1. Einfuhrung 22. Oktober 2008
Vom Makrokosmos zum Teilchen
Kristall ∼ 1 cm
1/10000000
Molekul 10−9m
1/10
Atom 10−10m
1/10000
Atomkern 10−14m
1/10
Proton,
Neutron10
−15m
< 1/1000
Elektron,
Quark< 10
−18m
1. Einfuhrung 22. Oktober 2008
Gebiete der Physik
Kosmologie Ursprung und Entwicklungdes Universums
Astrophysik Vorgange in Sternen,Galaxien etc.
Geophysik Erde
Mechanik Bewegungsgesetzemakroskopischer Korper
Warmelehre Gase etc. (makroskopisch)
Elektrodynamik elektr. und magnetischePhanomene
Optik Licht
Biophysik belebte Materie
Festkorperphysik Kristalle, Metalle etc.(mikroskopisch)
Statistische Physik Gase (mikroskopisch)
Atom- und ElektronenhullenMolekulphysik
Kernphysik Atomkerne
Teilchenphysik Elementarteilchen
QM
RT
1. Einfuhrung 22. Oktober 2008
Klassische Physik,
Quantenmechanik,
Relativitatstheorie
KlassischePhysik
E · t, p · L ≫ ~
QME · t, p · L & ~
SpezielleRT
v & 0.1c
QM+RT
allgemeine RT
log10(L/m)
Kosmos
Galaxie
Sonnen-system
Mensch
Atom
Elementar-teilchen
26
20
14
0
-10
-18
v/c1
~ = h2π = 1.056 · 10−34 Js
c = 3 · 108 m/s
1. Einfuhrung 22. Oktober 2008
Experiment und Theorie
Experiment
Reproduzierbare Messung(genau definierte Anfangsbedingungen)
Bekannte Genauigkeit −→ Messfehler
Theorie
Mathematische Gesetzmaßigkeiten
Zuruckfuhrung auf Modelle und Axiome
Uber einzelne Messungen hinaus gultig
Uberprufbare
Vorhersagen
Test der
Vorhersagen
Anpassung der
Parameter
Widerlegung
von Modellen
1. Einfuhrung 22. Oktober 2008
Physikalische Großen
Quantifizieren
Eigenschaften von Objekten und
Vorgangen
Phys. Große =⟨
Symbol⟩
=⟨
Maßzahl⟩⟨
Einheit⟩
±⟨
Maßzahl⟩⟨
Einheit⟩
︸ ︷︷ ︸
Messfehler
Beispiel: Lange = L = 1.50m ± 0.01m
Symbole:
• meist lateinischer oder griechischer Buchstabe
• nicht eindeutig festgelegt (aber es gibt Konventionen)
• muss stets definiert werden!
Einheiten:
• SI-Einheitensystem
• Basis-Einheiten: m, s, kg, mol, K, A, cd
• alle anderen Einheiten davon abgeleitet
• Prafixe zur Angabe von 10er-Potenzen
2.1 Kinematik 22. Oktober 2008
Geschwindigkeit, Beschleunigung
Hier: Geradlinige Bewegung
Quantitative Beschreibung:
Angabe des Ortes x zu jedem Zeitpunkt t
(→ Funktion x(t))
Definitionen:
Geschwindigkeit = v(t) =dx(t)
dt= x(t)
Beschleunigung = a(t) =dv(t)
dt= v(t) =
d2x(t)
dt2= x(t)
Einheiten: [v] = ms−1, [a] = ms−2
KonstanteGeschwindigkeit
v = v0 = const.
a(t) = 0
v(t) = v0
x(t) = x0 + v0t
Anfangswert:
x0 = x(t = 0)
KonstanteBeschleunigung
a = a0 = const.
a(t) = a0
v(t) = v0 + a0t
x(t) = x0 + v0t +1
2a0t
2
Anfangswerte:
x0 = x(t = 0),
v0 = v(t = 0)
2.1 Kinematik 22. Oktober 2008
Differentiation
df(x)
dx= lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
y=f(x)
x
∆
∆
x
f
f(x)
α
x x∆x+
Winkel α der
Tangente:
tanα =df(x)
dx
Regeln:
d
dx[f(x) + g(x)] =
df
dx+
dg
dx
d
dx[f(x) · g(x)] =
df
dx· g(x) + f(x) · dg
dx
d
dx
f(x)
g(x)=
dfdx
g(x)−
f(x) · dgdx
g(x)2
d
dxf(g(x)) =
df
dg· dg
dx
2.1 Kinematik 29. Oktober 2008
Integration
x2∫
x1
f(x) dx =Flache unter Graph von f(x)
zwischen x1 und x2
2)x*f(x∆
x2 x2
y=f(x)
x
f(x)
x1 + x∆
Hauptsatz derDifferential- undIntegralrechnung:
d
dx
x∫
x1
f(x′) dx′
= f(x)
Stammfunktionen:
unbestimmtes Integral = Stammfunktion
Integrand =d(Stammfunktion)
dx
Beispiel:
∫
xn dx =xn+1
n + 1x2∫
x1
f(x)dx = Stammfunktion(x2) − Stammfunktion(x1)
2.1 Kinematik 29. Oktober 2008
Fehler physikalischer Messungen
Statistische Fehler:
• variieren von Messung zu Messung
• werden oft durch Messreihen ermittelt:
K Messungen: x(1), . . . , x(K)
• Annahme: x(i) (i = 1, . . . K) Gauss-verteilt
x0x0 x0 x−σ +σ
N
N/e
Häufigkeit
N · exp[
−(x−x0)2
2σ2
]
N = 1/(√
2πσ)
Messergebnis = xgem ± ∆xgem mit
xgem =1
K
K∑
i=1
x(i) ≈ x0 = Mittelwert
σgem =
√√√√ 1
K − 1
K∑
i=1
(x(i) − xgem)2 ≈ σ
∆xgem =σgem√
K= Fehler des Mittelwerts
Systematische Fehler:
• bei allen Einzelmessungen gleich
• durch Messgerat oder Messmethode bedingt
2.1 Kinematik 29. Oktober 2008
Fehlerfortpflanzung
Problemstellung:
Experimentelle Bestimmung
einer physikalischen Große x,
die von M gemessenen Großen a1, . . . , aMmit bekannten Messfehlern ∆a1, . . . ,∆aM
abhangt (d.h. x = x(a1, . . . , aM)).
Frage: Was ist der Fehler ∆x von x?
Antwort: ∆x =
√√√√√
K∑
j=1
[
∂x
∂aj∆aj
]2
∂x/∂aj = partielle Ableitung von x nach aj
= Ableitung bei festen a1, . . . , aj−1, aj+1, . . . , aK
(∂x/∂aj) · ∆aj = Anderung von x
bei Variation von aj um ∆aj
Beispiel: Messung von g
• g = 2L/t2 ⇒ 2 Messgroßen L und t
• Identifiziere: x , g, a1 , L, a2 , t und K = 2• (∂x/∂a1) , (∂g/∂L) = 2/t2,
(∂x/∂a2) , (∂g/∂t) = −4L/t3
∆g =
√[2
t2∆L
]2
+
[−4L
t3∆t
]2
= g
√[∆L
L
]2
+
[2∆t
t
]2
2.1 Kinematik 29. Oktober 2008
Drehbewegungen
Eindeutige Beschreibung:
• Angabe der Drehachse (o.B.d.A.: z-Achse)
• Bewegung eines Punktes um Drehachse
(o.B.d.A.: in der x-y-Ebene)
R
φ
Rcos( )
R sin( )
φ x
y
φ
R = Radius
x = R cos(φ)
y = R sin(φ)
Definition:
Winkelgeschwindigkeit = ω =dφ
dt; [ω] = s−1
ω = ω0 = const.:
• Periodischer Vorgang mit Periode T = 2πω0
• Drehfrequenz: ν = 1T = ω0
2π [ν] = s−1 = Hz
• Umfangsgeschwindigkeit:
vUmf = 2πRT = 2πRν = Rω0
2.1 Kinematik 29. Oktober 2008
Vektoren und Koordinatensysteme
Vektoren:
Gerichtete Großen (z.B. Geschwindigkeit)
konnen durch Pfeile dargestellt werden.
Mathematische Beschreibung durch Vektoren.
y
z
x
y
z
x
r
Koordinatendarstellung
von Vektoren:
~r =
x
y
z
Koordinatensysteme:
• drei paarweise zueinander senkrechte Achsen
• jede mit Maßeinteilung
• rechtshandiges System
Daumen zeigtin z−Richtung
Finger drehen x−Achse zur y−Achse
Rechte−Hand−Regel
2.1 Kinematik 29. Oktober 2008
Rechenregeln fur Vektoren
• Addition:
~r1 + ~r2 =
x1
y1
z1
+
x2
y2
z2
=
x1 + x2
y1 + y2
z1 + z2
(Aneinandersetzen der Pfeile)
• Multiplikation mit Zahl a ∈ R:
a · ~r = ~r · a = a ·
x
y
z
=
ax
ay
az
• Betrag (Lange):
|~r| =√
x2 + y2 + z2
• Skalarprodukt:
~r1 · ~r2 = ~r2 · ~r1 = x1x2 + y1y2 + z1z2 = |~r1| · |~r2| · cosφ
(φ ist der Winkel zwischen beiden Vektoren)
• Kreuzprodukt:
~r1 × ~r2 =
x1
y1
z1
×
x2
y2
z2
=
y1z2 − y2z1
z1x2 − z2x1
x1y2 − x2y1
= −~r2 × ~r1
|~r1 × ~r2| = |~r1| · |~r2| · sinφ
~r1 · (~r1 × ~r2) = ~r2 · (~r1 × ~r2) = 0
(~r1 × ~r2 steht senkrecht auf der Ebene,die von ~r1 und ~r2 aufgespannt wird
und entspricht im Betrag der Flache des von~r1 und ~r2 gebildeten Parallelogramms)
2.1 Kinematik 29. Oktober 2008
Vektorielle Darstellung von
Geschwindigkeit u. Beschleunigung
Wenn ~r(t) die Bahnkurve eines bewegten Objektsbeschreibt, so ist dessen
Geschwindigkeit = ~v(t) =d
dt~r(t) = ~r(t) =
dx/dt
dy/dt
dz/dt
Beschleunigung = ~a(t) =d
dt~v(t) = ~v(t) =
d2
dt2~r(t) = ~r(t)
Beispiel: Wurfparabel
Bewegung im Schwerefeld der Erde:• Konstante Beschleunigung mit Betrag g nach unten
(d.h. negative z-Richtung)• o.B.d.A.: Startpunkt im Koordinatenursprung• o.B.d.A.: Bewegung in x-z-Ebene
~v = ~v0 +
t∫
0
~a(t′)dt′ = ~v0 + ~a · t
~r = ~r0 +
t∫
0
~v(t′)dt′ = ~r0 + ~v0 · t +1
2~a · t2
=
v0,xt
0
v0,zt − gt2/2
=
x
y
z
Elimination von t ergibt mit v0,x = v0 cosφ, v0,z = v0 sinφ:
z = x tanφ − gx2
2v20 cos2 φ
2.1 Kinematik 29. Oktober 2008
Vektordarstellung von
Drehbewegungen
r
v
azentr
φ
x
y
~r =
R cosφ
R sinφ
z0
~v = Rdφ
dt
− sinφ
cosφ
0
dφ
dt= ω ; |~v | = ωR
Beschleunigung:
~a =d~v
dt= R
d2φ
dt2
− sinφ
cosφ
0
︸ ︷︷ ︸
(anti)parallel zu ~v,d2φ/dt2 =
Winkelbeschleunigung
+ R
(dφ
dt
)2
− cosφ
− sinφ
0
︸ ︷︷ ︸
Zentripetalbeschleunigung,zeigt zum Drehzentrum= ~azentr ; |~azentr| = ω2R
Beachte: ~v · ~r = ~v · ~azentr = 0 ⇔ ~v ⊥ ~r, ~v ⊥ ~azentr
Winkelgeschwindigkeit als Vektor ~ω:
Betrag =dφ
dt; Richtung = Richtung der Drehachse
Rechte-Hand-Regel:Finger entsprechend Drehsinn ⇒ Daumen in ~ω-Richtung
⇒ ~v = ~ω × ~r (wenn Drehachse durch Koordinatenursprung)
2.1 Kinematik 29. Oktober 2008
Langen- und Zeitmessung
Langenmessmethoden
• LaufzeitmessungSignalgeschw. c bekannt
• Triangulation
• MaßstabeMetermaß, Schublehre, . . .
