Versichern und Bausparen 1 Copyright by Debeka VVaG Welche Arten von Mathematik braucht eine...

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Versichern und Bausparen

Copyright by Debeka VVaG

Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung?

Karl - Josef Maiwald


Karl - Josef Maiwald

22. März 2010: ILF-Fortbildung bei der Debeka

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Themen

Womit beschäftigt sich eine Versicherung?

Welche Arten von Mathematik werden dazu benötigt?

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Gefahr: Der „Ernährer“ der Familie fällt aus

Schutz durch Lebensversicherung

Gefahr: Altersarmut

Schutz durch Rentenversicherung


Risiko: Vorzeitiger Tod

Risiko: Langlebigkeit

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Gefahr: Einkommensausfall

Schutz durch Berufsunfähigkeits-versicherung


Gefahr: Krankheitskosten nicht bezahlen zu können

Schutz durch Krankenversicherung

Risiko: Krankheit

Risiko: Invalidität und Berufsunfähigkeit

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Gefahr: Pflegekosten nicht bezahlen

zu könnenSchutz durch Pflegeversicherung

Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können

Schutz durch KFZ-Haftpflichtversiche-rung


Risiko: Pflegefall

Risiko: Autounfall

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Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu könnenSchutz durch Wohngebäudeversiche-rung bzw. Elementarversicherung


Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können

Schutz durch Haftpflichtversicherung

Risiko: Schadenersatzansprüche gegenüber Dritten

Risiko: Feuer, Wasser, Sturm, Erd- beben, Hochwasser, Hagel ...

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Die Absicherung der wirtschaftlichen Folgen von Risiken ist das Betätigungsfeld einer Versicherung

Bedarfsgerechte Produkte zur Absicherung der Risiken schaffen.

Preise festlegen.

Aufgabe einer Versicherung:

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Wie kann man Risiken messen?Antwort: mit Mathematik!

Um einen Preis für eine Versicherung fest-setzen zu können, müssen die Risiken mess-bar gemacht werden.

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Für biometrische Risiken benötigt man deren Eintrittswahr-scheinlichkeit.

Wie kann man Risiken messen?

Für Kosten-, Schaden- und Haftungsrisiken benötigt man zusätzlich deren Schadenhöhen und Verteilung.

Die Messbarkeit der Eintritte von Risiken und deren Schaden-höhen erfolgt mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik.

Es steckt somit viel Stochastik in einer Versicherung.

Es können nur Risiken versichert werden, die noch nicht eingetreten sind. !„Brennende Häuser kann man nicht mehr versichern“.

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Ein 45-jähriger Mann möchte eine einjährige Lebensversicherung

über 10.000 Euro abschließen.

1. Beispiel: Risikomessung in der Lebensversicherung

Risikomessung: Bestimmung der Sterbewahrscheinlichkeit.

452007

200345

2007

200345

ˆ5

5q

JahrenletztendeninLebende

JahrenletztendeninTote

J

J

J

J

L

T

1)

2) Das Verfahren liefert für jedes Alter die Sterbetafel.

Ergebnis: q45 = 0,3 %

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Prämienbestimmung:

E(VS) = Erwartete Versicherungsleistung

= Eintrittswahrscheinlichkeit für Todesfall x Schadenhöhe (Versicherungssumme)

= q45 x VS

= 0,003 x 10.000

= 30 EUR

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Versicherung kann nur funktionieren, wenn viele Personen eine solche Versicherung abschließen.

Beispiel:

Einnahmen1000 45-jährige Männer: 1.000 x 30 = 30.000 EUR

Ausgaben3 Personen sterben: 3 x 10.000 EUR = 30.000 EUR

Es wird eine große Gefahren-gemeinschaft benötigt.

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2. Beispiel: Risikomessung in der Krankenversicherung:

Eintrittswahrscheinlichkeit für Krankheit

Höhe der Schäden bzw. Schadenhöhenverteilungen

Bei einer Krankenversicherung liegt ein besonderes Schutz-bedürfnis der Versicherten vor.

