Versuchsplanung
LiteraturLedolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.14: Principles of Effective Experi-mental Design; Kap.15: Principles of Effective Experimental Design; Kap.16: Taguchi Design Methods for Product and Process Improvement.
Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.7: Design of Experiments; Kap.8: Robust Design.
19.3.2004 Versuchsplanung 2
Experiment
Möglichkeit, Wissen über die uns interessierenden Prozesse zu erwerben,
etwa um Verbesserungspotentiale zu identifizieren
Entscheidung darüber, welche von mehreren in Frage kommenden Erklärungen für ein Qualitätsproblem zutrifft
Systematische Methode, Information über das Wirken und Zusammen-wirken von (Prozess-)faktoren zu sammeln
19.3.2004 Versuchsplanung 3
Lernprozesse: Beispiele
Kundenbefragung zeigt Notwendigkeit einer Änderung des Bestellprozesses, Bedarf an Schulung der Mitarbeiter, etc.
Annahmekontrolle gibt Hinweise auf Mängel in der Produktion eines Lieferanten
Prozesskontrolle hilft, special causes der Variation zu identifizieren
19.3.2004 Versuchsplanung 4
Versuchsplanung
Prinzipien und Regeln, nach denen Experimente, d.i. das aktive Sammeln von Information, gestaltet werden
damit sie die notwendigen Informationen bei effizientem Einsatz der Ressourcen liefern
„… a well-planned experiment increases the precision of the results 10- to 12-fold for the same cost …“ (R.A. Fisher)
19.3.2004 Versuchsplanung 5
Experimente - Fragestellungen
Material A oder Material B? Verfahren mit bestem Output? Ertrag verbessern? (Kombination von
Temperatur und Druck) Stahl einer bestimmten Härte
(Erzqualität, Zusätze, Temperatur, Abkühlgeschwindigkeit, etc.)
Produktionsprozess: Zielwert, geringste Variation? (Welche Kombination der Input-Faktoren?)
19.3.2004 Versuchsplanung 6
20 Studierende, Material der Sohle: A, B Plan 1: Je 10 Studierende tragen Schuhe
mit A und B; A und B werden zufällig zugeordnet (vollständig randomisiertes Experiment)
Plan 2: Jeder Studierende trägt je einen Schuh mit A und B; A wird zufällig am linken oder rechten Schuh getragen (randomisiertes Block-Experiment)
Dauerhaftigkeit von Sohlen
19.3.2004 Versuchsplanung 7
Ertrag eines chem. Prozesses
hängt ab von Temperatur (500o, 600o) Druck (60kg/cm2, 80kg/cm2) Katalysator (A, B)
8 Faktorkombinationen je Kombination ein Durchlauf des
Experiments (eine Wiederholung) Randomisierung der Reihenfolge!
19.3.2004 Versuchsplanung 8
Aushärtezeit von Gips
Variabilität soll kontrolliert werden Große Zahl von potentiellen
Einflussfaktoren z.B.: die Wirkung der Kalzinierung
(Ausglühen der Mischung von Gipskörnern und Zitronensäure) hängt vermutlich ab von Menge, Temperatur und Säurekonzentration
19.3.2004 Versuchsplanung 9
Experimente: Wichtige Themen
Ziele eines Experiments Verallgemeinerbarkeit Response-Variable Faktoren
19.3.2004 Versuchsplanung 10
Ziele eines Experiments Vergleich zweier Methoden (z.B.: Material
von Schuhsohlen) Optimierung des Ertrages (Ertrag eines
chemischen Prozesses) Minimieren der Variabilität der Response-
Variablen (Aushärtezeit von Gips) Adjustieren der Response-Variablen nahe
dem Zielwert
19.3.2004 Versuchsplanung 11
Verallgemeinerbarkeit
Gültigkeit eines Experiments ist beschränkt auf Bedingungen des Experiments (Faktorwerte, regional, etc.)
Achtung! Off-line Experiment vs. on-line Produktion
19.3.2004 Versuchsplanung 12
Response-Variable
univariat (z.B. Ertrag) oder multivariat (z.B. Ertrag, Reinheit)
quantitativ (z.B. Menge) oder qualitativ (z.B. Geschmack, Qualität)
19.3.2004 Versuchsplanung 13
Faktoren
interessierende (primäre) Faktoren nicht interessierende (sekundäre)
Faktoren Blocken ist gute Strategie, den Effekt
von sekundären Faktoren zu eliminieren
19.3.2004 Versuchsplanung 14
Beispiel: Kugelschreiber
Ausschussquote hängt ab von Qualität der Tinte (A oder B) Tag der Produktion?