• Mikroskopmax. Genauigkeit etwa eine
Wellenlange λ ≈ 0.5µm
• InterferometrieBruchteile von λ
• ElektronenmikroskopElektronenstrahl-Optik bis
10−10 m → einzelne Atome
• RastertunnelmikroskopOberflachenuntersuchungen,
bis ca. 10−10 m
B
L
α
β
Laufzeitmessung:
DetektorQuelle
LReflektor
Triangulation:
L = ct2
L = B sinαsin(α+β)
Zeitmessmethoden
• Zahlen periodischer VorgangeMechanische oder elektrische Schwingungen,
Umlauf der Erde um die Sonne, . . .
von ∼ µs bis Jahre
• OszilloskopSteuerung von Elektronenstrahl mit Spannungssignalen,
Sichtbarmachung von zeitlichen Ablaufen bis ca. 1 ns
• Radiometrische Methodennutzen radiaoaktives Zerfallsgesetz N(t) = N0 exp(−t/τ),
z.B. C14-Methode bis ca. 40000a
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 29. Oktober 2008
Kraft und Masse
Kraft hat Betrag (Starke) und Richtung
⇒ Darstellung durch Vektor ~F
• Gewichtskraft:Im Schwerefeld der Erde wirkt auf Korper mitMasse m eine Kraft
~G = ~FGew = m~g
Masse = Eigenschaft des Korpers, [m] = kg~G = Gewichtskraft, [F ] = kgms−2 = N(ewton)
• Federkraft:Spiralfeder erzeugt bei Auslenkung um Strecke ~xRuckstellkraft
~F = −D~x , D = Federkonstante
(Hook’sches Gesetz,gilt fur alle elastischen Verformungen)
|F|
D groß
D klein
x
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 05. November 2008
Reibungskrafte
Reibung ist eine derBewegung entgegenwirkende
Kraft, die entsteht, wennzwei sich beruhrende Korpersich gegeneinander bewegen.
F =mg=G
Fzug
N
m
Haftreibung
~Fzug = ~FH ist die Kraft, die benotigt wird, um die Korpergegeneinander in Bewegung zu versetzen.
∣∣∣ ~FH
∣∣∣= µH
∣∣∣~FN
∣∣∣
µH = Haftreibungskoeffizient ∼ 0.5 . . .1.2
(µH hangt von Material und Oberflachenbeschaffenheitab, aber nicht von der Große der reibenden Oberflachen)
Gleitreibung
~Fzug = ~FG ist die Kraft, die benotigt wird, um die Korpermit konstanter Relativgeschwindigkeit zu bewegen.
∣∣∣~FG
∣∣∣ = µG
∣∣∣ ~FN
∣∣∣
µG = Gleitreibungskoeffizient ∼ 0.2 . . .1.0 < µH
(µG hangt von Material, Oberflachenbeschaffenheit undGeschwindigkeit ab)
Rollreibung (→ 2.3)
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 05. November 2008
Kraftfelder
Definition:
Die Kraft, die ein Korper auf einen anderen ausubt,lasst sich fur jeden Punkt im Raum angeben:
~F = ~F (~r ) = Kraftfeld
(unabhangig davon, ob sich am Punkt ~r ein Korperbefindet, auf den die Kraft tatsachlich wirkt).
Beispiel: Schwerefeld der Erde
Die Schwerkraft auf einen Korper (Masse m) ist eineFolge der Gravitationswechselwirkung zwischen
der Erde (Masse ME) und diesem Korper.
~F (~r ) = −GmME
r2
~r
|~r |~r = Ortsvektor von Erdmittelpunkt zu m
~r/|~r | = Einheitsvektor in ~r-Richtung
G = Gravitationskonstante = 6.67 · 10−11 Nm2
kg2
Erde, ME
m
rF
Erdoberflache:
|~F (|~r | = RE)| = mg
=GME
R2E
m
⇒g =GME
R2E
⇒ME = 6.0 · 1024 kg
(mit RE = 6.4 · 106 m)
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 05. November 2008
Das Gravitationsgesetz
Korper mit Masse ziehen sich an:
~F12 = −Gm1m2
|~r12|2~r12
|~r12
Bei ausgedehnten Korpern wirkt die Kraft,als ware die Masse jeweils in einem Punkt
(dem sog. Schwerpunkt) vereinigt.
Bei homogenen Kugeln istder Schwerpunkt der Mittelpunkt.
m
m
1
2
12r
F 12
Messung der Gravitationskonstante:
Gravitationswaage: Gravitations-Anziehung wird durchTorsionskraft eines Drahtes kompensiert
2|~FG| = 2Gm1m2
R2=
Tφ
d
• T = Winkelrichtgroße• φ = Verdrillung
des Drahtes
Winkelanderung ∆φbei Umlegen derschweren Kugeln:
G =R2T∆φ
4m1m2d
m
M
M
Rd
mDraht
mit Spiegel
Laser
GF
GF
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 05. November 2008
Newtonsche Gesetze 1 und 2
Definition: Impuls = ~p = m~v [p] = kgms−1
Das 1. Newtonsche Gesetz:
Ein Korper, auf den keine Kraft wirkt, verharrt
im Zustand der Ruhe oder der gleichformigen
Bewegung:
~F = 0 ⇔ ~p = const.
Das 2. Newtonsche Gesetz:
Die zeitliche Impulsanderung eines Korpers mit
Masse m wird durch die auf ihn wirkende Kraft
verursacht und ist gegeben durch:
~F =d~p
dt
m=const.= m
d~v
dt= m~a
Achtung:
Diese Gesetze gelten nur, wenn das
Bezugssystem unbeschleunigt ist
(d.h. sich mit gleichbleibender
Geschwindigkeit bewegt)
→ Inertialsystem
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 05. November 2008
Inertial- und andere Systeme
Scheinkrafte
Betrachte zwei Koordinaten-
systeme S und S′:
• S ist Inertialsystem
• S′ ist beschleunigt
2. Newtonsche Gesetz in S
(m = const.):
~F = m~r = m(
~R + ~ ′r)
⇒ m~ ′r = ~F − m~RBeobachter in S′ erfahrt
Scheinkraft −m~R .
Beispiel: Beobachter infrei fallendem Fahrstuhl
ist schwerelos
Schwere Masse = trage Masse
• schwere Masse: erzeugt Schwerkraft• trage Masse: widersetzt sich Beschleunigung
Diese Gleichheit ist nicht selbstverstandlich!
Ausgangspunkt fur Einsteins allg. Relativitatstheorie:
Beobachter kann Schwerkraft (schwere Masse)und Beschleunigung (trage Masse) nicht unterscheiden!
S
r
r’
R
S’
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 05. November 2008
3. Newtonsches Gestz,
Kraftstoß, Impulserhaltung
Das 3. Newtonsche Gesetz:
Wechselwirken zwei Korper miteinander,aber nicht mit anderen Korpern, so uben sieentgegengesetzt gleiche Krafte aufeinanderaus:
~F1 = − ~F2
Der Kraftstoß:
Eine uber endliche Zeit (von t1 bis t2) einwirkende Kraft(Kraftstoß) erzeugt eine Impulsanderung:
∆~p =
t2∫
t1
~F (t)dt (∗)
Impulserhaltung:
Aus (∗) und dem 3. Newtonschen Gesetz folgt fur die
Impulsanderung der beiden wechselwirkenden Korper
∆~p1 = −∆~p2 ⇒ (~p1 + ~p2)|vorher = (~p1 + ~p2)|nachher
In einem abgeschlossenen System
(keine außeren Krafte)
ist die Summe aller Impulse konstant!
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 05. November 2008
Die Rakete
Antrieb durch Ausstoß von Treibgas oder Flussigkeitwegen Impulserhaltung.
Annahmen: konstante Ausstoßrate dmdt
= µ
konstante Ausstoßgeschwindigkeit v0
z
p=mv
p=(m−dm)(v+dv)
t t+dt
p=dm(v−v )o
Impulsanderung in infinitesimalem Zeitintervall dt
~p (t) = m~v
~p (t + dt) = (m − dm)(~v + d~v) + dm(~v − ~v0)
= m~v + m · d~v − dm · ~v0 − dm · d~v︸ ︷︷ ︸
vernachl.
