BERGISCHE UNIVERSITAT WUPPERTALFACHBEREICH C - PHYSIKELEKTRONIKPRAKTIKUM

Version 9.09,TEX: 9. September 2009

Versuch EP1Passive Bauteile I (RC)

I. Zielsetzung des Versuches

Im ersten Versuch des Elektronikpraktikums werden Sie zunachst den Umgang mit den wich-tigsten Geraten kennenlernen:

• DasLabornetzteil liefert einstellbare konstante Gleichspannungen.

• Der Funktionsgenerator erzeugt Wechselspannungen verschiedener Form (Sinus, Drei-eck, Rechteck) mit einstellbare Frequenz und Amplitude. Er ist mit einemFrequenzzahlerausgestattet.

• Mit dem Digitalmultimeter (DMM) werden Gleichspannungen und -strome gemessen.Fur einen eingeschrankten Frequenzbereich konnen Wechselspannungen und -strome ge-messen werden. Außerdem haben diese Gerate eine Ohmmeterfunktion, die die Messunggewohnlicher (ohmscher) Widerstande erlaubt sowie einfache Messungen an Halbleitern(Diodentest, Transistorverstarkung).

• Zur genauen Vermessung von Wechselspannungen ist dasOszilloskopunentbehrlich.

Im weiteren Verlauf des Versuchs fuhren Sie einfache Messungen an Schaltungen mit Wi-derstanden und Kondensatoren durch.

II. Vorkenntnisse

1. allgemeine Vorkenntnisse

OHMscher Widerstand, Kondensator, Parallelschaltung, Reihenschaltung,K IRCHHOFFsche Re-geln (Maschenregel, Knotenregel), Erzeugung und Effektivwerte des Wechselstroms, Zeitkon-stante des Kondensators, Spannungsteiler (idealer, realer; mitOHMschen und komplexen Wi-derstanden).

Literatur: jedes Lehrbuch der Physik, Elektrizitat

2. spezielle Vorkenntnisse

Kondensator (Lade-/ Entladekurve, Halbwertszeit), Hochpass-/ Tiefpass-/ Bandpassfilter, Wech-selstromwiderstande (Impedanz), Darstellung der komplexen Wechselstromgroßen im Zeiger-diagrammen,L ISSAJOUS-Ellipsen.

Literatur: BERKELEY: Band 2, Kap. 8.4.W.WALCHER: Praktikum der PhysikHERING, BRESSLER, GUTEKUNST: Elektronik fur Ingenieure

und NaturwissenschaftlerM.REISCH: Elektronische BauelementeSCHNELL, W.GERHARD: Elemente der Elektronik

1

III. Theorie

1. Spannungsteiler

• idealer:

Abbildung 1:Idealer Spannungsteiler

U = R · I (1.1)

⇒ I =Uein

Rges=

Uein

R1 + R2

(1.2)

⇒ Ua = R2 · I = Uein · R2

R1 + R2

(1.3)

• realer:

Abbildung 2:Realer Spannungsteiler

Hier muss bei der Messung vonUa noch der LastwiderstandRL des Messgerates oderVerbrauchers berucksichtigt werden. Dieser kann als zuR2 parallel geschaltet betrachtetwerden.

R2,L =

(1

R2

+1

RL

)−1

=R2 ·RL

R2 + RL

(1.4)

⇒ Ua = R2,L · I = UeinR2,L

R1 + R2,L

(1.5)

2

2. Impedanz eines RC-Wechselstromkreises

Ein RC-Glied wird an eine Sinus-Spannungsquelle veranderlicher Frequenz angeschlossen.

Abbildung 3:RC-Wechselstromkreises

Nach denK IRCHHOFFschen Regeln gilt fur die Spannungen im Stromkreis:

IR +Q

C= U0 cos(ωt) (2.6)

Wir nehmen an, dass die SpannungU0 cos ωt im Stromkreis einen Strom

I(t) = I0 cos i(ωt− ϕ) (2.7)

hervorruft, der gegenuber der Spannung eine Phasenverschiebung hat. Zur Vereinfachung derRechnung benutzen wir die komplexe Schreibweise. Bekannterweise gilt:

eiωt = cos(ωt) + i sin(ωt) (2.8)

Von physikalischer Bedeutung ist aber nur der Realteil, alsocos(ωt). In komplexer Schreibwei-se gilt:

