VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
VEKTORRECHNUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Hochschule Esslingen
Marz 2011
1/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Overview
1 Vektoralgebra
2 Anwendungen der Vektorrechnung
2/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Was sind Vektoren ?
Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung undOrientierung.
3/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Was sind Vektoren ?
Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung undOrientierung.
Physikalische Interpretation als Krafte, Geschwindigkeiten etc.(Mechanik, Festigkeitslehre, Elektrotechnik ..)
3/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Was sind Vektoren ?
Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung undOrientierung.
Physikalische Interpretation als Krafte, Geschwindigkeiten etc.(Mechanik, Festigkeitslehre, Elektrotechnik ..)
Vektoren werden algebraisch definiert als geordneteZahlenpaare oder Zahlentripel.
3/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Was sind Vektoren ?
In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Großen:
Skalare Großen, die durch die Angabe einer Zahl beschriebenwerden konnen: Zeit, Masse, Volumen etc.
4/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Was sind Vektoren ?
In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Großen:
Skalare Großen, die durch die Angabe einer Zahl beschriebenwerden konnen: Zeit, Masse, Volumen etc.
Vektorielle Großen, die durch mehrere Zahlenangabenbestimmt werden, z.B. Kraft: nicht nur Große (Betrag)sondern auch Richtung und Orientierung sind wichtig - analogGeschwindigkeit etc.
4/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Was sind Vektoren ?
In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Großen:
Skalare Großen, die durch die Angabe einer Zahl beschriebenwerden konnen: Zeit, Masse, Volumen etc.
Vektorielle Großen, die durch mehrere Zahlenangabenbestimmt werden, z.B. Kraft: nicht nur Große (Betrag)sondern auch Richtung und Orientierung sind wichtig - analogGeschwindigkeit etc.
Nach dem physikalischen Vorbild des Kraftbegriffs definierenwir:Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Streckeim Raum. Dabei werden diejenigen
”Pfeile” als gleich
angesehen, die durch Parallelverschiebung ineinanderubergehen.
4/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Was sind Vektoren ?
Bezeichnung: −→aVektoren besitzen Lange (Betrag), Richtung und Orientierung.Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag, Richtung undOrientierung ubereinstimmen.Der Vektor mit dem Betrag Nullheisst Nullvektor −→o .
−→a
5/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Was sind Vektoren ?
Definiert werden hier sogenannte”freie“ Vektoren; der
Anfangspunkt des Pfeils ist beliebig.In den Anwendungen sind noch gebrauchlich:
linienfluchtige Vektoren: der Anfangspunkt des Pfeils kann aufeiner Geraden gewahlt werden.
ortsfeste Vektoren mit wohlbestimmtem Anfangspunkt
6/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Addition von Vektoren
Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man denAnfangspunkt des einen Vektors im Endpunkt des anderen Vektorsanhangt.
−→a
−→b
−→b
−→a−→a −−→
b
−→a +−→b
7/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Definition: Unter s · −→a mit s > 0 verstehen wir einen Vektor,dessen Richtung und Orientierung mit −→a ubereinstimmt, aber mitder s-fachen Lange von −→a . Ist s negativ, so dreht sich nochzusatzlich die Orientierung um.
−→a
3−→a
8/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Rechenregeln
−→a +−→b =
−→b + −→a
s(−→a +−→b ) = s−→a + s
−→b
(s + t)−→a = s−→a + t−→a|s · −→a | = |s| · |−→a |
9/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Punkte und Vektoren
Zwei Punkte P1(x1|y1|z1) und P2(x2|y2|z2) definieren den Vektor
−−−→P1P2 =
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
10/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Algebraisierung der Vektorrechnung
Der geometrische Vektorbegriff soll zahlenmaßig erfasst werden.Dazu wahlen wir drei Vektoren der Lange 1 aus, die paarweiseaufeinander orthogonal stehen. Weiter legen wir die Reihenfolge(gegenseitige Orientierung) mit der
”Rechtsschrauben-Regel” fest.
11/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Algebraisierung der Vektorrechnung
Alle Vektoren im Raum konnen als Linearkombination derEinheitsvektoren
−→i ,
−→j ,
−→k dargestellt werden, die wir uns in den
Achsen eines kartesischen Koordinatensystems denken.