⇒ d~p
dt=
~p (t + dt) − ~p (t)
dt= m
d~v
dt− µ~v0
!= ~Fext
Fur ~Fext = ~0 und ~v(t=0) = ~0:
d~v
dt=
µ
m(t)~v0 =
µ
m0 − µt~v0
⇒ ~v (t)=
t∫
0
µ~v0 dt
m0 − µt= [−~v0 ln(m0 − µt)]
t0 = ~v0 ln
m0
m(t)
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 05. November 2008
Arbeit und Wegintegrale
Arbeit = W =∫
C
~F d [W ] = Nm = kgm2 s−2
s∆
1
N
F
F
1
N
s∆
C
∫
C
~F d~s = lim|∆~s |→0N→∞
N∑
i=1
~Fi · ∆~si
Die ∆~si bildeneinen Polygonzug
entlang dem Weg C.
Beispiele:
Arbeit gegen Schwerefeld beim Heben einer Masse m:
d~s =
0
0
dz
; ~F =
0
0
mg
= − ~G
⇒W =
∫
C
~F d~s =
z2∫
z1
mg dz = mg (z2 − z1)︸ ︷︷ ︸
=h
Arbeit gegen Federkraft:
d~s =
dx
0
0
; ~F =
Dx
0
0
= −~FRuckstell
⇒W =
∫
C
~F d~s =
x2∫
x1
Dxdx =D
2
(x22 − x2
1
)
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 12. November 2008
Arbeit in Kraftfeldern
In einem Kraftfeld ~F (~r ) ist∫
C
~F (~r ) d~r
die vom Feld bei Bewegung eines Korprs
entlang dem Weg C geleistete Arbeit.
Achtung: Vorzeichenwechsel bzgl. vorherigen Beispielen
Konservative Kraftfelder
Ein Kraftfeld ~F (~r ), in dem die Arbeit entlanggeschlossener Wege verschwindet, heißt konservativ.
⇒Fur Weg C(~r1 → ~r2)
(von Anfangspunkt ~r1 bis Endpunkt ~r2)hangt W nur von ~r1 und ~r2 ab, aber nicht von C.
r
r
2
1
C
C
1
2
F
∮
C
~F d~r =
∫
C1(~r1→~r2)
~F d~r +
∫
C2(~r2→~r1)
~F d~r
︸ ︷︷ ︸
=−∫
C2(~r1→~r2)
~F d~r
⇒∫
C1(~r1→~r2)
~F d~r =
∫
C2(~r1→~r2)
~F d~r
z.B. ~F = const.,alle kugelsymmetrischenZentralfelder
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 12. November 2008
Potentielle Energie
In konservativen Kraftfeldern:
W =
∫
C1(~r1→~r2)
~F d~r
= Ep(~r1) − Ep(~r2) = − [Ep(~r2) − Ep(~r1)]
• Ep = potentielle Energie; [Ep] = [W ] = Nm
• Beachte Vorzeichen: Ep nimmt zu,wenn Bewegung gegen das Kraftfeld gerichtet ist
• Wahl des Nullpunkts von Ep willkurlichbzw. durch Konvention festgelegt.
Potentielle Energie einer Masse m im Erd-Schwerefeld:
Ep(z) = mgz (Wahl des z-Ursprungs willkurlich)
Potentielle Energie bei Dehnen einer Feder:
Ep(x) =1
2Dx2 (x-Ursprung: Gleichgewichtslage)
Potentielle Energie im Erd-Gravitationsfeld:
d~r = dr~r
|~r |; ~F = −G
mME
|~r |2~r
|~r |
⇒ W =
∫
C
~F d~r|~r |=r= −GmME
r2∫
r1
dr
r2=
[GmME
r
]r2
r1
= GmME
(1
r2
− 1
r1
)!= Ep(r1) − Ep(r2)
⇒ Ep(r)= −GmME
r(Nullpunkt so, dass Ep(∞) = 0)
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 12. November 2008
Der Energiesatz
Herleitung aus 2. Newtonschen Gesetz:
~F =d~p
dt
m=const.= m
d~v
dt
⇒t2∫
t1
~F ~v dt︸︷︷︸
d~r=~v dt
= m
t2∫
t1
d~v
dt~v dt
⇒ Ep(t1) − Ep(t2) =1
2mv(t2)
2 − 1
2mv(t1)
2
⇒ Ep +1
2mv2= const. = Etot
Definition: kinetische Energie = 12mv2 = Ekin
1 1t=t , v=vh
t=0, v=0
Schiefe Ebene:
mgh =1
2mv2 ⇒ v =
√
2gh
Dx2
2
x0 x
E
E =p
totE
x0−
erlaubter Bereich
Feder:
Etot = Ep + Ekin
=1
2Dx2 +
1
2mv2
Wegen Ekin > 0 ist nur derBereich mit Etot ≥ Ep
erlaubt.
(→ Schwingungen,Abschnitt 2.4)
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 12. November 2008
Berechnung der Kraft
aus der potentiellen Energie
In konservativen Kraftfeldern:
⇒ Potentielle Energie Ep ergibt sichdurch Integration aus Kraftfeld
⇒ Umkehrung? Ja:
~F (~r ) = −
∂Ep(~r )/∂x
∂Ep(~r )/∂y
∂Ep(~r )/∂z
= − ~gradEp(~r ) = −~∇Ep(~r )
(ohne mathematischen Beweis!)
Beispiel: Gravitationsfeld der Erde
Ep(~r ) = Ep(r) = −GmME
r
mit r =
√
x2 + y2 + z2
⇒ Anwendung der Kettenregel:
∂Ep(r)
∂x= −GmME
(∂
∂r
1
r
)(∂r
∂x
)
= −GmME
(
− 1
r2
)(x
r
)
⇒ Genauso fur y und z; insgesamt:
~FG = −GmME
r2
x/r
y/r
z/r
= −GmME
r2
~r
r
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 12. November 2008
Leistung
Definition:
Leistung = P =dW
dt;
[P ] = Nm/ s = J/ s = W(att)
Zusammenhang mit ~F und ~v:
Betrachte Wegintegral uber Kraft entlang Weg C,der durch ~r = ~r (t) gegeben ist:
P =d
dt
∫
C
~F d~s
=d
dt
t∫
t0
~F (t′)d~r
dt′dt′ =
d
dt
t∫
t0
~F (t′)~v (t′) dt′
⇒ P = ~F · ~v
Beispiel:
Maximale Beschleunigung a eines Autos mit50 kW Motorleistung und Masse m = 103 kgbei Geschwindigkeit v = 20 m
s?
~F ‖ ~v ⇒ P = Fv = mav
⇒ a =P
mv=
5 · 104
103 · 20
kgm2 s
s3 kgm= 2.5
m
s2
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 12. November 2008
Kreisbahn um die Erde,
Fluchtgeschwindigkeit
Kreisbahn um die Erde:
Gravitations-Kraftfeld zeigt radial zum Erdmittelpunkt
⇒ Kreisbewegung mit konstantem ω moglich(Umlauf von Masse m in Radius R um Erdmittelpunkt)
⇒ 2. Newtonsches Gesetz: |~FG| = m|~azentr|
⇒ GmME
R2= mω2R = m
v2
R
⇒ R =GME
v2
⇒ Achtung: Andere Bahnformen (Ellipsen) moglich,siehe 2.3
Fluchtgeschwindigkeit:
Energiebilanz im Erd-Gravitationsfeld
Etot = Ep + Ekin = −GmME
r+
1
2mv2 = const.
⇒ Etot < 0: Bewegung beschrankt auf r ≤ GMEm
|Etot|⇒ Etot ≥ 0: Bewegung nach r → ∞ moglich
⇒ Grenzfall: Etot = 0
GMEm
RE=
1
2mv2
0
v0 =
√
2GME
RE=√
2gRE
= 11.2km/ s
= Fluchtgeschw.
totE >0
totE <0
E =GM m
rpE
E
RE r0
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 12. November 2008
Stoßprozesse
Problemstellung:
Wechselwirkung zweier Korper miteinander,
aber nicht mit anderen Objekten
⇒ Korper lenken sich gegenseitig ab
⇒ Anfangs- und Endzustand: Abstand groß,
keine (bzw. vernachlassigbare) Wechselwirkung
→ Etot = Ekin
⇒ 3. Newtonsches Gesetz → Impulserhaltung
2pp
1
2
p’1
p’
Impulssumme:
~ptot = ~p1 + ~p2
= ~p ′1 + ~p ′
2
Schwerpunktsystem:
~ptot = ~0
Elastisch oder inelastisch ?
⇒ Elastisch: Ekin = E′kin
– in konservativen Kraftfeldern
– wenn sich die Korper nicht beruhren
und unverandert bleiben
⇒ Inelastisch: Q = Ekin − E′kin > 0
– Kinetische Energie wird umgewandelt
– Verformung, Schall, Warme, . . .
2.2 Bewegungsgleichungen. . . 12. November 2008
Zentrifugalkraft
Definition:
• Korper, der in rotierendem Bezugssystem ruht,erfahrt Beschleunigung aZ = ρω2 in Richtung zurDrehachse (ρ = Abstand Korper–Drehachse)
• Korper ubt Zentrifugalkraft mit Betragm aZ radial nach außen aus
Vektorschreibweise:
~FZ = m~aZ = m ~ω × (~r × ~ω)
Rotierendes Wasserglas:
• Wasseroberflache stelt sich senkrecht zurinsgesamt wirkenden Kraft ein
tanα =|~FZ
~FG
!=
dzo(r)
dr
⇒ tanα =ω2r
g⇒zo(r) =
zo(0) +
r∫
o
ω2r′
gdr′ =
zo(0) +ω2r2
2g r
z
z (r)o ω
α
α
FG
F
FZ
tot
2.3 Drehungen. . . 19. November 2008
Tiefdruckgebiete
2.3 Drehungen. . . 19. November 2008
Corioliskraft
∆s
Beobachter außen Beobachter auf Scheibe
2R
ω ω
v
Berechnung der Coriolis-Beschleunigung:
• Beobachter auf Scheibe sieht gekrummte Bahnwenn Bewegung in Inertialsystem geradlinig ist(Geschwindigkeit ~v)
• Beobachter schließt auf Existenz einer Kraft,die diese Beschleunigung verursacht
• Er sieht Ablenkung ∆s in Zeitintervall ∆t:
∆t =R
v⇒ R = v∆t
∆s = Rω∆t = ωv∆t2!=
1
2ac∆t2
⇒ ac = Coriolis-Beschleunigung = 2vω
ω
v
ac
Coriolis-Kraft:
~Fc = m~ac
= 2m(~v × ~ω)
2.3 Drehungen. . . 19. November 2008
Drehimpuls
Definition:
Drehimpuls = ~L = ~r × ~p
[L] = kgm2/ s = J s = [~]
z
y
x
r
p=mv
L=r x p
Eigenschaften des Drehimpulses:
• ~L steht senkrecht auf ~r und ~v
• ~L hangt von Wahl des Koordinatenursprungs ab!