Für die Risikomessung und Prämienberechnung sind gesetz-liche Rahmenbedingungen zu berücksichtigen.

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§ 12 Abs.1 Nr.1 VAGDie Prämien sind auf versicherungsmathemati-scher Grundlage ... zu berechnen.

Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation

Wahrscheinlichkeitstafeln statistische Daten zur Krankheitsgefahr Sterblichkeit Stornowahrscheinlichkeit ...

Für die Beitragskalkulation in der substitutiven Krankenversicherung gilt:

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Es ist eine Alterungsrückstellung nach § 341 f HGB zu bilden.

Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation

Der Versicherer verzichtet auf das ordentliche Kündigungsrecht.

§ 12 c VAG

Kalkulationsverordnung

§ 12 Abs 1 Nr. 2 VAG:

§ 12 Abs 1 Nr. 3 VAG:

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1. Dauernde Erfüllbarkeit

Der Beitrag muss so kalkuliert sein, dass der Versicherungs-vertrag dauernd, d. h. lebenslang, erfüllbar ist.

Kalkulationsgrundsätze

PKV: Dauerhaft deshalb, weil eine Kündigung durch den Versicherer ausgeschlossen ist.

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2. ÄquivalenzprinzipDie erwarteten Leistungen müssen genau durch die erwarteten Beitragseinnahmen gedeckt werden.

künftigeLeistungen

(Leistungs-barwert)

künftigeBeiträge

(Prämien-barwert)

Das heißt: kein Gewinnzuschlag!


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0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

14.000

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105Alter

EUR

3. Risikogerechter / Risikoadäquater Beitrag


Keine Bemessung der Prämie nach dem Einkommen wie in der GKV.Das Krankheitsrisiko ist unabhängig vom Einkommen.

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0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

14.000

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105Alter

EUR

Kalkulationsgrundsätze4. Beitrag vom Eintrittsalter abhängigDer Beitrag darf wegen Älterwerdens der versicherten Person nicht erhöht werden

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Risikomessung: Krankheit

1 Person je Alter

0

4.000

8.000

12.000

16.000

20.000

24.000

28.000

32.000

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Alter

€

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10 Personen je Alter


0

4.000

8.000

12.000

16.000

20.000

24.000

28.000

32.000

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Alter

€

22





0

4.000

8.000

12.000

16.000

20.000

24.000

28.000

32.000

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Alter

€

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0

4.000

8.000

12.000

16.000

20.000

24.000

28.000

32.000

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Alter

€

24





0

4.000

8.000

12.000

16.000

20.000

24.000

28.000

32.000

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Alter

€

25





0

4.000

8.000

12.000

16.000

20.000

24.000

28.000

32.000

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Alter

€

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0

4.000

8.000

12.000

16.000

20.000

24.000

28.000

32.000

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Alter

€

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0

4.000

8.000

12.000

16.000

20.000

24.000

28.000

32.000

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Alter

€


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Risikomessung: Arzneien und Verbandmittel

0,00

200,00

400,00

600,00

800,00

1.000,00

1.200,00

1.400,00

1.600,00

1.800,00

2.000,00

0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91

Alter

EU

R

Frauen

Männer

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Risikomessung: ambulant

0,00

1.000,00

2.000,00

3.000,00

4.000,00

5.000,00

6.000,00

0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91

Alter

EU

R

MännerFrauen

30



Risikomessung: Krankenhaus

0,00

500,00

1.000,00

1.500,00

2.000,00

2.500,00

3.000,00

3.500,00

4.000,00

4.500,00

5.000,00

0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91

Alter

Männer

Frauen

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Alter

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91

Männer

Frauen

Risikomessung: Zahnbehandlung

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Alter

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

400,00

450,00

0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91

Frauen

Männer

und Risikomessung: Kieferorthopädie / Zahnersatz

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Wie werden die Wahrscheinlichkeiten mpx und die Er-

wartungswerte Kx+m bestimmt?

Ableitung aus Beobachtungen an eigenen Versicherten-

beständen oder - falls nötig - aus branchenweiten Sammel-

statistiken mit Hilfe von Methoden der Statistik.

