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04.06.2012 Folie 1 Transportmodellierung

Vorlesung 4: Lösungen

der Transportgleichung Partikelverfahren

Prof. Sabine Attinger, Jun-Prof. Anke Hildebrandt

04.06.2012 Folie 2

Überblick 1.  Einführung in Partikelverfahren- Lagrange vs. Eulersche

Betrachtungsweise 2.  Partikelverfahren analytisch – ohne Dispersion 3.  Partikelverfahren in Modflow und PMPath – ohne

Dispersion 4.  Partikelverfahren einschließlich Dispersion (Brownsche

Bewegung) 5.  Technische Umsetzung und Vor- und Nachteile

Transportmodellierung


1D-Transportgleichung

Wenn ein gelöster Stoff sich sowohl advektiv, als auch diffusiv in einer Flüssigkeit bewegt, dann gilt folgende Gleichung

( ) ( ) 0=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂⋅

∂

∂−⋅

∂

∂+

∂

∂ cx

nDx

cvxt

ncx

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1. Einfühung

Strömung und Transport können aus zwei Perspektiven betrachtet werden: -  Ortsfeste Perspektive (Eulersche Sichtweise) -  Perspektive eines Partikels, der sich mit dem Strom

bewegt (Lagrange Sichtweise)

Die Betrachtungen aus den letzten Stunden beziehen sich auf die Eulersche Sichtweise. Es wurde die Konzentration eines Stoffes an einer bestimmten Ortskoordinate evaluiert, d.h. wir berechneten z.B. C(x,t) (1 dimensional)


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Einfühung

Im Lagrange System wird die Bewegung von Fluidteilchen nachvollzogen. Sie eignet sich deswegen hervorragend für die Betrachtung von Transport – in der einfachsten Form rein advektiv, d.h. ein Stoff bewegt sich im Wasser passiv genau wie ein Fluidteilchen.



Lagrange Bild – nur Advektion


Euler Bild – nur Advektion


Advektiver Transport

( ) ( )xtxcv

ttxc

∂

∂=

∂

∂ ,, ( ) ( )xftc == 0mit

Partikel- Bewegungsgleichung: ( ) vtx =

( ) 0=∂

∂+

∂

∂=

ττττ

ddx

xc

ddt

tc

DDc

Transformation:


2. Analytische Lösung Partikelverfahren in 1D

Rein advektiver Transport, keine Dispersion Uniforme Strömung: v(x) = konstant, d.h. v ≠ f(x)

Allgemeine Strömung in 1D: v(x) ≠ konst, v=f(x) (Lösung an der Tafel)

( ) ( )00 ttvxxvtx −+=⇒=

( ) ( ) ∫∫ =⇒=⇒= dtdxxv

dtdxxv

xvtx)(1

)(1


Übngsaufgabe zur analytischen Lösung Partikelverfahren

( ) ( )rQrvtr ==

Lösen Sie also:

Wie lautet die Lösung für den Abstand r(t)?

Diese Aufgabe dient zur Übung des Verständnisses (Auflösung nächste Vorlesung):

Berechnen Sie die den Weg als Funktion der Zeit eines Partikels, der in das Anstromfeld eines Brunnens eingegeben wird. Da da das Strömungsfeld radialsymetrisch ist, wählt man hierbei für die Ortskoordinate r(t) (statt x(t)). Die Geschwindigkeit ist gegeben mit v(r).

1v(r)

dr = dt

Mit der gegeben Geschwindigkeit v(r)

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3. Partikelverfahren in 3D und Anwendung in PMPath

Im letzten Semester hatten wir das Partikelverfahren in Modflow bereits angewendet um die Strömungslinien sichtbar zu machen. Einige Partikel werden in das Strömungsfeld gesetzt und ihre Position iterativ Schritt für Schritt (anhand Δt) berechnet. In unserem Modell war das Geschwindigkeitsfeld räumlich variabel und komplex. Die Bahnen können nicht mit analytischen Lösungen berechnet werden. PMPath verwendet hierfür eine Annäherung.



Advektiver Transport in 3D

•  Bewegungsgleichung für Partikel in der Strömung v=u/n

( )

( )

( )dt

zyxvdzv

dtdz

dtzyxv

dyvdtdy

dtzyxv

dxvdtdx

zz

yy

xx

=⇒=

=⇒=

=⇒=

,,

,,

,,


Approximation nach Pollock

ModFlow berechnet Geschwindigkeiten an jedem Gitterpunkt

PMPath verwendet lineare Interpolation um Geschwindigkeiten an allen Orten (x,y,z) auch zwischen Gitterpunkten zu schätzen

vx1 vx2

vy1

vy2

vz1

vz2



Substitution der interpolierten Geschwindigkeiten und Integration von t1 nach t2



Direkte Integration ergibt

und nach Auflösen

( )1tvx


Partikelwege


4. Partikelverfahren unter Einbeziehung der Dispersion

Advektive Bewegung gelöster Teilchen auf Stromlinie mit diffusiven Sprüngen (Brownsche Bewegung)

)()()(

)()()(

tBdtXvtX

tdBdtXvtdX

+=

+=

∫


•  Eine zufällige Variable, die vollständig durch Mittelwert und Varianz charakterisiert ist, ist eine gaussche Variable, d.h. die Verteilung, der die Variable gehorcht, ist durch eine Gaussche Verteilung gegeben

Brownsche Bewegung

)2)(exp(

21))(( 2

2

2 σπσ

tBtBP −=


Brownsche Bewegung

•  Auflösen der Bewegungsgleichung für die Transport in der uniformen Strömung

( ) ( ) )2

exp(21)( 2

2

2 σπσ

vtxtXP −−=

0,0 00 == txmit


Frage:

•  Wie müssen wir die Varianz der Brownschen Bewegung wählen, damit die Lösung der 1D-Transport Gleichung reproduziert wird?

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Vergleich mit Lösung von letzter Woche


c(x, t) = M2A πDt

exp −(x − vt)2

4Dt"

#$

%

&'

P X(t)( ) =12πσ 2

exp( −x(t)− vt( )2

2σ 2 )

Strömung 1D, v=konstant über die Fließstrecke (v(x)=konst), Eingabe einer kleinen Stoffmenge in das Fließfeld

Letzte Stunde, Euler

Diese Stunde, Lagrange


Varianz im1-D Transport

212dDdtσ

=

Schwerpunkt: xs = vt Breite der Verteilung:

vDxDt S /22 ==σ

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Zahlreiche Partikel werden in das Strömungsfeld eingesetzt und schrittweise die Position x(t+Δt) berechnet

dabei wird dx zu Δx=(xn-xn-1) und dt zu Δt

Mit und ξ ~ N(0,1) Zu beachten: ξ ist ein stochastischer Prozess, das heißt sein Wert ist in jedem Zeitschritt zufällig – hierfür muss eine Zufallszahl aus der richtigen Verteilung bestimmt werden.


5. Methodische Umsetzung

dX(t) = v dt + σ ⋅ξ

σ = 2D ⋅ Δt

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Vorteile / Nachteile Partickeverfahren


Partikelverfahren sind umfassender einsetzbar als analytische Lösungen (unter weniger idealen Bedinungen). Dabei sind sie sehr robust! Sie sind frei von numerischer Dispersion und es gibt keine Stabilitätsprobleme (dies ist nicht der Fall für andere numerische Verfahren, siehe nächste Stunde). Allerdings müssen zur realistischen Abschätzung der Konzentrationsverteilung große Anzahlen von Partikeln verwendet werden. Dies erfordert hohe Rechenzeiten.

Date post:	14-Jun-2020
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