• Fur Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ~ωund ~r ⊥ ~ω ist |~v | = r|~ω | = rω und damit
|~L | = m v r = m ω r2 (~r ⊥ ~ω)
2.3 Drehungen. . . 19. November 2008
Drehmoment und Drehimpuls
Zeitliche Anderung des Drehimpulses:
d~L
dt=
(d~r
dt︸︷︷︸
=~v
×~p
)
︸ ︷︷ ︸
=~0
+
(
~r × d~p
dt︸︷︷︸
=~F
)
= ~r × ~F = ~D = Drehmoment
[D] = Nm = J
Wenn kein Drehmoment angreift,
bleibt der Drehimpuls zeitlich
konstant (d.h. erhalten).
Beispiele:
• ~L ist Erhaltungsgroße bei Bewegung in Zentralfeldern(bzgl. Zentrum des Kraftfeldes, da ~r × ~F = ~0).
• ~L ist Erhaltungsgroße in abgeschlossenen Systemen(d.h. ohne außere Krafteinwirkung). Der Beitragzum Gesamtdrehmoment von jedem Paar (1,2)von Objekten ist Null:
~D12 = ~r1 × ~F12 + ~r2 × ~F21︸︷︷︸
=−~F12
= (~r1 − ~r2) × ~F12 = ~0
da der Ortsvektor ~r1 − ~r2 von (2) nach (1)
(anti)parallel zu ~F12 ist (3.N.G.)
2.3 Drehungen. . . 19. November 2008
Drehmoment im Erdschwerefeld
Schwerpunkt:
• Betrachte starren Korper als zusammengesetzt ausN kleinen Massenelementen ∆mi mitOrtsvektoren ~ri bzgl. Aufhangungspunkt
• Berechnung des Drehmoments:
~D =
N∑
i=1
~ri × (∆mi~g)
=
(N∑
i=1
∆mi~ri
)
× ~g
= Mtot · ~rS × ~g
wobei ~rS der Schwerpunkt ist:
Schwerpunkt = ~rS =
∑Ni=1 ∆mi~ri∑N
i=1 ∆mi
=
∑Ni=1 ∆mi~ri
Mtot
⇒ Schwerkraft wirkt, als ware Masse des Korpersin Schwerpunkt konzentriert
⇒ Korper ist in jeder Orientierung im Gleichgewicht,wenn er im Schwerpunkt aufgehangt ist
⇒ Wenn nicht, ist im Gleichgewichtszustand derSchwerpunkt unterhalb des Aufhangepunkts.
Aufhängepunkt=Schwerpunkt
m m1 2
dd
1
2
Balkenwaage:
Gleichgewicht fur
~D = 0 ⇒ d1m1 = d2m2
2.3 Drehungen. . . 19. November 2008
Kraftwirkung auf starre Korper
F F
F
F1
2 SP
A
r r
SP
A
Kraft auf starren Korper:
• Fur ausgedehnte Korper muss außer der Kraft ~Fauch der Angriffspunkt A beachtet werden
• Wenn A nicht der Schwerpunkt SP ist, kann man ~Fdurch ein in SP angreifendes Kraftepaar
~F1 = ~F und ~F2 = −~F
erganzen (wegen ~F1 + ~F2 = ~0 andert das nichts)
• ~F1 fuhrt zu einer Beschleunigung des Korpers:
~F1 = ~F =d~p
dt
• ~F und ~F2 erzeugen ein Drehmoment bzgl.des Schwerpunkts (aber keine Beschleunigung):
~D = ~r × ~F =d~L
dt
Im allgemeinen bewirkt eine Kraft auf einenstarren Korper sowohl dessen Beschleunigungwie auch eine Anderung seines Drehimpulses.
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Vektorrechnung in der Physik undDrehbewegungen
Simon Gruner
26. November 2008
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Vektoren
Vektoren sind bestimmt durch
a) Betrag und
b) Richtung
Beispiel
Vektor in kartesischen Koordinaten
Darstellung
in 3 Dimensionen:
~k =
xyz
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Addition von Vektoren
Addition von Vektoren
wird komponentenweiße durchgefuhrt
Beispiel
k1
k2
kres
Berechnung
~k1 + ~k2 =
x1
y1
z1
+
x2
y2
z2
=
x1 + x2
y1 + y2
z1 + z2
= ~kres
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Beispiel
Beispiel: Flug mit Gegenwind
siehe Ubungen, Aufgabe 7
Beispiel: Bootsfahrt quer zur Stromung
Berechnung
sin(α) =|~vF||~vB|
und vg = |~vg| =√|~vB|2 − |~vF|2
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Komponentenzerlegung
Komponentenzerlegung von Vektoren
~v =
vx
vy
vz
=
vx
00
+
0vy
0
+
00vz
= ~vx + ~vy + ~vz
Beispiel in 2 Dimensionen
v
y
x
Zerlegung
vy
vx
v
y
x
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Beispiel
Beispiel: schiefer Wurf im Schwerefeld
vy
vx
v0
a
g
Startbedingungen
vx,0 = |~v0| · cos(α)vy,0 = |~v0| · sin(α)
Krafte
Fx = 0Fy = −m · g
Beschleunigungen
ax = 0ay = −g
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Beispiel: schiefer Wurf im Schwerefeld
Startbedingungen
vx,0 = |~v0| · cos(α)vy,0 = |~v0| · sin(α)
Krafte
Fx = 0Fy = −m · g
Beschleunigungen
ax = 0ay = −g
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze
vx(t) = vx,0
vy(t) = vy,0 − g · t
Weg-Zeit-Gesetze
sx(t) = vx,0 · tsy(t) = vy,0 · t− 0, 5 · g · t2
Parameter-Darstellung: sy(sx)
sy(sx) =vy,0
vx,0· sx − 0, 5 · g
v2x,0
· s2x
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Beispiel
Beispiel: Abrutschen auf der schiefen Ebene
aFG
FN
FH
Berechnung
|~FH| = |~FG| · sinα |~FN| = |~FG| · cosα |~FR| = µ · |~FN|
Abrutschbedingung: |~FH| > |~FR|
|~FG| · sinα = µ · |~FG| · cosα ⇔ tanα = µ
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Skalarmultiplikation
Multiplikation mit einem Skalar s
s · ~v = s ·
vx
vy
vz
=
s · vx
s · vy
s · vz
Darstellung
-1 k
k
2 k
Resultat
a) Betrag (also die Pfeillange) wirdum den Faktor s vergroßert
b) Orientierung bleibt unverandert
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Vektormultiplikation
Multiplikation von zwei Vektoren
Arten von Vektormultiplikation
a) Skalarprodukt
b) Kreuzprodukt
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Skalarprodukt
Berechnung
~a1 · ~a2 =
x1
y1
z1
· x2
y2
z2
= x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2
grafische Bedeutung
~a1 · ~a2 = |~a1| · |~a2| · cosα
a1
a2a
insbesondere
~a1⊥~a2 ⇒ ~a1 · ~a2 = 0~a1 ‖ ~a2 ⇒ ~a1 · ~a2 = |~a1| · |~a2|~a1 = ~a2 ⇒ ~a1 · ~a1 = |~a1|2
Betrag eines Vektors
|~a| =√~a · ~a =
√x2 + y2 + z2
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Beispiel
Beispiel: mechanische Arbeit W
W = ~F · ~s = |~F | · |~s| · cosα
anschaulich
Fas
Projektion: nur die x-Komponente verrichtet Arbeit
W =
Fx
0Fz
· x
00
= Fx · x
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Beispiel
Beispiel: Anheben einer Masse m um die Strecke z
W =
00
m · g
· 0
0z
= m · g · z
Aber: Eine Masse m die Strecke x tragen
W =
00
m · g
· x
00
= 0
Oder: einfach nur festhalten
W =
00
m · g
· 0
00
= 0
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
mechanische Arbeit verallgemeinert
im Allgemeinen kann ...
die Kraft eine Funktion der Ortsvariablen x, y und z sein! Dann ist
W =∫ s2
s1
~F · d~s
Beispiel: Dehnen einer Feder in x-Richtung
~F =
D · x00
d~s =
dx00
dazu notwendige Arbeit
W =∫ x2
x1
Dx dx =12D (x2
2 − x21)
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Kreuzprodukt
Berechnung
~a1 × ~a2 =
x1
y1
z1
× x2
y2
z2
=
y1 z2 − z1 y2
z1 x2 − x1 z2
x1 y2 − y1 x2
= ~a3
grafische Bedeutung Rechte-Hand-Regel
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Kreuzprodukt
Berechnung
~a1 × ~a2 =
x1
y1
z1
× x2
y2
z2
=
y1 z2 − z1 y2
z1 x2 − x1 z2
x1 y2 − y1 x2
= ~a3
Also: Richtung
~a3⊥~a1 und ~a3⊥~a2
Und: Betrag
|~a3| = |~a1| · |~a2| · sinα
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Beispiel
Beispiel: Corioliskraft
~Fc = m 2 (~v × ~ω)︸ ︷︷ ︸~ac
|~ac| = 2 |~v| |~ω| = 2 v ω fur ~v⊥ ~ω
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Beispiel
Beispiel: Zentripetalkraft
~Fz = −m ~ω × (~r × ~ω)︸ ︷︷ ︸~az
|~az| = r ω2 =v2
rfur ~r⊥ ~ω
rw
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Drehbewegungen
Drehbewegungen
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Drehimpuls
Definition
~L = ~r × ~p = m~r × ~v |~L| = mv r fur ~r⊥~v
r
v
L
Drehimpulserhaltung
Wenn kein resultierendes Drehmoment ~D wirkt, dann bleibt derDrehimpuls ~L zeitlich konstant, also erhalten!
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Drehimpulserhaltung und Drehmoment
Beweis
d~Ldt
=( d~r
dt︸︷︷︸~v
×~p)
+(~r × d~p
dt︸︷︷︸~F
)= ~r × ~F = ~D
Achtung!
