1
Vorlesung 11.12.2006
Mehrstufige Zufallsexperimente und
bedingte Wahrscheinlichkeiten
A siegt
B siegt
A siegt
B siegt
1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel
Stand: 2:1 für A
2
Klausur:
Montag, 22.01.2007, 16.15-17.45 Uhr
Von Seckendorff-Platz 1 (Informatikgebäude), Raum 5.09
Hilfsmittel: 1 selbst beschriebenes A4-Blatt, Taschenrechner
Übungsaufgaben zur Vorbereitung: Auslage auf dem Flügel
Klausurschwerpunkte: Anwendung der behandelten Grundbegriffe auf konkrete Zufallsvorgänge
Literatur zur Klausurvorbereitung: Auslage auf dem Flügel
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Beispiel: Was ist gerecht?
Zwei gleichstarke Mannschaften bestreiten einen Wettkampf, der aus einzelnen Runden besteht.
Im Fall eines Rundengewinns bekommt die Siegermannschaft einen Punkt, die Verlierermannschaft geht leer aus. (Gleichstand in einer Runde gibt es nicht.)
Die Mannschaft, die als erste 3 Punkte zusammenhat, ist Gesamtsieger und bekommt das Preisgeld.
Die Bedingungen des Experiments „Wettkampf zwischen Mannschaft A und Mannschaft B“ sind damit festgelegt!
Alles wäre in Ordnung, wenn nicht der Wettkampf wegen eines Wolkenbruchs vorzeitig beim Spielstand 2:1 für die Mannschaft A hätte abgebrochen werden müssen.
Wie ist nun der Preis möglichst gerecht unter den beiden Mannschaften A und B aufzuteilen?
4
1. Runde: Mannschaft A gewinnt 1 Punkt für A
2. Runde: Mannschaft B gewinnt 1 Punkt für B
3. Runde; Mannschaft A gewinnt 1 Punkt für A
Möglicher bisheriger Verlauf:
Zum Spielstand 2:1 für Mannschaft A nach 3 Runden gibt es für den bisherigen Verlauf außer der oben genannten noch weitere 2 Verlaufsmöglichkeiten.
Kombinatorisches Problem: Auswahl von einer Nummer
aus einer Rundennummer-3er-Kette Möglichkeiten.3
1
5
Vorschlag: Aufteilung des Preisgeldes im Verhältnis 2:1
Mannschaft A bekommt des Preisgeldes,
Mannschaft B bekommt des Preisgeldes.
Einverstanden?
Mannschaft A war ja eigentlich schon „viel näher“ am Gesamt- sieg als Mannschaft B …
Es wäre gerechter, die zukünftigen Chancen zu berücksichtigen!
3
2
3
1
6
Blick in die Zukunft:
Aktueller Stand:
A hat 2 Runden gewonnen, B eine Runde
Weiterer möglicher Spielverlauf im Baumdiagramm dargestellt: verbleibende Spiele bis zum Wettkampf-Ende
A siegt
B siegt
A siegt
B siegt
1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel
Stand: 2:1 für A
Bisher erreichter Stans
7
Eintrittschancen?
Schritt für Schritt
A siegt
B siegt
A siegt
B siegt
1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel
Stand: 2:1 für A
2
1
2
1
2
1
2
1
und insgesamt: Produktregel!
