Date post: | 05-Apr-2015 |
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Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse
07_anova3 1
Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse1. Haupteffekte2. Interaktionseffekte3. Strukturgleichung4. Quadratsummen5. F-Test6. Interaktionsformen7. SPSS8. Mehrfaktorielle ANOVA9. Zufallseffekte
Zweifaktorielle Varianzanalyse
07_anova3 2
Zweifaktorielle Varianzanalyse• Wenn mehrere unabhängige Variablen (UVs) vorliegen, muss
eine mehrfaktorielle Varianzanalyse berechnet werden.• Es wird dann untersucht, ob die AV von den unterschiedlichen
UVs abhängt.
• Beispiel: „Hängt die Gedächtnisleistung (AV) von der Lernbedingung (UV1) und dem Geschlecht (UV2) ab?“
Zweifaktorielle Varianzanalyse
Effekt der Lernbedingung
07_anova3 3
strukturell bildhaft emotional
5 12 12
7 7 11
3 8 12
4 10 12
6 13 13
Zweifaktorielle Varianzanalyse
Effekt des Geschlechts
07_anova3 4
männlich 5
7
3
4
6
weiblich 6
8
4
5
7
Zweifaktorielle Varianzanalyse
Zweifaktorielles Design
07_anova3 5
strukturell bildhaft emotional
männlich 5 12 12
7 7 11
3 8 12
4 10 12
6 13 13
weiblich 6 13 13
8 8 12
4 9 13
5 11 13
7 14 14
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Zellen und Randmittelwerte
07_anova3 6
Faktor B
Faktor A B1: strukturell B2: bildhaft B3: emotional
A1: männlich
A2: weiblich
511 y 1012 y 1213 y
1323 y1122 y621 y
5.51. y 5.102. y 5.123. y
9.1 y10.2 y
5.9.. y
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Haupteffekt A• Der Haupteffekt der Stufe j des Faktors A berechnet sich als:
Die Summe der Effekte ist Null
07_anova3 7
... yya jj
5.05.910...
5.05.99...
22
11
yya
yya
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Haupteffekt B• Der Haupteffekt der Stufe k des Faktors B berechnet sich als:
Die Summe der Effekte ist Null
07_anova3 8
... yyb kk
35.95.12
15.95.10
45.95.5
33
22
11
yyb
yyb
yyb
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
„Zelleneffekte“• Der Effekt eine Kombination bestimmter
Stufen der Faktoren A und B berechnet sich als:
Die Summe der Effekte ist Null Der „Zelleneffekt“ ist wenig
aussagekräftig, da er auch von den Haupteffekten beeinflusst wird.
07_anova3 9
..][ yyab jkjk 535913
515911
53596
525912
505910
54595
23
22
21
13
12
11
..[ab]
..[ab]
..[ab]
..[ab]
..[ab]
..[ab]
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Interaktionseffekte (A x B)• Ein Interaktionseffekt wird als Differenz der Zelleneffekt und der
beteiligten Haupteffekte berechnet:
Die Summe der Effekte ist NullDer Interaktionseffekt gibt die Wirkung der Kombination
bestimmter Faktorstufen über die Haupteffekte hinaus an.
07_anova3 10
....
..).(..).(..)(
][)(
yyyy
yyyyyy
baabab
kjjk
kjjk
kjjkjk
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Interaktionseffekte (A x B)
Es liegen im Beispiel keine Interaktionseffekte vor!