Es ist der Drehimpulsvektor erhalten – also sowohl Betrag als auchRichtung des Drehimpulses sind zeitlich konstant, wenn kein
Drehmoment wirkt!
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Drehimpulserhaltung
Erhaltung des Betrages: |~L| = L = mv r
Erhaltung der Richtung: ~L = ~r × ~p
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Balkenwaage
Prinzip der Balkenwaage
Austarieren⇒ System ist in Ruhe⇒ es wirkt kein resultierendes Drehmoment (Dges = 0)
d1 d2
m g1m g2
Berechnung: einfach, da ~d⊥ ~F
| ~D1| = D1 = d1 ·m1 · g| ~D2| = D2 = −d2 ·m2 · g
Dges = D1 +D2 = g · (d1 ·m1 − d2 ·m2) != 0
Also: d1 ·m1 = d2 ·m2 ⇒ Hebelgesetz
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Schwerpunkt
Konzept ausgedehnter, starrer Korper
Gesamtdrehmoment auf Korper der Masse mtot im Erdschwerefeldist Summe aus den Drehmomenten auf kleine Masseelemente ∆mi
~D =N∑i=1
~ri × (∆mi ~g) =
(N∑i=1
∆mi ~ri
)× ~g = mtot ~rS × ~g
Schwerpunkt ~rS
~rS =∑N
i=1 ∆mi ~ri∑Ni=1 ∆mi
=∑N
i=1 ∆mi ~rimtot
Resultat
Die Schwerkraft wirkt, als ware die gesamte Masse des Korpers imSchwerpunkt konzentriert!
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Schwerpunkt
Beispiel: Gleichgewichtslage des physikalischen Pendels ...
... zum experimentellen Auffinden des Schwerpunktes!
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Schwerpunkt
Beispiel: im Schwerpunkt gelagert ...
... wirkt kein resultierendes Drehmoment!
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Schwerpunkt
Beispiel: Umkippen, wenn ...
... der Schwerpunkt uber die Auflageflache gedreht wird!
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Schwerpunkt
Beispiel: Umkippen ohne ESP!
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Kraftwirkung auf starre Korper
Eine Kraft ~F bewirkt im allgemeinen ...
... sowohl dessen translatorische Beschleunigung
~F =d~pdt
... als auch eine Anderung seines Drehimpulses
~D = ~r × ~F =d~Ldt
Fur letztere ist der Angriffspunkt der Kraft am Korperentscheident!
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Kraftwirkung auf starre Korper
Beispiel: Translation und Rotation
SP
r
FA
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Kraftwirkung auf starre Korper
Beispiel: nur Translation
SPr
F
A
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Rotationsenergie Erot
Frage: welche Energie steckt in der Rotation eines starren Korpers?
Wieder betrachen wir den Korper zusammengesetzt aus vielenkleinen Massen ∆mi am Ort ~ri mit der Geschwindigkeit ~vi. Dannist
~vi = ~ω × ~ri ⇒ v2i = ω2 ρ2
i
riDmi
0ri
w
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Rotationsenergie Erot
Frage: welche Energie steckt in der Rotation eines starren Korpers?
Wieder betrachen wir den Korper zusammengesetzt aus vielenkleinen Massen ∆mi am Ort ~ri mit der Geschwindigkeit ~vi. Wegen
~vi = ~ω × ~ri ⇒ v2i = ω2 ρ2
i
ist die kinetische Energie dann gegeben durch
Ekin =12
N∑i=1
∆mi v2i =
12
N∑i=1
∆mi ρ2i︸ ︷︷ ︸
I
ω2 =12I ω2 = Erot
mit dem Tragheitsmoment I =∑N
i=1 ∆mi ρ2i .
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Tragheitsmoment I
Bedeutung
Das Tragheitsmoment I ist die physikalische Große, die dieTragheit eines starren Korpers gegenuber einer Anderung seiner
Rotationsbewegung angibt!
Nicht vergessen!
In
I =N∑i=1
∆mi ρi2
bezeichnet ρi den senkrechten Abstand des Masseelementes ∆mi
zur betrachteten Rotationsachse. Deshalb hangt I auchentscheident von der Drehachse ab!
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Tragheitsmoment I
Beispiel: Andern des Tragheitsmomentes und Energieerhaltung
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Volumenintegrale
Summation → Integration
∆miN→∞,∆mi→0−→ dm = %(~r) dV
mit der lokalen Dichte %(~r). Die diskrete Summation geht dannuber in eine kontinuierliche Integration
N∑i=1
∆miN→∞,∆mi→0−→
∫V%(~r) dV
Tragheitsmoment I
I =∫Vρ2 %(~r) dV
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Volumenintegrale
Kartesische Koordinaten∫V
dV =∫
dx∫
dy∫
dz
Zylinderkoordinaten
∫V
dV =∫ρdφ
∫dρ∫
dz
wobei
x = ρ cos(φ)y = ρ sin(φ)z = z
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Volumenintegrale und Tragheitsmomente
Beispiel: homogener Zylinder, Masse M , Radius R, Hohe H
I =∫Vρ2 %dV = %
∫ R
0ρ3 dρ
∫ 2π
0dφ∫ H
0dz
= % ·[
14ρ4
]R0
· [φ]2π0 · [z]H0
=12% π R2H︸ ︷︷ ︸
M
R2
=12M R2
Beispiel: Zylindermantel, Masse M , Radius R, Hohe H
trivialerweißeI = M R2
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Beispiele fur Tragheitsmomente
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Tragheitsmoment I
Beispiel: Wettrennen gleicher Massen und Energieerhaltung
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Satz von Steiner
Bedeutung
Mechanik Rotationsbewegungen des starren Körpers Trägheitsmoment
LD Handblätter Physik
P1.4.5.3
1
12
14-S
el
Versuchsziele g Bestimmung des Trägheitsmoments einer Kreisscheibe für verschiedene Abstände zwischen Drehachse und Sym-
metrieachse.
g Bestätigung des Satzes von Steiner (Parallelachsentheorem).
Fig. 1 Schematische Darstellung zur Herleitung des Satzes von Steiner (Parallelachsentheorem)
Satz von Steiner (Parallelachsentheorem)
Grundlagen Das Trägheitsmoment eines beliebigen starren Körpers, dessen Massenelemente ∆mi die Abstände ri zur Drehachse A haben, ist gegeben durch
2A i i
iJ m r= ∆ ⋅∑ (I).
Geht die Drehachse A nicht durch den Schwerpunkt des Körpers, so führt die Anwendung von Gl. (I) zu einer aufwen-digen Rechnung. Einfacher ist häufig die Berechnung des Trägheitsmomentes JS um die zur Drehachse parallele Achse S durch den Schwerpunkt des Körpers. Zur Herleitung des Zusammenhanges zwischen JA und JS betrachtet man die Ebene senkrecht zur Drehachse, in der das jeweilige Massenelement ∆mi liegt (siehe Fig. 1). In die-ser Ebene zeigt der Vektor a von der Drehachse zur Schwer-punktachse, der Vektor ri von der Drehachse zum Massen-element ∆mi und der Vektor si von der Schwerpunktachse zum Massenelement. Es gilt also
i i= +r a s (II),
und für die Abstandsquadrate in Gl. (I) folgt
( )22 2 2i i i2ir a s= + = + ⋅ ⋅ +a s a s (III).
Daher lässt sich die Summation der Gl. (I) in drei Terme auf-spalten:
2 2i i i i2 i
i i iJ m a m m s
= ∆ ⋅ + ⋅ ∆ ⋅ ⋅ + ∆ ⋅ ∑ ∑ ∑s a (IV)
Im ersten Summanden ist
ii
m M∆ =∑
die gesamte Masse des Körpers, im letzten 2
i Sii
m s J∆ ⋅ =∑
das Trägheitsmoment des Körpers um die Schwerpunktach-se. Im mittleren Summanden ist
i i 0i
m∆ ⋅ =∑ s ,
da die Vektoren si von der Schwerpunktachse ausgehen. Aus (IV) folgt somit der Satz von Steiner:
2A SJ M a J= ⋅ + (V)
Dieser Satz wird im Versuch am Beispiel einer flachen Kreis-scheibe verifiziert. Deren Trägheitsmoment JA um eine Dreh-achse mit dem Abstand a zur Symmetrieachse ergibt sich aus der Schwingungsdauer T einer Drillachse, auf der die Kreisscheibe befestigt wird. Es gilt
2
A 2TJ D = ⋅ π
(VI)
D: Winkelrichtgröße der Drillachse
IA =N∑i=1
∆mi(~a+ ~si)2
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Satz von Steiner
Herleitung
IA =N∑i=1
∆mi(~a+ ~si)2
= a2N∑i=1
∆mi︸ ︷︷ ︸M
+2~aN∑i=1
∆mi ~si︸ ︷︷ ︸0
+N∑i=1
∆mi s2i︸ ︷︷ ︸
IS
= IS +M a2
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Grundlagen Vektormultiplikation Drehbewegungen
Vergleich: Translation – Rotation
Simon Gruner Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
2.3 Drehungen. . . 3. Dezember 2008
Rotation starrer Korper
Starrer Korper:
Wird beschrieben als Satz von fest miteinanderverbundenen Massenelementen ∆mi (i = 1, . . . , N)
mit Ortsvektoren ~ri.
Drehmoment und Tragheitsmoment:
~L =
N∑
i=1
∆mi (~ri × ~vi︸︷︷︸=~ω×~ri
)
Bei Drehung um Symmetrieachse (oder i.a. geeigneteWahl des Koordinatenursprungs auf Drehachse) ist
~L =
N∑
i=1
∆mi ρ2i
~ω = I ~ω
I =
N∑
i=1
∆mi ρ2i
= Tragheitsmoment
[I] = kgm2
⇒ I hangt von Orientierungder Drehachse ab
⇒ Symmetrieachse gehtdurch Schwerpunkt
ρi
ω
ir
0
i−ρ
∆i’
∆mi
m
2.3
Dre
hungen...
