Vorlesung: Multivariate Statistik für Psychologen 10. Vorlesung: 15.05.2003 2 Agenda 3. Multivariate Varianzanalyse i. Einführung in die multivariate Variananalyse § Grundidee und Ziele der MANOVA § Beispiele ii. Uni- vs. multivariate Varianzanalyse § Vergleich der Verfahren § Fragestellungen der MANOVA iii. Statistisches Modell § Datensituation § Effekte einzelner abhängiger Variablen vs. Effekte der Linearkombinationen iv. Hypothesentestung v. Varianzzerlegung
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Vorlesung:Multivariate Statistik für Psychologen
10. Vorlesung: 15.05.2003
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Agenda
3. Multivariate Varianzanalysei. Einführung in die multivariate Variananalyse
§ Grundidee und Ziele der MANOVA§ Beispiele
ii. Uni- vs. multivariate Varianzanalyse§ Vergleich der Verfahren§ Fragestellungen der MANOVA
iii. Statistisches Modell§ Datensituation§ Effekte einzelner abhängiger Variablen vs. Effekte der Linearkombinationen
iv. Hypothesentestung v. Varianzzerlegung
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Einführung in die multivariate Varianzanalyse I
n Ziel¡ Zusammenhang zwischen Gruppenzugehörigkeit einer Person und dem
Erwartungswert der Person auf mehreren abhängigen Variablen
¡ einfacher: Unterschiede im Mittelwert mehrerer abhängiger Variablen bei verschiedenen Gruppen
n Aussage:¡ Unterschiede der Gruppen hinsichtlich der abhängigen Variablen Y1, …, Yp?
¡ welche Gruppen unterscheiden sich (auf welchen abhängigen Variablen)?
n Einschränkungen¡ keine kausalen Aussagen (Unterschiede w e g e n Gruppenzugehörigkeit)
¡ keine Differenzierung innerhalb der Gruppen
¡ keine Aussagen über Art, Größe und Richtung der Gruppenunterschiede
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Einführung in die multivariate Varianzanalyse II
n Unterscheidung univariate vs. multivariate Varianzanalys¡ univariat: Einfluss einzelner oder mehrerer Prädiktoren auf eine abhängige
Variable (Gruppenunterschiede im Mittelwert bei einer abhängigen Variable)
¡ multivariat: Einfluss einzelner oder mehrerer Prädiktoren auf mehrere einzelne abhängige Variablen oder auf ein mehreren abhängigen Variablen zugrunde liegendem Konstrukt
n Konstruktbegriff¡ psychologische Merkmale, die nicht (oder nur sehr grob) durch einzelne
Variablen operationalisierbar sind
¡ Beschreibung durch mehrere Indikatorvariablen; Abbildung des Konstrukts durch "Gemeinsames" der Variablen
¡ Beispiele für psychologische Konstrukte: Angst, Neugier, Offenheit, Qualität der Lehre, Intelligenz
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Einführung in die multivariate Varianzanalyse III
n Beispielfragestellungen für multivariate Varianzanalyse¡ Beispiel 1: Wirksamkeit von Therapien (einfaktorielle MANOVA)
n Einfluss verschiedener Interventionen auf Ängstlichkeit klinischer Angstpatientenn Angst operationalisiert durch kognitive, behaviorale und emotionale Aspekte
¡ Beispiel 2: Werbewirksamkeit (einfaktorielle MANOVA)n Auswirkungen verschiedener Werbekampagnen auf Interesse der Kundenn Interesse operationalisiert durch Sichtbarkeit der Marken, Bekanntheit der
Marke, Beeinflussung der Kaufentscheidung
¡ Beispiel 3: Einfluss des sozioökonomischen Hintergrunds auf Spracherwerb (mehrfaktorielle MANOVA)n Einfluss des sozio-ökonomischen Hintergrunds der Eltern auf verbale
Ausdrucksfähigkeit der Kinder n Faktoren: SES des Vaters (Unter- vs. Mittel- vs. Oberschicht), SES der Muttern verbale Ausdrucksfähigkeit der Kinder operationalisiert durch a) Satzlängen, b)
Vielfalt der Wortwahl, c) Komplexität der Satzkonstruktionen
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Uni- vs. multivariate Varianzanalyse I
n Alternative Vorgehensweisen zur Analyse multivariater Fragestellungen¡ Alternative 1: mehrere univariate Varianzanalysen
n Einzelanalyse aller abhängigen Variablen auf Unterschiede der Gruppenmittelwerte