07_anova3 11
05.95.121013)(
05.95.101011)(
05.95.5106)(
05.95.12912)(
05.95.10910)(
05.95.595)(
....)(
23
22
21
13
12
11
ab
ab
ab
ab
ab
ab
yyyyab kjjkjk
Beispiele für Interaktionseffekte
Beispiel 1: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen
Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer
07_anova3 12
0
2
4
6
8
10
12
14
strukturell bildhaft
Frauen
Männer strukturell bildhaft
Frauen 5 13 9
Männer 5 10 7.5
5 11.5 8.25
Beispiele für Interaktionseffekte
07_anova3 13
strukturell bildhaft gesamt
F 5 (-0.75) 13 (0.75) 9
M 5 (0.75) 10 (-0.75) 7.5
G 5 11.5 8.25
75.025.85.115.710)(
75.025.855.75)(
75.025.85.11913)(
75.025.8595)(
....)(
22
21
12
11
ab
ab
ab
ab
yyyyab kjjkjk
Beispiele für Interaktionseffekte
Beispiel 2: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen
Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer
07_anova3 14
strukturell bildhaft
Frauen 5 11.5 8.25
Männer 5 11.5 8.25
5 11.5 8.25 0
2
4
6
8
10
12
14
strukturell bildhaft
Frauen
Männer
Beispiele für Interaktionseffekte
07_anova3 15
strukturell bildhaft gesamt
F 5 (0) 11.5 (0) 8.25
M 5 (0) 11.5 (0) 8.25
G 5 11.5 8.25
....)( yyyyab kjjkjk
Beispiele für Interaktionseffekte
Beispiel 3: Einfluss von Alkohol auf die Reaktionszeit bei Männer und Frauen
Interaktion: Frauen werden durch Alkohol stärker beeinträchtigt als Männer
07_anova3 16
ohne Alk. mit Alk.
Frauen 230 500 365
Männer 230 350 290
230 425 327.5
0
100
200
300
400
500
600
ohne Alkohol mit Alkohol
Frauen
Männer
Beispiele für Interaktionseffekte
Beispiel 4: Wirksamkeit der Medikamente M1 und M2 bei Männer und Frauen.
• zwei Medikamente M1 und M2 (Faktor A)• an Männern und Frauen getestet (Faktor B)• keinen Unterschied zwischen den Geschlechtern und den
Medikamenten• aber eine Wechselwirkung (Interaktion):
- bei Frauen wirkt M1 gut, M2 kaum- bei Männern entgegengesetzt
M1 für Frauen, M2 für Männer besser geeignet
07_anova3 17
Strukturgleichung
Strukturgleichung (2-fakt. ANOVA)
= Strukturgleichung einfaktorielle ANOVA + Effekt des zweiten Faktors + Interaktionseffekt
07_anova3 18
ijkjkkjijk eabbayy )(..
ijk
kjjk
k
j
ijk
e
yyyy
yy
yy
yy
..)..(
..).(
..).(
.. Gesamtmittelwert
Effekt Faktor A
Effekt Faktor B
Interaktion
„Fehler“
Quadratsummen
Quadratsummenzerlegung
07_anova3 19
SStotal = SSbetween + SSwithin
SStotal = SSFaktor A + SSFaktor B + SSAxB + SSwithin
Quadratsummen
Quadratsummen
07_anova3 20
n
i
p
j
q
kjkijkwithin
p
j
q
kkjjkqpAxB
q
kkqFaktorB
p
jjpFaktorA
yySS
yyyynSS
yynSS
yynSS
1 1 1
1 1,
1
1
)²(
..)²..(
..)².(
..)².(
Quadratsummen
Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade
07_anova3 21
)1(
)1()1(
1
1
nqp
SSMS
qp
SSMS
q
SSMS
p
SSMS
withinwithin
FaktorAxBFaktorAxB
FaktorBFaktorB
FaktorAFaktorA
p = Anzahl der Stufen von Faktor Aq = Anzahl der Stufen von Faktor Bn = Anzahl Vpn in jeder Zelle
(Annahme gleichbesetzter Zellen)
Der F-Test
Statistische HypothesenBei einer 2-faktorienllen ANOVA gibt es drei Nullhypothesen:1. H0 für Faktor A:
2. H0 für Faktor B:
3. H0 für A x B:
07_anova3 22
0j für alle j, oder: ....... 321 p
0k für alle k, oder:q ...321
0jk für alle jk, oder: kjjk
Der F-Test
Drei F-Tests
07_anova3 23
within
FaktorAA MS
MSF
within
AxBAxB MS
MSF
within
FaktorBB MS
MSF
qpNbzwnqpdf
Nenner
Zähler
.)1(
1
qpNbzwnqpdf
qdf
Nenner
Zähler
.)1(
1
qpNbzwnqpdf
qpdf
Nenner
Zähler
.)1(
)1()1(
Der F-Test
Erklärte Varianzanteile
07_anova3 24
total
BABAy
total
BBy
total
AAy
BAyByAyBABAy
SS
SSR
SS
SSR
SS
SSR
RRRR
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2),,.(
Interaktionsformen
Es gibt drei Formen der Interaktion:• ordinale Interaktion
beide Haupteffekte sind global interpretierbar• hybride Interaktion
nur einer der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar
• disordinale Interaktion keiner der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar
07_anova3 25
Interaktionsformen
Keine Interaktion
• Die Diagramme zeigen die Gruppenmittelwerte der vier Zellen.• Beide Diagramme zeigen die gleichen Daten!
