Vorlesung 1Determinismus im Himmelsmechanik. Keplerische

Gesetze und Newtonische Himmelsmechanik. Dreikörperproblem.

Elementen der Katastrophentheorie.

Zustandsvariablen und Systemparameter. Potential und Diskontinuität. Zeemanische

Katastrophenmaschine. Spitzenkatastrophe.

Strukturelle Stabilität, Bimodalität, Hysteresis.

1. Das Problem der Entstehung des Mondes ist ebenfalls sehr kompliziert und noch immer nicht gelöst. In letzter Zeit wird eine Katastrophentheorie den anderen Hypothesen vorgezogen. Danach soll der Mond aus dem Zusammenstoß der noch jungen Erde mit einem anderen (marsgroßen) Planetenkörper entstanden sein. Die Reste dieses Zusammenstoßes aus den Hüllen dieser Körper sind dann in der Erdumlaufbahn zum Mond kondensiert. Damit lassen sich eine Reihe von Eigenschaften des Mondes erklären: relativer Eisenmangel und hoher Schmelz- und Siedepunkt des Mondgesteins, die Neigung der Mondbahn und der große Drehimpuls des Systems Erde - Mond.

Impakten und Einschläge auf der Oberfläche der Erde

2. In den 60er und 70er Jahren verglichen Paläontologen die Daten verschiedener Arten aus verschiedenen Gesteinsschichten und entdeckten Zeiten mit extrem hoher Artenauslöschung. Eine kürzliche Untersuchung mariner Schalentiere ergab ebenfalls folgendes Bild:

Warum glauben wir nicht in einer Impaktkatastrophe oder Einschlag aus dem All?

Wir glauben in Determinismus des Himmelsmechaniks!

I. Die Keplerischen Gesetze

1) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne stehet.

2) Die gedachte Linie SP, die die Sonne mit Planeten verbindet, überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3)Nimmt man zwei Planeten P (Umlaifzeit T, grosse Halbachse a) und P‘ (Umlaufzeit T‘, grosse Halbachse a‘), so sind die Verhältnisse T²/a³ und t‘²/a‘³ gleich.

Elliptische Bahn eines Planeten P mit der Sonne S in einem Brennpunkt

Kepler, 1605.

Kepler, 1605.Flächensatz. Die Bahnbögen P1P2 und P‘1P‘2 werden in gleichen Zeit durchlaufen.

Kepler, 1605.

P

a‘/a=2, daher T‘/T=2,8. Die Keplerellipsen haben denselben Brennpunkt S, aber nicht denselben Mittelpunkt. Ihre Form, d.h. der Wert von b bzw. b‘, ist ohne Einfluss auf T‘/T

II. Newtonische Gesetze + Gravitationsgesetz (Newton, 1666)

221

r

MMGF

rr

MrM

3

11

Die Himmelsmechanik: Der Planet T unterliegt nicht nur der Anziehungskraft der Sonne S, sondern auch der grossen Planeten J. Die Bahn von T weist daher eine Abweichung von der Keplerischen Bezugsbahn auf.

Newton Pricipia (London, 1687)

• Man darf für die natürlichen Dinge nur so viele Ursache zulassen, wie die Wahrheit entsprechen und zugleich zur Erklärung der Phänomene hinreichend sind. Die Natur ist einfach und verschwendet keine überflüssigen Ursachen!

• Deshalb sind Ursachen von natürlichen Wirkungen derselben Art dieselben.

Klassische Determinismus

Dreikörperproblem (Poincaré):

• Die Relation zwischen dem Zeitpunkt und Positionen im Dreikörperproblem gerade nicht mit Hilfe der elementaren Funktionen ausdrücken lässt. Die Lösungen sind die Zeitreihen.

• Die Reihen divergent sind, d.h., daß man sie daher nicht verwenden kann, um die Lösung zu definieren und zu berechnen: die Reihen nicht geeignet sind, eine unbegrenzte Näherung zu liefern.

Poincarés, 1892. Drei- und Mehrkörper-Wechselwirkungen im Himmelsmechanik.