Laplace-Modell für jedes der noch ausstehenden Spiele
Chancengleichheitfür die beiden möglichen Fälle
Chancengleichheitfür die beiden möglichen Fälle
8
Mögliche Wettkampfsverläufe: nach dem Spielstand 2:1 für A sind
A gewinnt im 1. ausstehenden SpieloderB gewinnt im 1 ausstehenden Spiel und A im 2. ausstehenden SpieloderB gewinnt im 1. und im 2. noch ausstehenden Spiel
Das zufällige Experiment „weiterer Wettkampfverlauf“ hat also 3 mögliche Ausgänge = 3 Elementarereignisse
A siegt
B siegt
A siegt
B siegt
1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel
Stand: 2:1 für A
9
Berechnung der Elementar-Wahrscheinlichkeiten:
P(A gewinnt das 1. ausstehende Spiel) =
P(B gewinnt im 1. und A im 2. ausstehenden Spiel) =
P(B gewinnt im 1. und im 2. ausstehenden Spiel) =
A siegt
B siegt
A siegt
B siegt
1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel
Stand: 2:1 für A
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1 1
= 2 2 4
1 1 1
= 2 2 4
1
2
1
2
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A siegt
B siegt
A siegt
B siegt
1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel
Stand: 2:1 für A
1
2
1
2
1
2
2
1
Ereignis „ A gewinnt den Wettkampf“ = { A gewinnt das 1. ausstehende Spiel , B gewinnt das erste und A gewinnt das 2. ausstehende Spiel }
P( A gewinnt den Wettkampf) =
P(B gewinnt den Wettkampf) =
3
2 4
1
2
1 1
2
4
1 Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch die Summe der zugehörigen Elementarwahrscheinlichkeiten
11
Gerechte Verteilung des Preisgeldes?
Unsere Antwort: des Preisgeldes an Mannschaft A;
des Preisgeldes an Mannschaft B.
4
3
4
1
Welches stochastische Modell verbirgt sich hinter diesen Überlegungen?
mehrstufige Zufallsexperimente
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n-stufiges Zufallsexperiment:
Das Experiment gliedert sich in n Teilexperimente, die man sich als Kette hintereinander angeordnet vorstellen kann.
Jeder Ausgang (=Elementarereignis) des n-stufigen Experiments ist eine Kette von n Teilausgängen:
= (1, 2, … , n) ,
wobei gilt: i = Ergebnis des i-ten Teilexperiments (i=1,…,n).
Achtung: Die Teilexperimente eines mehrstufigen Zufallsexperiments müssen nicht sämtlich identisch sein!
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n-stufiges Zufallsexperiment Abfolge der Teilexperimente T1, …, Tn
Veranschaulichung durch einen Baum:
T1 T2 . . . Tn
. . .. . . . . .
mögliches Elementarereignis des n-stufiges Experiments
1
2
n-1
n
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Beispiel Ziehen ohne Zurücklegen
9 Kinder stehen auf dem Schulhof – 5 Jungen und 4 Mädchen.Als Tino dazukommt, atmen alle auf: Jetzt gibt es 2 Völkerball-Mannschaften mit je 5 Kindern.
Tino stellt die Mannschaften so zusammen:
auf gut Glück wählt er die vier Kinder aus, die mit ihm in der gleichen Mannschaft spielen sollen.
Die „übrig gebliebenen“ fünf Kinder spielen dann in der anderen Mannschaft.
Versuchsbedingungen : 4-stufiges Zufallsexperiment
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4-stufiges Zufallsexperiment?
4 zufällige Versuche sind „hintereinandergeschaltet“.
Die Elementarereignisse des 4-stufigen Experiments setzen sich aus 4 hintereinandergeschalteten Einzel-Ausgängen zusammen.
Die Elementarereignisse des 4-stufigen Experiments sind also 4-er-Ketten von Ausgängen der 4 hintereinandergeschalten Versuche.
Darstellung durch ein Baumdiagramm mit 4 Ebenen
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Abzweigung nach links: Tino wählt in diesem Schritt einen Jungen;Abzweigung nach rechts: Tino wählt in diesem Schritt ein Mädchen.
JungenMädchen
JungenMädchen
JungenMädchen
17
Stochastisches Modell: 4-stufiges Zufallsexperiment „4x Wählen“
Ausgänge: (1. gewähltes Kind, 2. gewähltes Kind, 3. gewähltes Kind, 4. gewähltes Kind)
Dabei ist jeweils nur die Information Junge oder Mädchen interessant (möglich).
Elementarereignisse: 4-er-Ketten mit den Einträgen J(unge) oder M(ädchen)
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tinos Mannschaft aus 2 Jungen und 3 Mädchen besteht?