07_anova3 26
Interaktionsformen
Keine Interaktion
• Wenn die Linien der Graphen parallel verlaufen, gibt es keine Interaktion!
07_anova3 27
Interaktionsformen
Ordinale Interaktion
• Wenn der gleiche „Trend“ für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (alle Graphen steigen oder alle Graphen fallen), spricht man von einer ordinalen („geordneten“) Interaktion.
07_anova3 28
Interaktionsformen
Disordinale Interaktion
• Wenn der unterschiedliche „Trends“ für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (ein Graphen steigt, einer fällt), spricht man von einer disordinalen („ungeordneten“) Interaktion.
07_anova3 29
Interaktionsformen
Hybride Interaktion
• Im linken Diagramm: gleicher TrendIm rechten Diagramm: entgegengesetzte Trends
„Hybride Interaktion“
07_anova3 30
Interaktionsformen
Welch Interaktionsform?
07_anova3 31
B1 B2
A1 18 22
A2 25 40
B1 B2
A1 20 30
A2 25 35
B1 B2
A1 25 20
A2 15 40
Darstellung der Ergebnisse
Darstellung der 2-faktoriellen ANOVA
Beispieltext:„Die Anzahl erinnerter Wörter wurde mit einer 3 (Lernbedingung) x 2 (Geschlecht) ANOVA ausgewertet. Das Geschlecht hatte keinen signifikanten Einfluss auf die Gedächtnisleistung, F<1. Es zeigte sich jedoch ein bedeutsamer Effekt der Lernbedingung, F(2,74) = 95.84; p<.01, sowie eine Interaktion beider Faktoren, F(2,74) = 27.66; p<.01. Diese Interaktion ist auf einen bessere Gedächtnisleitung von Männern in der bildhaften Bedingung (t[25]=3.61; p=.01) und eine bessere Gedächtnisleistung von Frauen in der emotionalen Bedingung (t[24]=-6.97; p<.01) zurückzuführen.“
07_anova3 32
strukturell bildhaft emotional
Männer 5.8 14.1 10.4
Frauen 5.0 10.7 16.0
SPSS
07_anova3 33
SPSS
07_anova3 34
Syntax:
glm memo by sex, bed /plot=profile(bed*sex).
SPSS
07_anova3 35
SPSS
07_anova3 36
Mehrfaktorielle ANOVA
• Eine Varianzanalyse kann mit beliebig vielen Faktoren berechnet werden.
• Damit sind auch Interaktionen „höherer Ordnung“ möglich: drei-, vier-, fünf, …n-fach-Interaktionen (bei n Faktoren)
• Die Interpretation solcher Mehrfachinteraktionen ist oft schwierig.
• Beispiel: Evaluation eines Entspannungstrainings– Faktor A: Geschlecht des Kursleiters– Faktor B: Geschlecht der Kursteilnehmer– Faktor C: Art des Trainings: Progressive Muskelrelaxation (PMR) vs.
Autogenes Training (AT)
07_anova3 37
Mehrfaktorielle ANOVA
07_anova3 38
Faktor A: Geschlecht d. Th.
weiblich männlich
Faktor B: Ge-schlecht (Pat.)
weiblich männlich weiblich männlich
Faktor C: Artdes Trainings
AT
PMR
75 65 65 75
70 70 70 70
60
65
70
75
80
m w
mw
AT PMR
60
65
70
75
80
m w
mw
Mehrfaktorielle ANOVA
• Eine dreifach-Interaktion (AxBxC) bedeutet, dass sich die zweifach-Interaktion (AxB) für die beiden Stufen von C unterscheiden.
• … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (AxC) für die beiden Stufen von B unterscheiden.
• … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (BxC) für die beiden Stufen von A unterscheiden.
• Eine 4-fach Interaktion ist darauf zurückzuführen, dass sich die beteiligten 3-fach Interaktionen voneinander unterscheiden.
07_anova3 39
Mehrfaktorielle ANOVA
07_anova3 40
1 Faktor: SStotal = SSwithin + SSA
2 Faktoren: SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSAxB
3 Faktoren: SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC +
SSAxB + SSBxC + SSAxC + SSAxBxC
4 Faktoren: SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC + SSD +
SSAxB + SSAxC + SSAxD +SSBxC +SSBxD+ SSCxD+
SSAxBxC + SSAxBxD + SSAxCxD + SSBxCxD +
SSAxBxCxD
Zufallseffekte
Feste Effekt vs. Zufallseffekte• Bisher haben wir nur Varianzanalysen für so genannte feste
Effekte besprochen.
• Definition: Man spricht von festen Effekten, wenn alle möglichen bzw. alle interessierenden Stufen eines Faktors im Versuchsplan realisiert werden.
• Beispiele: Geschlecht, Therapieform, etc.
• In diesem Fall kann ist das Ergebnis der ANOVA nur auf die realisierten Stufen zu beziehen.
07_anova3 41
Zufallseffekte
Zufallseffekte• Häufig sind Gruppenbildungen jedoch nicht eindeutig, weil eine
UV keine feste Abstufungen hat.• Beispiel:
- UV: “Extraversion” (gering, mittel, hoch)- AV: Prüfungserfolg in einer mündlichen Prüfung.
• In diesem Fall sollte eine ANOVA mit „Zufallseffekten“ berechnet werden.
07_anova3 42
Zufallseffekte
Zufallseffekte• Definition: Wenn einen Faktor viele Abstufungen hat und für eine
Untersuchung “zufällig” einige davon ausgesucht werden spricht man von Zufallseffekten.
• Beispiele: Persönlichkeitseigenschaften, Alkoholkonsum, Alter, etc.
• Wenn ein Faktor als Zufallsfaktor betrachte wird, so ist eine Generalisierung der Ergebnisse auf andere (nicht untersuchte) Stufen möglich.
07_anova3 43
Zufallseffekte
Feste Effekt vs. Zufallseffekte
07_anova3 44
Feste Effekte Zufallseffekte
• Alle möglichen / interessierenden Stufen eines Faktors werden realisiert.
• Einige Stufen werden aus vielen möglichen Stufen ausgesucht.
• Keine Generalisierbarkeit auf nicht realisierte Stufen.
• Generalisierbarkeit ist gegeben.
• Die Summe der Effekte ist Null. • Die Summe der Effekte muss nicht Null sein.
• H0: Alle Effekte sind Null. αj=0 (für alle j)
• H0: Die Varianz der Effekte ist Null. σ²(α) = 0
Zufallseffekte
Beispiel: Alter und Klausurerfolg• Gruppenbildung:
– Alter < 24 Gruppe 1– Alter ≥ 24 Gruppe 2
• Willkürliche Gruppenbildung• Eigentlich soll untersucht werden,
ob der Studienerfolg vom Alterim Allgemeinen abhängt.
07_anova3 45
Vp Alter Gruppe Punkte1 23 1 202 19 1 223 29 2 284 21 1 265 22 1 306 19 1 227 27 2 248 24 2 209 22 1 24
10 28 2 26… … … …20 20 1 25
Zufallseffekte
07_anova3 46
Gruppe 1 (jung) Gruppe 2 (alt)yi1 (yi1-m1)² yi2 (yi2-m2)²20 25 23 028 9 20 924 1 22 126 1 25 430 25 24 122 9 22 127 4 24 124 1 24 124 1 20 925 0 26 9
m1=25 Σ=76 m2=23 Σ=36
Beispiel: Alter und Klausurerfolg
Zufallseffekte
07_anova3 47
Beispiel: Alter und Klausurerfolg
• Bei einer einfaktoriellen ANOVA mit Zufallseffekten werden die Quadratsummen wie bisher berechnet.