U = U0 eiωt (2.9)

I = I0 ei(ωt−ϕ) (2.10)

Q =

∫I(t) dt =

1

iωI0 ei(ωt−ϕ) (2.11)

In Gl. (2.6) eingesetzt, ergibt sich damit:

⇒ R I0 ei(ωt−ϕ) +I0

iωCei(ωt−ϕ) = U0 eiωt (2.12)

Diese Gleichung laßt sich folgendermaßen interpretieren: Der Kondensator stellt einenima-ginaren Widerstanddar:

RC =1

iωC= − i

ωC(2.13)

Herauskurzen voneiωt aus Gl. (2.12) liefert:

U0 eiϕ = I0

(R− i

ωC

)(2.14)

3

Dieses Ergebnis lasst sich recht anschaulich in der komplexen Zahlenebene darstellen:

Abbildung 4:Zeigerdiagramm fur einen RC-Wechselstromkreis

Hieraus folgt(allgemein gilt ja|eiϕ| = 1) :

tan ϕ = − 1

ωRC(2.15)

U0 = I0

√R2 +

1

ω2C2(2.16)

Der Winkel ϕ gibt dabei die Phasenverschiebung der Spannung am Widerstand zur Genera-torspannung an. Die Phasenverschiebung zwischen der Spannung am Widerstand und der amKondensator betragt 90. Der Scheitelwert der Stromstarke ist gegeben durch:

I0 =U0

Z(2.17)

Hierbei ist

Z =

√R2 +

1

ω2C2(2.18)

die Impedanz des Stromkreises. Der Kondensator wirkt demnach wie einfrequenzabhangigerWiderstand:

ω = 0 (Gleichstrom) ⇒ Z = ∞ω À 0 ⇒ Z ∼= R

4

3. Filter

Als Hochpassbezeichnet man ein RC-Glied, bei dem die Ausgangsspannunguber dem Wider-stand abgegriffen wird.

Abbildung 5:Hochpassfilter

Er ist also ein frequenzabhangiger Spannungsteiler, wenn manC als Widerstand betrachtet:

Uaus

R=

Uein√R2 + 1

ω2C2

(3.1)

Fur hohe Frequenzen wirdRC klein gegenR, sodassUaus→ Uein. Wird die Frequenz hingegenklein, so wirdRC groß gegenR, sodassUaus → 0.

Abbildung 6:Frequenzgang und Grenzfrequenz beim Hochpassfilter

Abbildung 7:Phasenverschiebung

5

Als Grenzfrequenzωgr wird diejenige Frequenz definiert, fur welche

Uaus

Uein=

R

R√

1 + 1ω2R2C2

=1√2

, (3.2)

also folglich

ω =1

RC(3.3)

gilt.

Demgegenuber wird bei einemTiefpassdie Spannunguber dem Kondensator abgegriffen:

Abbildung 8:Tiefpassfilter

Das Spannungsverhaltnis lautet nun:

Uaus = Uein

1ωC√

R2 + 1ω2C2

= Uein1√

1 + ω2R2C2(3.4)

Im Gegensatz zum Hochpassfilter folgt hier, dass fur kleineFrequenzenRC groß gegenuberRwird und damitUaus → Uein. Fur hohe Frequenzen jedoch wird der Kondensator durchlassigund damit gehtUaus gegen Null.

Abbildung 9:Frequenzgang und Grenzfrequenz beim Tiefpassfilter

Frage: Was passiert bei Hintereinanderschaltung mehrerer Hochpass- bzw. Tiefpassglieder?

Schaltet man ein Hochpass- und Tiefpassglied hintereinander, so erhalt man einBandpassfilter.Als Bandbreitebezeichnet man die Differenz der beiden Grenzfrequenzen.