Ereignis E : Tino wählt 1 Jungen und 3 Mädchen aus
E = Menge aller möglichen Auswahlen von 1 Jungen und 3 Mädchen
Nach der Auswahl sind noch 4 Jungen und 1 Mädchen „übrig“.
Im Baum ist nach der End-Konstellation zu suchen.
1
4
19
JungenMädchen
JungenMädchen
JungenMädchen
20
Pfad „ Junge , Mädchen , Mädchen , Mädchen “
Junge: in 4 der 9 möglichen Fälle
dann Mädchen: aus 4 der dann noch 8 (=4+4) wählbaren Kinder
dann Mädchen: aus 3 der dann noch 7 (=4+3) wählbaren Kinder
dann Mädchen: aus 2 der dann noch 6 (=4+2) wählbaren Kinder
4
4
3
4
2
4
1
4
Eine der Möglichkeiten (= ein Elementarereignis aus E):
„Pool“ der jeweils noch übrigen Kinder
21
Pfad „ Junge , Mädchen , Mädchen , Mädchen “
Junge: in 5 der 9 möglichen Fälle Wahrscheinlichkeit:
dann Mädchen: davon in 4 der noch 8 (=4+4) möglichen Fälle
dann Mädchen: davon in 3 der noch 7 (=4+3) möglichen Fälle
dann Mädchen: davon in 2 der noch 6 (=4+2) möglichen Fälle
4
4
3
4
2
4
1
4
9
5
8
4
7
3
6
2
22
Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) :
P(E) =
=
=
0,15673
6
5
7
2
8
3
9
4
6
2
7
5
8
3
9
4
6
2
7
3
8
5
9
4
6
2
7
3
8
4
9
5
6
2
7
3
8
4
9
54
63
10
Wir benutzen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) die Pfadregelund das Additivitätsaxiom .
Pfadregel: Multiplikation aller Einzelschritt-Wahrscheinlichkeiten des Pfades, um die Wahrscheinlichkeit für dieses Pfad- Ereignisses zu berechnen.
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Besonderheit dieses 4-stufigen Experiments:
Die 4 Teilexperimente sind 4 unterschiedliche Zufallsversuche!
1. Teilexperiment: Auswahl des ersten Kindes aus einer Gruppe von 5 Jungen und 4 Mädchen
2. Teilexperiment: Auswahl des zweiten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 8 Kinder
3. Teilexperiment: Auswahl des dritten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 7 Kinder
4. Teilexperiment: Auswahl des dritten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 6 Kinder
Die Teilexperimente sind voneinander abhängig: Die Bedingungen jedes Teilexperiments hängen davon ab, wie das Vorgängerexperiment ausgegangen ist!
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Wir benötigen einen Begriff, der die Abhängigkeit in der Sprache der Stochastik modelliert.
bedingte Wahrscheinlichkeiten
25
Beispiel:
26
Stochastisches Modell:
Für jede von ihm wählbare Kugel-Aufteilung auf die 2 Gefäße muss der Astrologe den folgenden zufälligen Versuch untersuchen:
Auswahl einer Gefäßes durch den König und Ziehen einer Kugel aus diesem Gefäß, Feststellen der Kugelfarbe
Schwarze Kugel
gezogen
Weiße Kugel gezogen
Gefäß A (A,s) (A,w)
Gefäß B (B,s) (B,w)
Wir interessieren uns für 2 Merkmale gleichzeitig: Gefäß und Kugelfarbe
Elementarereignisse:
(Gefäß A , schwarze Kugel ) (Gefäß A , weiße Kugel) (Gefäß B , schwarze Kugel ) (Gefäß B , weiße Kugel)
Darstellung der Ergebnisse des Versuchs in einer 4-Felder-Tafel
27
Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B
Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4
Mögliche Kugelverteilungen durch den Astrologen:
s w s w s s w w s s w w w s s w
Wir untersuchen zunächst Situation 1:
A B
s w s w
Ausgewähltes Gefäß
Gezogene Kugel
Achtung: Austauschen der Gefäßbezeich-nungen führt auf 4 analoge Situationen!