2012
110110
11
2
p
yyn
df
SSMS
p
i ii
between
betweenbetween
22.618
3676
1 1
2
pN
yy
df
SSMS
p
i
n
j iij
within
withinwithin
Zufallseffekte
07_anova3 48
Beispiel: Alter und Klausurerfolg
• Der kritische F-Wert beträgt 4.35kein statistisch bedeutsamer Unterschied!
• Fazit: Kein Unterschied in der Durchführung des F-Tests im Vergleich zur Analyse mit festen Effekten.
• Dies gilt jedoch nur für die einfaktorielle ANOVA.
21.322.6
2018,1
,
F
MS
MSF
within
betweendfdf wb
Zufallseffekte
07_anova3 49
Zweifaktorielle ANOVA mit Zufallseffekten• Beispiel: Wie wirkt sich das Alter (UV1) und die Extraversion (UV2)
eines Kandidaten auf das Ergebnis einer mündlichen Prüfung aus
within
FaktorAxBAxB
FaktorAxB
FaktorBB
FaktorAxB
FaktorAA
MS
MSF
MS
MSF
MS
MSF
qpNdf
qpdf
qpdf
qdf
qpdf
Nenner
Zähler
Nenner
Zähler
Nenner
Zähler
)1()1(
)1()1(
1
)1()1(
1
Zufallseffekte
07_anova3 50
Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“• Liegt ein Faktor mit festem Effekt und ein Faktor mit Zufallseffekt
vor, spricht man von einer ANOVA mit gemischten Effekten.• Wichtig: Es muss bei der Berechnung der F-Tests beachtet
werden, welcher Faktor als Zufallsfaktor eingegeben wird.• Beispiel: Der Einfluss des Geschlechts (Faktor A) und des Alters
(Faktor B) auf die Ängstlichkeit einer Person.• Die folgenden Berechnungen gehen davon aus, dass
Faktor B der Zufallsfaktor ist.
Zufallseffekte
07_anova3 51
Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“
within
FaktorAxBAxB
within
FaktorBB
FaktorAxB
FaktorAA
MS
MSF
MS
MSF
MS
MSF
qpNdf
qpdf
qpNdf
qdf
qpdf
Nenner
Zähler
Nenner
Zähler
Nenner
Zähler
)1()1(
1
)1()1(
1
zufällig
fest
Zufallseffekte
07_anova3 52
Überblick über die Berechnung der F-Tests
Faktor A Faktor B AxB
A fest,B fest
A zufällig, B zufällig
A fest,B zufällig
within
FaktorA
MS
MSF
FaktorAxB
FaktorB
MS
MSF
within
FaktorAxB
MS
MSF
within
FaktorAxB
MS
MSF
within
FaktorAxB
MS
MSF
FaktorAxB
FaktorA
MS
MSF
within
FaktorB
MS
MSF
within
FaktorB
MS
MSF
FaktorAxB
FaktorA
MS
MSF
Zusammenfassung
07_anova3 53
Zusammenfassung• Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und
eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden.
• In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben.
• Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich.
• Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden.
Zusammenfassung
07_anova3 54
Zusammenfassung• Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und
eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden.
• In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben.
• Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich.
• Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden.
Zusammenfassung
07_anova3 55
• Mehrfaktorielle ANOVAs können mit beliebig vielen Faktoren (=UVs) berechnet werden (aber alle npq > 20!).
• In diesem Fall ergeben sich Interaktionen höherer Ordnung, denen auch wieder bestimmte SS zugeordnet werden können.
• Werden Stufen eines Faktors „zufällig“ aus einer großen Anzahl möglicher Stufen ausgewählt, müssen ANOVS mit Zufallseffekten berechnet werden
• Bei der mehrfaktoriellen Varianzanalyse beeinflusst die Art des Faktors (fest vs. zufällig), welche Varianz im Nenner des F-Bruchs verwendet werden muss.