Das Verhaltnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung wird oft inDezibel( dB) ausgedruckt. DieEinheit Dezibel ist ursprunglichuber ein Leistungsverhaltnis definiert:

x = 10 log10

(P1

P2

)(3.5)

6

Wegen der Definition der elektrischen Leistung

Pel = UI =U2

R(3.6)

ist log

(P1

P2

)= log

(U1

U2

)2

= 2 log

(U1

U2

)(3.7)

Somit ergibt sich das Verhaltnis von Ausgangs- und Eingangsspannung in Dezibel:

x = 20 log10

(Uaus

Uein

)(3.8)

Die Aussage”Die Abschwachung betragt−20 dB“ bedeutet also:

Uaus

Uein= 0, 1 (3.9)

Tragt man nun das Spannungsverhaltnis (in Dezibel) gegen die Frequenz auf, so erkennt mandas fur ein Filter charakteristische Frequenzverhalten. Hierbei wird zweckmaßigerweiseω lo-garithmisch aufgetragen. Je steiler der Anstieg in der Grenzfrequenz ist, umso scharfer werdenentsprechende Frequenzen gefiltert.

Die Steilheit des Anstiegs in diesem Punkt wird in Dezibel pro Oktave angegeben(1 Oktave =Frequenzverdopplung). Die Steilheit in der Grenzfrequenz fur das folgende Beispiel betragt:

1− 0, 501

2

1

Oktave=

(0 dB)− (−6 dB)

2 Oktaven=

6

2

dBOktave

= 3dB

Oktave

-12

-9

-6

-3

0

0.251

0.355

0.501

0.708

1.000

18ω 1

4ω 12ω ω 2ω 4ω 8ω

20·lo

g( U

A

UE

) [dB

]

UA

UE

Abbildung 10:BODE-Diagramm eines Tiefpassfilters

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3.1. Steilheit von Filtern

Die Steilheit im Punkt der Grenzfrequenz betragt theoretisch 3 dB/Oktave. Der in der Elektronikbekannte Wert von 6 dB/Oktave bezieht sich auf den Kurvenverlauf weit oberhalb (Tiefpass)bzw. unterhalb (Hochpass) der Grenzfrequenz.

Bei der Hintereinanderschaltung von mehreren Tiefpassfiltern (Bild) oder Hochpassfiltern erhohtsich die Steilheit entsprechend.

Abbildung 11:Hintereinanderschaltung mehrerer Tiefpassfilter

Fur z.B. drei hintereinandergeschaltete Tiefpassfilter erwartet man im Prinzip:

Uaus = Uein1√

1 + ω2R2C2

1√1 + ω2R2C2

1√1 + ω2R2C2

= Uein

(1√

1 + ω2R2C2

)3

(3.10)

da die um den Faktor1√

1 + ω2R2C2(3.11)

abgeschwachte Spannung hinter dem ersten Tiefpass die Eingangsspannung des zweiten Tief-passes darstellt.

Eine entsprechende Rechnung gilt fur einen mehrstufigen Hochpass oder ein Bandpassfilter, beidem Hochpass und Tiefpass beliebig hintereinandergeschaltet sind.

In der Praxis gilt diese Rechnung nur, wenn eine Filterstufe (z.B. das erste Filter) durch dienachfolgenden Filterstufen (2. und 3. Filter) nicht nennenswert belastet wird. Bedenken Sie,dass in obenstehender Abbildung der erste Widerstand nicht nur den ersten Kondensator

”sieht“,

sondern außerdem die Parallelschaltung des (in Reihe geschalteten) zweitenR undC; zu letz-terem ist wiederum der dritteR undC parallelgeschaltet usw.

Also muß von Stufe zu Stufe die Impedanz großer werden. Außerdem mußUein von einer Span-nungsquelle mit moglichst geringem Innenwiderstand kommen;Uaus darf nur wenig belastetwerden, d.h. das anUaus angeschlossene Meßgerat muss einen moglichst hohen Innenwider-stand haben. Diese Bedingungen sind (außer beim mehrstufigen Tiefpass) in unserem Versucherfullt: Beim Funktionsgenerator istRi = 50 Ω, beim Oszillographen istRi = 1 MΩ.

Eine exakte Bestimmung des Verhaltens mehrstufiger Filter ist nuruber eine Netzwerkberech-nung moglich.

8

4. Die Lissajous-Ellipse

Will man die Phasenverschiebung zwischen zwei Wechselspannungen gleicher Frequenz be-stimmen, so kann man dies nach der Methode derL ISSAJOUS-Ellipse tun.