Nicht geblockt: Do, Fr: 1.5% (A), Sa, So: 5.8% (B) Blocken hilft gegen Vermengen
Do B A B A B B A A A B
Fr B B A B B A A B A A
Sa A A A B B B A B B A
So B A A B B A A B A B
19.3.2004 Versuchsplanung 15
Statistische Prinzipien
Verwenden des Blockdesigns Block: Teilmenge der UE, die ähnliche
Bedingungen hinsichtlich eines sekundären Faktors aufweist
Randomisieren: Zufälliges Zuordnen der UE zu den Behandlungen
Eliminiert die Wirkung nicht kontrollier-barer Faktoren
"Blocke alles, was zu blocken ist, und randomisiere, was nicht zu blocken ist"
19.3.2004 Versuchsplanung 16
Statistische Prinzipien, Forts.
Beachte Wechselwirkung von Faktoren
Vermeide change-one-factor-at-a-time Vorgangsweise
Strategie des Experimentierens Kleine Schritte, sequentielle Vorgangsweise „Beste Zeit, ein Experiment zu planen, ist
nach dem Experiment“ 25%-Regel (Box, Hunter & Hunter)
19.3.2004 Versuchsplanung 17
Begriffe
Durchlauf des Experiments Behandlung der UE: Faktorkombination Wiederholung
19.3.2004 Versuchsplanung 18
Vergleich von Mittelwerten
Beispiel: Bruchlast von Bleistiftminen Marke A: nA = 6, x-barA = 45.8, sA = 4.31 Marke B: nB = 6, x-barB = 39.5, sB = 4.59
Vergleich: x-barA x-barB = 45.8 39.5 = 6.3
unabhängige Stichproben, vollständig randomisiertes Experiment
19.3.2004 Versuchsplanung 19
Statistische Signifikanz
Merkmal X Population i (i=1,2): Xi, E(Xi) = i, SD(Xi)
= i; Stichprobe: ni, x-bari, X-bari N(i, i
2/ni) Differenz:
d = X-bar1 X-bar2 N(d, d2)
mit d = 1 2 und
d = √[1
2/n1 + 22/n2]
19.3.2004 Versuchsplanung 20
Bruchlast, Forts.
sd = √[4.312/6 + 4.592/6] = 2.57 Test von H0: 1 = 2
gegen H1: 1 ≠ 2
p-Wert = 2*P{Z > 6.3/2.57} = 0.0143
H0 wird verworfen Ist der Unterschied von praktischer
Relevanz?
19.3.2004 Versuchsplanung 21
Vergleich von Schuhsohlen
Material A: nA = 20, x-barA = 5.13, sA = 2.03
Material B: nB = 20, x-barB = 5.40, sB = 1.94
Vergleich: x-barA x-barB = 5.13 5.40 = - 0.27
sd = √[(2.032 + 1.942)/20] = 0.628 p-Wert = 2*P{Z < -0.27/0.628} =
0.628; H0 wird nicht verworfen
19.3.2004 Versuchsplanung 22
Vergleich von Schuhsohlen
Randomisiertes Block-Experiment: Jeder Studierende trägt je einen Schuh mit A und B
Response-Variable: Differenz d = xA xB
d1, ..., d20; d-bar = -0.27; sd = 0.298 SD(d-bar) = sd/n = 0.067 p-Wert = 2*P{Z < -0.27/0.067} =
0.00005; H0 wird verworfen!