3.D
ezem
ber2008
Verg
leich
Dre
hung
-Tra
nsla
tio
nAquivalente Variablen:
Translation Rotation
Lange x Drehwinkel φ
Geschwindigkeit v = dxdt Winkelgeschwindigkeit ω = dφ
dt
Masse M Tragheitsmoment I
Impuls ~p = M~v Drehimpuls ~L = I~ω
Kraft ~F Drehmoment ~D = ~r × ~F
2. Newtonsches G. ~F = d~pdt
~D = d~Ldt
kinetische Energie Rotationsenergie
Ekin = 12Mv2 Erot = 1
2Iω2
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 3. Dezember 2008
Planetenbahnen
Erhaltungssatze:
• Impuls: ~ptot = ~pP + ~pS (P = Planet, S = Sonne)⇒ Beschreibung im Schwerpunktsystem,Verwendung der reduzierten Masse µ = MPMS
MP+MS≈ MP
• Drehimpuls: ~L = ~rSP × ~pP (~rSP zeigt von S zu P)
⇒ ebene Bewegung (da ~pP ⊥ ~L)
• Energie: Etot = Ep + Ekin = −GMPMS
rSP+ Ekin
Keplersche Gesetze:
(konnen aus den Erhaltungssatzen hergeleitet werden)
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnenum die Sonne, die in einem der Brennpunkte steht.
2. Die vom Abstandsvektor ~rSP pro Zeiteinheituberstrichene Flache ist konstant:
A1
∆t1=
A2
∆t2= const.
3. Fur die Umlaufzeiten TP und die großen HalbachsenaP aller Planetenbahnen gilt
T2P
a3P
= const.
rSP
t
t
1
2
1∆2 2
t + t∆
t + t
1
x
y
S
A
A
2
1
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 3. Dezember 2008
Ellipsen
0 x
y
S
BPBP1 2
rSP r
P
−a
−b
b
a
Mathematische Beschreibung
• Charakterisiert durch Halbachsena (große Halbachse), b (kleine Halbachse)
• Ellipsengleichung:x2
a2+
y2
b2= 1
• Exzentritat: ǫ =
√
1 −(
b
a
)2
• Brennpunkte: BP1,2 = (±aǫ,0)
• Konstruktion: Umfang des Dreiecks ∆(BP1BP2P )ist konstant fur alle P auf Ellipse
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 3. Dezember 2008
Die Schwingungsgleichung
Mechanische Schwingungen . . .
sind periodische Bewegungsvorgange:
~r (t + T) = ~r (t)
(T ist die Schwingungsdauer)
x
0 (Gleichgewicht)
M
D
Beispiel: Federpendel
• Masse M an Feder mit Federkonstante Dim Schwerefeld der Erde
• x = 0 im Gleichgewicht (Schwerkraft = Federkraft)
• Auslenkung aus Gleichgewicht ⇒Schwingung um x = 0
• 2. Newtonsches Gesetz:
dp
dt= F ⇒ Mx = −Dx
⇒ Schwingungsgleichung (SG): x = −D
Mx
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 3. Dezember 2008
Harmonische Schwingungen
Losung der Schwingungsgleichung:
• SG ist Differentialgleichung
• Losung bei gegebenen Anfangsbedingungenx(0) = x0 und x(0) = v0 eindeutig.
• Ansatz:
x(t) = A sin(ωt + ϕ) ⇒
x(t) = Aω cos(ωt + ϕ)
x(t) = −Aω2 sin(ωt + ϕ)
−Aω2 = −A DM
(SG)
⇒
ω =√
D/M = 2π/T = Kreisfrequenz
tanϕ = x0ω/v0 = Phasenverschiebung
A =√
x20 + (v0/ω)2 = Amplitude
• Energiebilanz:
Ep = Dx2/2 = D [A sin(ωt + ϕ)]2 /2
Ekin = Mx2/2 = M [Aω cos(ωt + ϕ)]2 /2
⇒ Etot = Ep + Ekin = DA2/2 = M(Aω)2/2 = const.
t2TT
xv
a
x v a, ,
0
t
,EE
p
kin
E =const.tot
SinusformigeSchwingungen
heißenharmonisch.
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 3. Dezember 2008
Das mathematische Pendel
φ
M
F=Mg
FF
IIN
l
Mathematisches
Pendel:
• Masse M an Faden derLange l imSchwerefeld der Erde
• Schwerkraft wirktAuslenkung entgegen
• Geometrische Ausdehnungvon M vernachlassigbar(andernfalls:“physikalisches Pendel”)
Gesucht: Winkel φ(t)
• Drehbewegung um Aufhangepunkt (•)• Beschreibung mit Drehimpuls L und Drehmoment D
L = Iω = Ml2φ
D = −lF‖ = −lF sinφ = −Mlg sinφ
⇒ −Mlg sinφ = Ml2φ ⇒ φ = −(g/l) sinφ
• Keine harmonische Schwingung(φ(t) = A sin(ωt + ϕ) ist keine Losung)!
• Fur φ ≪ 1 gilt sinφ ≈ φ. In dieser Naherungist die Schwingung harmonisch:
φ(t) = A sin(ωt + ϕ) mit ω =√
g/l
• Schwingungsfrequenz ist unabhangig von M und vonder Amplitude A
• Messung von ω und l ⇒ Bestimmung von g.
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 10. Dezember 2008
Drehschwingungen
φ
τ
Gleichgewichtslage
• Korper ist um Achse (•) durchSchwerpunkt drehbar
• Spiralfeder oder verdrillter Drahterzeugt ruckstellendesDrehmoment D bei Auslenkungaus Gleichgewichtslage
• Hooksches Gesetz:
D = −τ φ
τ = Winkelrichtgroße
Schwingungsgleichung:
dL
dt= D ⇒ Iφ = −τφ
• Harmonische Schwingung φ(t) = A sin(ωt + ϕ)mit ω =
√
τ/I
• Schwingungsfrequenz ist unabhangig von A
• Kann zur Messung von Tragheitsmoment I oderWinkelrichtgroße τ verwendet werden.
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 10. Dezember 2008
Gedampfte Schwingungen
Schwingungen mit Reibung
• In vielen Fallen: Reibungskraft FR = −bx mitkonstantem b > 0 (→ Dampfung)
• Bewegungsgleichung: Mx = −Dx − bx
• Reibung wirkt Bewegung entgegen⇒ Schwingung kommt zum Erliegen (Dissipation:
Schwingungenergie wird an Umgebung ubertragen)
• Abkurzungen: ω20 =
D
M; γ =
b
2M
(1) Gedampfte Schwingung (ω0 > γ)
x(t) = Ae−γt cos(ωt + ϕ) mit ω =
√
ω20 − γ2
A, ϕ durch Anfangsbedingungen festgelegt
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3γ t
x/A
A exp(- γ t)
A exp(- γ t) cos( ω t)ω /γ=20
Gedämpfte Schwingung
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 10. Dezember 2008
Kriechfall, aperiodischer Grenzfall
(2) Kriechfall (ω0 < γ)
x(t) = Ae−γt eαt + e−αt
2mit α =
√
γ2 − ω20
(fur x(0) = A, x(0) = 0)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5γ t
x/A
A exp(- γ t)*(exp(- α x)+exp( α x))/2α / γ=0.9
Kriechfall
(3) Aperiodischer Grenzfall (ω0 = γ)
x(t) = A(1 + γt) e−γt
(fur x(0) = A, x(0) = 0)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5γ t
x/A
A exp(- γ t)(1+γ x)
Aperiodischer Grenzfall
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 10. Dezember 2008
Erzwungene Schwingungen
• Schwingfahiges Systemmit Eigenfrequenzω0 =
√
D/M − γ2 wirdmit Kraft F0 cos(ωt)angeregt
• Bewegungsgleichung:
Mx = −Dx − bx + F0 cos(ωt)
• Beispiele: Lautsprecher,Musikinstrumente, Schaukel,. . .
F=F cos t0 ω
ω
D
M
Losung der Bewegungsgleichung:
• Setzt sich additiv aus zwei Anteilen zusammen:– Gedampfter Anteil mit Frequenz ω0
– Ungedampfter Anteil mit Frequenz ω
• Nach “Einschwingvorgang” bleibt nur ungedampfterAnteil ubrig (γ = b/(2M)):
x(t) = A(ω) cos (ωt + ϕ(ω))
A(ω) =F0/M
√
(ω2 − ω20)
2 + (2γω)2
tan ϕ(ω) = − 2γω
ω20 − ω2
• Spezialfalle:
ω → 0 ω = ω0 ω → ∞A → F0/(Mω0)
2 = F0/(2γMω0) → F0/(Mω)2 → 0
ϕ → 0 = −90◦ → −180◦
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 10. Dezember 2008
Resonanzkurve
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3ω / ω0
x/A
max
γ / ω0=0.1ω steigt linear mit t
ErzwungeneSchwingung
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3ω / ω0
φ [°
]
Phasenverschiebung
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 12. Dezember 2001
Wellen
Definition und Beispiele
Schwingung breitet sich durch Kopplung anbenachbarte schwingfahige Systeme im Raum aus.
Beispiele:
• Seilwelle, Pendelkette, Wasserwelle, . . .• Schallwellen• Elektromagnetische Wellen (Licht, Radio, . . . )• Teilchen in der Quantenmechanik
Geschwindigkeit vAusbreitung mit
z
ξ
z
ξt=0 t>0
vt
Mathematische Beschreibung
• Vollstandige Beschreibung: Auslenkung ξ = ξ(z, t)aus Gleichgewichtslage (bei Ausbreitung in z-Richtung)
• Homogenes Medium⇒ konstante Ausbreitungsgeschwindigkeit v
• Ungedampft ⇒ Wellenform bleibt erhalten.
⇒ ξ(z, t) = ξ(z − vt)
• Daraus folgt die Wellengleichung:
∂2ξ
∂z2=
1
v2
∂2ξ
∂t2
Geschwindigkeit vAusbreitung mit
z
ξ
z
ξt=0 t>0
vt
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 12. Dezember 2001
Harmonische Wellen
Anregung durch harmonische Schwingung:
• Anregung bei z = 0 (o.B.d.A) ⇒ ξ(0, t) = A sin(ωt+ϕ)
• Auslenkung erreicht z > 0 zur Zeit t + z/v
⇒ ξ(z, t) = ξ(
0, t − z
v
)
= A sin[
ω(
t − z
v
)
+ ϕ]
Wellenlänge λ
ξ
z
v
Wellenlange:
λ = Tv =2π
ωv =
v
ν
Wellenzahl:
k =2π
λ=
ω
v
Harmonische Welle:
ξ(z, t) = A sin[
ω(
t − z
v
)
+ ϕ]
= A sin [ωt − kz + ϕ]
= A sin[
2π(
νt − z
λ
)
+ ϕ]
• sin-formig als Funktion von tbei festem z
• sin-formig als Funktion von zbei festem t
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 19. Dezember 2008
Ebene und Kugelwellen
Wellenausbreitung im Raum:
• I.a. breitet sich Welle im 3-dimensionalen Raum aus⇒ ξ(z, t) → ξ(~r, t)
• Wellenfront = Orte gleicher Phasenlage
• Verschiedene Wellenformen:
Wellenfront
k
x
y
Ebene Welle
x
y
Wellenfront
Kugelwelle oderKreiswelle
Ebene Wellen:
• Ausbreit. in ~v-Richtung
• Wellenvektor:
~k =2π
λ
~v
|~v|• Wellendarstellung:
ξ(~r, t) = A sin[
ωt − ~k~r + ϕ]
• Wellenfronten:
~k~r = const.