−→a = a1−→i + a2
−→j + a3
−→k =
a1
a2
a3
12/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Algebraisierung der Vektorrechnung
Die Grundrechenoperationen ubertragen sich damit auf dieKomponenten:Gleichheit von Vektoren
a1
a2
a3
=
b1
b2
b3
⇐⇒
a1 = b1
a2 = b2
a3 = b3
Addition und Subtraktiona1
a2
a3
±
b1
b2
b3
=
a1 ± b1
a2 ± b2
a3 ± b3
S-Multiplikation
s ·a1
a2
a3
=
s · a1
s · a2
s · a3
13/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Lange (Betrag) eines Vektors
x1
x2
x3
−→a
−→a ∗a1
a2
a3
14/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Lange (Betrag) eines Vektors
|−→a ∗| =√
a21 + a2
2
|−→a | =√
|−→a ∗|2 + a23 =
√a21 + a2
2 + a23
15/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Anwendung: Normierung eines Vektors
Normierung eines Vektors −→a auf die Lange 1. Einsvektor −→e a.
−→e a =−→a|−→a |
Vektor der Lange 1 mit Richtung und Orientierung wie −→a .
Praxisanwendung: Computer Aided Design and Manufacturing(CAD/CAM), Prozesskette Karosserie
16/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Die Richtung eines 2D Vektors
α =Winkel zwischen x1-Achse und −→a :
� x1
�
x2
��
��
��
����
−→a =
(a1
a2
)
α
α =
{arctan a2
a1, a1 > 0
arctan a2a1
+ π , a1 < 0
17/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Die Richtung eines 3D Vektors. Richtungscosinusse
αk =Winkel zwischen xk -Achse und −→a ; cos αk = ak
|−→a | .
��
��
���
x1
�x2
�x3
��
��
��
����
−→a =
a1
a2
a3
α1
α2
α3
18/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Die Richtung eines 3D Vektors. Richtungscosinusse
Beispiele :
−→a =
(1−1
); α = −π/4
−→b =
1
1√2
; α1 = α2 = π/3, α3 = π/4
19/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Die Richtung eines 3D Vektors. Richtungscosinusse
Fur einen Vektor −→a und seine Richtungscosinusse cos αk gilt:
cos2 α1 + cos2 α2 + cos2 α3 = 1
sowie
−→e a =
cos α1
cos α2
cos α3
und −→a = |−→a | · −→e a
20/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Das Skalarprodukt
Das physikalische Experiment: Arbeit, die langs einer Strecke −→svon der Kraft
−→F geleistet wird. Nur der Anteil der Kraft langs des
Weges ist relevant.
A = |−→F | · |−→s | · cos ϕ
ϕ
−→F
−→s∣∣∣−→F ∣∣∣ · cos ϕ
21/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Das Skalarprodukt
Definition: Unter dem Skalarprodukt der Vektoren −→a und−→b
versteht man das Produkt aus den Betragen der beiden Vektoren−→a und
−→b multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen
Winkels. −→a · −→b = |−→a | · |−→b | · cos ϕ
Daraus ergibt sich fur den Winkel ϕ :
−→a · −→b > 0 0 ≤ ϕ < π2
−→a · −→b < 0 π2 < ϕ ≤ π
−→a · −→b = 0 ϕ = π2
22/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Eigenschaften des Skalarproduktes
−→a · −→b =−→b · −→a
−→a · (−→b + −→c ) = −→a · −→b + −→a · −→cs · (−→a · −→b ) = (s · −→a ) · −→b = −→a · (s · −→b )
−→a · (−→b · −→c ) �= (−→a · −→b ) · −→c−→a · −→b = 0 ⇒ −→a = −→o ∨−→
b = −→o ∨−→a ⊥ −→b
23/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Eigenschaften des Skalarproduktes
Es gibt keine Umkehrung des Skalarproduktes, d.h. die Beziehung
−→a · −→x = b
lasst sich nicht nach −→x auflosen.
−→a
−→x
Alle −→x besitzen dieselbe Projektion auf −→a . Die Spitzen allerVektoren mit −→a · −→x = b liegen in einer Ebene.