n Nullhypothese:
n Vorteile: Interpretierbarkeit, einfache Durchführungn Nachteile: kumulierter Alpha-Fehler, keine Betrachtung der Effekte auf Konstrukt
¡ Alternative 1b: mehrere ANOVAs mit Kontrolle des Alpha-Fehlers n ANOVA mit Bonferroni-Korrekturn Vorteile: kein kumulierter Alpha-Fehlern Nachteil: Verlust an Teststärke
11 21 31
12 22 32
13 23 33
µ µ µ
µ µ µµ µ µ
= =
= == =
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Uni- vs. multivariate Varianzanalyse II
n Alternative Vorgehensweisen zur Analyse multivariater Fragestellungen¡ Alternative 2: multivariate Varianzanalyse
n simultane Analyse aller abhängigen Variablen auf Gruppenunterschieden Nullhypothese:
n Vorteile: gleichzeitiger Vergleich aller abhängigen Variablen (kein kumulierter Alpha-Fehler); Berücksichtigung der Zusammenhänge zwischen abhängigen Variablen
n Nachteile: schwierige Durchführung und Interpretation; Notwendigkeit von Folgetests
11 21 31
12 22 32
13 23 33
µ µ µµ µ µµ µ µ
= =
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Uni- vs. multivariate Varianzanalyse III
n Berücksichtigung von Zusammenhängen zwischen abhängigen Variablen¡ ANOVA: keine Berücksichtigung der gemeinsamen Effekte
n bei theoretischer Überlappung von abhängigen Variablen à Überidentifizierung von Effekten
¡ MANOVA: Effekte der Faktoren auf "System von Variablen"n Gruppenunterschiede bei zugrunde liegenden Konstrukten (kombinierte
Unterschiede)n Gruppenunterschiede bei Linearkombinationen von abhängigen Variablen
(Informationsausschöpfung)
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Uni- vs. multivariate Varianzanalyse IV
n Fragestellungen der multivariaten Varianzanalyse¡ Multiple Univariate Fragestellung
n Set von einzelnen abhängigen Variablen, die kein gemeinsames Konstrukt bildenn Ziel: Kontrolle des Gesamt-Alpha-Fehlers der Analysen Vorgehen: MANOVA, folgende Einzelvergleiche mittels ANOVA
¡ Strukturierte Univariate Fragestellungn mehrere abhängige Variablen mit spezifischer Struktur (z.B. Messwiederholung)n Ziel: Berücksichtigung der Abhängigkeit der Messungenn Vorgehen: MANOVA mit Messwiederholung; Post-hoc Tests
¡ "Intrinsische" Multivariate Fragestellungn Set von miteinander zusammenhängenden abhängigen Variablenn Ziel: Gruppenunterschiede auf Konstruktvariable; Treatmenteffekte der einzelnen
abhängigen Variablen nachrangig gegenüber "kollektiven" Effektenn Vorgehen: MANOVA, Post-hoc Tests
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Statistisches Modell der MANOVA I
n Datensituation¡ abhängige Variable
n Vektor der Personenwerte ¡ Abbildung mehrerer abhängiger Variablen pro Person¡ Indizes: i = Versuchsperson 1 … n
j = Gruppe (Faktorstufe) 1 … kq = abhängige Variable 1 … p
n Vektor der Gruppenmittelwerte¡ Abbildung mehrerer abhängiger Variablen für Gesamtgruppe¡ Indizes: + = (Mittelwert) über alle Pers. i der Gruppe j
j = Gruppe (Faktorstufe) 1 … kq = abhängige Variable 1 … p
1
2
ij
ijij
ijp
Y
Y
Y
=
y M
1
2
j
jj
jp
Y
Y
Y
+
++
+
=
y M
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1
2
p
YY
Y
++
++++
++
=
y M
Statistisches Modell der MANOVA II
n Datensituation (Fortsetzung)¡ abhängige Variable (Fortsetzung)
n Vektor der Gesamtmittelwerte ¡ Abbildung mehrerer abhängiger Variablen über alle Gruppen¡ Indizes: i = (Mittelwert) über alle Pers. i der Gruppe j
j = (Mittelwert) über alle Gruppen j q = abhängige Variable 1 … p
n inhaltliche Fragestellung der MANOVA¡ Unterschiede der Mittelwertsvektoren der Gruppen (untereinander bzw. vom
Gesamtmittelwertsvektor) im Verhältnis zu
¡ Unterschieden der Personenvektoren innerhalb der Gruppen/Faktorstufen
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Statistisches Modell der MANOVA III
n Effekte einzelner abhängiger Variablen vs. Effekte von Linearkombinationen¡ Fragestellung 1 der MANOVA:
