45 X 45 1Z 5 X

s 9 981

90% aller Realisierungen einer standardisierten symmetrischen Verteilung liegen zwischen 1.65 und +1.65. Durch eine Lineartransformation der Gleichung Y = 5 + 3X werden alle Realisierun-gen transformiert. In welchem Intervall liegen 90% aller Realisierungen der transformierten Ver-teilung?Die beiden Ausgangsquantilwerte müssen transformiert werden:

1.653 + 5 = 0.05; 1.65 3 + 5 = 9.95. Nach der Lineartransformation liegen 90% aller Realisierungen zwischen 0.05 und 9.95.

Welchen Wert weist der Mittelwert und die Varianz der transformierten Verteilung auf?

2 2 2 2Y Xy a b x 5 3 0 5 ; s b s 3 1 9

Die Ausgangsverteilung ist standardisisert, hat also einen Mittelwert von 0 und eine Varianz und Standardabweichung von 1. Für die transformierte Verteilung folgt dann:

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