24/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Skalarprodukt in Koordinatendarstellung
−→a · −→b = (a1−→i + a2
−→j + a3
−→k ) · (b1
−→i + b2
−→j + b3
−→k )
= a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3a1
a2
a3
·
b1
b2
b3
= a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
Sind die Koordinaten zweier Vektoren bekannt, so kann mit Hilfedes Skalarprodukts der Winkel zwischen den beiden Vektorenbestimmt werden.
−→a · −→b = |−→a | · |−→b | · cos ϕ ⇒
cos ϕ =−→a · −→b
|−→a | · |−→b |= a1b1 + a2b2 + a3b3√
a21 + a2
2 + a23 ·
√b2
1 + b22 + b2
3
25/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Projektionen
Projektion des Vektors −→a auf die Richtung von−→b :
skalar: ba =−→a · −→b|−→b |
vektoriell:−→b a =
−→a · −→b|−→b |2
· −→b
26/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Vektorprodukt(Kreuzprodukt)
Das physikalische Experiment:Bewegt sich eine elektrische Ladung im Magnetfeld, so wirkt aufdiese eine Kraft. Diese Kraft wirkt senkrecht auf dieBewegungsrichtung und senkrecht auf die Richtung desMagnetfelds. Dabei ist nur der Anteil des Magnetfelds relevant,der senkrecht zur Bewegungsrichtung ist.Das Drehmoment in der Mechanik wird ebenfalls alsVektorprodukt definiert.
ϕ
−→B
−→v
∣∣∣−→B ∣∣∣ · sinϕ
27/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Vektorprodukt(Kreuzprodukt)
28/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Vektorprodukt(Kreuzprodukt)
Definition: Das mit −→a ×−→b bezeichnete Vektorprodukt steht
senkrecht auf den Vektoren −→a und−→b , bildet in der Reihenfolge
−→a ,−→b , −→a ×−→
b ein Rechtssystem und hat den Betrag
|−→a ×−→b | = |−→a | · |−→b | · | sinϕ|, ϕ = ∠(−→a ,
−→b )
−→a
−→b
−→a ×−→b
29/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Vektorprodukt(Kreuzprodukt)
ϕ
−→a
−→b
|−→b | · sinϕ
Der Betrag |−→a ×−→b | kann als die von den Vektoren −→a ,
−→b
aufgespannten Parallelogrammflache gedeutet werden.
30/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Eigenschaften des Vektorproduktes
−→a ×−→b = −−→
b ×−→a−→a × (
−→b + −→c ) = −→a ×−→
b + −→a ×−→cs · (−→a ×−→
b ) = (s · −→a ) ×−→b = −→a × (s · −→b )
−→a × (−→b ×−→c ) �= (−→a ×−→
b ) ×−→c−→a ×−→
b = −→o ⇒ −→a = −→o ∨−→b = −→o ∨−→a ‖ −→
b
31/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Eigenschaften des Vektorproduktes
Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts, d.h. die Beziehung
−→a ×−→x =−→b
lasst sich nicht nach −→x auflosen.
−→a
−→x
Die Spitzen aller Vektoren mit −→a ×−→x =−→b liegen auf einer
Geraden parallel zu −→a und senkrecht zu−→b .
32/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung
−→a ×−→b = (a1
−→i + a2
−→j + a3
−→k ) × (b1
−→i + b2
−→j + b3
−→k ).
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2)
−→i + (a3b1 − a1b3)
−→j + (a1b2 − a2b1)
−→k .
oder a1
a2
a3
×
b1
b2
b3
=
a2b3 − a3b2
a3b1 − a1b3
a1b2 − a2b1
.
33/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung
Merkregel mit”Determinantenschema” :
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
=−→i ·
∣∣∣∣ a2 a3
b2 b3
∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸a2b3−a3b2
− −→j ·
∣∣∣∣ a1 a3
b1 b3
∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸a1b3−a3b1
+−→k ·
∣∣∣∣ a1 a2
b1 b2
∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸a1b2−a2b1
34/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Spatprodukt
Definition: Wird ein Vektor −→a mit dem Vektorpodukt von zwei
Vektoren−→b ×−→c skalar multipliziert, so nennt man diese
Kombination Spatprodukt.