n Unterschiede zwischen mindestens zwei Gruppen auf mindestens einer der abhängigen Variablen
¡ Fragestellung 2 der MANOVA:n Unterschiede zwischen mindestens zwei Gruppen auf einer Linearkombination
der abhängigen Variablen
n Linearkombinationen von Variablen¡ inhaltliche Interpretation:
n Bildung einer neuen Variablen (technisch: Eigenvektor) als gewichtete Summe der ursprünglichen Variablen
n Darstellung der maximalen Unterschiedlichkeit der Gruppen
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Statistisches Modell der MANOVA IV
¡ graphische Veranschaulichung von Linearkombinationenn Beispiel: 2 abhängige Variablen, 2 Gruppen (dargestellt durch rot vs. grün)
Variable 1
76543210
Var
iabl
e2
5
4
3
2
1
0
14Variable 1
543210-1-2-3
Var
iabl
e 2
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
Statistisches Modell der MANOVA V
¡ graphische Veranschaulichung von Linearkombinationenn Beispiel: 2 abhängige Variablen, 3 Gruppen (rot vs. grün vs. blau)
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Statistisches Modell der MANOVA VI
n Linearkombinationen von Variablen (Fortsetzung)¡ Berechnung einer Linearkombination (Eigenvektorbildung)
n Bildung eines Gesamtscores pro Person als gewichtete Summe der Messwerte der Person auf allen abhängigen Variablen
n Berechnung:
¡ Legende: Cij gewichteter Gesamtscore der Person i aus Gruppe jw1…wq Gewichtungsfaktor für abhängige Variablen 1, …, qYijq Wert der Person i aus Gruppe j auf der abhängigen
Variablen q ¡ Schätzung der Gewichtungsfaktoren
n ein Gewichtungsfaktor pro abhängiger Variable (gleich für alle Personen aller Gruppen)
n Kriterium zur Bestimmung der Gewichtungsfaktoren: Maximierung der Gruppenunterschiede (maximale Zwischengruppenvarianz bei minimaler Innergruppenvarianz)
1 1 2 2w w ... wij ij ij q ijqC Y Y Y= ⋅ + ⋅ + + ⋅
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Statistisches Modell der MANOVA VII
n Linearkombinationen von Variablen (Fortsetzung)¡ Interpretation der Linearkombination
n "Kunstvariable" als Gemeinsames aller abhängiger Variablen (Konstrukt), welches die Gruppenunterschiede maximiert
n keine "Generierung" nicht vorhandener Unterschiede der Gruppen, sondern "Sichtbarmachung" mittelbarer Gruppenunterschiede
n Frage nach Beitrag der einzelnen abhängigen Variablen zur gebildeten Linearkombination ¡ unterschiedliche Gewichtung der abhängigen Variablen in neuer Variable¡ Beitrag der einzelnen Ursprungsvariablen ermittelbar über
Diskriminanzanalyse (siehe Folgetests zur MANOVA)
¡ Beispiele zur Linearkombinationn zwei abhängige Variablen: sprachliche Intelligenz (Y1), emotionale Intelligenz (Y2)n Faktor: Geschlecht (weiblich vs. männlich)
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Statistisches Modell der MANOVA VIII
¡ Beispiel 1 zur Linearkombination: keine Gruppenunterschiede vorhanden
n Fragestellung der MANOVA¡ Unterschiede der Mittelwertsvektoren der Gruppen im Verhältnis zu
Unterschieden der Personenvektoren innerhalb der Gruppen/Faktorstufenn Vektor der Erwartungswerte (Mittelwertsvektor)
der p abhängigen Variablen in Gruppe j (über alle Personen der i der Gruppe)
n Nullhypothese¡ Gleichheit der Mittelwertsvektoren aller abhängigen Variablen 1, …, p über
alle j Gruppen
1
2
j
jj
jp
µ
µ
µ
+
+
+
=
µ M
0 1 2H : j= = =µ µ µ…
111 21
12 22 2
1 2
j
j
p p jp
µµ µµ µ µ
µ µ µ
++ +
+ + +
+ + +
= = =
LM M M
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Hypothesentestung bei der MANOVA II
n Nullhypothese (Fortsetzung)¡ Bedeutung der Nullhypothese
n Gleichheit der Mittelwertsvektoren der Gruppen = Gleichheit der Mittelwertei n n e r h a l b der einzelnen Variablen über alle Gruppe
n Vorsicht: keine Hypothesen über Zusammenhänge der Variablen untereinander!!¡ Beispiel: Gleichheit der Mittelwertsvektoren mit 3 abhängigen Variablen
bei 2 Gruppen
11 21
0 12 22
13 23
H :µ µµ µµ µ
+ +
+ +
+ +
=
11 21
12 22
13 23
0
0
0
µ µµ µµ µ
+ +
+ +
+ +
− =− =− =