19.3.2004 Versuchsplanung 23
Faktorielle Experimente
Die Response hängt von mehr als einem Faktor ab
Bei einem (2-stufigen) faktoriellen Experiment interessieren bei jedem Faktor zwei Werte (Niveaus)
Beispiel: Ertrag eines chem. Prozesses Temperatur (1100, 1300) Reaktionszeit (50 min, 70 min)
19.3.2004 Versuchsplanung 24
Ertrag eines chem. Prozesses
Ertrag
Temp. R.Zeit DS Lf 1 Lf 2
110o 50min 55.0 55.5 54.5
130o 50min 60.6 60.2 61.0
110o 70min 64.2 64.5 63.9
130o 70min 68.2 67.7 68.7
19.3.2004 Versuchsplanung 25
Ertrag eines chem. Prozesses
Ertrag
T R DS Lf 1 Lf 2
- - 55.0 55.5 54.5
+ - 60.6 60.2 61.0
- + 64.2 64.5 63.9
+ + 68.2 67.7 68.7
19.3.2004 Versuchsplanung 26
Notation
2k-faktorielles Experi-ment: 2-stufiges Experi-ment in k Faktoren
Tabellierung (standard form):
Jede Spalte entspricht einem Faktor
Jede Zeile entspricht einer Faktorkombination (einem Durchlauf)
Faktor
1 2 3 …
- - - …
+ - - …
- + - …
+ + - …
- - + …
+ - + …
- + + …
+ + + …
19.3.2004 Versuchsplanung 27
Analyse der Ergebnisse
graphische Darstellung Schätzen der Effekte der Faktoren
(Haupteffekte): Effekt einer Änderung der Temperatur von 110o auf 130o
T = (60.6 + 68.2)/2 (55.0 + 64.2)/2 = 64.4 59.6 = 4.8 = ( 55.0 + 60.6 64.2 + 68.2)/2
R = (64.2 + 68.2)/2 (55.0 + 60.6)/2 = 66.2 57.8 = 8.4
= ( 55.0 60.6 + 64.2 + 68.2)/2
19.3.2004 Versuchsplanung 28
Wechselwirkung
graphische Darstellung Effekt der Temperatur hängt vom
Niveau der Reaktionszeit ab TxR = (68.2 64.2)/2 (60.6 55.0)/2 =
0.8 = (+55.0 60.6 64.2 + 68.2)/2
19.3.2004 Versuchsplanung 29
23 faktorielles Experiment
Ertrag eines chemischen Prozesses interessierende Faktoren:
Temperatur (T; : 160o, +: 180o) Konzentration (C; : 20 %, +: 40 %) Katalysator (K; : Typ A, +: Typ B)
19.3.2004 Versuchsplanung 30
23 faktorielles Experiment, Fts.
Haupteffekte T = (72+68+83+80)/4 (60+54
+52+45)/4 = 75.75 52.75 = 23.0 = (60+7254+6852+8345+80)/4 C = 5.0 K = 1.5
19.3.2004 Versuchsplanung 31
23 faktorielles Experiment, Fts.
2-Faktoren Wechselwirkungen T(K:+) = (80+83)/2 (52+45)/2 = 81.5
48.5 = 33.0 T(K:) = (72+68)/2 (60+54)/2 = 70.0
57.0 = 13.0 TxK = (33 13)/2 = 10.0
= (+6072+546852+8345+80)/4 Analog TxC = 1.5, KxC =0.0
19.3.2004 Versuchsplanung 32
23 faktorielles Experiment, Fts.
3-Faktoren Wechselwirkung TxKxC: TxK(C:+) = (8045)/2 (6854)/2= 10.5 TxK(C:) = (8352)/2 (7260)/2= 9.5
TxKxC = (10.5 9.5)/2 = 0.5 = (60+72+5468+528345+80)/4
19.3.2004 Versuchsplanung 33
Statistische Signifikanz
der geschätzten Effekte Experiment ohne Wiederholungen:
Graphische Darstellungen Punkt-Diagramm QQ-Plot (normal probability plot)
Experiment mit Wiederholungen: Schätzer für , Berechnung von Konfidenzintervallen
19.3.2004 Versuchsplanung 34
Q-Q Plot
Zu einem Datensatz soll überprüft werden, ob die Daten von einem normalverteilten Merkmal stammen
Q-Q Plot oder Quantil-Quantil Plot, auch normal probability plot
19.3.2004 Versuchsplanung 35
Ermitteln des Q-Q Plots1. Stichprobe x1,…,xn 2. Sortiere die Beobachtungen aufsteigend3. Bestimme die Rangzahlen4. Bestimme die Ordnung i /(n +1) [oder (i -0.5)/n], die
sich für die Beobachtung mit Rang i ergibt, wenn wir sie als (empirisches) Quantil auffassen
5. Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete) Quantil der Standard-Normalverteilung (Normal Score)
6. Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete) Quantil der Normalverteilung mit Parametern
7. Streudiagramm (Normal Scores über X)
19.3.2004 Versuchsplanung 36
Konfidenzintervall für Effekte
si: Schätzer aus Beobachtungen im i-ten von n Läufen eines 2k-faktoriellen Experiments (i=1,…, 2k)
sp: Schätzer aus "gepoolten" Daten
sp = [(si)2/2k] 95%-iges Konfidenzintervall für T
T - (2)SD(T), T + (2)SD(T)mit SD(T) = sp/[(n)2k-2]
19.3.2004 Versuchsplanung 37
Ertrag eines chem. Prozesses
i T R DS Lf 1 Lf 2 si
1 - - 55.0 55.5 54.5 √0.50
2 + - 60.6 60.2 61.0 √0.32
3 - + 64.2 64.5 63.9 √0.18
4 + + 68.2 67.7 68.7 √0.50
sp = √[(0.50+…+0.50)/4] = 0.61SD = 0.61 /√[(2)22-2] = 0.44
19.3.2004 Versuchsplanung 38
Ertrag eines chem. Prozesses, Fts.