Schreibweise: [ −→a ,−→b ,−→c ] = −→a · (−→b ×−→c )
35/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Spatprodukt
Das Spatprodukt lasst sich als (orientiertes) Volumen des von dendrei Vektoren aufgespannten Spats interpretieren.
|−→a · (−→b ×−→c )| = |−→a | · |−→b ×−→c |︸ ︷︷ ︸AP
· | cos ϕ|
mit ϕ = ∠(−→a ,−→b ×−→c )
36/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Spatprodukt
−→a
−→b
−→c
−→b ×−→c
h
Ap
37/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Spatprodukt in Koordinatendarstellung
−→a · (−→b ×−→c ) =
a1
a2
a3
·
b2c3 − b3c2
b3c1 − b1c3
b1c2 − b2c1
= a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c1 − b1c3) + a3(b1c2 − b2c1) ⇒
[ −→a ,−→b ,−→c ] =
∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
38/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Eigenschaften des Spatprodukts
Aus der Eigenschaft [ −→a ,−→b ,−→c ] = 0 folgt, dass alle
Vektoren in einer Ebene liegen.
Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektorenverandert, so kann sich hochstens das Vorzeichen andern.Speziell gilt:
Werden zwei Vektoren vertauscht (dritter Vektor bleibt aufseiner Position), so andert sich das Vorzeichen.Bei
”zyklischer Vertauschung“ bleibt das Vorzeichen erhalten.
39/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Lineare Abhangigkeit
Zwei Vektoren −→a ,−→b �= −→
0 nennt man
linear abhangig, wenn sie parallel sind; d.h. wenn gilt:−→b = λ−→alinear unabhangig, wenn sie nicht parallel sind.−→a und
−→b spannen dann (bei gleichem Anfangspunkt) eine
Ebene auf.
40/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Lineare Abhangigkeit
Drei Vektoren nennt man
linear abhangig, wenn alle drei Vektoren in einer Ebene liegen
Es gilt dann −→c = λ−→a + µ−→b
Kriterium: [ −→a ,−→b ,−→c ] = 0
linear unabhangig, wenn sie (bei gleichem Anfangspunkt) den3D-Raum aufspannen.
Kriterium: [ −→a ,−→b ,−→c ] �= 0
41/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Zerlegung in zwei Komponenten
Sind die Vektoren −→a ,−→b , −→c linear abhangig, so kann der Vektor
−→c in Komponenten in die Richtungen von −→a ,−→b zerlegt werden.
Das lineare Gleichungssystem:
−→c = λ1 · −→a + λ2 · −→b
besitzt dann eine eindeutige Losung λ1, λ2.
42/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Zerlegung in zwei Komponenten
Beispiel:
−→a =
2
10
,
−→b =
1
0−2
,−→c =
5
2−2
Das lineare Gleichungssystem:
−→c = λ1 · −→a + λ2 · −→b
besitzt die Losung λ1 = 2, λ2 = 1.
43/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Zerlegung in drei Komponenten
Sind die Vektoren −→a ,−→b , −→c linear unabhangig, so kann jeder
Vektor −→x in Komponenten in die Richtungen von −→a ,−→b , −→c
zerlegt werden. Das lineare Gleichungssystem:
−→x = λ1 · −→a + λ2 · −→b + λ3 · −→c
besitzt dann eine eindeutige Losung λ1, λ2, λ3.
44/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Zerlegung in drei Komponenten
Beispiel:
−→a =
2
10
,
−→b =
1
0−2
,−→c =
1−11
,−→x =
1
05
Das lineare Gleichungssystem:
−→x = λ1 · −→a + λ2 · −→b + λ3 · −→c
besitzt die Losung λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 1.
45/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Gerade in Parameterdarstellung
x1
x2
x3
−→x 0
−→x
−→u
g
46/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Gerade in Parameterdarstellung
Gerade in Parameterdarstellung (Punkt-Richtungsform)
g : −→x = −→x 0 + t · −→u , t ∈ IR
Beispiel: Gerade durch die Punkte A(1|2|3), B(−1|0|2).
−→u =−→AB =
1
23
−
−1
02
=
2
21
−→x =
x1
x2
x3
=
1
23
+ t ·
2
21
=
1 + 2t
2 + 2t3 + t
47/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Ebene in Parameterdarstellung
x1
x2
x3
48/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Ebene in Parameterdarstellung
Ebene in Parameterdarstellung
E : −→x = −→x 0 + λ−→u + µ−→v λ, µ ∈ IRBeispiel : Ebene durch A(1| − 1|1), B(2|1|4),C (2| − 3| − 1).