Insbesondere werden Verfahren der Schätztheorie,

Testtheorie und (nicht-parametrischen) Regression

eingesetzt.


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Datengewinnung

Anzahl der Rechnungen jährlich: 25 MillionenFür 4 Jahre: 100 MillionenVersicherte Personen: 4 Millionen

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Der Gesetzgeber verlangt von den Versicherungsunternehmen,

dass sie zur Sicherstellung der dauernden Erfüllbarkeit der

Verträge Eigenmittel bilden, um mögliche Verluste abdecken

zu können.

3. Beispiel: Das Versicherungsunternehmen als Risiko

Eigenmittel Verluste

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Die Risiken eines Versicherungsunternehmens

Kapitalanlage-risiko

Kalkulations- risiko

operationales Risiko

Versicherungsleistungen

Kursänderungen von Aktien, Zinsen sinken

Verluste durchMenschen (Fehlverhalten, Betrug)

Ausfall von Krediten

Konzentrationsrisiko

Verbleibewahrscheinlichkeiten

Kosten

IT-Systeme (Zusammenbruch)

externe Ereignisse (Gesetzgebung)

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Verteilungsfunktion Das VU benötigt Kenntnisse über die Eintrittswahrschein-

lichkeit und die Ausprägung der Risiken.

Es muss die Verteilung der Zufallsvariablen kennen, die

die Ereignisse beschreiben.

Eine der bekanntesten Verteilungsfunktionen ist die Normal- oder Gaußverteilung.

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Normalverteilung

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Beispiel

Ein VU möchte 15.000 € am 01.07.2008 in Aktien investieren.

Das VU benötigt 15.000 € am 31.12.2008 zur Erfüllung einer Versicherungsleistung.

Wie viel Kapital muss das VU neben dem Aktieninvestment sicher anlegen, um auch bei einem Rückgang des Aktienkurses seine Leistung mit 90 %-iger Sicherheit erfüllen zu können ?

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0,0E+00

2,0E-05

4,0E-05

6,0E-05

8,0E-05

1,0E-04

1,2E-04

1,4E-04

5.000 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.000 21.000 23.000 25.000

Aktienkurs (€)

Verteilungsfunktion

Gewinn(50 %)

Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt,Erwartungswert der Aktien (31.12.2008): 15.000 €

Verlust(50 %)

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Ziel: Die Gefahr für einen Verlust soll von 50% auf 10% reduziert werden.

Das Risikomaß Value at Risk zum 10%-Niveau ist der größte Wert, den die Zufallsvariable mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit unterschreitet.

VaR(10%) = 11.155 €: Mit nur 10%-iger Wahrscheinlichkeit fällt der Wert der Aktien unter 11.155 € .

Mit dem VaR kann die Verlustrücklage bestimmt werden, die das VU bilden muss, damit es nach einem Rückgang des Aktienkurses mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit die Leistung nicht erfüllen kann.

Verlustrücklage = 15.000 € - 11.155 € = 3.845 €.

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0,0E+00

2,0E-05

4,0E-05

6,0E-05

8,0E-05

1,0E-04

1,2E-04

1,4E-04

5.000 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.000 21.000 23.000 25.000

Aktienkurs (€)

Verteilungsfunktion

Gewinn(50 %)

Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt,Erwartungswert der Aktien: 15.000 €

Verlust(10 %)

Verlustrücklage(3.845 €)

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Modellvorgabe: VaR mit 0,5%-Niveau

Ein VU muss so viel Sicherheitskapital besitzen, dass es höchstens mit 0,5%-iger Wahrscheinlichkeit einen Verlust erleidet bzw. mit 99,5%-iger Wahrscheinlichkeit keinen Verlust erleidet.

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Statistik

Analysis

lineare Algebra

Numerik

Wahrscheinlichkeits- theorie

Risikotheorie


Je mehr Mathe, desto besser!


Vielen Dankfür

die Aufmerksamkeit

Date post:	05-Apr-2015
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