Legt man an die x-Ablenkung eines Oszillographen die eine SpannungUe und an die y-Ablenkungdie dazu phasenverschobene SpannungUa, so ergeben sich die Ablenkungen:

x = x0 sin ωt

y = y0 sin(ωt− ϕ)

= y0(sin ωt cos ϕ− cos ωt sin ϕ)

= y0x

x0

cos ϕ− y0 cos ωt sin ϕ

Dies ist eine Parameterdarstellung der auf dem Oszillographen entstehenden Leuchtspur, eineEllipse. Durch Quadrieren und Addieren (siehe Anhang) kann man die Gleichungen in folgendeForm bringen:

(x

x0

)2

− 2xy

x0y0

cos ϕ +

(y

y0

)2

= sin2 ϕ

Die Ellipse ist in nebenstehender Abbil-dung dargestellt. Extremwerte und Ach-senabschnitte sind dort eingetragen.

x0 ist proportional zu Ue

y0 ist proportional zu Ua

Hieraus lasst sich nun leicht die Phaseϕbestimmen, z. B.:

ϕ = arcsinA

BA = 2y0 sin ϕ

B = 2y0

Beachten Sie hierbei, dass arcsin keineneindeutigen Winkel liefert. Es ist ja

sin(90 + ϕ) = sin(90 − ϕ)

9

5. Das RC-Glied als Differentiations- und Integrierglied

Wir wollen in diesem Abschnitt fragen, was passiert, wenn in Abbildung3 an Stelle des Si-nusgenerators ein Pulsgenerator an das RC-Glied angeschlossen wird. Der zeitliche Verlauf derEingangsspannung sieht folgendermaßen aus:

Abbildung 12:10V-Spannungspulse

Wahrend der ZeitTan wird der Kondensator aufgeladen. Die Spannung, dieuberC abfallt, erhaltmanuber die Ladekurve des Kondensators:

Q(t) = C Uein

[1− exp

(− t

RC

)](5.1)

und somit

UC(t) = Uein

[1− exp

(− t

RC

)](5.2)

Die Spannung, dieuber dem Widerstand abfallt, ist:

UR(t) = Uein exp

(− t

RC

)(5.3)

sodass UC + UR = Uein (5.4)

Der exponentielle Anstieg bzw. Abfall hangt von der ZeitkonstanteRC ab. In der Abb.13 istetwaRC ' Tan gezeichnet.

Abbildung 13:RC-Glied: Spannungsverlauf an Widerstand und Kondensator fur RC ' Tan

10

Fur RC À Tan erhalt man:

Abbildung 14:RC-Glied: Spannungsverlauf an Widerstand und Kondensator fur RC À Tan

Anstieg und Abfall sind in guter Naherung linear. Fur RC ¿ Tan ergibt sich:

Abbildung 15:RC-Glied: Spannungsverlauf an Widerstand und Kondensator fur RC ¿ Tan

Schaltet der Generator die Spannung auf 0 V am Ende des Pulses, soandert sich die Span-nungUC uber dem Kondensator momentan nicht; der Kondensator entladt sich langsamuberden Widerstand. Da der Pulsgenerator eine Spannungsquelle ist, mussuber den Widerstand dieSpannung−UC abfallen. Es ergibt sich also fur die ZeitTan + Taus folgender Spannungsverlaufuber Widerstand und Kondensator fur den dritten Fall (RC ¿ Tan):

Abbildung 16:RC-Glied: Spannungsverlauf an Widerstand und Kondensator fur RC ¿ Tan uber eine an/aus-Phase

Die Spannunguber dem Widerstand zeigt also (angenahert) dieAnderung der Eingangsspan-nung an. Es gilt namlich:

UR + UC = Uein (5.5)

I(t)R +1

C

∫ t

0

I(τ) dτ = Uein (5.6)

11

Betrachtet man die Spannungsbilanz zum ZeitpunktTan, so gilt:

I(Tan)RC + 〈I〉Tan = CUein , (5.7)

mit 〈I〉 = Mittelwert vonI im Intervall [0,Tan]. Da nach VoraussetzungRC ¿ Tan und

I(Tan)<≈ 〈I〉, kann man die Spannunguber dem Widerstand gegenuber derjenigen am Konden-

sator vernachlassigen. Also folgt fur Gl. (5.6) :

1

C

∫ t

0

I(τ) dτ = Uein (5.8)

oderdUein

dt=

I

C(5.9)

Mit

UR(t) = I(t) R (5.10)

folgt: UR(t) = RCdUein

dt(5.11)

Deshalb bezeichnet man ein Hochpassfilter auch alsDifferenzierglied. Analog gilt unter derVoraussetzungRC À Tan:

UC(t) =1

RC

∫ t

0

Uein dτ (5.12)

d.h., ein Tiefpassglied wirkt wie einIntegrator . Machen Sie sich dies in Analogie zur obigenHerleitung klar.