−→x 0 =−→OA =
1−11
−→u =−→AB =
2
14
−
1−11
=
1
23
−→v =−→AC =
2−3−1
−
1−11
=
1−2−2
49/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Ebene in Parameterdarstellung
Ergebnis
−→x =
x1
x2
x3
=
1−11
+ λ
1
23
+ µ
1−2−2
=
1 + λ + µ−1 + 2λ − 2µ1 + 3λ − 2µ
50/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Ebene in Gleichungsform
−→x 0
−→x−→u
−→v−→n
−→n
E
51/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Ebene in Gleichungsform
Eine Ebene lasst sich auch durch eine lineare Gleichung in x1, x2,x3 beschreiben. Dazu multiplizieren wir die Parameterdarstellungscalar mit dem Normalenvektor der Ebene −→n = −→u ×−→v
−→x = −→x 0 + λ−→u + µ−→v
−→x · −→n = −→x 0 · −→n + λ−→u · −→n + µ−→v · −→n
−→x · −→n = −→x 0 · −→n
52/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Ebene in Gleichungsform
Beispiel
−→x =
1−11
+ λ
1
23
+ µ
1−2−2
−→n = −→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣−→e 1
−→e 2−→e 3
1 2 31 −2 −2
∣∣∣∣∣∣ =
2
5−4
53/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Ebene in Gleichungsform
Beispiel
−→x · −→n = −→x 0 · −→n
⇐⇒ 2
5−4
·
x1
x2
x3
=
2
5−4
·
1−11
2x1 + 5x2 − 4x3 = + − 7
54/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Schnitt Gerade-Ebene
Die Parameterdarstellung der Geraden eingesetzt in dieEbenengleichung ergibt eine lineare Gleichung fur denSchnittparameter t .Ist die Ebene ebenfalls in Parameterform gegeben, so bestimmtman zunachst die Ebenengleichung und verfahrt weiter nachobigem Schema.
55/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Schnitt Gerade-Ebene
Beispiel
g : −→x =
1
01
+ λ
1
1−2
⇐⇒
x1 = 1 + λx2 = λx3 = 1 − 2λ
E : x1 + 2x2 + x3 = 3
56/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Schnitt Gerade-Ebene
=⇒ (1 + λ) + 2λ + (1 − 2λ) = 3 =⇒ λ = 1
=⇒ −→s =
1
01
+
1
1−2
=
2
1−1
57/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Schnitt Ebene-Ebene
Die Ebenen E1, E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.Die Losung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eineeinparametrige Losung, d.h. die Parameterdarstellung derSchnittgeraden.
58/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Schnitt Ebene-Ebene
Beispiel :E1 : x1 + 2x2 + x3 = 3E2 : 4x1 − x2 + 2x3 = 3(
1 2 1 34 −1 2 3
)∼
(1 2 1 30 −9 −2 −9
)⇒
x1 = 1 − 5λx2 = 1 − 2λx3 = 9λ
−→x =
1
10
+ λ
−5−29
59/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Schnitt Gerade-Gerade
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind. DasGleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen (mitunterschiedlichen Bezeichnungen fur die Parameter) ergibt einlineares Gleichungssystem fur die beiden Parameter.
60/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Schnitt Gerade-Gerade
Beispiel :
g1 :
x1
x2
x3
=
−1
3−1
+ t1 ·
−2
31
g2 :
x1
x2
x3
=
5−2−3
+ t2 ·
−8
42
Ergebnis: S(1|0| − 2)
61/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Kurven in Parameterdarstellung
Definition :
Kurve−−→x(t) =
x1(t)
x2(t)x3(t)
, t ∈ IR
Tangentialvektor˙−−→
x(t) = d−−→x(t)dt =
x1(t)
x2(t)x3(t)
, t ∈ IR
62/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
Kurven in Parameterdarstellung
Beispiele :
Kreis−−→x(t) =
(r · costr · sint
), t ∈ [0, 2π]
Zykloide−−→x(t) =
(r · t − r · sintr − r · cost
), t ∈ [0, 6π]
Schraubenlinie−−→x(t) =
cost
sintt
, t ∈ [0, 4π]
63/64
VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung
VEKTORRECHNUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet
Hochschule Esslingen
Marz 2011
64/64