Kugel/Kreiswellen:
• Ausbreitung von Zentrumradial nach außen
• Wellendarstellung:
ξ(~r, t) = A sin [ωt − k|~r| + ϕ]
• Amplitude r-abhangig
• Wellenfronten:
r = const.
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 07. Januar 2009
Transversale und longitudinale
Polarisation
Polarisation. . . bezeichnet die Orientierung der
Auslenkungsrichtung bzgl. der Ausbreitungsrichtung(je nach Richtung der rucktreibenden Kraft!)
• Auslenkung ⊥ Ausbreitung• Auslenkung in einer Ebene: lineare Polarisation• Beispiele: Seilwelle, elektromagnetische Wellen
ξ
z
Transversale Welle
• Auslenkung ‖ Ausbreitung• Z.B. Schallwellen: Ausbreitung von Zonen kleiner
bzw. großer Dichte
Longitudinale Welle
z
niedrigeDichte
hoheDichte
Wellenfront
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 07. Januar 2009
Uberlagerung von Wellen
Prinzip:Die Auslenkungen von zwei oder mehr gleichartigen
Wellen, die sich zu gleicher Zeit in einem gemeinsamenRaumgebiet ausbreiten, addieren sich:
ξ(~r, t) = ξ1(~r, t) + ξ2(~r, t) + . . .
1r
r2
Maxima
Interferenz)(konstruktive
(destruktiveAuslöschung
Interferenz)
Konstruktive und destruktive Interferenz:
• Uberlagerung von Wellen gleicher Wellenlangeergibt stationare Zonen kompletter Ausloschung(destruktive Interferenz) bzw. maximaler Amplitude(konstruktive Interferenz).
• Geometrische Bedingungen (zwei phasengleichePunktquellen):
konstruktiv: |~r1| − |~r2| = nλ (n ∈ Z)
destruktiv: |~r1| − |~r2| = (2n + 1)λ
2(n ∈ Z)
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 07. Januar 2009
Reflexion
Trifft eine einlaufende Welle
ξi(z, t) = A sin(ωt − kz)
senkrecht auf ein
undurchdringliches Hindernis bei z = 0,
so wird eine zurucklaufende Welle erzeugt:
ξf(z, t) = A sin(ωt + kz + ∆ϕ)
• Zwei Moglichkeiten:
– am festen Ende:Phasensprung ∆ϕ = π
– losen Ende:Phasensprung ∆ϕ = 0
• Ein- und auslaufendeWellen uberlagern sich:
ξ(z, t) = ξi(z, t) + ξf(z, t)
• Am Ort der Reflexion:
– festes Ende: “Knoten”ξ(0, t) = 0
– loses Ende: “Bauch”ξ(0, t) = 2A sin(ωt)
strut
z
ξ einlaufende Welle
z
ξz=0
auslaufende Welle
auslaufende Welle∆φ( =0)
( = )∆φ π
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 07. Januar 2009
Stehende Wellen
Addition ein- und auslaufender Wellen:
ξ(z, t) = ξi(z, t) + ξf(z, t)
= A [sin(ωt − kz) + sin(ωt + kz + ∆ϕ)]
= 2A cos(
kz +ϕ
2
)
sin(
ωt +ϕ
2
)
• Stehende Welle:gleichphasigeSchwingung an allenOrten, raumlichvariable Amplitude
• Vergleiche mitnormaler Welle:uberall gleicheAmplitude, aberraumlich variierendePhase
strut
Stehende Welle
z
z
z
z
z
z
t
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 14. Januar 2009
Wellenresonanzen
Anordnung und Resonanzbedingung:
• Welle wird an zwei parallelen Hindernissen reflektiert.
• Konstruktive Uberlagerung, wenn alle in eineRichtung laufende Wellen gleiche Phase haben.
• Dieser Fall heißt Resonanz.
• Beispiele: Saiten von Musikinstrumenten, Antenne,. . .
• Bedingung an Abstand L der Hindernisse und anWellenlange λ, hangt von Art der Reflexion ab:
λ
λ
λ
/2
3 /2
z
z
z
fest
L
fest
z
z
z
L
λ
λ
λ
3
5
/4
/4
/4
losefest
Kno
ten
Knoten
Kno
ten
Bauch
L = nλ
2n ∈ Z
L =(2n + 1)λ
4n ∈ Z
2.4 Schwingungen und Wellen. . . 14. Januar 2009
Stehende Welle in Luftsaule
Anordnung• Luftsaule in Glasrohr,
abgeschlossen durchWasser (unten) bzw.durch Lautsprecher(oben)
• Durch Variation derFrequenz werden dieResonanzen gesucht(Glasrohr wird zuSchwingungen angeregt→ Lautstarkezunahme)
L
Flüssigkeit
Luft
Lautsprecher
Resonanzen:
• Reflexion an Wasser: festes Ende
• Reflexion am oberen Ende: loses Ende(da Amplitude bei Lautsprecher maximal)
⇒ L = (2n + 1)λn
4⇒ νn =
cS
λn=
2n + 1
4
cS
LL = 48cm; cS = 343m/s bei 20◦ und Normaldruck
⇒ νn = (2n + 1) · 179Hz
berechnet gemessen
n νn [Hz] λn [m] νn [Hz]
0 179 1.91 160
1 537 0.64 550
2 895 0.38 880
3 Flussigkeiten und Gase 14. Januar 2009
Dichte und Stoffmenge
Dichte
ρ =Masse
Volumen; [ρ] = kgm−3
Beispiele:
Material ρ [kg/m−3]
Wasser 1.0 × 103
Luft (trocken, 20◦C) 1.3
Eisen 7.9 × 103
Blei 11.4 × 103
Stoffmenge
n =Zahl der Atome bzw. Molekule
NA;
[n] = mol
NA = Avogadro-Zahl
= Zahl der Atome in 12g12
C (= 1mol)
= 6.022 × 1023 mol−1
• 1mol eines Stoffes hat eine Masse (in Gramm),die der mittleren Atom/Molekulmasse in amu(atomare Masseneinheiten) entspricht.
1 amu = 1.66 × 10−27 kg
• Beispiel: 1mol Sauerstoff O2 hat Masse M = 32g;mit ρ = 1.43kgm−3 ergibt sich
V (1mol O2) = M/ρ = 0.0224m3
22.4 Liter = “Molvolumen”, fur alle Gase beiNormalbedingungen etwa gleich
3 Flussigkeiten und Gase 14. Januar 2009
Druck
Druck
p =Normalkraft
Flache=
|~FN |A
;
[p] = Nm−2 = kgm−1 s−2
= Pa(ascal)
Beispiele:
Umgebung p [Pa]
Luftdruck 1.013 × 105
(Normalbedingungen) (105 Pa = 1bar)
Mensch (75kg) aufFlache 20cm × 20cm 1.84 × 104
Vakuum & 10−6
strutF
N
A
Isotroper Druck in
ruhenden Flussigkeiten & Gasen
Betrachte infinitesimalenWurfel in Medium
⇒ Gesamtkraft = ~0
⇒ ~Fl = ~Fr,~Fo = ~Fu,~Fv = ~Fh;
⇒ Druck muss in alleRichtungen gleichstark wirken
strut
F
F
F
F
F
F
o
h
r
u
v
l
3 Flussigkeiten und Gase 14. Januar 2009
Kompressibilitat
Definition
Die Kompressibilitat gibt die relative Volumenanderungbei Anderung des Drucks an:
κ = −1
V· ∂V
∂p
[κ] = 1/[p] = Pa−1 = N−1 m2 = ms2 kg−1
• Volumen V wird kleiner bei steigendem Druck p⇒ Kompressibilitat κ > 0 .
• Partielle Ableitung ∂V/∂p wird bei festen anderenZustandsgroßen (z.B. Temperatur) berechnet.
• Relative Volumenanderung:
∆V
V= −κ · ∆p
Typische Werte und Beispiel
• κ ist klein fur Flussigkeiten, groß fur Gase:
Material κ [m2/N]
Wasser 5.0 × 10−10
Luft (trocken, 20◦C, Meereshohe) 1.0 × 10−5
• Beispiel: Volumenanderung von 1m3 Wasserzwischen Meeresoberflache und 1km Tiefe
Berechnung: Druckanderung ist ∆p = 107 Pa ⇒
∆V = −V · κ · ∆p = −1m3 · 5.0 × 10−10 Pa−1 · 107 Pa
= −5 · 10−3 m3 = −5Liter
3 Flussigkeiten und Gase 14. Januar 2009
Hydrostatischer Druck
Druck in homogener Flussigkeit
im Erd-Schwerefeld:
• Dichte = ρ = const.
• Druck erzeugt durchGewichtskraft aufFlussigkeitssauleuber gegebenerGrundflache Aund mit Hohe h
|~FN | = Mg = hAρg
p =|~FN |A
⇒p = hρg
• Druck hangt nur von Hohe h ab, nicht von derForm des Gefaßes
• Zum hydrostatischen Druck muss der außere Druck(Luftdruck) addiert werden.
ρh
A
Anwendung:
• Kleine Steigleitung kanngroßes Flussigkeitsreservoirunter Druck setzen
• Anwendungen:Wasserturm, Heizung, . . .
h
p= gh
ρ
ρ
3 Flussigkeiten und Gase 14. Januar 2009
Hydraulische Presse
FF2
1
AA
12
s s1 2
Funktionsweise:
• Flussigkeitsgefulltes Gefaß mit zwei Kolben(Querschnittsflachen A1, A2)
• Auf Kolben 1 wirkt Normalkraft F1 und erzeugtDruck p = F1/A1 in Flussigkeit
• Druck in Flussigkeit hangt nur von Hohe unterFlussigkeitsspiegel ab ⇒ auf Kolben 2 wirkt Kraft
F2 = pA2 =A2
A1
· F1
⇒ “Kraftverstarkung” (hydrostatischerDruck in Gefaß meist vernachlassigbar)
Anwendungsbeispiele:
• Wagenheber, Hydraulik bei Lastwagen, Maschinen etc.