Wir betrachten deshalb nur die 4 oben darge-stellten Situationen.
28
A B
s w s w
B A
s w s w
Gefäß A links, Gefäß B rechts Gefäß B links, Gefäß A rechts
1
2
1
2Zufällige Festlegung der Gefäßaufstellung
Ausgewähltes Gefäß
Gezogene Kugel
Aufstellungsentscheidung(Festlegung der Gefäß-bezeichnung)
Austauschen der Gefäßbezeichnungen führt auf 4 analoge Situationen!
8 Elementarereignisse (=8 Pfade), jeweils mit der Eintrittswahrscheinlichkeit 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 4 8
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
2
1
2
29
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für das reduzierte Modell:
P( Gefäß A gewählt ) = P( (A,s) , (A,w)) =
P( Gefäß B gewählt ) = P( (B,s) , (B,w)) =
P( Schwarze Kugel gezogen, falls vorher Gefäß A gewählt ) =
P( w, falls A gewählt) = , P( s, falls B) = , P( w, falls B) =
2
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
1
212
12
12
A B
s w s w
Ausgewähltes Gefäß
Gezogene Kugel
2
1P(A)= P(B)
P( s A) P( wA)
P( sB)
P( wB)
30
Definition bedingte Wahrscheinlichkeit:
Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P
Sei F ein Ereignis mit P(F) 0.
Für jedes Ereignis E heißt dann
die bedingte Wahrscheinlichkeit von E unter der Bedingung F
(=Wahrscheinlichkeit von E, unter Bedingung, dass F eingetreten ist).
:)FE(P)F(P
)FE(P
31
Schwarze Kugel gezogen
Weiße Kugel gezogen
Gefäß A
Gefäß B
Ereignis „Gefäß A wird gewählt“
Ereignis „Schwarze Kugel wird gezogen“
1. Einschränkung von auf das Ereignis „A“
2. Untersuchung des Ereignisses „s“ nur noch hinsichtlich der Einschränkung „A“
Untersuchung von Ereignis „s“ unter der Bedingung, dass Ereignis „A“ eingetreten ist
sA
Ziehen einer schwarzen Kugel, falls vorher Gefäß A gewählt wurde:
32
Multiplikationsregel:
1. Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P
Sei F ein Ereignis mit P(F) 0.
Dann gilt für jedes Ereignis E:
)F(P)FE(P)FE(P
2. Entsprechend gilt:
Sind Ereignisse E und F mit P(E) 0, so gilt:
)E(P)EF(P)FE(P
33
:)FE(P)F(P
)FE(P Multiplizieren mit P(F):
P(E F) P(F) = P(E F)
Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
Multiplikationsregel
P(F E) :P(E F)
P(E)
Multiplizieren mit P(E):
P(F E) P(E) = P(E F)
34
A B
s w s w
Ausgewähltes Gefäß
Gezogene Kugel
2
1P(A)= P(B)
1P(s A)
2 )Aw(P
)Bs(P
)Bw(P
Unser Astrologen-Beispiel, Situation 1:
Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeiten
)A(P)As(P)sA(P
)A(P)Aw(P)wA(P
)B(P)Bs(P)sB(P
)B(P)Bw(P)wB(P
35
Wahrscheinlichkeit, die unseren Astrologen interessiert:
P( gezogene Kugel ist weiß) = P(w)
Situation 1:
A B
s w s w
Ausgewähltes Gefäß
Gezogene Kugel
2
1P(A)= P(B)
)As(P )Aw(P
)Bs(P)Bw(P
s w s w
Gefäß A B
P(w)=
=
)B(P)Bw(P)A(P)Aw(P
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Pfadregel und Additionsaxiom
36
Situation 2: s s w w
Gefäß A B
A B
s(l) s(r) w(l) w(r)
P(w)=
=
2
1
2
1
2
1
2
12
1
2
1
)())(()())(( BPBrwPBPBlwP
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Pfadregel und Additionsaxiom
37
Situation 3: s w w s
Gefäß A B
A B
s s w(l) w(r)
2
12
1
3
1
3
1 3
11
P(w)=
=
)B(P)B)rechts(w(P)B(P)B)links(w(P
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
Pfadregel und Additionsaxiom
38
Situation 4: w s s w
Gefäß A B
A B
w ws(l) s(r)
2
1
2
1
13
13
1 3
1
P(w)=
=
)B(P)Bw(P)A(P)Aw(P
3
2
6
4
2
1
3
1
2
11 Pfadregel und
Additionsaxiom
Unser Astrologe sollte sich für die Kugelverteilung gemäß Situation 4 entscheiden:
Dann ist seine Chance, seiner Wege gehen zu dürfen, größtmöglich. Sie beträgt rund 66%.