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6. Das RC-Glied am Beispiel derMessung des exponentiellen Abfalls mit der Stoppuhr

Abbildung 17:RC-Kreis

Gleichspannungsquelle Schalter

Kondensator StrommessinstrumentOHMscher Widerstand

Ist der Schalter S geschlossen, so ladt sich der Kondensator auf die SpannungU0 auf, unddurch den Widerstand fließt der StromI0 = U0/R. Offnet man den Schalter danach, so entladtsich der Kondensatoruber den WiderstandR (Der Innenwiderstand des Digitalmultimeters alsStrommessgerat ist klein gegenuberR und wird in beiden Fallen vernachlassigt). Bei diesemEntladevorgang reduziert sich laufend die Ladung des Kondensators und damit seine Spannung.Die Differenzialgleichung, die diesen Vorgang beschreibt, soll nun aufgestellt und gelost wer-den.

Wie bei allen Betrachtungen von Stromkreisen liefern dieK IRCHHOFFschen Regeln:

UC + UR = 0 (Maschenregel) (6.1)

und IR = IC (Knotenregel) (6.2)

UC = Spannunguber dem KondensatorUR = Spannunguber dem WiderstandIR = Strom, derin den Widerstand fließtIC = Strom, derin den Kondensator fließtQ = Ladung auf dem Kondensator (s.u.)C = Kapazitat des Kondensators (s.u.)

Der Strom+IC , der in den Kondesator fließt, laßt sich schreiben als

IC(t) = +dQ(t)

dt(6.3)

(Richtung der Strome und Spannungen beachten!)

Mit den beiden Relationen

UC =Q(t)

C(6.4)

und UR = RdQ(t)

dt(6.5)

folgt aus Gl. (6.1) die homogene Differenzialgleichung

dQ(t)

dt+

Q(t)

RC= 0 (6.6)

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mit der Losung:

Q(t) = Q0 · exp

(− t

RC

)(6.7)

und der AnfangsbedingungQ0 = U0C. Bei diesem Versuch soll der StromIR(t) gemessenwerden. Diesen erhalt erhalt man aus

IR(t) =UR

R= −UC

R= − 1

RCQ(t) (6.8)

und Gleichung (6.7) zu

|IR(t)| = U0

R· exp

(− t

RC

)(6.9)

Der AusdruckRC hat die Dimension einer Zeit. Man nenntRC = τ die ZeitkonstantedesRC-Kreises. Misst manR in Ω undC in Farad, so hatτ = RC die Dimension Sekunde. Dieanschauliche Interpretation ist: Nach der Zeitτ ist der Strom, die Ladung und die Spannung auf1e

abgesunken. Stattτ zu messen, ist es leichter, die ZeitT1/2 zu messen, nach der der Strom aufdie Halfte abgesunken ist. Es gilt die Beziehung;

T1/2 = ln(2)RC (warum?) (6.10)

Wird dieHalbwertszeitT1/2 gemessen und istR bekannt, so lasst sich darausC bestimmen. Die-se Messmethode wird – allerdings umgekehrt – haufig dazu verwendet, sehr große Widerstandezu messen.

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7. Das RC-Glied am Beispiel derMessung des exponentiellen Abfalls mit dem Oszillographen

Abbildung 18:RC-Kreis mit Oszillographen

Erlauterung der Schaltung:

IP Funktionsgenerator in folgender Einstellung:Frequenz: 50 Hz, Impulsform: Rechteck, Amplitude (Output): 10 V

Osz. Oszillograph

Bei dieser Schaltungubernimmt der Impulsgenerator die Funktion des Schalter S und der Span-nungsquelle aus Abb.17(Anstiegsflanke: Schalter schließt; Abstiegsflanke: Schalteroffnet). DerOszillograph ersetzt das Strommessinstrument. Er mißt die Spannung, dieuber dem Kondensa-tor abfallt; indirekt damit die Spannung, dieuber dem Widerstand abfallt (warum?) und damitindirekt den Strom.