11 21
12 22
13 23
000
µ µµ µµ µ
+ +
+ +
+ +
− =
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Hypothesentestung bei der MANOVA III
n Alternativhypothese ¡ Unterschiede der Mittelwertsvektoren aller abhängigen Variablen zwischen den
Gruppen
¡ Bedeutung der Alternativhypothesen Unterschiede zwischen mindestens zwei Gruppen auf mindestens einer
abhängigen Variablen (oder auf einer Linearkombination der abhängigen Variablen)
n Problem: keine Informationen¡ bei welcher/n abhängigen Variable/n (oder Linearkombination)
Unterschiede auftreten¡ welche Gruppen sich auf dieser unterscheiden¡ Richtung und Größe dieser Unterschiedeà Notwendigkeit von Folgeanalysen (Post-hoc Tests)
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Varianzzerlegung bei der MANOVA I
n Analyse der Varianzen ¡ Unterschiede der Mittelwertsvektoren aller abhängigen Variablen der Gruppen
analysiert durchn Varianz der Mittelwertsvektoren der verschiedenen Gruppen (Abweichungen
der Gruppenmittelwertsvektoren vom Gesamtmittelwertsvektor) als Effekt der Faktoren
n Varianz der Personenvektoren innerhalb der Gruppen (Abweichungen der Personenvektoren vom jeweiligen Gruppenmittelwertsvektor)
n Berücksichtigung der Korrelationen zwischen den abhängigen Variablen
¡ formale Darstellungn Schätzung der "wahren" Varianz-Kovarianz-Matrix in der Population über
¡ Variabilität der Gruppenmittelwertsvektoren um den Gesamtmittelwertsvektor (Zwischengruppen-Varianz-Kovarianz-Matrix)
¡ Innergruppen-Varianz-Kovarianz-Matrizen
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Varianzzerlegung bei der MANOVA II
n Analyse der Varianzen (Fortsetzung)¡ formale Darstellung (Fortsetzung)
n Schätzung der "wahren" Varianz-Kovarianz-Matrix der abhängigen Variablen in der Population über¡ Variabilität der Gruppenmittelwertsvektoren um den
n Nullhypothese:¡ Populations-Varianz-Kovarianz-Matrix gleich gut vorhersagbar durch
beide Schätzer n Alternativhypothese:
¡ Populations-Varianz-Kovarianz-Matrix besser vorhersagbar durch Zwischengruppen-Varianz-Kovarianz-Matrix
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Varianzzerlegung bei der MANOVA III
n Betrachtung von Varianzen und Kovarianzen¡ Zusammenhänge der abhängigen Variablen untereinander berücksichtigt
¡ durch Faktor erklärte Varianz der einzelnen abhängigen Variablen: Varianzenn ohne Berücksichtigung der Zusammenhänge der abhängigen Variablenà
Überschätzung der durch Faktor erklärten Varianz
¡ durch Faktor erklärte gemeinsame Varianz aller abhängigen Variablen: Kovarianzen
n Varianzzerlegung / Quadratsummenzerlegung¡ Gesamtquadratsumme
n Quadratsumme der abhängigen Variablenn Abweichung aller Personenvektoren vom Gesamtmittelwertsvektorn SSCPTO bzw. Matrix T (Sum of Squares and Cross Products)
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Varianzzerlegung bei der MANOVA IV
n Varianzzerlegung / Quadratsummenzerlegung¡ Treatmentquadratsumme
n Zwischengruppen- bzw. systematische Effekten Abweichung der Gruppenmittelwertsvektoren vom Gesamtmittelwertsvektor (pro
Person)n SSCPBG bzw. Matrix B
¡ Fehlerquadratsummen Innergruppen- bzw. unsystematische Effekte (im Sinne der Faktoren)n Abweichung der Personenvektoren vom Mittelwertsvektor der jeweiligen Gruppen SSCPWG bzw. Matrix W
n Additivität der Varianzen / Quadratsummen¡ Quadratsummen der systematischen und unsystematischen Effekte ergeben
Gesamtquadratsummen SSCPTO = SSCPBG + SSCPWG bzw. T = B + W
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Ausblick
n Multivariate Varianzanalyse
¡ Multivariate Prüfgrößenn Prüfgrößen bei der MANOVAn Exkurs: Eigenwerte und Eigenvektorenn Kriterien zur Auswahl der Multivariaten Prüfgrößen
¡ Folgetests bei der MANOVA
¡ Annahmen und Voraussetzungen der MANOVA
¡ Beispielanalysen Inhaltliche Fragestellung und Auswertungn Berechnung in SPSS
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