Die Situation in der Umgebung einer periodischen Bahn T.Ebene , die mit T an einem Punkt zusammentrifft, den bezeichnet man als O. T‘ ist eine benachbarte Bahn, so trifft sie mit in den zu O benachbarten Punkten A0, A1, A2 .... zusammen. Diese Punkte bilden eine unendliche Folge, es sei denn, die Bahn T‘ ist selbst auch periodisch. Der Gedanke ist, die Bahn T‘ zu ersetzen durch die Folge der Punkte, an denen sie auf Ebene auftritt.

)(1

3 ij

N

ijj

ji

jiii rr

rr

MMGrM

Diese Figur zeigt eine Computerberechnung auf der Grundlage der Henonschen Formeln. Sie scheint eine saubere Aufteilung zu geben in einen Innenbereich, in dem Regelmäßigkeit herrscht, und einen äußeren Bereich, in dem die Bahnen zufällig erscheinen. Das ist jedoch nur scheinbar so, wie die folgende Abbildung zeigt.

Hénon, 1969.

cos)(sin

sin)(cos2

1

21

nnnn

nnnn

XYXY

XYXX

=76,11°

Sattelpunkte Ci gehören zu einer periodischen Umlaufbahn.

Vergrösserung der Umgebung des Punktes C2 von letzter Abbildung. Die dargestellten Punkte gehören zu einer einzigen Bahn. Man erkennt das Hervortreten einer Feinstruktur, die aus Inseln der Ordnung in einem Meer des Chaotischen besteht.

Beobachtung der Durchgänge des Kometen C durch die Ebene P der gemeinsamen Bahn E1 und E2.

Frage: Wie viele Jahre zwischen zwei aufeinanderfolgenden Erscheinungen des Kometen auf der Ebene P verstreichen werden ?

Die stark durchgezogene Linie stellt die Bahn des von der Anfangsposition O ausgegangenen Bezugssystems dar. Eine leichte Störung des Systems kann genügen, um diese Bahn völlig zu verändern (gestrichelte Linie).Gleichwohl gibt es eine Bahn des gestörtes Systems, die in der Umgebung der Bezugsbahn des ungestörtenSystems bleibt (schwach durchgezogene Linie): aber diese Bahn ist von einer anderen Anfangsposition ausgegangen (Punkt O‘ anstelle von O).

Einleitung in der Katastrophentheorie

Es gibt viele Systeme, die sich nicht in allen Fällen stetig verhalten. Da aber die Standard verfahren der Mathematik, die Integral- und Differenzialrechnungen nur auf stetige Funktionen anwendbar sind, müssen hier neue Methoden entwickelt werden. Die Katastrophentheorie ist kein physikalisches Prinzip, sondern eine mathematische Theorie und hier eng mit der Behandlung von Singularitäten verknüpft.

Da die katastrophentheorie die Probleme sehr allgemein behandelt, sollte sie nicht nur auf die Himmelsmechanik beschrankt sein, sondern auch auf anderen gebieten wir z. B. in der Biologie oder Paläoontologie anwendbar sein. Katastrophentheorie ist eine qualitative Theorie.

René THOM „Stabilite´structurelle et morphogenèse“ (1972)

Sattelkpunkt (Falte): F(x)= x3 + u*x Ein System kann vollständig durch die Angabe von n Variablen (x1, x2, ....xn), den sogenannten Zustandsvariablen beschrieben werden. Diese Zustandsvariablen werden von m Kontrollvariablen bestimmt (u1, u2, u2...um).

ui sind äußere Parameter.

Kuspe (cusp): F(x)= x4-u*x2+v*x

Die folgende Abbildungen macht deutlich, warum es auch bei einem glatten Potential, das stetig von einer Kontrollvariablen (v) abhängt zu unstetigen Verhalten kommen kann.

Falte und wie man sie überquert

Raum der Kontrollparameter

Katastrophenoberfläche

Schlußbemerkungen• Die Katastrophentheorie ist ein Werkzeug um den

Einfluß von äußeren Parametern (Kontrollparametern) auf dissipativen Systeme zu beschreiben.

• Von Evolution der dissipativen Systeme ist nichts zurückzubehalten als ihren Gleichgewichtszustände.

• Im Himmelsmechanik schließt in sich Gegenwart explizit alle Vergangenheit und alle Zukunft. In ein geschlossenes Universum mündet eine universale Gegenwart ein Universum ohne Überraschungen.