95%-iges Konfidenzintervall für TxR-0.8 ± 2(0.44), (-1.68, 0.08)
95%-iges Konfidenzintervall für T4.8 ± 2(0.44), (3.9, 5.7)
95%-iges Konfidenzintervall für R8.4 ± 2(0.44), (7.5, 9.3)
19.3.2004 Versuchsplanung 39
Suppenwürze "Intermix"
Beigefügte Menge soll möglichst gleichmäßig sein.
Faktoren Zahl der ports (P; : 1, +: 3) Temperatur (T; : Zimmertemperatur, +:
gekühlt) Chargen-Gewicht (W; : 1500 lb, +: 2000 lb) Zeit bis zum Abpacken (D; : 1 Tag, +: 7
Tage)
19.3.2004 Versuchsplanung 40
Fraktionale faktorielle Experimente
Reduktion der Zahl der notwendigen Läufe durch Verzicht auf Schätzen der Wechselwirkungen
Beispiel 1: 23-1 frakti-onales faktorielles Experiment mit drei Faktoren A, B und C (C = AxB)
A B C
- - +
+ - -
- + -
+ + +
19.3.2004 Versuchsplanung 41
Beispiel 2: 27-4 Experiment Kommt mit 8 Läufen aus (27 = 128!)
A B C D=AB E=AC F=BC G=ABC- - - + + + -
+ - - - - + +
- + - - + - +
+ + - + - - -
- - + + - - +
+ - + - + - -
- + + - - + -
+ + + + + + +
19.3.2004 Versuchsplanung 42
Confounding (Vermengen)
Preis für Reduktion der Anzahl der Läu-fe: Es können nicht mehr alle Effekte und Wechselwirkungen unabhängig voneinander geschätzt werden Beispiel 1: Letzte Spalte entspricht C und
AxB; der sich ergebende (confounded) Schätzer vermengt die beiden
Beispiel 2: Spalte 4 entspricht Faktor D und Wechselwirkung AxB, …, Spalte 7 entspricht Faktor G und Wechselwirkung AxBxC
19.3.2004 Versuchsplanung 43
Suppenwürze "Intermix„, Fts.
25-1 fraktionales faktorielles Experiment mit fünf Faktoren P, T, W, D und Mischdauer (M; : 60 sec, +:80 sec)
Schätzer von M: vermengt mit Wechselwirkung PxTxWxD
Beachte: vermengt sind auch P und TxWxDxM, PxT und WxDxM, PxTxW und DxM, etc.
19.3.2004 Versuchsplanung 44
Genichi Taguchi
Japanischer Ingenieur; Pionier in der Anwendung von Versuchsplanung zur Verbesserung von Produkten und Prozessen; entwickelt Philosophie der Qualitätsverbesserung Methode der Versuchsplanung
Deming-Preisträger Taguchi’s Methoden seit ca. 1980 auch
in den USA sehr populär
19.3.2004 Versuchsplanung 45
Taguchi's Impulse
Bücher, seit ca. 1980 auf Englisch Taguchi & Wu (1985), Introduction to Off-
Line Quality Control. Taguchi (1986) Introduction to Quality
Engineering: Designing Quality into Products and Processes.