Der Funktionsgenerator liefert eine periodische Reihe von positiven Rechteckimpulsen. In je-dem Puls wird der Kondensator aufgeladen bis zur maximalen Spannung (Schalter S geschlos-sen). Nach dem Puls sinkt die Spannung am Funktionsgenerator auf 0 V, d.h. der Kondensatorist uber dem Widerstand und dem Ausgang des Funktionsgenerators kurzgeschlossen (SchalterS offen). Dass der Vorgang so betrachtet werden kann, liegt daran, dass der Funktionsgeneratoreinen sogenannten Spannungsquellenausgang hat, d.h. die Spannung am Ausgang(in diesemFall eben 0 V)ist unabhangig von den fließenden Stromen.

Es gibt auch Gerate mit Stromquellenausgangen, das bedeutet, dass aus dem Ausgang ein be-stimmter Strom fließt – unabhangig (in weiten Grenzen)von der Spannung. Wie musste indiesem Fall die Schaltung aussehen?

Mit dem Oszillographen kann der Entladevorgang des Kondensators direkt beobachtet und aus-gewertet werden. Die Zeitkonstanteτ2 = R2C2 ist viel kleiner alsτ1 = R1C1 im Abschnitt6),sodass eine Messung mit der Stoppuhr nicht zum Ziele fuhren wurde.

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IV. Versuchsprogramm

1. Kennenlernen der Gerate

1. Verbinden Sie das Netzteil mit dem Digitalmultimeter, stellen Sie verschiedene Spannun-gen ein und messen Sie diese nach. Vergleichen Sie die Anzeigen am Netzteil und amMultimeter. Bauen Sie sich ein symmetrisches Netzteil aus den beiden Ausgangen desNetzgerates. Messen Sie bezogen auf die mittlere Buchse (GND) die Spannungen zurlinken bzw. rechten Buchse. Messen Sie die Gesamtspannung Schließen Sie einen Wider-stand (100Ω, 2 Watt) an das Netzteil an und messen Sie mit dem Multimeter den Strom.Vergleichen Sie die Anzeigen am Netzteil und am Multimeter.Um den Widerstand nichtzu uberlasten, stellen Sie die Spannung niemals großer als 14 V ein!

2. Messen Sie verschiedene Widerstande (100Ω, 10 kΩ, 1 MΩ) mit dem Multimeter nach.Nehmen Sie einen einstellbaren Widerstand (Potentiometer, 100 kΩ) und messen Sie inverschiedenen Stellungen den Widerstand.

3. Verbinden Sie den Funktionsgeneratoruber ein BNC-Kabel mit den Oszilloskop (s. An-hang). Stellen Sie den Funktionsgenerator auf eine Frequenz von 1 kHz und eine Amplitu-de von ca. 1 V. Beobachten Sie die Darstellung am Oszilloskop. Sollten Sie Schwierigkei-ten haben, ein vernunftiges Bild zu bekomen, hilft Ihnen bei unseren Digitaloszilloskopendie Taste

”Autoset“weiter.

Stellen Sie verschiedene Funktionen ein (Sinus, Dreieck, Rechteck). Beobachten Sie dieWirkung der Einstellung

”Offset“(Verschiebung um eine konstante Gleichspannung) oder

”duty cycle“(Impuls-Pausen-Verhaltnis).

Andern Sie die Frequenz am Generator und passen Sie die Einstellung am Oszilloskop(x-Achse, Time) von Hand an (die Autoset-Taste sollte nur in Ausnahmefallen betatigtwerden, der erfahrene Benutzer bekommt von Hand oft sinnvollere Darstellungen).AndernSie die Amplitude am Generator und passen Sie die Einstellung am Oszilloskop (y-Achse,Ch1) von Hand an. Machen Sie sich mit den FunktionenMeasureundCursorvertraut, dieIhnen ein schnelles und einfaches Messen wichtiger Großen ermoglichen.