• Meist mit (Elektro)pumpe statt Kolben 1
• Wegen Inkompressibilitat von Flussigkeiten:A1 · s1 = A2 · s2 (s1, s2 = Hubwege von Kolben 1,2)⇒ F1 · s1 = F2 · s2 (Energieerhaltung!)
3 Flussigkeiten und Gase 21. Januar 2009
Auftrieb
Kraft auf Korper in Flussigkeit
• Betrachte Quader mithorizontalen Flachenund Volumen V inFlussigkeit mitDichte ρFl
• Hydrostatischer Druckunten großer als oben⇒ resultierende
Auftriebskraft ~FA
nach oben:
FA = |~FA| = |~Fu| − |~Fo| = ρFl g HA︸︷︷︸
=V
= ρFl gV
Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraftauf die vom Korper verdrangte Flussigkeit
(Archimedisches Prinzip)
• Gilt unabhangig von geometrischer Form des Korpers
• Wenn Korper mittlere Dichte ρK hat:
ρK > ρFl ⇒ Korper sinktρK = ρFl ⇒ Korper schwebtρK < ρFl ⇒ Korper schwimmt
Hρ ρ
FlKρ
F
Fu
o A
• Wenn Korper schwimmt:
|~FA| = |~FG| ⇒ VinρFlg = VKρKg ⇒Vin/VK = ρK/ρFl
• Eisberg:ρEis/ρH2O = Vin/VK ≈ 0.9
V in
ρK
Fl
V −VinK
ρ
3 Flussigkeiten und Gase 21. Januar 2009
Boyle-Mariotte’sches Gesetz
Zusammenhang von Druck und Volumen
in einem Gas
Boyle-Mariotte’sches Gesetz:
p · V = const.
• p = |~F |/A (außerer Druck)
• Die Konstante ist Temperatur-abhangig (siehe Kapitel 3)
• Zusammenhang von Druck undDichte fur feste Gasmenge(Masse M):
ρ =M
V= M · const. · p ⇒
ρ ∝ p (bei fester Temperatur)
p,V
FA
Kompressibilitat
• Boyle-Mariotte’sches Gesetz: V = C/p (C = const.)Fur Kompressibilitat folgt:
κ = −1
V· ∂V
∂p= − 1
V·(
−C
p2
)
=1
p
Gase lassen sich umso leichter komprimieren,desto kleiner der Druck ist.
3 Flussigkeiten und Gase 21. Januar 2009
Druckmessung
∆h
zu messender Druck(z.B. Luftdruck)Dampfdruck
(klein)
(z.B. Hg)Flüssigkeit
Manometer und Barometer:
• Prinzip: Zu messender Gasdruck wird inhydrostatischen Druck umgewandelt (z.B. in U-Rohr)
• Messung von Druckdifferenz links–rechts:
∆p = ρg∆h
• Bei einem abgeschlossenen und evakuiertem Endedes U-Rohrs ist ∆p der Druck am anderen Ende(kleine Korrektur fur Dampfdruck der Messflussigkeit)
• Manometer = allgemeines Druckmessgerat,Barometer = Messgerat fur Luftdruck
• (Fruher) oft verwendet: Quecksilber
∆p(1mm Hg) = 133.3Pa = 1Torr︸ ︷︷ ︸
alte Druckeinheit
760Torr entspricht Atmospharendruck (1.013 × 105 Pa)
3 Flussigkeiten und Gase 21. Januar 2009
Barometrische Hohenformel
Druck in Atmosphare im Erd-Schwerefeld:
• Druck wird erzeugt vonGewichtskraft auf Luft
• Dichte ρ ∝ p nimmt mit h ab
• Druckanderung in kleinemHohenintervall dh beikonstanter Temperatur:
dp = −g · dM
A= −gρ(h)A · dh
A
⇒ dp
dh= −gρ(h) = −g
ρ(0)
p(0)p(h)
p(h) = p(0) · exp(
−ρ(0)
p(0)gh
)
(barometrische Hohenformel)
• Barometrische Hohenformel nur naherungsweise gultig,da Temperatur in Atmosphare nicht konstant ist.
• Atmosphare hat keinen scharfen Rand!
dM
hdh
A
A
p(0) = 1.013×105 Pa,
ρ(0) = 1.24kg/m3,
g = 9.81m/ s2 ⇒
p(h) =
p(0)· exp(
− h
8.33km
)
h [km]
0p / p
1
1/2
1/81/4
0p=p exp(−h / 8.3km)
5.8 11.6 17.4
3 Flussigkeiten und Gase 21. Januar 2009
Oberflachenspannung
F = 0totF = 0tot
Flüssigkeitin
an Oberfläche
zeigt in Flüssigkeit hinein
Kraft auf "Testmolekül":
Mikroskopisches Bild:
• Atome/Molekule in Flussigkeit ziehen einander an
• An Oberflache: Gesamtkraft auf Atom/Molekulzeigt in Flussigkeit hinein
• Es ist Arbeit ∆W notig,um Oberflache um ∆A zu vergroßern:
spezifische Oberflachenenergie = ǫ =∆W
∆A; [ǫ] = J/m2
• Arbeit zur Vergroßerungvon Flussigkeitsfilm:
∆W = |~F |∆h = 2ǫL∆h
• Oberflachenspannung:
σ =|~F |2L
= ǫ
• Typische Werte:σH2O = 0.072 J/m2
σHg = 0.475J/m2
F
h
L
Flüssigkeits−film
h∆
3 Flussigkeiten und Gase 28. Januar 2009
Seifenblase
d|F|=(p −p ) dAi a
dA
p
pi
a
2r
Uberdruck im Inneren:
• Oberflachenspannung will Oberflache verkleinern
• ⇒ Uberdruck im Inneren, der Kraft nach außen ausubt
• Gleichgewicht, wenn potentielle Energie Ep(r)minimal ist (wegen Fr = ∂Ep/∂r = 0)
Ep = EOf + EDruck
EOf = 2ǫ · 4πr2 ⇒ ∂EOf
∂r= 16ǫπr
dEDruck = −4πr2pdr ⇒ ∂EDruck
∂r= −4πr2p
∂Ep
∂r= 0 ⇒ p =
4ǫ
r
• Faktor 2, da Seifenblase 2 Oberflachen hat
• Uberdruck nimmt mit steigendem Radius ab
Merke: Gleichgewichtskonfiguration weist
immer minimale potentielle Energie auf!
3 Flussigkeiten und Gase 28. Januar 2009
Grenzflachen
Oberflachenenergie/spannung bei
Grenzflachen zwischen verschiedenen Medien
• Grenzflachen zwischen zwei Medien 1 und 2 habenspezifische Oberflachenenergie bzw. -spannung σ1,2,die von den Kraften zwischen den jeweiligenoberflachennahen Atomen/Molekulen abhangt.
• Bei Flussigkeiten stellt sich die Oberflache immerso ein, dass die Gesamtenergie minimal wird
13 13
13
ε
ε
εε
ε
ε
23
12
ε12 ε 13
12
12ε
23ε
φφ
><
3 3
1
2
1
2
g
1 = Glas2 = H2O3 = Luft
1 = Glas2 = Hg3 = Luft
Flussig–flussig–Gas
• Flussigkeit 2 schwimmt auf Flussigkeit 1
• Tropfen stabil, wenn
σ1,3 < σ1,2 + σ2,3
• Flussigkeit 2 bildetSchicht maximaler Flache(monomolekular), wenn
σ1,3 > σ1,2 + σ2,3
εε
ε
13
12
233
1
2
3 Flussigkeiten und Gase 28. Januar 2009
Kapillaritat
Taucht man ein (Glas)rohrchen (Kapillare, Radius R) inFlussigkeit, stellen sich innen und außen
unterschiedliche Hohen des Flussigkeitspiegels ein:
h
h
σ1,2 σ1,3σσ1,2 1,3 ><
2
3
1
1
3
2
2R
r
φ
Steighohe:
• Bei ausreichend dunnen Kapillaren ist dieFlussigkeitsoberflache naherungsweise kugelformig(Radius r = R/ cosφ)⇒ Druck p = 2σ2,3/r (halb so groß wie bei Seifenblase,
da hier nur eine Oberflache existiert).
• Druck p erzeugt Kraft Fp = πR2p = 2πR σ2,3 cosφ
nach oben, die mit Schwerkraft Mg = ρπR2hgim Gleichgewicht ist:
h =2σ2,3 cosφ
ρgR
• Steighohen konnen sehr groß sein (z.B. h ≈ 15mfur Wasser in Kapillare mit Radius R = 1µm)
• Ermoglich z.B. Planzen, Wasser in Hohen von mehr als10m zu transportieren.
3 Flussigkeiten und Gase 28. Januar 2009
Stromungen
Vollstandige Beschreibung:
• Angabe der Stromungsgeschwindigkeit als Funktionvon Ort und Zeit:
~u = ~u(~r, t)
• Im Prinzip: Berechenbar aus Anfangsbedingungenund Bewegungsgleichung fur Volumenelement ∆V(fur alle ~r und t):
~F (~r, t) = ~Fp(~r, t)︸ ︷︷ ︸
Druckkraft
+ ~Fg(~r, t)︸ ︷︷ ︸
Schwerkraft
+ ~FR(~r, t)︸ ︷︷ ︸
Reibungskraft
!= ∆M︸ ︷︷ ︸
=ρ∆V
d~u(~r, t)
dt= ρ(~r, t)∆V
d~u(~r, t)
dt
• In Wirklichkeit: Stromungsprobleme nur in Naherungenund fur Spezialfalle analytisch losbar.
Strom−fäden
StrömungTurbulente
Stromungstypen
• Stationar:
~u(~r) zeitlich konstant⇒ Bewegung entlang festen
Bahnen (Stromfaden)
• Laminar:
(|~u| klein, Reibung groß)Stromfaden vermischen sichnicht
• Turbulent:
Stromfaden vermischen sich,nicht stationar, Wirbel