Konzepte Qualitätskosten Robuste Produkte und Prozesse
19.3.2004 Versuchsplanung 46
Qualitätskosten
Verlust durch Abweichung von idealem Produkt/Prozess höherer Aufwand für Gewährleistung geringere Kundenzufriedenheit schlechteres Image
high quality Produkt: geringe Abweichung vom Zielwert während der gesamten Lebensdauer unter beliebigen Bedingungen der
Verwendung
19.3.2004 Versuchsplanung 47
Verlustfunktion
enthält Kosten (pro Einheit) des Produzenten und Konsumenten
L(y) = A(y-)2/2
A: erwartete Kosten bei Abweichung vom Zielwert
Bei Kosten B für Ausschuss: maximal tolerierte Abweichung
= [B/A]
19.3.2004 Versuchsplanung 48
Robuste Produkte und Prozesse
Effekte von ungünstigen Faktoren während der Produktion und während des Gebrauchs minimiert
Produkt wird beschrieben in Produkt-Charakteristika: Variable, die
das Produkt am Markt positionieren Qualitäts-Charakteristika: Variable, in
denen Abweichungen vom idealen Produkt auftreten
19.3.2004 Versuchsplanung 49
Negative Faktoren Äußere Störungen (Umgebung während
der Verwendung; Temperatur-, Spannungsschwankungen, etc.)
Innere Störungen (innerhalb des Produktes; Abnutzung, etc.)
Variationen der Produktion (Vorprodukte, Kompetenz der Mitarbeiter, Qualität der Ausrüstung, etc.)
19.3.2004 Versuchsplanung 50
Reduktion der Variabilität
des Produktes und des Produktionsprozesses
durch Verbesserung des Designs des
Produktes und Verbesserung des Designs des
Produktionsprozesses
19.3.2004 Versuchsplanung 51
Taguchi’s Designmethode
Für Experimente (orthogonale
Versuchspläne) Analyse der Variation der
Responsevariablen Produkt Design Prozess
System Design Parameter Design Toleranz Design
19.3.2004 Versuchsplanung 52
System Design
Entwurf des Produktes entsprechend den Anforderungen der Konsumenten den Möglichkeiten der Produktion
Ergebnis ist ein Prototyp; Identifizierung möglicher Störfaktoren in Produktion und Verwendung kontrollierte Faktoren („Parameter“) nicht kontrolliert Faktoren (noise)
19.3.2004 Versuchsplanung 53
Parameter Design
Festlegung jener Zielwerte der kontrol-lierten Faktoren, bei denen die Variabi-lität minimal ist; Experimente
Behandlung von noise: Behandlung als kontrollierter Faktor,
wenn Ursache für Fehler Wahl der Werte der kontrollierten
Faktoren so, dass Effekt des noise minimiert; Robustifizieren des Produktes!
19.3.2004 Versuchsplanung 54
Parameter Design, Forts.
Aufgabe des Design Prozesses ist die Festlegung, welche Faktoren
kontrolliert werden sollen und welche nicht,
die Festlegung der Werte der Faktoren so, dass der Effekt des noise minimiert wird
19.3.2004 Versuchsplanung 55
Toleranz Design
Festlegung von reduzierten Toleranzbereichen für die einzelnen Faktoren, um die Variabilität des Produktes zu verkleinern höherer Aufwand teurere Maschinen etc.
19.3.2004 Versuchsplanung 56
Versuchsplan
inner array: Versuchsplan für die kontrollierten Faktoren; deckt relevanten Wertebereich ab (zwei bis vier Niveaus)
outer array: Versuchsplan für ausgewählte noise Faktoren
orthogonale Versuchspläne (faktorielle Designs, fraktional faktorielle Designs, Lateinische Quadrate Design)
19.3.2004 Versuchsplanung 57
Ziel des Versuchs
Kombination von Faktorenwerten so, dass der Produktionsprozess ein Produkt liefert nahe dem gewünschten Output mit
minimaler Variation oder maximalem signal-to-noise Verhältnis
19.3.2004 Versuchsplanung 58
signal-to-noise Verhältnis
SNsmall, wenn y möglichst klein sein soll
SNsmall = -10 log10 [yi2/n]
SNlarge, wenn y möglichst groß sein soll
SNlarge = -10 log10 [(1/yi)2/n] SNtarget, wenn y möglichst nahe einem
Zielwert sein sollSNtarget = 10 log10 [y-bar2/s2 – 1/n]
oder
SNtarget = 10 log10 [y-bar2/s2]
19.3.2004 Versuchsplanung 59
Kritik an Taguchi
Versuchspläne der vorgeschlagenen Experimente sind oft nicht effizient
Interpretation der signal-to-noise Verhältnisse oft schwierig