4. Fur den folgenden Versuchsteil mussen Sie sich mit Ihrer Nachbargruppe zusammentun,weil zwei Funktionsgenaratoren benotigt werden. Schließen Sie den einen an Kanal 1 undden anderen an Kanal 2 eines Oszilloskops an. Stellen Sie das Oszilloskop in den

”x-y-

Modus“. Auf Kanal 1 geben Sie eine Sinusspannung mit einer Frequenz von genau 50 Hz,auf Kanal 2 das gleiche mit genau 100 Hz. Beobachten Sie die Darstellung, wenn Sie dieFrequenzen minimalandern. Aus den sogenanntenL ISSAJOUS-Ellipsen konnen Sie denPhasenwinkel zwischen den beiden Schwingungen genau bestimmen. Beobachten Sie, wasbei anderen einfachen Frequenzverhaltnissenf1/f2 passiert.

5. Stellen Sie den Funktionsgenerator auf Sinus, 50 Hz, Amplitude einige Volt. Messen Siedie Amplitude am Oszilloskop. Schließen Sie ein Digitalvoltmeter (Bereich AC V) an undvergleichen Sie den Anzeigewert mit dem des Oszilloskops. Wiederholen Sie die Messun-gen bei 500 Hz, 5kHz und 50 kHz. Was fallt auf?

Einfache Schaltungen mit Widerstanden und Kondensatoren

1. Bauen Sie sich mit zwei Widerstanden einen Spannungsteiler (s. Schaltplan). Messen Siemit dem DMM die Knotenspannung U2 und vergleichen Sie mit dem Theoriewert. Ver-wenden Sie zunachst zwei Widerstande aus dem kΩ-Bereich und spater zwei von 1 MΩ.

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Abbildung 19:Schaltplan Spannungsteiler

Was fallt auf? Erklaren Sie die Abweichungen vom Theoriewert. Beachten Sie den Innen-widerstand des DMM (typ. 10 MΩ)

2. Verbinden Sieuber einen Schalter das Netzteil (10 V) mit einem Kondensator (100µF).Messen Sie die Entladekurve, indem Sie den Strom durch den Widerstand (100 kΩ) alsFunktion der Zeit messen und die Messwerte in einer Tabelle protokollieren. Verwen-den Sie ein Digitalmultimeter und eine Stoppuhr. Bestimmen Sie die Halbwertszeit ausder logarithmierten Kurve – hierzuln(I) gegent auftragen (Messpunkt-Abstande sinnvollwahlen!) – und vergleichen Sie mit dem Theoriewertln(2)RC.

Abbildung 20:Schaltplan zur Entladekurve (Handmessung)

3. Verbinden Sie den Funktionsgenerator (Rechteck, 100 Hz)uber einen Widerstand (10 kΩ)mit einem Kondensator (100 nF). Messen Sie die SpannungUa uber dem Kondensator mitdem Oszilloskop. Bestimmen Sie die Halbwertszeit; dabei hilft Ihnen die Cursor-Funktiondes Oszilloskops. Vergleichen Sie mit dem Theoriewertln(2)RC.

Abbildung 21:Schaltplan zur Entladekurve (Oszilloskopmesung)

4. Bauen Sie sich mit 1 kΩ und 1µF ein Tiefpassfilter. Messen Sie den Frequenzgang. Dazumessen Sie fur verschiedene Frequenzen das Verhaltnis von Ausgangsspannung (uber demKondensator) zur Eingangsspannung (vom Generator). Stellen Sie dieses Verhaltnis unddie Phasenverschiebung zwischen den Spannungen graphisch als Funktion der Frequenzdar. Die Phasenverschiebung konnen Sie entweder aus der Zeitverschiebung (∆t/T ) zwi-schen den Spannungen oder aus derL ISSAJOUS-Ellipse bestimmen. Wo liegt Ihre Grenz-frequenz? Vergleichen Sie mit dem Theoriewert.

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Abbildung 22:Schaltplan Tiefpassfilter, R=1 kΩ, C=1µF

5. Bauen Sie mit denselben Bauteilen ein Hochpassfilter. Messen Sie (stichprobenhaft aneinigen Stellen) den Frequenzgang. Stellen Sie, falls die Zeit ausreicht, sowohlUa/Ue, alsauch die Phasenverschiebungϕ in Abhangigkeit von der Frequenzω dar.

Abbildung 23:Schaltplan Hochpassfilter, R=1 kΩ, C=1µF

6. Bauen Sie sich mit weiteren Bauelementen ein Bandpaßfilter und untersuchen Sie an eini-gen Stellen den Frequenzgang (Graphen!).