39
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P.
Außerdem gelte
und Ø für alle Ereignispaare Bi und Bj..
Dann gilt für jedes Ereignis A:
nB...BB 21
ji BB
)B(P)BA(P...)B(P)BA(P)B(P)BA(P)A(P nn 2211
Beweis: Pfadregel auf das zugehörige Baumdiagramm anwenden!
40
B1 B2 Bn
A A AAA A
. . .
)()(...)()()()()( nn2211 BPBAPBPBAPBPBAPAP
Pfadregel und Additivität
1P(B )2P(B ) nP(B )
1P(A B )
1P(A B )
2P(A B )nP(A B )
2P(A B )nP(A B )
41
Veranschaulichung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit durch ein Venn-Diagramm:
B1
B2
B3
B4
B5
A
1 2 3 4 5A (A B ) (A B ) (A B ) (A B ) (A B )
für den Spezialfall n=5
42
1 2 3 4 5P(A) P(A B ) P(A B ) P(A B ) P(A B ) P(A B )
Begründung: Additionsaxiom
1 1 1P(A B ) P(A B ) P(B ) , ...
Begründung: Multiplikationsregel für bedingte Wahrscheinlichkeiten
1 1 2 2 5 5P(A) P(A B ) P(B ) P(A B ) P(B ) ... P(A B ) P(B )
43
Beispiel:
In den zwei Körben befinden sich jeweils sowohl Schokoladenmäuse als auch Schokoladenkugeln:
Im Korb mit der roten Schleife sind 40 Schokomäuse und 20 Kugeln,
im Korb mit der blauen Schleife 30 Schokomäuse und 30 Kugeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei rein zufälligem Griff eine Schokoladenmaus herauszufischen?
44
Zufälliger Versuch:
Schritt 1: zufälliges Auswählen eines der beiden Körbe,
Schritt 2: zufälliges Auswählen einer Süßigkeit aus dem ausgewählten Korb.
Also: 2-stufiger Zufallsversuch;
Elementarereignisse: geordnete Paare (gewählter Korb, Art der Süßigkeit)
= { (rot, Maus) , (rot, Kugel) , (blau, Maus) , (blau, Kugel) }
Achtung: wir haben es nicht mit einem Laplace-Modell zu tun, da in beiden Körben die Anzahl der Mäuse der Anzahl der Kugeln ist.
45
Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit:
Korb mit roterSchleife
Korb mit blauer Schleife
Schokomaus gezogen
Schokomaus gezogen
Kugel gezogen
Kugel gezogen
2
12
1
60
4060
20
60
30
60
30
P(Schokomaus)=12
7
2
1
60
30
2
1
60
40
Begründung:
Pfadregel und Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Schokomaus“
46
Wichtige Begriffe der heutigen Vorlesung:
Mehrstufiges Zufallsexperiment
Beschriftetes Baumdiagramm als Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
Pfadregel
Bedingte Wahrscheinlichkeit
4-Felder-Tafel, Multiplikationsregel
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
im 2-stufigen Baumdiagramm: Pfadregel + Additionsaxiom