Abbildung 24:Schaltplan Bandpassfilter, R1=1 kΩ, C1=1µF, R2=10 kΩ, C2=1 nF

7. Bauen Sie nochmals das einfache Hochpassfilter auf. Beobachten Sie fur eine Frequenzdeutlich unter der Grenzfrequenz Ein- und Ausgangsspannung fur die Funktionen Sinus,Dreieck und Rechteck. Skizzieren Sie die Oszilloskopbilder (Sie konnen die Oszilloskop-daten auch auf Ihrem USB-Stick als Bild oder Wertetabelle abspeichern). Erklaren Sie,was Sie sehen.

8. Bauen Sie nochmals das einfache Tiefpassfilter auf. Beobachten Sie fur eine Frequenzdeutlichuber der Grenzfrequenz Ein- und Ausgangsspannung fur die Funktionen Sinus,Dreieck und Rechteck. Skizzieren Sie die Oszilloskopbilder; erklaren Sie, was Sie sehen.

9. Stellen Sie den Funktionsgenerator auf die FunktionRechteck mit einstellbarem Duty cy-cle. Der Dutycycle ist das Verhaltnis der Impulslange zur Gesamtperiodendauer und kannzwischen 1 % (ganz kurze Impulse, lange Pausen)uber 50 % (Impulse und Pausen gleich-lang) bis 99 % (ganz lange Impulse, sehr kurze Pausen) eingestellt werden. Nehmen Sieeine Frequenz von weit mehr als dem 20fachen der Grenzfrequenz Ihres Tiefpassfilters.

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Messen Sie den Dutycycle der Eingangsspannung mit der Measure-Funktion des Oszillo-skops. Messen Sie die Ausgangsspannung am Tiefpassfilter (ebenfalls mit der Measure-Funktion und mit dem DMM) fur verschiedene Dutycycle. Erklaren Sie die gemessenenWerte.

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Anhang

A Parameterdarstellung der Lissajous-Ellipse

x = x0 sin(ωt) ⇒(

x

x0

)2

= sin2(ωt) (A.1)

y = y0 sin(ωt + (−ϕ))︸ ︷︷ ︸=sin(ωt) cos(ϕ)− sin(ϕ) cos(ωt)

= y0

(x

x0

)

︸ ︷︷ ︸sin(ωt)

nach (A.1)

cos(ϕ)− y0 cos(ωt) sin(ϕ) (A.2)

Division durchy0, quadrieren und umformen nach binomischer Formel fuhrt auf:(

y

y0

)2

=

(x

x0

)2

cos2(ϕ)︸ ︷︷ ︸1−sin2(ϕ)

−2

(x

x0

)cos(ϕ) cos(ωt) sin(ϕ)︸ ︷︷ ︸

= −(

yy0

)+

(xx0

)cos(ϕ)

nach (A.2)

+ cos2(ωt)︸ ︷︷ ︸1−sin2(ωt)

sin2(ϕ)

=

(x

x0

)2

−(

x

x0

)2

sin2(ϕ)− 2

(x

x0

)cos(ϕ)

[−

(y

y0

)+

(x

x0

)cos(ϕ)

]

+

(1−

(x

x0

)2)

sin2(ϕ)

=

(x

x0

)2

− 2

(x

x0

)2

sin2(ϕ) + 2

(x

x0

)(y

y0

)cos(ϕ)

−2

(x

x0

)2

cos2(ϕ) + sin2(ϕ)

=

(x

x0

)2

− 2

(x

x0

)2

[sin2(ϕ) + cos2(ϕ)]︸ ︷︷ ︸=1

+2

(x

x0

)(y

y0

)cos(ϕ) + sin2(ϕ)

= −(

x

x0

)2

+ 2

(x

x0

)(y

y0

)cos(ϕ) + sin2(ϕ)

=⇒(

x

x0

)2

− 2

(x

x0

)(y

y0

)cos(ϕ) +

(y

y0

)2

= sin2(ϕ)

20

B Gerate

Abbildung 25:Nezgerat: HAMEG-HM8040-3

Abbildung 26:Funktionsgenerator: HAMEG-HM8030-6

21

1. Netzgerat

22

23

2. Funktionsgenerator

24

25

Abbildung 27:Osziloskop: Frontansicht Tektronix TDS1001B

Details s.Onlinebeschreibung unter:(https://www.delphi.uni-wuppertal.de/˜kind/EPRAK.HTML

26